činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmite nešto ne negativan broj\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) korijen od broja \(a\) zove se takav nenegativan broj \(b\), kvadriranjem kojeg dobivamo broj \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizlazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ta su ograničenja važan uvjet za postojanje korijen I treba ih se sjećati!
Podsjetimo se da svaki broj kada se na kvadrat daje nenegativan rezultat. Odnosno, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Što je \(\sqrt(25)\) ? Znamo da \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Budući da po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, \(-5\) nije prikladno, dakle \(\sqrt(25)=5\) (jer \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se vađenjem kvadratnog korijena broja \(a\), a broj \(a\) naziva se korijenski izraz.
\(\bullet\) Na temelju definicije, izrazi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itd. nema smisla.

činjenica 2.
Za brze izračune bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodni brojevi od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(niz)\]

činjenica 3.
Što se može učiniti s kvadratnim korijenom?
\(\metak\) Zbroj ili razlika kvadratni korijeni NIJE JEDNAK kvadratnom korijenu zbroja ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Stoga, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ) i zatim ih zbrojite. Posljedično, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći prilikom dodavanja \(\sqrt a+\sqrt b\), tada se takav izraz ne pretvara dalje i ostaje takav kakav jest. Na primjer, u zbroju \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) - to je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) ne može biti pretvoren na bilo koji način, eto zašto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nadalje, ovaj se izraz, nažalost, ne može ni na koji način pojednostaviti.\(\bullet\) Umnožak/kvocijent kvadratnih korijena jednak je kvadratnom korijenu umnoška/kvocijenta, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uvjetom da oba dijela jednakosti imaju smisla)
Primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene od velike brojke njihovim faktoriziranjem.
Razmotrite primjer. Pronađite \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , tada \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (jer je zbroj njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle \(441:9=49\) , odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Dakle, dobili smo: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako upisati brojeve ispod znaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (skraćenica za izraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Budući da \(5=\sqrt(25)\) , tada \ Imajte na umu također da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Zašto je to? Objasnimo primjerom 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \(\sqrt2\) . Zamislite da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa drugo nego \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\) ). I znamo da je to jednako četiri takva broja \(a\) , to jest \(4\sqrt2\) .

činjenica 4.
\(\bullet\) Često se kaže "ne može izvući korijen" kada nije moguće ukloniti predznak \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) pri pronalaženju vrijednosti nekog broja. Na primjer, možete korijeniti broj \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali izvaditi korijen iz broja \(3\) , odnosno pronaći \(\sqrt3\) , nemoguće je, jer ne postoji takav broj koji će na kvadrat dati \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itd. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj “pi”, približno jednak \(3,14\) ), \(e\) (ovaj broj se naziva Eulerov broj, približno jednak \(2 ,7\) ) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će svaki broj biti ili racionalan ili iracionalan. A zajedno svi racionalni i svi iracionalni brojevi čine skup tzv skup realnih (realnih) brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju realnim brojevima.

činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od točke \(a\) do \(0\) na realnoj crta. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) jednaki su 3, jer su udaljenosti od točaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) isti i jednak \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, tada \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, tada \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul “pojede” minus, a pozitivne brojeve, kao i broj \(0\) , modul ostavlja nepromijenjenim.
ALI ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako ispod znaka modula imate nepoznanicu \(x\) (ili neku drugu nepoznanicu), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo je li pozitivna, jednaka nuli ili negativna, tada riješiti se modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje takav: \(|x|\) . \(\bullet\) Sljedeće formule vrijede: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( provided ) a\geqslant 0\]Često se pravi sljedeća pogreška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) iste stvari. Ovo vrijedi samo kada je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda to nije točno. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmimo broj \(-1\) umjesto \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (jer je nemoguće ispod znaka korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pozornost na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\lijevo(-\sqrt2\desno)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Budući da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvlači korijen iz broja koji je u nekom stupnju, taj se stupanj prepolovljuje.
Primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije postavljen, ispada da je korijen broja jednak \(-25 \) ; ali sjećamo se , što po definiciji korijena to ne može biti: kod izvlačenja korijena uvijek trebamo dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (budući da je svaki broj na parnu potenciju nenegativan)

činjenica 6.
Kako usporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Točno za kvadratne korijene: ako \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrimjer:
1) usporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo transformiramo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, budući da \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\) ?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Usporedite \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Pretpostavimo \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodajte jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat oba dijela))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netočnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja objema stranama nejednadžbe ne utječe na njezin predznak. Množenje/dijeljenje oba dijela nejednadžbe s pozitivnim brojem također ne utječe na njen predznak, ali množenje/dijeljenje s negativnim brojem obrće predznak nejednadžbe!
Obje strane jednadžbe/nejednadžbe mogu se kvadrirati SAMO AKO su obje strane nenegativne. Na primjer, u nejednadžbi iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednadžbi \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Imajte na umu da \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \kraj(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam pri uspoređivanju brojeva! \(\bullet\) Da biste izvukli korijen (ako se izvuče) iz nekog velikog broja koji nije u tablici kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se “stotica” nalazi, zatim između kojih “desetica”, a zatim odredi posljednju znamenku ovog broja. Pokažimo na primjeru kako to funkcionira.
Uzmite \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) i tako dalje. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se “desetica” nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\) ). Iz tablice kvadrata također znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju znamenku. Prisjetimo se koje jednoznamenkaste brojeve pri kvadriranju daju na kraju \ (4 \) ? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će završavati s 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađite \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stoga \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Kako bi se ispit iz matematike adekvatno riješio, prije svega je potrebno proučiti teoretsko gradivo koje uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može se činiti da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena jednostavno i razumljivo za studente s bilo kojom razinom obuke zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronaći osnovne formule za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno učiti teoriju iz matematike, ne samo za one koji izlaze na ispit?

1. Jer proširuje vaše horizonte. Proučavanje teoretskog materijala iz matematike korisno je za svakoga tko želi dobiti odgovore na širok raspon pitanja vezanih uz poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. Upravo se to ogleda u znanosti kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Jer razvija intelekt. Proučavajući referentne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, osoba uči razmišljati i zaključivati ​​logično, pravilno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generaliziranja, zaključivanja.

Pozivamo Vas da osobno procijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnih materijala.

Podjela korijena cvijeća jednostavno je neophodna ako odlučite odmah dobiti nekoliko jakih i zrelih biljaka koje će biti spremne za cvjetanje u budućnosti u jednom "događaju". Ali ako ovo pitanje razmotrimo iz drugog kuta, onda možemo reći da podjela korijena može negativno utjecati na stanje biljaka, pogotovo ako se s korijenima ne rukuje pravilno.

Prije analize pitanja - kako podijeliti korijenje, potrebno je odlučiti o biljkama koje se mogu razmnožavati na ovaj način. Prije svega, to su zeljasti primjerci s dobrim korijenskim sustavom. Na ovaj način se može podijeliti cvijeće i grmlje.

Algoritam dijeljenja korijena:

1. Izvadite cvijet iz zemlje i otresite veliki grumen zemlje.

2. Isperite preostalu zemlju vodom, ali ne morate potpuno očistiti korijenje, glavna stvar je da vas zemlja ne ometa prilikom dijeljenja.

4. Izrežite izdanke na visinu od 10 cm.Ovaj događaj će pomoći da se snaga cvijeća iskoristi za obnavljanje korijena, a ne rast izdanaka.

5. Ako su korijenski procesi počeli otvrdnuti i jasno je da od njih neće doći ništa dobro, tada su ti korijeni odsječeni.

6. Žuti i suhi izdanci, listovi se odmah uništavaju.

7. Obratite pozornost na to da središnji dio cvijeta ne smije biti podijeljen. Odvajate samo bočne korijene.

8. Sekcije se tretiraju ugljenom, a nove biljke se sade u posebne posude.

Što još trebate znati o dijeljenju korijena?

Nemojte provoditi ovaj postupak dok biljka cvjeta. Bolje ga je potrošiti nakon tog razdoblja. Ako je teško slijediti ovu preporuku, tada se nekoliko dana prije postupka uništavaju pupoljci i cvjetovi, inače se cvijet neće moći ukorijeniti.

Grm na otvorenom tlu dijeli se u jesen, a sobno cvijeće u proljeće. Prije vađenja biljke iz zemlje tlo se dobro zalije kako se korijenski sustav ne bi oštetio. Ni u kojem slučaju nemojte vući biljku za prizemni dio. Korijenski sustav se vadi zajedno sa zemljom, kucajući po loncu. Ako cvijet raste u gredici, onda se pažljivo iskopa i izvadi pomoću vrtnog alata. Oštar nož se koristi kako bi se minimaliziralo oštećenje korijenskog sustava. Ne lomite korijenski sustav rukama! To će negativno utjecati na stanje budućeg cvijeta.

Bilješka! Nemojte dijeliti grm na male dijelove, jer to može negativno utjecati na njihov rast i razvoj. Preživljavanje će biti minimalno. Ne zaboravite da na svakom dijelu treba biti jedan odrasli izdanak.

Biljke se ne mogu odmah saditi u otvoreno tlo, jer im je potrebno razdoblje oporavka, a sunčeve zrake negativno će utjecati na biljke.

Prednosti razmnožavanja dijeljenjem grma

Osim što ima više biljaka, one su i pomlađene. Uostalom, besmisleno je raspravljati s činjenicom da biološka dob svih živih bića nije vječna, a biljka nije iznimka. Tako možete ažurirati svoje trajnice dijeljenjem korijena bez dodatnih sadnica.

Razmnožavanje biljaka dijeljenjem korijena jedna je od najprikladnijih metoda, jer jedna operacija omogućuje da dobijete nekoliko zrelih i jakih biljaka odjednom, spremnih za cvjetanje ili plodove. S druge strane, ova metoda nije prikladna za sve usjeve, a ako se izvodi pogrešno, može biti štetna za cijelu biljku.

Dijeljenjem korijena razmnožavaju se grmovi i zeljaste biljke s razvijenim korijenovim sustavom s formiranjem pupova. Ova kategorija uključuje lijesku, jorgovan, koji je grm, orhideje, krizanteme, delphinium i peonies, kao i mnogo drugog cvijeća.

Glavne faze postupka:

• Pažljivo uklonite biljku iz tla i otresite zemljinu kuglu čvrstom četkom.
• Isperite preostalo tlo vodom na sobnoj temperaturi, uranjajući korijenje u posudu s vodom. Nije potrebno isprati svu zemlju, glavna stvar je da tlo ne ometa podjelu.
• Procijenite koliko se biljaka može dobiti iz ovog grma odabirom glavnih odraslih izdanaka i aktivnih pupova.
• Sve izdanke biljke odrežite na visinu od deset centimetara (potrebno za visoke zeljaste biljke i grmlje). To će biljci omogućiti da koristi energiju za obnavljanje korijenskog sustava bez trošenja na hranjenje nadzemnih dijelova.
• Ako ima drvenastih izdanaka, npr. kod razmnožavanja ruža, režu se do samog korijena.
• Uklanjaju se svi oštećeni i požutjeli izdanci i listovi.
• Pobrinite se za rezove, odvajajući bočne dijelove grma. Središnji dio biljke ne treba dijeliti.
• Obradite rezove ugljenom, posadite nove biljke u pripremljene posude i navodnjavajte otopinom stimulansa rasta.

Što trebate znati kada dijelite grm

Reprodukcija na ovaj način ne može se izvesti tijekom cvatnje. Najbolje je razići se nakon završetka ovog razdoblja. Ako je to teško, dva dana prije dijeljenja odrežu se svi cvjetovi i pupoljci. Inače, biljka može umrijeti.

Sobno cvijeće najbolje je podijeliti u ožujku na kraju razdoblja mirovanja, a grmlje koje raste na otvorenom - u jesen prije početka mraza.

Tijekom podjele, korijenski sustav treba biti jasno vidljiv i lako odvojen od tla. Da se pri vađenju ne bi oštetilo korijenje, tlo se dan prije obavljanja diobe dobro navlaži. Nemojte povlačiti nadzemni dio biljke. Korijenje s grumenom zemlje vadi se lupkanjem po posudi za cvijeće. Ako je biljka u gredici, pažljivo je iskopajte pomoću vrtne lopatice i tvrdog kista.

Oštrim nožem se dijeli korijen kako bi se biljke što manje ozlijedile. Bolje je ne koristiti vrtne škare, jer mogu zgužvati dijelove korijena. Ne možete slomiti korijenje rukama!

Ne dijelite biljku na premale dijelove - to može biti štetno za cijeli grm, jer će stopa preživljavanja biti mnogo niža. Svaki dio mora imati zreli izdanak.

Nije preporučljivo odmah saditi podijeljene biljke u otvoreno tlo, jer im je potrebno razdoblje oporavka i izravna sunčeva svjetlost, kao i štetnici i bolesti bit će opasni za njih, pa je bolje izdržati nove sadnice u zaštićenom tlu za par. od tjedana. Potonji mora biti sterilan i prikladan za uvjete rasta biljke koja se dijeli.

Čemu služi podjela grma

Osim povećanja broja primjeraka, metoda diobe korijena koristi se za kompleksno pomlađivanje biljaka čija je biološka starost na izmaku. Na taj način možete ažurirati trajnice bez uzgoja sadnica.

Ova metoda je vrlo učinkovita ako je potrebno očuvati dekorativne osobine matične biljke, koje se mogu izgubiti korištenjem drugih metoda razmnožavanja.

Primjeri razmnožavanja dijeljenjem korijena:

Video 1. Razmnožavanje orhideja Phalaenopsis

Video 3. Reprodukcija ribiza dijeljenjem grma

Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se temelje na svojstvima korijena, posebno na jednakosti, koja vrijedi za svaki nenegativan broj b.

U nastavku ćemo redom razmotriti glavne metode vađenja korijena.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - vađenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako su tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, logično je koristiti metodu izvlačenja korijena, koja uključuje rastavljanje korijenskog broja na jednostavne faktore.

Zasebno, vrijedi se zadržati, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućuje sekvencijalno pronalaženje znamenki vrijednosti korijena.

Započnimo.

Korištenje tablice kvadrata, tablice kocki itd.

U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućuju vađenje korijena. Kakvi su ovo stolovi?

Tablica kvadrata cijelih brojeva od 0 do uključivo 99 (prikazana dolje) sastoji se od dvije zone. Prva zona tablice nalazi se na sivoj pozadini, odabirom određenog retka i određenog stupca omogućuje vam da napravite broj od 0 do 99. Na primjer, odaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo popravili broj 83. Druga zona zauzima ostatak stola. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog retka i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99 . Na sjecištu našeg odabranog retka od 8 desetica i stupca 3 od jedinice nalazi se ćelija s brojem 6889, što je kvadrat broja 83.

Tablice kocki, tablice četvrtih potencija brojeva od 0 do 99 i tako dalje slične su tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte potencije itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. omogućuju vam izvlačenje kvadratnih korijena, kubnih korijena, četvrtih korijena itd. odnosno iz brojeva u ovim tablicama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.

Recimo da trebamo izvući korijen n-tog stupnja iz broja a, dok se broj a nalazi u tablici n-tih stupnjeva. Prema ovoj tablici nalazimo broj b takav da je a=b n . Zatim , stoga će broj b biti željeni korijen n-tog stupnja.

Kao primjer, pokažimo kako se izvlači kubni korijen iz 19683 pomoću kockaste tablice. Broj 19 683 nalazimo u tablici kocki, iz nje nalazimo da je taj broj kocka broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tog stupnja vrlo prikladne pri vađenju korijena. Međutim, oni često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štoviše, često je potrebno izvući korijene iz brojeva koji se ne nalaze u odgovarajućim tablicama. U tim se slučajevima mora pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Rastavljanje korijenskog broja na proste faktore

Prilično zgodan način za izdvajanje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen izvučen) je rastavljanje korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sljedeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao stupanj sa željenim pokazateljem, što vam omogućuje da dobijete vrijednost korijena. Objasnimo ovu točku.

Neka je korijen n-tog stupnja izvučen iz prirodnog broja a, a njegova vrijednost jednaka je b. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b n. Broj b kao bilo koji prirodni broj može se prikazati kao umnožak svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , …, p m u obliku p 1 p 2 … p m , a korijen broja a u ovom slučaju predstavlja se kao (p 1 p 2 ... p m) n . Budući da je rastavljanje broja na proste faktore jedinstveno, rastavljanje korijenskog broja a na proste faktore izgledat će kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , što omogućuje izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se faktorizacija korijena broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tada korijen n-tog stupnja iz takvog broja a nije potpuno izdvojen.

Pozabavimo se time pri rješavanju primjera.

Primjer.

Izvadite kvadratni korijen od 144.

Riješenje.

Ako pogledamo tablicu kvadrata danu u prethodnom paragrafu, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .

Ali u svjetlu ove točke, zanima nas kako se korijen izdvaja rastavljanjem korijena broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Idemo se razgraditi 144 na proste faktore:

Odnosno, 144=2 2 2 2 3 3 . Na temelju dobivene dekompozicije mogu se provesti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Posljedično, .

Koristeći svojstva stupnja i svojstva korijena, rješenje bi se moglo malo drugačije formulirati: .

Odgovor:

Da biste učvrstili gradivo, razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Riješenje.

Rastavljanje na proste faktore korijena broja 243 je 243=3 5 . Na ovaj način, .

Odgovor:

Primjer.

Je li vrijednost korijena cijeli broj?

Riješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, rastavimo korijen broja na proste faktore i vidimo može li se prikazati kao kub cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kub cijelog broja, budući da stupanj primarnog faktora 7 nije višekratnik tri. Stoga, kubni korijen od 285,768 nije uzet u potpunosti.

Odgovor:

Ne.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatimo kako se korijen izvlači iz razlomka. Neka se razlomački korijenski broj zapiše kao p/q. Prema svojstvu korijena kvocijenta vrijedi sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je kvocijentu dijeljenja korijena brojnika s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Koliki je kvadratni korijen iz običnog razlomka 25/169.

Riješenje.

Prema tablici kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Zatim . Time je vađenje korijena iz obične frakcije 25/169 završeno.

Odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja izdvaja se nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Izvadite kubni korijen decimalnog broja 474,552.

Riješenje.

Predstavimo izvornu decimalu kao obični razlomak: 474.552=474552/1000 . Zatim . Ostaje izvući kubne korijene koji su u brojniku i nazivniku rezultirajuće frakcije. Jer 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada i . Ostaje samo dovršiti izračune .

Odgovor:

.

Vađenje korijena negativnog broja

Zasebno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Kada smo proučavali korijene, rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, onda negativan broj može biti pod znakom korijena. Takvim oznakama dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparan eksponent korijena 2 n−1, imamo . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izvukli korijen iz negativnog broja, potrebno je izvući korijen iz suprotnog pozitivnog broja, a ispred rezultata staviti znak minus.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite korijensku vrijednost.

Riješenje.

Transformirajmo izvorni izraz tako da se ispod znaka korijena pojavi pozitivan broj: . Sada zamijenimo mješoviti broj običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku dobivenog razlomka: .

Evo sažetka rješenja: .

Odgovor:

.

Pronalaženje korijenske vrijednosti po bitovima

U općem slučaju, pod korijenom se nalazi broj koji se, korištenjem gore razmotrenih tehnika, ne može prikazati kao n-ta potencija bilo kojeg broja. Ali u isto vrijeme, postoji potreba da se zna vrijednost danog korijena, barem do određenog predznaka. U ovom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam koji vam omogućuje dosljedno dobivanje dovoljnog broja vrijednosti znamenki željenog broja.

Prvi korak ovog algoritma je pronaći koji je najvažniji bit korijenske vrijednosti. Da bi se to postiglo, brojevi 0, 10, 100, ... sukcesivno se podižu na potenciju n dok se ne dobije broj veći od korijenskog broja. Tada će broj koji smo podigli na potenciju n u prethodnom koraku ukazivati ​​na odgovarajući viši red.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada vadite kvadratni korijen iz pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5 . Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , što znači da će najznačajnija znamenka biti znamenka jedinica. Vrijednost ovog bita, kao i onih nižih, pronaći će se u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma usmjereni su na sukcesivno prečišćavanje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih znamenki željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se do najniže . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2, u drugom - 2,2, u trećem - 2,23, i tako dalje 2,236067977 ... . Opišimo kako se pronalaze vrijednosti bitova.

Pronalaženje bitova provodi se nabrajanjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U tom se slučaju paralelno izračunavaju n-te potencije odgovarajućih brojeva i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premaši radikalni broj, tada se vrijednost znamenke koja odgovara prethodnoj vrijednosti smatra pronađenom, a prijelaz na sljedeći korak algoritma za ekstrakciju korijena je napravljen, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove znamenke 9 .

Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena iz pet.

Prvo pronađite vrijednost znamenke jedinice. Iterirati ćemo preko vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi izračuni prikladno su prikazani u obliku tablice:

Dakle, vrijednost znamenke jedinice je 2 (jer 2 2<5 , а 2 3 >5). Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadratirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tada je vrijednost desetog mjesta 2 . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti stotinke:

Dakle, sljedeća vrijednost korijena iz pet je pronađena, ona je jednaka 2,23. I tako možete nastaviti pronalaziti vrijednosti dalje: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotinki koristeći razmatrani algoritam.

Prvo definiramo stariju znamenku. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100 itd. dok ne dobijemo broj veći od 2.151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , pa je najznačajnija znamenka desetica.

Definirajmo njegovu vrijednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, tada je vrijednost znamenke desetica 1. Prijeđimo na jedinice.

Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2 . Prijeđimo na deset.

Budući da je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186, vrijednost desetog mjesta je 9. Ostaje izvršiti posljednji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena s potrebnom točnošću.

U ovoj fazi se vrijednost korijena nalazi do stotinki: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoje mnogi drugi načini za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo proučavali gore.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Na primjer, pretpostavimo da trebamo izvući kvadratni korijen iz razlomka 25/144. 6. Približno vađenje kvadratnih korijena. Ako D

Da biste izvukli kvadratni korijen cijelog broja s točnošću 1, trebate izvući, kao i obično, i odbaciti ostatak dobiven na kraju operacije. Za približno izvlačenje korijena iz razlomka, najprije morate nazivnik učiniti potpunim kvadratom.

U prethodnim lekcijama shvatili smo što je kvadratni korijen. I shvatio kako umnožiti korijenje. Rastavili smo formulu za množenje korijena zupcima.

Formula je jednostavna poput množenja. Formula za dijeljenje korijena mogućnosti nije tako opsežna kao ona za množenje. U ovom primjeru, dijeljenje korijena pomoglo nam je da dobijemo dobar odgovor. Ima još lukavih transformacija.

• Katalog poslova
• Pitanja i odgovori

Isključivo kako bi se koristila formula za dijeljenje korijena. Razmotrite formulu za dijeljenje korijena u suprotnom smjeru. U našem slučaju takva formulacija podjele korijena uvelike pomaže izvlačenju korijena iz frakcija!

Nema problema! Ako ne možete odmah izvući korijen, prevedite decimalni razlomak u obični i samo naprijed! Ispravno! Mješoviti broj prevodimo u nepravilan razlomak - i to prema poznatoj formuli za dijeljenje korijena!

Nadam se da dioba korijena nije problem. Pozabavimo se posljednjim svojstvom kvadratnih korijena. Već će biti nekih suptilnosti i zamki. Ovo se svojstvo ukratko naziva kvadratni korijen. Zašto ne? Pomnožite korijen sam po sebi - da, to je sve! I ne samo u kvadratu je moguće. U bilo kojem stupnju.

