Azonos nevezőjű törtek összeadása
A törtek hozzáadásának két típusa van:
- Azonos nevezőjű törtek összeadása
- Különböző nevezőjű törtek összeadása
Kezdjük az azonos nevezőjű törtek összeadásával. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Hozzáadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
2. példa Adjunk hozzá törteket és .
A válasz egy helytelen tört. Ha eljön a feladat vége, akkor szokás a helytelen törtektől megszabadulni. Megszabadulni helytelen tört, ki kell jelölnie benne a teljes részt. A mi esetünkben egész rész könnyen kiemelkedik - kettő osztva kettővel egyenlő eggyel:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:
3. példa. Adjunk hozzá törteket és .
Adja hozzá ismét a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzákat kapsz:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:
Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.
Amint látja, az azonos nevezővel rendelkező törtek hozzáadása nem nehéz. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;
Különböző nevezőjű törtek összeadása
Most megtanuljuk, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.
Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.
De a törteket nem lehet azonnal hozzáadni, mert ezek a törtek igen különböző nevezők. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket vizsgáljuk meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.
A módszer lényege abban rejlik, hogy mindkét tört nevezői közül az elsőt (LCM) keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és megkapják a második további tényezőt.
Ekkor a törtek számlálóit és nevezőit megszorozzuk további tényezőivel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.
1. példa. Adjunk hozzá törteket és
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6
LCM (2 és 3) = 6
Most térjünk vissza a törtekhez és . Először elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.
A kapott 2-es szám az első további tényező. Leírjuk az első törtre. Ehhez egy kis ferde vonalat készítünk a tört fölé, és felírjuk a talált további tényezőt fölé:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.
A kapott 3-as szám a második kiegészítő tényező. A második törtbe írjuk. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és fölé írjuk a talált további tényezőt:
Most már készen állunk a hozzáadásra. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:
Nézze meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezővel rendelkező törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Fejezzük be ezt a példát a végére:
Ezzel a példa véget ér. Hozzáadni kiderül.
Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:
A törtek azonos (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A és a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzaszeletek képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).
Az első rajzon egy töredék látható (hatból négy darab), a második képen pedig egy töredék (hatból három darab). Ezeket a darabokat összerakva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört helytelen, ezért kiemeltük benne az egész részt. Az eredmény az lett (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).
Vegye figyelembe, hogy ezt a példát túlságosan részletesen festettük le. NÁL NÉL oktatási intézmények nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a számlálói és nevezői által talált további tényezőket. Az iskolában ezt a példát a következőképpen kell leírnunk:
De van az érem másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készülnek részletes feljegyzések, akkor ilyen jellegű kérdések „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.
A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:
- Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
- Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törtre;
- Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
- Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki a teljes részét;
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
.
Használjuk a fenti utasításokat.
1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét
Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok
2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törthez
Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kaptuk. A második tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik 3-as további tényezőt kaptuk. A harmadik tört fölé írjuk:
3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit a további tényezőkkel
A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőinkkel:
4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. Ezeket a frakciókat kell hozzáadni. Összeadni:
Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor átkerül a következő sorba, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.
5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki benne a teljes részt
A válaszunk egy helytelen tört. Ki kell emelnünk az egész részét. Kiemeljük:
Megvan a válasz
Azonos nevezőjű törtek kivonása
Kétféle törtkivonás létezik:
- Azonos nevezőjű törtek kivonása
- Különböző nevezőjű törtek kivonása
Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni az azonos nevezővel rendelkező törteket. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.
Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:
Mint látható, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, akkor ki kell választania a teljes részt benne.
Különböző nevezőjű törtek kivonása
Például egy tört kivonható egy törtből, mivel ezeknek a törteknek ugyanaz a nevezője. De a törtből nem lehet kivonni egy törtet, mert ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
A közös nevezőt ugyanazon elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.
A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.
1. példa Keresse meg egy kifejezés értékét:
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12
LCM (3 és 4) = 12
Most vissza a törtekhez és
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. Az első tört fölé írjuk a négyet:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, így 3-at kapunk. Írj hármast a második törtre:
Most már készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát a végére:
Megvan a válasz
Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz.
Ez a megoldás részletes változata. Iskolai lévén ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:
A törtek és a közös nevezőre való redukálás kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal ugyanazokra a törtekre lesznek felosztva (azonos nevezőre redukálva):
Az első rajzon egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Ha nyolc darabból három darabot levágunk, a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.
