În fiecare capitol vor exista sarcini pentru soluții independente, la care puteți vedea răspunsurile.

Conceptul de integrală definită și formula Newton-Leibniz

integrala definita dintr-o funcție continuă f(X) pe intervalul finit [ A, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, notația

După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), Integrala definită poate fi pozitivă sau negativă.(Se calculează ca diferență între valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(A)).

Numerele Ași b se numesc limitele inferioare și, respectiv, superioare de integrare și intervalul [ A, b] este segmentul de integrare.

Astfel, dacă F(X) este o funcție antiderivată pentru f(X), apoi, conform definiției,

(38)

Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferență F(b) – F(A) se scrie pe scurt astfel:

Prin urmare, formula Newton-Leibniz va fi scrisă după cum urmează:

(39)

Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lăsa F(X) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(X) + C. De aceea

Astfel, se stabilește că pe segmentul [ A, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(X) Meci.

Astfel, pentru a calcula integrala definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant DIN excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare A si calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..

La A = b acceptate prin definitie

Exemplul 1

Soluţie. Să găsim mai întâi integrala nedefinită:

Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat

(la DIN= 0), obținem

Cu toate acestea, atunci când calculați o integrală definită, este mai bine să nu găsiți antiderivată separat, ci să scrieți imediat integrala în forma (39).

Exemplul 2 Calculați o integrală definită

Soluţie. Folosind formula

Găsiți singur integrala definită și apoi vedeți soluția

Proprietățile Integralei Definite

Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică

(40)

Lăsa F(X) este antiderivat pentru f(X). Pentru f(t) antiderivata are aceeasi functie F(t), în care variabila independentă se notează diferit. Prin urmare,

Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor

Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite, adică

(41)

Teorema 4.Integrala definită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică

(42)

Teorema 5.Dacă segmentul de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale., adică dacă

(43)

Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică

(44)

Teorema 7(teorema valorii medii). Integrala definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică

(45)

Teorema 8.Dacă limita superioară de integrare este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. dacă

Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât limita inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea

pot fi integrate termen cu termen, adică

(46)

Proprietățile integralei definite ne permit să simplificăm calculul direct al integralelor.

Exemplul 5 Calculați o integrală definită

Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale tabulare (7) și (6), obținem

Integrală definită cu limită superioară variabilă

Lăsa f(X) este continuă pe segmentul [ A, b] funcția și F(X) este prototipul său. Luați în considerare integrala definită

(47)

si prin t variabila de integrare se notează pentru a nu o confunda cu limita superioară. Când se schimbă X se modifică și integrala definită (47), adică este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care îl notăm prin F(X), adică

(48)

Să demonstrăm că funcția F(X) este antiderivat pentru f(X) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim

deoarece F(X) este antiderivat pentru f(X), A F(A) este o valoare constantă.

Funcţie F(X) este unul din setul infinit de antiderivate pentru f(X), și anume cel care X = A merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem X = Ași folosiți teorema 1 din secțiunea anterioară.

Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei

unde, prin definiție, F(X) este antiderivat pentru f(X). Dacă în integrand facem schimbarea de variabilă

apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie

În această expresie

functie antiderivata pentru

Într-adevăr, derivatul său, conform regula de diferențiere a unei funcții complexe, este egal cu

Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția

ia respectiv valorile Ași b, adică

Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(A) există

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută în Egiptul antic. Desigur, nu într-o formă modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins Newton și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, le avem deja în blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le aduceți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinit de mici.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bși Cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Apelați la un serviciu pentru studenți profesioniști și orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.

>> >> >> Metode de integrare

Metode de bază de integrare

Definirea unei integrale, definite si nedefinite, tabel de integrale, formula Newton-Leibniz, integrare pe parti, exemple de calcul de integrale.

Integrală nedefinită

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții având continuu . Apoi, conform lucrărilor,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivata va fi evident uv, deci formula are loc:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Aduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

Fie, de exemplu, este necesar să găsim ∫xcosx dx. Fie u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât schimbarea variabilei. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Metode de integrare, conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [ a,b] în n părți prin punctele a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Suma formei f(ξ i)Δ x i se numește suma integrală, iar limita ei la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcțiile f(x) de la a la b și se notează:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe un segment, se numesc numerele a și b limita inferioară și superioară a integralei.

Metode de integrare au urmatoarele proprietati:

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Atunci pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, care leagă integrala definită cu cea nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de sus de curba y=f(x), liniile drepte x = a și x = b și segmentul axei Ox.

Integrale improprii

Integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite) se numesc improprie. Integrale improprii de primul fel - acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrală improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [а,+ ∞), iar funcția f(x) se numește integrabilă pe intervalul infinit [а,+ ∞ ). În caz contrar, se spune că integrala nu există sau diverge.

Integralele improprie pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x ale segmentului, cu excepția c, unde f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b numit suma:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calculare a integralelor

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Notăm t = x+2, apoi dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Rezolvare.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. =

.

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Ne integrăm pe părți. Notați u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare pe părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Aplicam formula de integrare pe parti. Notăm u = e x , dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx este integrabil și prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Se obține relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, de unde 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rezolvare.Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Ținând cont de faptul că = d(lnx), facem substituția lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați J = .

Soluţie. Avem: . De aceea =

Pentru ce sunt integralele? Încercați să răspundeți singur la această întrebare.