Ovo je broj koji bi, kada se kvadrira, trebao dati dvojku. Prema pravilima ovih radnji, mi sami dovodimo izvorni izraz do korijena na kvadratu i sve izračunavamo. To radimo s bilo kojim stupnjem korijena iz bilo kojeg izraza, i sve će nam biti izračunato, pojednostavljeno i uspješno.

U svim udžbenicima, priručnicima i priručnicima, pored takve formule uvijek piše: "gdje je a veće ili jednako nuli." U ovim riječima, koje mnogi jednostavno preskaču, leže glavne poteškoće korijena. Dakle, gdje se negativni brojevi i izrazi mogu pojaviti u korijenima?

Izvučemo korijen iz četiri i dobijemo 2. Budući da je aritmetički kvadratni korijen (a u školi radimo samo s takvim!) uvijek nenegativan broj! Ovo je posljednje, treće svojstvo korijena.

• Algebra
• 14 bodova

Ovdje to samo znači da će za bilo koji predznak a rezultat izvlačenja korijena iz kvadrata uvijek biti nenegativan. Ako x Zapravo, ovo je glavna poteškoća u radu s korijenima. Za razliku od jednostavnijih dijelova matematike, ovdje točan odgovor često ne proizlazi automatski iz formula.

Glavni praktični savjeti za rad s kvadratnim korijenima. Ako ispod znaka korijena stoji minus, onda ne možete dalje odlučivati. Ako je ispod korijena sve u redu, plus, a kao rezultat vađenja dobije se namjerni minus - napravite plus od toga! To zahtijevaju pravila djelovanja s kvadratnim korijenima.

24 podijeljeno korijenima iz 7+1

Sva svojstva korijena povezana su s množenjem-dijeljenjem. Ne postoje posebne formule za zbrajanje i oduzimanje korijena! Iako se isti korijeni mogu, naravno, zbrajati i oduzimati. Ali te radnje nemaju nikakve veze sa specifičnim svojstvima korijena.

Izvrsno. Korijeni nisu tvoj problem. Nema problema! Idemo na poseban odjeljak 555. Kvadratni korijen. Tamo su navedena sva objašnjenja. U ovom odjeljku upoznat ćete se s praktičnim radom s korijenima. Diskriminant je izraz o kojem ovisi broj korijena dane jednadžbe.

Snizimo stupanj kosinusa po formuli: 1+cos2α=2cos2α. Dakle, nema korijena. U ovom slučaju, trinom 4y2-2y+5 će uzeti samo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost y.

ISKLJUČENO: Broj pi podijeljen s korijenom iz 3 ili matematika za 1C-nick

Uostalom, ako se razlika dvaju radikala pomnoži njihovim zbrojem, tada će se dobiti razlika kvadrata korijena, tj. dobivate izraz bez radikalnih znakova. 1) Korijenski izraz drugog faktora predstavljamo kao kvadrat zbroja dvaju izraza, tj. u obliku (a + b)2. To će nam omogućiti da izvučemo aritmetički kvadratni korijen.

PROŠIRENJE NA MOĆ. Podsjećam vas: ovdje je a nenegativan broj (veći ili jednak nuli), b je pozitivan (veći od nule)! Inače, formula nema smisla ... Sada imamo dvije formule u našem arsenalu.

No, upravo te radnje stvaraju puno problema... S tim se treba temeljito pozabaviti. Nema problema! Osim ako, naravno, ne poznajete radnje s ovlastima ... Neka bude dobar broj 2. Kvadratimo ga. Iznesimo svoju diplomu na trg.

Što ako je stupanj neparan? Sve je jednostavno. Ali do sada smo radili samo s nenegativnim brojevima i izrazima. Ovdje je sve jasno i jednostavno. Ova formula ne radi za negativne vrijednosti.

Znamo izvući korijen iz djela. Kvadratni korijen je jednostavna stvar. Još je bolje kada trebate izvaditi korijen mješovitog broja! A sada vježbajmo korijenje. Jako jednostavno. Izravno u smislu korijena. Što je, na primjer, kvadratni korijen iz dva?