Keresse meg e törtek nevezőinek LCM-jét.
A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30
LCM(10;3;5) = 30
Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez elosztjuk az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:
Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.
A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:
A válasz helyes törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Meg kellene könnyítenünk. Mit lehet tenni? Csökkentheti ezt a részt.
A tört csökkentéséhez el kell osztania a számlálót és a nevezőt (gcd) a 20 és 30 számokkal.
Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok GCD-jét:
Most visszatérünk példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált GCD-vel, azaz 10-zel
Megvan a válasz
Tört szorzása számmal
Egy tört számmal való szorzásához meg kell szorozni az adott tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
1. példa. Szorozzuk meg a törtet 1-gyel.
Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel
A bejegyzés félig 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz
A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a szorzót felcseréljük, akkor a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:
Ez a bejegyzés úgy értelmezhető, hogy az egység felét elveszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel
A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha 4-szer veszel pizzát, akkor két egész pizzát kapsz.
És ha a szorzót és a szorzót helyeken felcseréljük, megkapjuk a kifejezést. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:
Törtek szorzása
A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen tört, akkor a teljes részt ki kell jelölnie benne.
1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Megvan a válasz. Kívánatos ezt a részt csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Hogyan lehet ebből a feléből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:
És ebből a három darabból vegyél kettőt:
Hozunk pizzát. Ne feledje, hogyan néz ki egy pizza három részre osztva:
Ebből a pizzából egy szelet és az általunk vett két szelet azonos méretű lesz:
Más szóval, azonos pizzaméretről beszélünk. Ezért a kifejezés értéke az
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz helyes törtnek bizonyult, de jó lesz, ha csökkentik. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a legnagyobbkal közös osztó(gcd) 105 és 450 számok.
Tehát keressük meg a 105 és 450 számok GCD-jét:
Most elosztjuk a most megtalált GCD-re adott válaszunk számlálóját és nevezőjét, azaz 15-tel
Egy egész szám törtként való ábrázolása
Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ettől kezdve az öt nem fogja megváltoztatni a jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudod, egyenlő öttel:
Fordított számok
Most megismerkedünk érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.
Meghatározás. Fordítva a számhoza az a szám, amivel megszorozvaa egységet ad.
Változó helyett helyettesítsük ezt a definíciót a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:
Fordítva a számhoz 5 az a szám, amivel megszorozva 5 egységet ad.
Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderült, hogy lehet. Képzeljük el az ötöt törtként:
Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fordítva:
Mi lesz ennek az eredménye? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:
Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt megszorozzuk eggyel, akkor egyet kapunk.
A reciprok bármely más egész számra is megtalálható.
Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez elég megfordítani.
Tört osztása számmal
Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Hány pizzát kap egyenként?
Látható, hogy a pizza felének felosztása után két egyforma darabot kaptunk, amelyek egy-egy pizzát alkotnak. Szóval mindenki kap egy pizzát.
A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok lehetővé teszi, hogy az osztást szorzással helyettesítse.
Ha egy törtet el szeretne osztani egy számmal, ezt a törtet meg kell szoroznia az osztó reciprokával.
Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.
Tehát el kell osztani a törtet a 2-vel. Itt az osztalék tört, az osztó pedig 2.
Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka egy tört. Tehát szorozni kell vele
A számláló, és az, amivel osztja, a nevező.
Tört írásához először írja be a számlálóját, majd húzzon egy vízszintes vonalat a szám alá, és írja be a nevezőt a sor alá. A számlálót és a nevezőt elválasztó vízszintes vonalat törtsávnak nevezzük. Néha ferde „/” vagy „∕”-ként ábrázolják. Ebben az esetben a számlálót a sor bal oldalára, a nevezőt a jobbra írjuk. Így például a „kétharmad” tört 2/3-nak lesz írva. Az érthetőség kedvéért a számlálót általában a sor tetejére írjuk, a nevezőt pedig az aljára, vagyis a 2/3 helyett a következőt találjuk: ⅔.
A törtek szorzatának kiszámításához először meg kell szorozni az egyes számlálóját törtek egy másik számlálóhoz. Írja az eredményt az új számlálójába törtek. Ezután szorozd meg a nevezőket is. Adja meg a végső értéket az újban törtek. Például 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Egy tört egy másikkal való osztásához először szorozza meg az első számlálóját a második nevezőjével. Tegye ugyanezt a második törttel (osztóval). Vagy az összes lépés végrehajtása előtt először „fordítsa meg” az osztót, ha ez kényelmesebb az Ön számára: a nevezőnek a számláló helyén kell lennie. Ezután szorozza meg az osztalék nevezőjét az osztó új nevezőjével, és szorozza meg a számlálókat. Például 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Források:
- Alapfeladatok törtekhez
A törtszámok lehetővé teszik egy mennyiség pontos értékének különböző módon történő kifejezését. A törtekkel ugyanazokat a matematikai műveleteket hajthatja végre, mint az egész számokkal: kivonás, összeadás, szorzás és osztás. Megtanulni dönteni törtek, meg kell emlékezni néhány jellemzőjükről. Típustól függenek törtek, egy egész rész jelenléte, egy közös nevező. Néhány aritmetikai művelet végrehajtása után az eredmény töredékének csökkentését igényli.
Szükséged lesz
- - számológép
Utasítás
Figyelmesen nézze meg a számokat. Ha a törtek között vannak tizedesek és szabálytalanok, akkor néha kényelmesebb először tizedesjegyekkel végrehajtani a műveleteket, majd rossz alakra konvertálni. Le tudod fordítani törtek ebben a formában kezdetben a tizedesvessző utáni értéket írva a számlálóba, és 10-et a nevezőbe. Ha szükséges, csökkentse a törtet úgy, hogy a fenti és alatti számokat elosztja egy osztóval. Azok a törtek, amelyekben a teljes rész kiemelkedik, rossz formához vezet, ha megszorozza a nevezővel, és hozzáadja a számlálót az eredményhez. Ez az érték lesz az új számláló törtek. Kivonni az egész részt az eredetileg helytelenből törtek, oszd el a számlálót a nevezővel. Írd le a teljes eredményt innen törtek. És az osztás maradéka lesz az új számláló, nevező törtek miközben nem változik. Az egész résszel rendelkező törteknél lehetőség van külön-külön is végrehajtani a műveleteket, először az egész számra, majd a tört részekre. Például 1 2/3 és 2 ¾ összege kiszámítható:
- Törtek átalakítása rossz formára:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- A tagok egész és tört részeinek összegzése külön:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Írja át őket a ":" elválasztó segítségével, és folytassa a szokásos felosztást.
A végeredmény megszerzéséhez csökkentse a kapott törtet úgy, hogy a számlálót és a nevezőt elosztja egy egész számmal, amely ebben az esetben a lehető legnagyobb. Ebben az esetben a vonal felett és alatt egész számoknak kell lenniük.
jegyzet
Ne számoljon olyan törtekkel, amelyeknek különböző nevezője van. Válasszunk olyan számot, hogy ha minden tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele, akkor mindkét tört nevezője egyenlő legyen.
Felvételkor törtszámok sor fölé írják az osztalékot. Ezt a mennyiséget a tört számlálójának nevezik. A sor alá írjuk a tört osztóját vagy nevezőjét. Például másfél kilogramm rizs töredék formájában a következőképpen lesz írva: 1 ½ kg rizs. Ha egy tört nevezője 10, akkor tizedes törtnek nevezzük. Ebben az esetben a számlálót (osztalékot) a teljes rész jobb oldalára írjuk vesszővel elválasztva: 1,5 kg rizs. A számítások kényelme érdekében egy ilyen tört mindig rossz formában írható: 1 2/10 kg burgonya. Az egyszerűsítés kedvéért csökkentheti a számláló és a nevező értékeit egyetlen egész számmal osztva. Ebben a példában a 2-vel való osztás lehetséges, így 1 1/5 kg burgonya lesz. Győződjön meg arról, hogy a számok, amelyekkel számolni fog, azonos formában vannak.
Utasítás
Szokásos a közönséges és a decimális elválasztás törtek, amivel az ismerkedés ben kezdődik Gimnázium. Jelenleg nincs olyan tudásterület, ahol ezt ne alkalmaznák. Még itt is az első 17. századról beszélünk, és egyszerre, ami 1600-1625-öt jelent. Gyakran meg kell küzdenie a -n lévő elemi műveletekkel, valamint azok egyik formáról a másikba való átalakításával.
A törtek közös nevezőre való redukálása talán a legfontosabb művelet. Ez minden számítás alapja. Tehát mondjuk kettő van törtek a/b és c/d. Ezután, hogy közös nevezőre hozzuk őket, meg kell találni a b és d számok legkisebb közös többszörösét (M), majd meg kell szorozni az első szám számlálóját. törtek(M/b), a második számláló pedig (M/d).
A törtek összehasonlítása egy másik fontos feladat. Ehhez adja meg az adott egyszerűt törtek közös nevezőre, majd hasonlítsa össze azokat a számlálókat, amelyeknek a számlálója nagyobb, az a tört nagyobb.
A közönséges törtek összeadásának vagy kivonásának végrehajtásához közös nevezőre kell hozni őket, majd ezekből a törtekből végre kell hajtani a szükséges matematikai műveleteket. A nevező változatlan marad. Tegyük fel, hogy ki kell vonni c/d-t a/b-ből. Ehhez meg kell találni a b és d számok M legkisebb közös többszörösét, majd az egyik számlálóból ki kell vonni a másikat a nevező megváltoztatása nélkül: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M
Elég csak egy törtet megszorozni egy másikkal, ehhez csak meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szoroznia az osztalék törtét az osztó reciprokával. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Érdemes felidézni, hogy a reciprok megszerzéséhez fel kell cserélni a számlálót és a nevezőt.
A matematikában különböző típusok számokat kezdete óta tanulmányoznak. A számoknak nagyszámú halmaza és részhalmaza létezik. Ezek között vannak egész, racionális, irracionális, természetes, páros, páratlan, összetett és tört számok. Ma elemezzük az utolsó halmazra vonatkozó információkat - törtszámokat.
A törtek meghatározása
A törtek olyan számok, amelyek egy egység egész részéből és törtrészeiből állnak. Csakúgy, mint az egész számok, két egész szám között végtelen számú törtszám található. A matematikában törtekkel hajtanak végre műveleteket, mivel egész számokkal ill természetes számok. Nagyon egyszerű, és néhány lecke alatt megtanulható.
A cikk két típust mutat be
Közönséges törtek
A közönséges törtek az a egész szám és a b/c törtsávon keresztül írt két szám. A közönséges törtek rendkívül hasznosak lehetnek, ha a tört rész nem ábrázolható racionális decimális formában. Ezenkívül kényelmesebb az aritmetikai műveletek végrehajtása egy törtvonalon keresztül. A felső részt számlálónak, az alsó részt nevezőnek nevezzük.
Műveletek közönséges törtekkel: példák
A tört alaptulajdonsága. Nál nél a számlálót és a nevezőt megszorozva ugyanazzal a számmal, amely nem nulla, az eredmény a megadott számmal egyenlő. A törtnek ez a tulajdonsága segít a nevező létrehozásában az összeadáshoz (erről az alábbiakban lesz szó) vagy a tört csökkentéséről, ami kényelmesebbé teszi a számolást. a/b = a*c/b*c. Például 36/24 = 6/4 vagy 9/13 = 18/26
Közös nevezőre redukálás. A tört nevezőjének megadásához a nevezőt tényezők formájában kell ábrázolnia, majd meg kell szoroznia a hiányzó számokkal. Például 7/15 és 12/30; 7/5*3 és 12/5*3*2. Látjuk, hogy a nevezők kettővel különböznek, ezért az első tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 2-vel. Kapjuk: 14/30 és 12/30.
Összetett frakciók- közönséges törtek kiemelt egész számmal. (A b/c) Egy összetett tört közönséges törtként való ábrázolásához szorozzuk meg a tört előtti számot a nevezővel, majd adjuk hozzá a számlálóhoz: (A*c + b)/c.
Aritmetikai műveletek törtekkel
Nem lesz felesleges a jól ismert aritmetikai műveleteket csak törtszámokkal való munka során figyelembe venni.
Összeadás és kivonás. A törtek összeadása és kivonása ugyanolyan egyszerű, mint az egész számok, egy nehézség kivételével - a törtsáv jelenléte. Az azonos nevezőjű törtek összeadásakor mindkét törtnek csak a számlálóját kell összeadni, a nevezők változatlanok maradnak. Például: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Ha két tört nevezői különböző számok, először össze kell hozni őket egy közösre (ahogyan fentebb tárgyaltuk). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. A kivonás pontosan ugyanazon elv szerint történik: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.
Szorzás és osztás. Akciók törtekkel a szorzás a következő elv szerint fordul elő: a számlálókat és a nevezőket külön szorozzuk. NÁL NÉL Általános nézet a szorzási képlet így néz ki: a/b *c/d = a*c/b*d. Ezenkívül a szorzás során csökkentheti a törtet, ha ugyanazokat a tényezőket kivonja a számlálóból és a nevezőből. Egy másik nyelvben a számláló és a nevező osztható ugyanazzal a számmal: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Egy közönséges tört egy másikkal való osztásához meg kell változtatnia az osztó számlálóját és nevezőjét, és végre kell hajtania két tört szorzását a korábban tárgyalt elv szerint: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Tizedesjegyek
A tizedesjegyek a törtszámok legnépszerűbb és leggyakrabban használt változata. Könnyebb sorban leírni vagy számítógépen bemutatni. A tizedes tört felépítése a következő: először az egész számot, majd a tizedesvessző után a tört részt írjuk. A tizedes törtek lényegükben összetett törtek, de tört részüket 10 többszörösével elosztott szám képviseli. Innen a nevük. A tizedes törtekkel végzett műveletek hasonlóak az egész számokkal végzett műveletekhez, mivel azokat is a decimális számrendszerben írják le. Ezenkívül a közönséges törtekkel ellentétben a tizedesjegyek irracionálisak lehetnek. Ez azt jelenti, hogy végtelenek lehetnek. 7,(3)-nak vannak írva. A következő bejegyzés olvasható: hét egész, három tized a periódusban.
Alapműveletek decimális számokkal
Tizedes törtek összeadása és kivonása. Törtekkel nem nehezebb műveleteket végrehajtani, mint egész természetes számokkal. A szabályok pontosan ugyanazok, mint a természetes számok összeadásakor vagy kivonásakor. Ugyanígy oszlopnak is tekinthetők, de ha szükséges, pótoljuk a hiányzó helyeket nullákkal. Például: 5,5697 - 1,12. Az oszlopkivonás végrehajtásához ki kell egyenlítenie a tizedesvessző utáni számok számát: (5,5697 - 1,1200). Tehát a számérték nem változik, és egy oszlopban számolható.
Műveletek a következővel: tizedesjegyek nem állítható elő, ha az egyiknek irracionális formája van. Ehhez mindkét számot közönséges törtekké kell konvertálnia, majd a korábban leírt technikákat kell használnia.
Szorzás és osztás. A tizedesjegyek szorzása hasonló a természetes számok szorzásához. A vesszőt egyszerűen figyelmen kívül hagyva egy oszloppal is megszorozhatók, majd a végső értékben vesszővel elválaszthatók ugyanannyi számjegyből, mint amennyi a tizedesvessző utáni összeg két tizedes törtben volt. Például 1,5 * 2,23 = 3,345. Minden nagyon egyszerű, és nem okozhat nehézséget, ha már elsajátította a természetes számok szorzását.
Az osztás egybeesik a természetes számok osztásával is, de kis eltéréssel. Osztani decimális szám oszlopban el kell hagyni a vesszőt az osztóban, és meg kell szorozni az osztalékot az osztó tizedespontja utáni számjegyek számával. Ezután hajtsa végre az osztást, mint a természetes számoknál. Hiányos osztás esetén a jobb oldali osztalékhoz nullákat adhatunk, a tizedesvessző után nullát is hozzáadhatunk.
Példák a tizedes törtekkel végzett műveletekre. A tizedesjegyek nagyon praktikus eszköz az aritmetikai számoláshoz. Egyesítik a természetes, egész számok kényelmét és a közönséges törtek pontosságát. Ezenkívül meglehetősen egyszerű az egyik frakciót a másikra konvertálni. A törtekkel végzett műveletek nem különböznek a természetes számokkal végzett műveletektől.
- Összeadás: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Kivonás: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Szorzás: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Osztás: 3,6: 0,6 = 6
Ezenkívül a tizedesjegyek alkalmasak a százalékok ábrázolására. Tehát 100% = 1; 60% = 0,6; és fordítva: 0,659 = 65,9%.
Ez minden, amit a törtekről tudni kell. A cikk kétféle törttípust vizsgált - közönséges és tizedes. Mindkettőt meglehetősen könnyű kiszámítani, és ha teljesen elsajátította a természetes számokat és a velük végzett műveleteket, nyugodtan elkezdheti a törtszámok tanulását.
Ahhoz, hogy egy részt az egész töredékeként fejezzünk ki, el kell osztani a részt az egésszel.
1. feladat. 30 tanuló van az osztályban, négyen hiányoznak. A tanulók hány százaléka hiányzik?
Megoldás:
Válasz: nincs tanuló az osztályban.
Tört keresése egy számból
Olyan problémák megoldására, amelyekben meg kell találni az egész egy részét, a következő szabály igaz:
Ha az egész egy részét törtként fejezzük ki, akkor ennek a résznek a megtalálásához eloszthatja az egészet a tört nevezőjével, és megszorozhatja az eredményt a számlálójával.
1. feladat. 600 rubel volt, ezt az összeget költötték el. Mennyi pénzt költöttél el?
Megoldás: 600 rubelből találni ezt az összeget 4 részre kell osztania, így megtudjuk, mennyi pénz az egynegyed:
600: 4 = 150 (o.)
Válasz: költött 150 rubelt.
2. feladat. 1000 rubel volt, ezt az összeget költötték el. Mennyi pénzt költöttek el?
Megoldás: A probléma állapotából tudjuk, hogy 1000 rubel öt egyenlő részből áll. Először megtudjuk, hány rubel az 1000 egyötöde, majd megtudjuk, hogy hány rubel a kétötöd része:
1) 1000: 5 = 200 (p.) - egyötöde.
2) 200 2 \u003d 400 (o.) - két ötöd.
Ez a két művelet kombinálható: 1000: 5 2 = 400 (p.).
Válasz: 400 rubelt költöttek el.
A második módszer az egész egy részének megtalálására:
Az egész egy részének megtalálásához megszorozhatja az egészet az egésznek ezt a részét kifejező törttel.
3. feladat. A szövetkezet alapszabálya szerint a jelentéstevő értekezlet érvényességéhez legalább a szervezet tagjainak jelen kell lenniük. A szövetkezetnek 120 tagja van. Milyen összetétellel tartható a jelentéstevő értekezlet?
Megoldás: 
Válasz: a jelentéstevő értekezlet akkor tartható, ha a szervezetnek 80 tagja van.
Szám keresése a tört alapján
Olyan problémák megoldására, amelyekben az egészet egy része alapján kell megtalálni, a következő szabály igaz:
Ha a kívánt egész szám egy része törtként van kifejezve, akkor ennek az egésznek a megtalálásához eloszthatja ezt a részt a tört számlálójával, és megszorozhatja az eredményt a nevezőjével.
1. feladat. 50 rubelt költöttünk, ez az eredeti összeget tette ki. Keresse meg az eredeti pénzösszeget.
Megoldás: a probléma leírásából azt látjuk, hogy 50 rubel 6-szor kevesebb, mint a kezdeti összeg, azaz a kezdeti összeg 6-szor több, mint 50 rubel. Ennek az összegnek a meghatározásához meg kell szoroznia 50-et 6-tal:
50 6 = 300 (r.)
Válasz: a kezdeti összeg 300 rubel.
2. feladat. 600 rubelt költöttünk, ez a kezdeti pénzösszeg volt. Keresse meg az eredeti összeget.
Megoldás: feltételezzük, hogy a kívánt szám háromharmadból áll. Feltétel szerint a szám kétharmada 600 rubelnek felel meg. Először megtaláljuk a kezdeti összeg egyharmadát, majd azt, hogy hány rubel a háromharmada (kezdeti összeg):
1) 600: 2 3 = 900 (o.)
Válasz: a kezdeti összeg 900 rubel.
A második módja annak, hogy az egészet egy része alapján találjuk meg:
Ha egy egészet a részének értékével szeretne megkeresni, akkor ezt az értéket eloszthatja egy törttel, amely ezt a részt fejezi ki.
3. feladat. Vonalszakasz AB, egyenlő 42 cm-rel, a szegmens hossza CD. Keresse meg egy szakasz hosszát CD.
Megoldás: 
Válasz: szegmens hossza CD 70 cm
4. feladat. Görögdinnyét hoztak a boltba. Ebéd előtt az üzlet eladott, ebéd után görögdinnyét hozott, és maradt 80 görögdinnye. Hány görögdinnyét hoztak összesen a boltba?
Megoldás: először megtudjuk, hogy az importált görögdinnye melyik része a 80-as szám. Ehhez az importált görögdinnye teljes számát egységnek vesszük, és levonjuk belőle az eladni (eladni) sikerült görögdinnye számát:
És így megtudtuk, hogy 80 görögdinnye innen származik teljes importált görögdinnye. Most megtudjuk, hogy a teljes mennyiségből hány görögdinnye, majd hány görögdinnye (a hozott görögdinnye):
2) 80:4 15 = 300 (görögdinnye)
Válasz:összesen 300 görögdinnyét hoztak a boltba.
