2). Apoi construim un grafic al unei funcții liniare y \u003d -3x + 6 y x y \u003d -3x + 6

Funcții ale căror grafice sunt paralele cu axa x al 2-lea caz: K=0 În acest caz, funcția ia forma y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x

Dacă k este mai mare decât zero, atunci liniile sunt situate în primul și al treilea cadran. Cu cât coeficientul este mai mare, cu atât linia dreaptă este apăsată mai aproape de axa Oy și cu cât coeficientul este mai mic, cu atât linia dreaptă este mai aproape de axa Ox. Adică, cu cât panta este mai mare, cu atât unghiul dintre linia dreaptă și axa x este mai mare.

5 Y \u003d 2x +6 Y \u003d 2x - 5 x y Două drepte sunt paralele dacă au același unghi de înclinare și depinde de panta k 0 Două linii sunt paralele dacă au aceeași pantă.
Concluzii 1. O funcție de forma y = kx + b, unde k și b sunt niște numere, se numește funcție liniară. Graficul cu linii este o linie dreaptă. 2. O funcție de forma y= kx se numește proporționalitate directă, iar graficul ei trece prin origine. 3. Graficul funcției y \u003d b este paralel cu axa x și trece prin punctul cu coordonatele (0; b). 4. Coeficientul k se numește pantă. Determină unghiul de înclinare al dreptei față de axa x. 5. Dacă două drepte diferite au coeficienți de pantă egali, atunci graficele acestor funcții vor fi paralele, dacă coeficienții lor de pantă nu sunt egali, atunci graficele se vor intersecta.

O funcție liniară este o funcție de forma y=kx+b, unde x este o variabilă independentă, k și b sunt orice numere.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. A construi graficul funcției, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să calculați valorile y corespunzătoare din ele.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția y= x+2, este convenabil să luăm x=0 și x=3, atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu y=2 și y=3. Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem graficul funcției y= x+2:

2. În formula y=kx+b, numărul k se numește factor de proporționalitate:
dacă k>0, atunci funcția y=kx+b crește
dacă k
Coeficientul b arată deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY:
dacă b>0, atunci graficul funcției y=kx+b se obține din graficul funcției y=kx prin deplasarea b unităților în sus de-a lungul axei OY
dacă b
În figura de mai jos sunt prezentate graficele funcțiilor y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul k Peste zero, iar funcţiile sunt crescând. Mai mult, cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a dreptei față de direcția pozitivă a axei OX.

În toate funcțiile b=3 - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum luați în considerare graficele funcțiilor y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

De data aceasta, în toate funcțiile, coeficientul k mai putin de zeroși caracteristici scădea. Coeficientul b=3, iar graficele, ca în cazul precedent, traversează axa OY în punctul (0;3)

Se consideră graficele funcțiilor y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Acum, în toate ecuațiile de funcții, coeficienții k sunt egali cu 2. Și avem trei drepte paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste diagrame intersectează axa OY în diverse puncte:
Graficul funcției y=2x+3 (b=3) traversează axa OY în punctul (0;3)
Graficul funcției y=2x (b=0) traversează axa OY în punctul (0;0) - originea.
Graficul funcției y=2x-3 (b=-3) traversează axa OY în punctul (0;-3)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției y=kx+b.
În cazul în care un k 0

În cazul în care un k>0 și b>0, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

În cazul în care un k>0 și b, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

În cazul în care un k, atunci graficul funcției y=kx+b arată astfel:

În cazul în care un k=0, atunci funcția y=kx+b se transformă într-o funcție y=b și graficul ei arată astfel:

Ordinatele tuturor punctelor graficului funcției y=b sunt egale cu b Dacă b=0, atunci graficul funcției y=kx (proporționalitate directă) trece prin origine:

3. Separat, notăm graficul ecuației x=a. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa OY, toate punctele care au o abscisă x=a.

De exemplu, graficul ecuației x=3 arată astfel:
Atenţie! Ecuația x=a nu este o funcție, deoarece o valoare a argumentului corespunde diferitelor valori ale funcției, care nu corespunde definiției funcției.

4. Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este paralel cu graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 =k 2

5. Condiția ca două drepte să fie perpendiculare:

Graficul funcției y=k 1 x+b 1 este perpendicular pe graficul funcției y=k 2 x+b 2 dacă k 1 *k 2 =-1 sau k 1 =-1/k 2

6. Punctele de intersecție ale graficului funcției y=kx+b cu axele de coordonate.

cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în loc de x în ecuația funcției. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0;b).

Cu axa x: ordonata oricărui punct aparținând axei x este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în loc de y în ecuația funcției. Se obține 0=kx+b. Prin urmare x=-b/k. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonate (-b / k; 0):

Funcție liniară se numește o funcție a formei y = kx + b, definit pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k– coeficient unghiular (număr real), b – membru gratuit (număr real), X este o variabilă independentă.

Într-un caz anume, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y=b, al cărui grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox, care trece prin punctul cu coordonate (0;b).

În cazul în care un b = 0, apoi obținem funcția y=kx, care este în proporţie directă.

b – lungimea segmentului, care taie linia de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare drept către direcția pozitivă a axei Ox este considerată a fi în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile funcției liniare:

1) Domeniul unei funcții liniare este întreaga axă reală;

2) În cazul în care un k ≠ 0, atunci domeniul funcției liniare este întreaga axă reală. În cazul în care un k = 0, atunci domeniul funcției liniare constă din număr b;

3) Uniformitatea și neregulă ale unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kși b.

A) b ≠ 0, k = 0, Prin urmare, y = b este par;

b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx este impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție generală;

d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

Bou: y = kx + b = 0, x = -b/k, Prin urmare (-b/k; 0)- punctul de intersecție cu axa absciselor.

Oi: y=0k+b=b, Prin urmare (0;b) este punctul de intersecție cu axa y.

Notă.Dacă b = 0și k = 0, apoi funcția y=0 dispare pentru orice valoare a variabilei X. În cazul în care un b ≠ 0și k = 0, apoi funcția y=b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.

6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativ la X din (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitiv la X din (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativ la X din (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitiv în întregul domeniu al definiției,

k = 0, b< 0; y = kx + b este negativă în tot domeniul definiției.

7) Intervalele de monotonitate ale unei funcții liniare depind de coeficient k.

k > 0, Prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

k< 0 , Prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.

8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a desena o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kși b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.

Lectia 1 .

Funcţie y=kh și programul ei.

Profesor de matematică la școala numărul 92

Pavlovskaia Nina Mihailovna

• sistematizarea și dezvoltarea cunoștințelor elevilor

pe tema funcție, domeniul de aplicare al funcției,

graficul funcției;

• introducerea conceptului de proporționalitate directă;
• dezvolta capacitatea de a construi și citi un grafic

funcția dată de formula y \u003d kx;

• invata sa identifici:

- poziția graficului pe planul de coordonate,

- apartenenţa acestui punct la grafic;

• învață cum să stabilești o linie dreaptă conform unui grafic

proporționalitate;

• promovează dezvoltarea interesului cognitiv

elevi

• încurajează elevii să se autocontroleze,

determină-le nevoia să-și justifice

declarații.

Obiectivele lecției:

Încălzire.

1. Conform graficului modificărilor temperaturii aerului în timpul zilei, găsiți valoarea temperaturii la 6:00, 12:00, 18:00 .

2. Cum se numește intervalul de valori admisibile ale unei fracții algebrice variabile?

3. Găsiți valorile valide ale variabilei pentru fracția:

0 k O funcție de forma y = kx se numește proporționalitate directă, unde x este o variabilă, k este o pantă. Construiți grafice ale funcțiilor: y Proprietăți: 8 7 a) y = 2x; b) y \u003d - 3x. 1. Domeniul definiției 6 5 2. Graficul este o dreaptă care trece prin origine. 4 II I 3 2 3. Dacă k 0, graficul trece prin sferturile I și III și formează colt ascutit cu direcția pozitivă a axei x. 1 -3 -2 -1 3 2 1 x -4 O -1 -2 III IV -3 4 . Dacă k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"

y = 2x

y = -3x

k0

k

Funcția de vizualizare y = kx se numește proporționalitate directă, unde X - variabil, k - coeficientul unghiular.

Construiți grafice

funcții :

la

Proprietăți :

8

7

a) y \u003d 2x; b) y \u003d - 3x.

1. Domeniul definirii

6

5

2. Graficul este o linie dreaptă care trece prin origine.

4

II

eu

3

2

3. Dacă k 0, graficul trece prin sferturile I și III și formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x.

1

-3

-2

-1

3

2

1

X

-4

O

-1

-2

III

IV

-3

4 . Dacă k

-4

-5

-6

-7

-8

1 grafic este întins de-a lungul axei y. 2. Dacă |k| de-a lungul axei x." width="640"

Construiți grafice ale funcțiilor în același sistem de coordonate. Găsiți particularitatea locației graficelor și trageți o concluzie.

a) y = 5x;

b) y \u003d - 4x;

d) y \u003d - 0,5x.

c) y = 0,2x;

Concluzie:

• Dacă |k|1 graficul este întins

de-a lungul axei y.