Explicând subiectul integralelor, profesorii enumeră domenii de aplicare care sunt de puțin folos minților școlii. Printre ei:

• calcularea ariei unei figuri.
• calculul masei corporale cu densitate neuniformă.
• determinarea distantei parcurse la deplasarea cu viteza variabila.
• si etc.

Nu este întotdeauna posibilă conectarea tuturor acestor procese, așa că mulți studenți devin confuzi, chiar dacă au toate cunoștințele de bază pentru a înțelege integrala.

Motivul principal al ignoranței– lipsa de înțelegere a semnificației practice a integralelor.

Integral - ce este?

Cerințe preliminare. Nevoia de integrare a apărut în Grecia antică. În acel moment, Arhimede a început să folosească metode similare în esență cu calculul integral modern pentru a găsi aria unui cerc. Principala abordare pentru determinarea zonei figurilor inegale a fost atunci „Metoda de epuizare”, care este destul de ușor de înțeles.

Esența metodei. În această figură este înscrisă o succesiune monotonă de alte figuri și apoi se calculează limita secvenței ariilor lor. Această limită a fost luată ca zonă a cifrei date.

În această metodă, ideea de calcul integral este ușor de urmărit, care este de a găsi limita unei sume infinite. Mai târziu, această idee a fost aplicată de oamenii de știință pentru a rezolva sarcini aplicate astronautică, economie, mecanică etc.

Integrală modernă. Teoria clasică a integrării a fost formulată în termeni generali de Newton și Leibniz. S-a bazat pe legile existente atunci ale calculului diferenţial. Pentru a-l înțelege, trebuie să aveți niște cunoștințe de bază care vă vor ajuta să descrieți idei vizuale și intuitive despre integrale în limbajul matematic.

Explicați conceptul de „integral”

Procesul de găsire a derivatei se numește diferenţiere, și găsirea antiderivatei - integrare.

Integral limbaj matematic este antiderivata funcției (ceea ce a fost înainte de derivată) + constanta „C”.

Integral in termeni simpli este aria figurii curbe. Integrala nedefinită este întreaga zonă. Integrala definită este aria dintr-o zonă dată.

Integrala se scrie astfel:

Fiecare integrand este înmulțit cu componenta „dx”. Arată ce variabilă este integrată. „dx” este incrementul argumentului. În loc de X, poate exista orice alt argument, cum ar fi t (timp).

Integrală nedefinită

Integrala nedefinită nu are granițe de integrare.

Pentru a rezolva integrale nedefinite, este suficient să găsiți antiderivata integrandului și să adăugați „C” la aceasta.

Integrala definita

Într-o integrală definită, restricțiile „a” și „b” sunt scrise pe semnul de integrare. Ele sunt indicate pe axa x în graficul de mai jos.

Pentru a calcula o integrală definită, trebuie să găsiți antiderivată, să înlocuiți valorile „a” și „b” în ea și să găsiți diferența. În matematică aceasta se numește formula Newton-Leibniz:

Tabel de integrale pentru elevi (formule de bază)

Descărcați formulele integralelor, acestea vă vor fi în continuare utile

Cum se calculează corect integrala

Există mai multe operații simple pentru transformarea integralelor. Iată pe cele principale:

Eliminarea unei constante de sub semnul integral

Descompunerea integralei sume în suma integralelor

Dacă schimbați a și b, semnul se va schimba

Puteți împărți integrala în intervale după cum urmează

Acestea sunt cele mai simple proprietăți, pe baza cărora vor fi formulate mai târziu teoreme și metode de calcul mai complexe.

Exemple de calculare a integralelor

Rezolvarea integralei nedefinite

Rezolvarea unei integrale definite

Concepte de bază pentru înțelegerea subiectului

Pentru a înțelege esența integrării și a nu închide pagina de neînțelegeri, vă vom explica o serie de concepte de bază. Ce este o funcție, derivată, limită și antiderivată.

Funcţie- o regulă conform căreia toate elementele dintr-o mulțime sunt legate de toate elementele din alta.

Derivat este o funcție care descrie rata de schimbare a unei alte funcții în fiecare punct specific. În termeni stricti, aceasta este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului. Se calculează manual, dar este mai ușor de utilizat tabelul derivatelor, care conține majoritatea funcțiilor standard.

Creştere- modificarea cantitativă a funcției cu o oarecare modificare a argumentului.

Limită- valoarea la care tinde valoarea functiei, cand argumentul tinde catre o anumita valoare.

Un exemplu de limită: să presupunem că pentru X egal cu 1, Y va fi egal cu 2. Dar dacă X nu este egal cu 1, dar tinde spre 1, adică nu îl atinge niciodată? În acest caz, y nu va ajunge niciodată la 2, ci va tinde doar către această valoare. În limbajul matematic, aceasta se scrie astfel: limY (X), cu X –> 1 = 2. Se citește: limita funcției Y (X), cu x tinde spre 1, este 2.

După cum sa menționat deja, o derivată este o funcție care descrie o altă funcție. Funcția originală poate fi derivată dintr-o altă funcție. Această altă funcție este numită primitiv.

Concluzie

Nu este greu să găsești integrale. Dacă nu înțelegi cum să o faci, . Din a doua oară devine mai clar. Tine minte! Soluția integralelor se reduce la simple transformări ale integrandului și căutarea lui în .

Dacă explicația textului nu funcționează pentru dvs., urmăriți videoclipul despre semnificația integrală și derivată:

Integrale - ce este, cum să o rezolvi, exemple de soluții și o explicație pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru