Un poliedru în care una dintre fețe este un poligon și toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun, se numește piramidă.

Aceste triunghiuri care alcătuiesc piramida se numesc fetele laterale, și poligonul rămas bază piramide.

La baza piramidei se află figură geometrică– n-gon. În acest caz, se mai numește și piramida n-cărbune.

Se numește o piramidă triunghiulară a cărei margini sunt egale tetraedru.

Marginile unei piramide care nu aparțin bazei se numesc lateral, si al lor punct comun- aceasta este vârf piramide. Celelalte margini ale piramidei sunt denumite în mod obișnuit ca petreceri de fundație.

Piramida se numește corect, dacă are un poligon regulat la bază și toate marginile laterale sunt egale între ele.

Se numește distanța de la vârful piramidei până la planul bazei înalt piramide. Putem spune că înălțimea piramidei este un segment perpendicular pe bază, ale cărui capete se află în vârful piramidei și pe planul bazei.

Pentru orice piramidă sunt valabile următoarele formule:

1) S complet \u003d S lateral + S principal, Unde

S complet - aria întregii suprafețe a piramidei;

Latura S - suprafața laterală, de ex. suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei;

Baza S - aria bazei piramidei.

2) V = 1/3 S N principal, Unde

V este volumul piramidei;

H este înălțimea piramidei.

Pentru piramida corecta apare:

Latura S = 1/2 P h principal, Unde

P principal - perimetrul bazei piramidei;

h este lungimea apotemului, adică lungimea înălțimii feței laterale coborâte din vârful piramidei.

Partea piramidei cuprinsă între două plane - planul bazei și planul secant, trasate paralel cu bază, se numește trunchi de piramidă.

Se numesc baza piramidei și secțiunea piramidei printr-un plan paralel temeiuri trunchi de piramidă. Restul fețelor sunt numite lateral. Distanța dintre planele bazelor se numește înalt trunchi de piramidă. Muchiile care nu aparțin bazelor sunt numite lateral.

În plus, bazele piramidei trunchiate n-gonuri similare. Dacă bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane regulate și toate marginile laterale sunt egale între ele, atunci o astfel de piramidă trunchiată se numește corect.

Pentru piramidă trunchiată arbitrară sunt valabile următoarele formule:

1) S complet \u003d S lateral + S 1 + S 2, Unde

S full - suprafata totala;

Latura S - suprafața laterală, de ex. suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei trunchiate, care sunt trapeze;

S 1, S 2 - zone de bază;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, Unde

V este volumul piramidei trunchiate;

H este înălțimea piramidei trunchiate.

Pentru piramida trunchiată obișnuită de asemenea avem:

Partea S \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, Unde

P 1, P 2 - perimetrele bazelor;

h - apotema (înălțimea feței laterale, care este un trapez).

Luați în considerare mai multe probleme pe o piramidă trunchiată.

Sarcina 1.

Într-o piramidă trunchiată triunghiulară cu o înălțime de 10, laturile uneia dintre baze sunt 27, 29 și 52. Determinați volumul trunchiului piramidal dacă perimetrul celeilalte baze este 72.

Soluţie.

Luați în considerare piramida trunchiată ABCA 1 B 1 C 1 prezentată în Figura 1.

1. Volumul unei piramide trunchiate poate fi găsit prin formula

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), unde S 1 este aria uneia dintre baze, poate fi găsit folosind formula Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

deoarece Problema este dată de lungimile a trei laturi ale unui triunghi.

Avem: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Piramida este trunchiată, ceea ce înseamnă că la baze se află poligoane similare. În cazul nostru, triunghiul ABC este similar cu triunghiul A 1 B 1 C 1. În plus, coeficientul de asemănare poate fi găsit ca raport al perimetrelor triunghiurilor considerate, iar raportul ariilor acestora va fi egal cu pătratul coeficientului de asemănare. Astfel, avem:

S 1 /S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Prin urmare, S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Deci V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Răspuns: 1900.

Sarcina 2.

Într-o piramidă trunchiată triunghiulară, un plan este trasat prin latura bazei superioare paralelă cu marginea laterală opusă. În ce raport este împărțit volumul piramidei trunchiate dacă laturile corespunzătoare ale bazelor sunt legate ca 1:2?

Soluţie.

Luați în considerare ABCA 1 B 1 C 1 - o piramidă trunchiată descrisă în orez. 2.

Deoarece la baze laturile sunt legate ca 1: 2, atunci ariile bazelor sunt legate ca 1: 4 (triunghiul ABC este similar cu triunghiul A 1 B 1 C 1).

Atunci volumul piramidei trunchiate este:

V = 1/3h (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, unde S 2 este aria lui ​baza superioară, h este înălțimea.

Dar volumul prismei ADEA 1 B 1 C 1 este V 1 = S 2 h și, prin urmare,

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

Deci, V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Răspuns: 3:4.

Sarcina 3.

Laturile bazelor unei piramide trunchiate obișnuite sunt 2 și 1, iar înălțimea este 3. Un plan este trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor piramidei paralele cu bazele piramidei, împărțind piramida în două părți. . Aflați volumul fiecăruia dintre ele.

Soluţie.

Luați în considerare piramida trunchiată ABCD 1 B 1 C 1 D 1 prezentată în orez. 3.

Să notăm O 1 O 2 \u003d x, apoi OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Luați în considerare triunghiul B 1 O 2 D 1 și triunghiul BO 2 D:

unghi B 1 O 2 D 1 egal cu unghiul BO 2 D ca vertical;

unghiul ВDO 2 este egal cu unghiul D 1 B 1 O 2 iar unghiul O 2 ВD este egal cu unghiul B 1 D 1 O 2 ca fiind situat transversal la B 1 D 1 || BD și secantele B₁D și, respectiv, BD₁.

Prin urmare, triunghiul B 1 O 2 D 1 este similar cu triunghiul BO 2 D și raportul laturilor are loc:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 sau 1/2 \u003d x / (x - 3), de unde x \u003d 1.

Considerăm triunghiul В 1 D 1 В și triunghiul LO 2 B: unghiul В este comun și există și o pereche de unghiuri unilaterale la B 1 D 1 || LM, atunci triunghiul B 1 D 1 B este similar cu triunghiul LO 2 B, de unde B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, adică.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Atunci S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Deci, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Raspuns: 152/27; 37/27.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

- Acesta este un poliedru, care este format din baza piramidei și o secțiune paralelă cu aceasta. Putem spune că o piramidă trunchiată este o piramidă cu vârful tăiat. Această cifră are multe proprietăți unice:

• Fețele laterale ale piramidei sunt trapeze;
• Nervurile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de aceeași lungime și înclinate față de bază la același unghi;
• Bazele sunt poligoane asemănătoare;
• Într-o piramidă trunchiată obișnuită, fețele sunt trapeze isoscele identice, a căror zonă este egală. Ele sunt, de asemenea, înclinate spre bază la un unghi.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate este suma ariilor laturilor sale:

Deoarece laturile trunchiului piramidei sunt trapeze, va trebui să utilizați formula pentru a calcula parametrii zona trapezoidală. Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, se poate aplica o altă formulă pentru calcularea suprafeței. Deoarece toate laturile, fețele și unghiurile sale de la bază sunt egale, este posibil să se aplice perimetrele bazei și ale apotemului și, de asemenea, să se obțină aria prin unghiul de la bază.

Dacă, conform condițiilor dintr-o piramidă trunchiată obișnuită, sunt date apotema (înălțimea laturii) și lungimile laturilor bazei, atunci aria poate fi calculată prin semiprodusul sumei perimetrelor de bazele și apotema:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.
Dată o piramidă pentagonală regulată. Apotema l\u003d 5 cm, lungimea feței în baza mare este A\u003d 6 cm, iar fața este la baza mai mică b\u003d 4 cm. Calculați aria piramidei trunchiate.

Mai întâi, să găsim perimetrele bazelor. Deoarece ni se oferă o piramidă pentagonală, înțelegem că bazele sunt pentagoane. Aceasta înseamnă că bazele sunt o figură cu cinci laturi identice. Găsiți perimetrul bazei mai mari:

În același mod, găsim perimetrul bazei mai mici:

Acum putem calcula aria unei piramide trunchiate obișnuite. Inlocuim datele in formula:

Astfel, am calculat aria unei piramide trunchiate obișnuite prin perimetre și apotema.

O altă modalitate de a calcula suprafața laterală a unei piramide obișnuite este formula prin colțurile de la bază și zona acestor baze.

Să ne uităm la un exemplu de calcul. Amintiți-vă că această formulă se aplică numai unei piramide trunchiate obișnuite.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Fața bazei inferioare este a = 6 cm, iar fața bazei superioare b = 4 cm.Unghiul diedric la bază este β = 60°. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite.

Mai întâi, să calculăm aria bazelor. Deoarece piramida este regulată, toate fețele bazelor sunt egale între ele. Având în vedere că baza este un patrulater, înțelegem că va fi necesar să se calculeze suprafata patrata. Este produsul lățimii și lungimii, dar la pătrat, aceste valori sunt aceleași. Găsiți aria bazei mai mari:


Acum folosim valorile găsite pentru a calcula suprafața laterală.

Cunoscând câteva formule simple, am calculat cu ușurință aria trapezului lateral al unei piramide trunchiate prin diferite valori.

• 29.05.2016

  Un circuit oscilator este un circuit electric care conține un inductor, un condensator și o sursă de energie electrică. Cu o conexiune în serie a elementelor circuitului, circuitul oscilator se numește serial, cu paralel - paralel. Un circuit oscilator este cel mai simplu sistem în care liber oscilații electromagnetice. Frecvența de rezonanță a circuitului este determinată de așa-numita formulă Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Pentru...

• 20.09.2014

  Receptorul este conceput pentru a recepționa semnale în domeniul LW (150 kHz ... 300 kHz). caracteristica principală receptor într-o antenă care are mai multă inductanță decât o antenă magnetică convențională. Acest lucru vă permite să utilizați capacitatea condensatorului de reglare în intervalul 4 ... 20pF, precum și un astfel de receptor are o sensibilitate acceptabilă și un câștig mic în calea RF. Receptorul pentru căști (căști) funcționează, este alimentat de...

• 24.09.2014

  Acest dispozitiv este conceput pentru a controla nivelul lichidului din rezervoare, de îndată ce lichidul se ridică la nivelul setat, dispozitivul va începe să dea un semnal sonor continuu, când nivelul lichidului atinge un nivel critic, dispozitivul va începe să dea un semnal intermitent. Indicatorul este format din 2 generatoare, acestea sunt controlate de elementul senzor E. Este plasat în rezervor la un nivel de până la ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 este un temporizator digital multi-program conceput pentru a funcționa cu indicatorul ILTs3-5\7. Oferă numărarea și afișarea orei curente în ore și minute, a zilei săptămânii și a numărului canalului de control (9 ceasuri cu alarmă). Schema ceasului cu alarmă este prezentată în figură. Microcircuitul este tactat. rezonator Q1 la 32768 Hz. puterea este negativă, plusul comun merge la...

Capacitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă în rezolvarea unui număr de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune forme este piramida. În acest articol, vom lua în considerare piramidele, atât pline, cât și trunchiate.

Piramida ca o figură tridimensională

Toată lumea știe despre piramidele egiptene, așa că au o idee bună despre ce figură va fi discutată. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.

Obiectul geometric luat în considerare în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este conectat la un punct din spațiu care nu aparține planului de bază. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.

Orice piramidă este formată din n+1 fețe, 2*n muchii și n+1 vârfuri. Deoarece figura luată în considerare este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă ecuația lui Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligonul situat la bază dă numele piramidei, de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Un set de piramide cu baze diferite este prezentat în fotografia de mai jos.

Punctul în care sunt conectate n triunghiuri ale figurii se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază și o intersectează în centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci există o piramidă înclinată.

O figură dreaptă, a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (echiunghiular), se numește regulată.

Formula de volum piramidală

Pentru a calcula volumul piramidei, folosim calculul integral. Pentru a face acest lucru, spargem figura paralel cu baza avioane de tăiere într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care un strat subțire de secțiune este marcat cu un patrulater.

Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată prin formula:

A(z) = A0 *(h-z)2/h2.

Aici A 0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z = 0, atunci formula dă valoarea A 0 .

Pentru a obține formula pentru volumul piramidei, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Înlocuind dependența A(z) și calculând antiderivată, ajungem la expresia:

V = -A0 *(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Am obținut formula pentru volumul unei piramide. Pentru a găsi valoarea lui V, este suficient să înmulțiți înălțimea figurii cu aria bazei și apoi să împărțiți rezultatul cu trei.

Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de tip arbitrar. Adică poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.

și volumul acestuia

Primit la paragraful de mai sus formula generala pentru volum poate fi rafinat în cazul unei piramide cu o bază regulată. Aria unei astfel de baze se calculează prin următoarea formulă:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este numărul pi.

Înlocuind expresia pentru A 0 în formula generală, obținem volumul unei piramide regulate:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă duce la următoarea expresie:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, formula volumului ia forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Definiţia volumes piramide regulate necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.

Piramida trunchiată

Să presupunem că am luat o piramidă arbitrară și am tăiat o parte din suprafața ei laterală care conține vârful. Figura rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze similare paralele. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeilalte cu un coeficient k.

Figura de mai sus prezintă una regulată trunchiată.Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.

Formula care poate fi derivată folosind un calcul integral similar cu cea de mai sus este:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Unde A 0 și A 1 sunt zonele bazei inferioare (mare) și, respectiv, superioară (mici). Variabila h desemnează înălțimea piramidei trunchiate.

Volumul piramidei lui Keops

Este curios să rezolvi problema determinării volumului pe care îl conține cea mai mare piramidă egipteană.

În 1984, egiptologii britanici Mark Legner (Mark Lehner) și John Goodman (Jon Goodman) au stabilit dimensiunile exacte ale piramidei lui Keops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungimea medie a fiecăreia dintre cele patru laturi ale structurii a fost de 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.

Să folosim cifrele date pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este un patruunghiular obișnuit, atunci formula este valabilă pentru aceasta:

Introducând numerele, obținem:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumul piramidei lui Keops este de aproape 2,6 milioane m 3. Pentru comparație, observăm că bazinul olimpic are un volum de 2,5 mii m 3. Adică, pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops, va fi nevoie de peste 1000 de astfel de bazine!