2. Dacă |k|

de-a lungul axei x.

Conform graficului, determinați tipul funcției și setați-o cu o formulă și, de asemenea, dați-i o caracteristică.

în

G

a) y \u003d 0,5x

b

d

b) y = x

A

e

c) y \u003d 2x

d) y \u003d - 2x

e) y \u003d - x

e) y \u003d - 0,5x

Rezolvați din manual

• Oral: nr. 490, 491.

• În scris: nr. 493, 494 (a, c), 495 (a, c)

Rezumând lecția:

• Ce este un grafic al unei funcții y = kx ?
• Ceea ce se numește panta unei drepte y = kx ?
• În ce sferturi de coordonate se află graficul funcției y = kx la k 0, la k 0?

Notează-ți temele:

p.6.1, 6.2 din manual,

№ 494 (b, d), 495 (b, d), 496.

№ 644 - optional.

Funcție liniară este o funcție a formei

argument x (variabilă independentă),

funcția y (variabilă dependentă),

k și b sunt numere constante

Graficul funcției liniare este Drept.

suficient pentru a reprezenta graficul. Două puncte, pentru că prin două puncte poți trage o linie dreaptă și, mai mult, doar una.

Dacă k˃0, atunci graficul este situat în sferturile 1 și 3 de coordonate. Dacă k˂0, atunci graficul este situat în sferturile de coordonate 2 și 4.

Numărul k se numește panta graficului direct al funcției y(x)=kx+b. Dacă k˃0, atunci unghiul de înclinare al dreptei y(x)= kx+b față de direcția pozitivă Ox este acut; dacă k˂0, atunci acest unghi este obtuz.

Coeficientul b arată punctul de intersecție al graficului cu axa y (0; b).

y(x)=k∙x-- un caz special al unei funcții tipice se numește proporționalitate directă. Graficul este o linie dreaptă care trece prin origine, așa că un punct este suficient pentru a construi acest grafic.

Graficul funcției liniare

Unde coeficientul k = 3, deci

Graficul funcției va crește și va avea un unghi ascuțit cu axa Ox. coeficientul k are semnul plus.

OOF a unei funcții liniare

FRF a unei funcții liniare

Cu excepția cazului în care

De asemenea, o funcție liniară a formei

Este o funcție generală.

B) Dacă k=0; b≠0,

În acest caz, graficul este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox și care trece prin punctul (0;b).

C) Dacă k≠0; b≠0, atunci funcția liniară are forma y(x)=k∙x+b.

Exemplul 1 . Trasează funcția y(x)= -2x+5

Exemplul 2 . Aflați zerourile funcției y=3x+1, y=0;

sunt zerourile funcției.

Răspuns: sau (;0)

Exemplul 3 . Determinați valoarea funcției y=-x+3 pentru x=1 și x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Răspuns: y_1=2; y_2=4.

Exemplul 4 . Determinați coordonatele punctului lor de intersecție sau demonstrați că graficele nu se intersectează. Să fie date funcțiile y 1 =10∙x-8 și y 2 =-3∙x+5.

Dacă graficele funcțiilor se intersectează, atunci valoarea funcțiilor în acest punct este egală cu

Înlocuiți x=1, apoi y 1 (1)=10∙1-8=2.

Cometariu. De asemenea, puteți înlocui valoarea obținută a argumentului în funcția y 2 =-3∙x+5, atunci vom obține același răspuns y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordonata punctului de intersecție.

(1;2) - punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y \u003d 10x-8 și y \u003d -3x + 5.

Răspuns: (1;2)

Exemplul 5 .

Construiți grafice ale funcțiilor y 1 (x)= x+3 și y 2 (x)= x-1.

Se poate observa că coeficientul k=1 pentru ambele funcții.

Din cele de mai sus rezultă că, dacă coeficienții unei funcții liniare sunt egali, atunci graficele lor în sistemul de coordonate sunt paralele.

Exemplul 6 .

Să construim două grafice ale funcției.

Primul grafic are formula

Al doilea grafic are formula

LA acest cazîn fața noastră este un grafic cu două drepte care se intersectează în punctul (0; 4). Aceasta înseamnă că coeficientul b, care este responsabil pentru înălțimea creșterii graficului deasupra axei x, dacă x=0. Deci putem presupune că coeficientul b al ambelor grafice este 4.

Editori: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna