Šiandien jūsų dėmesys kviečiamas į kitą pristatymą nuostabia ir paslaptinga tema – geometrija. Šiame pristatyme supažindinsime su nauju turtu geometrines figūras, ypač su proporcingų atkarpų stačiakampiuose trikampiuose koncepcija.
Pirmiausia turite prisiminti, kas yra trikampis? Tai paprasčiausias daugiakampis, susidedantis iš trijų viršūnių, sujungtų trimis atkarpomis. Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių. Išsamiau su jais jau susipažinote mūsų ankstesniame mokymo medžiaga atkreipė jūsų dėmesį.
Taigi, grįždami prie šiandienos temos, pažymime, kad stačiakampio trikampio aukštis, nubrėžtas 90 laipsnių kampu, padalija jį į du trikampius, kurie yra panašūs vienas į kitą ir į pradinį. Visi jus dominantys brėžiniai ir grafikai pateikti siūlomoje prezentacijoje, todėl rekomenduojame jais remtis kartu su aprašytu paaiškinimu.
Grafinį aukščiau pateikto darbo pavyzdį galima pamatyti antroje skaidrėje. Trikampiai yra panašūs, nes turi du vienodus kampus. Jei nurodote išsamiau, tada aukštis, nuleistas iki hipotenuzės, sudaro su juo stačią kampą, tai yra, jau yra tie patys kampai, o kiekvienas suformuotas kampas taip pat turi vieną bendrą kampą kaip ir pradinis. Rezultatas yra du kampai, lygūs vienas kitam. Tai yra, trikampiai yra panašūs.
Taip pat pažymėkime, ką reiškia sąvoka „proporcinis vidurkis“ arba „geometrinis vidurkis“? Tai yra tam tikras segmentas XY segmentams AB ir CD, kai jis lygus kvadratinė šaknis jų ilgio gaminiai.
Iš to taip pat išplaukia, kad stačiojo trikampio kojelė yra geometrinis vidurkis tarp hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzą, tai yra, kitą koją.
Dar viena iš savybių taisyklingas trikampis yra tai, kad jo aukštis, nubrėžtas 90 o kampu, yra vidurkis proporcingas kojelių projekcijoms ant hipotenuzės. Jei kreipsitės į pristatymą ir kitą medžiagą, į kurią buvo atkreiptas jūsų dėmesys, pamatysite, kad šios tezės įrodymas yra labai paprastas ir prieinama forma. Anksčiau mes jau įrodėme, kad gauti trikampiai yra panašūs vienas į kitą ir į pradinį trikampį. Tada, naudodami šių geometrinių figūrų kojų santykį, darome išvadą, kad stačiojo trikampio aukštis yra tiesiogiai proporcingas segmentų sandaugai, susidariusiai sumažinus aukštį nuo pradinio trikampio stačiu kampu.
Paskutinis dalykas pristatyme yra tai, kad stačiojo trikampio kojelė yra hipotenuzės ir jos atkarpos, esančios tarp kojos ir aukščio, nubrėžto 90 laipsnių kampu, geometrinis vidurkis. Šį atvejį reikia vertinti iš šono, kad šie trikampiai yra panašūs vienas į kitą, o vieno iš jų kojelė gaunama iš kitos hipotenuzos. Bet išsamiau su tuo susipažinsite studijuodami siūlomas medžiagas.
Stačiųjų trikampių panašumo ženklas
Pirmiausia pristatykime stačiakampių trikampių panašumo ženklą.
1 teorema
Stačiųjų trikampių panašumo ženklas: du stačiakampiai trikampiai yra panašūs, kai turi vieną lygų aštrus kampas(1 pav.).
1 pav. Panašūs stačiakampiai trikampiai
Įrodymas.
Tegu $\kampas B=\kampas B_1$. Kadangi trikampiai yra stačiakampiai, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Todėl jie yra panašūs pagal pirmąjį trikampių panašumo ženklą.
Teorema įrodyta.
Aukščio teorema stačiakampiame trikampyje
2 teorema
Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į du panašius stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas yra panašus į nurodytą trikampį.
Įrodymas.
Pateikiame stačią trikampį $ABC$ su stačiu kampu $C$. Nubraižykite aukštį $CD$ (2 pav.).
2 pav. 2 teoremos iliustracija
Įrodykime, kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs į trikampį $ABC$ ir kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs.
Kadangi $\angle ADC=(90)^0$, trikampis $ACD$ yra stačiakampis. Trikampiai $ACD$ ir $ABC$ turi bendrą kampą $A$, todėl pagal 1 teoremą trikampiai $ACD$ ir $ABC$ yra panašūs.
Kadangi $\kampas BDC=(90)^0$, trikampis $BCD$ yra stačiakampis. Trikampiai $BCD$ ir $ABC$ turi bendrą kampą $B$, todėl pagal 1 teoremą trikampiai $BCD$ ir $ABC$ yra panašūs.
Dabar apsvarstykite trikampius $ACD$ ir $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\kampas A\]
Todėl pagal 1 teoremą trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs.
Teorema įrodyta.
Vidutinis proporcingas
3 teorema
Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra vidurkis, proporcingas atkarpoms, į kurias aukštis padalija šio trikampio hipotenuzą.
Įrodymas.
Remiantis 2 teorema, mes turime, kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs
Teorema įrodyta.
4 teorema
Stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas tarp hipotenuzės ir hipotenuzės segmento, esančio tarp kojos, ir aukščio, nubrėžto iš kampo viršūnės.
Įrodymas.
Teoremos įrodyme naudosime 2 paveikslo žymėjimą.
Pagal 2 teoremą mes turime, kad trikampiai $ACD$ ir $ABC$ yra panašūs, taigi
Teorema įrodyta.
Stačiųjų trikampių panašumo ženklas
Pirmiausia pristatykime stačiakampių trikampių panašumo ženklą.
1 teorema
Stačiųjų trikampių panašumo ženklas: du stačiakampiai trikampiai yra panašūs, kai turi po vieną vienodą smailiąjį kampą (1 pav.).
1 pav. Panašūs stačiakampiai trikampiai
Įrodymas.
Tegu $\kampas B=\kampas B_1$. Kadangi trikampiai yra stačiakampiai, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Todėl jie yra panašūs pagal pirmąjį trikampių panašumo ženklą.
Teorema įrodyta.
Aukščio teorema stačiakampiame trikampyje
2 teorema
Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į du panašius stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas yra panašus į nurodytą trikampį.
Įrodymas.
Pateikiame stačią trikampį $ABC$ su stačiu kampu $C$. Nubraižykite aukštį $CD$ (2 pav.).
2 pav. 2 teoremos iliustracija
Įrodykime, kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs į trikampį $ABC$ ir kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs.
Kadangi $\angle ADC=(90)^0$, trikampis $ACD$ yra stačiakampis. Trikampiai $ACD$ ir $ABC$ turi bendrą kampą $A$, todėl pagal 1 teoremą trikampiai $ACD$ ir $ABC$ yra panašūs.
Kadangi $\kampas BDC=(90)^0$, trikampis $BCD$ yra stačiakampis. Trikampiai $BCD$ ir $ABC$ turi bendrą kampą $B$, todėl pagal 1 teoremą trikampiai $BCD$ ir $ABC$ yra panašūs.
Dabar apsvarstykite trikampius $ACD$ ir $BCD$
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\kampas A\]
Todėl pagal 1 teoremą trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs.
Teorema įrodyta.
Vidutinis proporcingas
3 teorema
Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra vidurkis, proporcingas atkarpoms, į kurias aukštis padalija šio trikampio hipotenuzą.
Įrodymas.
Remiantis 2 teorema, mes turime, kad trikampiai $ACD$ ir $BCD$ yra panašūs
Teorema įrodyta.
4 teorema
Stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas tarp hipotenuzės ir hipotenuzės segmento, esančio tarp kojos, ir aukščio, nubrėžto iš kampo viršūnės.
Įrodymas.
Teoremos įrodyme naudosime 2 paveikslo žymėjimą.
Pagal 2 teoremą mes turime, kad trikampiai $ACD$ ir $ABC$ yra panašūs, taigi
Teorema įrodyta.
Pamokos tikslai:
- pristatyti dviejų atkarpų vidurkio proporcingo (geometrinio vidurkio) sąvoką;
- apsvarstykite proporcingų segmentų problemą taisyklingas trikampis: stačiojo trikampio, nubrėžto iš stačiojo kampo viršūnės, aukščio savybė;
- formuoti mokinių gebėjimus panaudoti studijuojamą temą problemų sprendimo procese.
Pamokos tipas: pamoka mokantis naujos medžiagos.
Planas:
- Organizacinis momentas.
- Žinių atnaujinimas.
- Stačiojo trikampio, nubrėžto iš stačiojo kampo viršūnės, aukščio savybės tyrimas:
– paruošiamasis etapas;
– įvadas;
- asimiliacija. - Vidurkio, proporcingo dviem segmentams, sąvokos įvedimas.
- Dviejų atkarpų vidurkio proporcingumo sampratos įsisavinimas.
- Pasekmių įrodymas:
- stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra vidurkis, proporcingas atkarpoms, į kurias hipotenuzė yra padalinta iš šio aukščio;
- stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas hipotenuzei ir hipotenuzės segmentui, esančiam tarp kojos ir aukščio. - Problemų sprendimas.
- Apibendrinant.
- Namų darbų nustatymas.
Per užsiėmimus
I. ORGANIZAVIMAS
Sveiki, vaikinai, sėskite į vietą. Ar visi pasiruošę pamokai?
Pradedam darbus.
II. ŽINIŲ ATNAUJINIMAS
Kokią svarbią matematinę sąvoką išmokote ankstesnėse pamokose? ( su trikampio panašumo samprata)
– Prisiminkime, kurie du trikampiai vadinami panašiais? (du trikampiai vadinami panašiais, jei jų kampai atitinkamai lygūs ir vieno trikampio kraštinės proporcingos kito trikampio panašioms kraštinėms)
Ką naudojame dviejų trikampių panašumui įrodyti? (
- Išvardink šiuos ženklus. (suformuluokite tris trikampių panašumo ženklus)
III. STAČIAKAMPIO TRIKAMPIO AUKŠČIO SAVYBIŲ TYRIMAS IŠ STAČIOKAMPIO VIRŠŪNĖS
a) parengiamasis etapas
- Vaikinai, pažiūrėkite į pirmąją skaidrę. ( Taikymas) Čia yra du stačiakampiai trikampiai - ir . ir yra atitinkamai aukščiai ir. 
.
1 užduotis. a) Nustatykite, ar ir yra panašūs.
Ką naudojame trikampių panašumui įrodyti? ( trikampių panašumo ženklai)
(pirmas ženklas, nes nieko nežinoma apie problemos trikampių kraštines)
. (Dvi poros: 1. ∟B= ∟B1 (tiesios linijos), 2. ∟A= ∟A 1)
- Padarykite išvadą. pagal pirmąjį trikampių panašumo ženklą ~)
1 užduotis. b) Nustatykite, ar ir yra panašūs.
Kokį panašumo kriterijų taikysime ir kodėl? (pirmas ženklas, nes užduotyje nieko nežinoma apie trikampių kraštines)
– Kiek porų vienodi kampai ar mums reikia rasti? Raskite šias poras (kadangi trikampiai stačiakampiai, užtenka vienos poros vienodų kampų: ∟A= ∟A 1)
- Padarykite išvadą. (pagal pirmąjį trikampių panašumo ženklą darome išvadą, kad šie trikampiai yra panašūs).
Dėl pokalbio 1 skaidrė atrodo taip:
b) teoremos atradimas
2 užduotis.
Nustatykite, ar ir , ir yra panašūs. Pokalbio metu sukuriami atsakymai, kurie atsispindi skaidrėje.
- Paveikslėlyje buvo nurodyta, kad . Ar šį laipsnio matą naudojome atsakydami į užduočių klausimus? ( Ne, nenaudota)
- Vaikinai, padarykite išvadą: į kokius trikampius aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija stačiąjį trikampį? (padaryti išvadą)
– Kyla klausimas: ar šie du stačiakampiai trikampiai, į kuriuos aukštis dalija stačiakampį trikampį, bus panašūs vienas į kitą? Pabandykime surasti lygių kampų poras.
Pokalbio rezultatas yra įrašas:
- O dabar padarykime visą išvadą. IŠVADA: stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į dvi dalis panašus
- Tai. suformulavome ir įrodėme teoremą apie stačiojo trikampio aukščio savybę.
Nustatykime teoremos struktūrą ir nubrėžkime brėžinį. Kas pateikta teoremoje ir ką reikia įrodyti? Mokiniai į sąsiuvinius rašo:
Įrodykime pirmąjį teoremos tašką naujam brėžiniui. Kokį panašumo kriterijų taikysime ir kodėl? (Pirma, kadangi teoremoje nieko nežinoma apie trikampių kraštines)
Kiek porų vienodų kampų turime rasti? Raskite šias poras. (AT Ši byla pakanka vienos poros: ∟A-bendras)
- Padarykite išvadą. Trikampiai yra panašūs. Dėl to parodytas teoremos formulavimo pavyzdys
- Antrą ir trečią punktus parašykite namuose patys.
c) teoremos asimiliacija
- Taigi, dar kartą suformuluokite teoremą (stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į dvi dalis panašus stačiakampiai trikampiai, kurių kiekvienas yra panašus į šį)
– Kiek porų panašių trikampių konstrukcijoje „stačiakampio aukštis nuo stačiojo kampo viršūnės“ galima rasti pagal šią teoremą? ( Trys poros)
Mokiniams suteikiama tokia užduotis:
IV. DVIEJŲ EILUČIŲ VIDUTINIO PROPORCIONO SĄVOKOS ĮVADAS
Dabar mokysimės naujos koncepcijos.
Dėmesio!
Apibrėžimas. Linijos segmentas XY paskambino vidutinis proporcingas (geometrinis vidurkis) tarp segmentų AB ir CD, jei
(rašyti į sąsiuvinį).
V. DVIEJŲ EILUČIŲ VIDUTINĖS PROPORCINĖS SĄVOKOS ASOCIACIJOS
Dabar pereikime prie kitos skaidrės.
1 pratimas. Raskite vidutinių proporcingų atkarpų MN ir KP ilgį, jei MN = 9 cm, KP = 16 cm.
– Kas duota užduotyje? ( Du segmentai ir jų ilgiai: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- Ką tau reikia rasti? ( Šių atkarpų vidurkio ilgis)
– Kokia yra vidurkio proporcingo formulė ir kaip ją rasti?
(Mes pakeičiame duomenis į formulę ir randame vidutinės rekvizito ilgį.)
Užduotis numeris 2. Raskite atkarpos AB ilgį, jei atkarpų AB ir CD vidutinė proporcinga yra 90 cm, o CD = 100 cm
– Kas duota užduotyje? (atkarpos CD ilgis = 100 cm, o segmentų AB ir CD vidutinis proporcingumas yra 90 cm)
Ką reikėtų rasti problemoje? ( Atkarpos AB ilgis)
– Kaip spręsime problemą? (Užrašykime vidutinių proporcingų atkarpų AB ir CD formulę, iš jos išreikškime AB ilgį ir pakeiskime uždavinio duomenis.)
VI. IŠVADA
- Puiku vaikinai. O dabar grįžkime prie trikampių panašumo, kurį įrodėme teoremoje. Pakartokite teoremą. ( Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į dvi dalis panašus stačiųjų trikampių, kurių kiekvienas yra panašus į duotąjį)
- Pirmiausia panaudokime trikampių ir panašumą. Kas iš to seka? ( Pagal panašumo apibrėžimą pusės yra proporcingos panašioms pusėms)
– Kokia lygybė bus gauta naudojant pagrindinę proporcijos savybę? ()
– Išreikškite kompaktinį diską ir padarykite išvadą (
;
.
Išvada: stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra vidurkis, proporcingas atkarpoms, į kurias hipotenuzė padalinta iš šio aukščio)
- O dabar įrodykite patys, kad stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis proporcingas tarp hipotenuzės ir įdubos atkarpos, esančios tarp kojos ir aukščio. Mes randame iš - ... atkarpas, į kurias įduba yra padalinta šis aukštis )
Stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas tarp ... (- ... hipotenuzė ir hipotenuzės segmentas, esantis tarp šios kojos ir aukščio )
– Kur pritaikysime išmoktus teiginius? ( Sprendžiant problemas)
IX. NAMŲ DARBŲ NUSTATYMAS
d/z: Nr. 571, Nr. 572 (a, e), savarankiškas darbas sąsiuvinyje, teorija.
40 pamoka C. b. a. h. C. pr. Kr. H. ac. A. V. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į 2 panašius stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas yra panašus į duotą trikampį. Stačiųjų trikampių panašumo ženklas. Du stačiakampiai trikampiai yra panašūs, jei kiekvienas turi tą patį smailųjį kampą. Atkarpa XY vadinama atkarpų AB ir CD vidurkiu proporcingu (geometriniu vidurkiu), jei ypatybė 1. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra vidurkis, proporcingas tarp kojų projekcijų į hipotenuzą. Savybė 2. Stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas tarp hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzę.
28 skaidrė iš pristatymo „Geometrija „Panašūs trikampiai“. Archyvo su pristatymu dydis 232 KB.Geometrija 8 klasė
santrauka kiti pristatymai„Uždavinių sprendimas pagal Pitagoro teoremą“ – lygiašonis trikampis ABC. Praktinis naudojimas Pitagoro teoremos. ABCD yra keturkampis. Kvadrato plotas. Rasti saulę. Įrodymas. Lygiašonės trapecijos pagrindai. Apsvarstykite Pitagoro teoremą. Keturkampio plotas. Stačiakampiai trikampiai. Pitagoro teorema. Hipotenuzės kvadratas yra lygi sumai kojų kvadratai.
„Raskite lygiagretainio plotą“ - pamatas. Aukštis. Lygiagretainio aukščio nustatymas. Stačiųjų trikampių lygybės ženklai. Lygiagretainio plotas. Raskite trikampio plotą. Ploto savybės. burnos pratimai. Raskite lygiagretainio plotą. Lygiagretainiai aukščiai. Raskite kvadrato perimetrą. Trikampio plotas. Raskite aikštės plotą. Raskite stačiakampio plotą. Kvadrato plotas.
„Kvadratas 8 klasė“ - Juodasis kvadratas. Žodinio darbo užduotys aikštės perimetru. Kvadrato plotas. Kvadratiniai ženklai. Aikštė yra tarp mūsų. Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios. Kvadratas. Krepšys kvadratiniu pagrindu. žodinės užduotys. Kiek kvadratų parodyta paveikslėlyje. Kvadratinės savybės. Turtingas pirklys. Žodinio darbo užduotys aikštės plote. Kvadrato perimetras.
„Ašinės simetrijos apibrėžimas“ – taškai, esantys tame pačiame statmenyje. Nubrėžkite dvi linijas. Statyba. Sklypo taškai. Užuomina. Figūros, kurių nėra ašinė simetrija. Linijos segmentas. Trūksta koordinačių. Paveikslas. Formos, turinčios daugiau nei dvi simetrijos ašis. Simetrija. Simetrija poezijoje. Sukurkite trikampius. Simetrijos ašys. Segmento kūrimas. Taško kūrimas. Figūros su dviem simetrijos ašimis. Tautos. Trikampiai. Proporcingumas.
„Panašių trikampių apibrėžimas“ – daugiakampiai. proporcingi pjūviai. Panašių trikampių plotų santykis. Du trikampiai vadinami panašiais. Sąlygos. Sukurkite trikampį, kuriame yra du kampai ir pusiausvyra viršūnėje. Tarkime, kad turime nustatyti atstumą iki ašigalio. Trečiasis trikampių panašumo ženklas. Pastatykime trikampį. ABC. Trikampiai ABC ir ABC turi tris lygias kraštines. Objekto aukščio nustatymas.
"Pitagoro teoremos sprendimas" - Langų dalys. Paprasčiausias įrodymas. Hamurabis. Įstrižainė. Visiškas įrodymas. Įrodymas atimant. pitagoriečiai. Įrodymas skilimo metodu. Teoremos istorija. Skersmuo. Įrodymas komplemento metodu. Epsteino įrodymas. Kantoras. Trikampiai. sekėjų. Pitagoro teoremos taikymai. Pitagoro teorema. Teoremos teiginys. Perigalo įrodymas. Teoremos taikymas.
