संभाव्यता सिद्धांत, गणित की किसी भी शाखा की तरह, एक निश्चित श्रेणी की अवधारणाओं के साथ काम करता है। संभाव्यता सिद्धांत की अधिकांश अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है, लेकिन कुछ को प्राथमिक के रूप में लिया जाता है, परिभाषित नहीं किया जाता है, जैसे कि ज्यामिति में एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान। प्राथमिक अवधारणासंभाव्यता सिद्धांत एक घटना है। एक घटना कुछ ऐसी होती है जिसके बारे में एक निश्चित समय के बाद, दोनों में से एक और केवल एक ही कहा जा सकता है:

• · हाँ, हुआ।
• · नहीं, ऐसा नहीं हुआ।

उदाहरण के लिए मेरे पास है लॉटरी टिकट. लॉटरी ड्रा के परिणामों के प्रकाशन के बाद, वह घटना जो मुझे रूचि देती है - एक हजार रूबल जीतना या तो होता है या नहीं होता है। कोई भी घटना एक परीक्षण (या अनुभव) के परिणामस्वरूप होती है। परीक्षण (या अनुभव) के तहत उन स्थितियों को समझें जिनके परिणामस्वरूप एक घटना होती है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक परीक्षा है, और उस पर "हथियारों का कोट" का दिखना एक घटना है। घटना को आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ए, बी, सी, .... भौतिक दुनिया में घटनाओं को तीन श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है - निश्चित, असंभव और यादृच्छिक।

एक निश्चित घटना वह है जो घटित होने के लिए पहले से जानी जाती है। इसे W अक्षर से दर्शाया जाता है। इस प्रकार, एक साधारण पासा फेंकते समय छह से अधिक अंक विश्वसनीय नहीं होते हैं, केवल सफेद गेंदों वाले कलश से निकाले जाने पर एक सफेद गेंद की उपस्थिति आदि।

एक असंभव घटना एक ऐसी घटना है जो पहले से ज्ञात है कि ऐसा नहीं होगा। इसे ई अक्षर से दर्शाया जाता है। असंभव घटनाओं के उदाहरण ताश के पत्तों के एक साधारण डेक से चार से अधिक इक्के खींच रहे हैं, केवल सफेद और काली गेंदों वाले कलश से लाल गेंद का दिखना आदि।

एक यादृच्छिक घटना एक ऐसी घटना है जो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकती है या नहीं भी हो सकती है। घटनाओं ए और बी को असंगत कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना की संभावना को बाहर करती है। तो किसी की उपस्थिति संभावित संख्याअंक जब एक पासा फेंकते हैं (घटना ए) दूसरी संख्या (घटना बी) की उपस्थिति के साथ असंगत है। एक सम संख्या को रोल करना एक विषम संख्या को रोल करने के साथ असंगत है। इसके विपरीत, अंकों की एक सम संख्या (घटना ए) और तीन (ईवेंट बी) से विभाज्य कई अंक असंगत नहीं होंगे, क्योंकि छह बिंदुओं के नुकसान का मतलब है कि घटना ए और घटना बी दोनों की घटना है, इसलिए एक की घटना उनमें से दूसरे की घटना को बाहर नहीं करता है। घटनाओं पर संचालन किया जा सकता है। दो घटनाओं का मिलन C=AUB एक घटना C है जो केवल तभी घटित होती है जब इनमें से कम से कम एक घटना A और B घटित होती है। दो घटनाओं का प्रतिच्छेदन D=A ?? B एक घटना है जो केवल तभी घटित होती है जब दोनों घटनाएँ A और B घटित होती हैं।

श्रेणी 5 संभाव्यता का परिचय (4 घंटे)

(इस विषय पर 4 पाठों का विकास)

सिखाने के तरीके : - एक यादृच्छिक, विश्वसनीय और असंभव घटना की परिभाषा का परिचय दें;

संयोजक समस्याओं को हल करने के बारे में पहले विचारों का नेतृत्व करें: विकल्पों के पेड़ का उपयोग करना और गुणन नियम का उपयोग करना।

शैक्षिक लक्ष्य: छात्रों की मानसिकता का विकास।

विकास लक्ष्य : स्थानिक कल्पना का विकास, शासक के साथ काम करने के कौशल में सुधार।

विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक घटनाएँ (2 घंटे)

संयुक्त कार्य (2 घंटे)

विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक घटनाएं।

पहला सबक

सबक उपकरण: पासा, सिक्का, चौसर।

हमारा जीवन काफी हद तक दुर्घटनाओं से बना है। ऐसा एक विज्ञान है "संभाव्यता सिद्धांत"। इसकी भाषा के प्रयोग से अनेक परिघटनाओं और स्थितियों का वर्णन किया जा सकता है।

यहां तक ​​​​कि आदिम नेता भी समझ गए थे कि एक दर्जन शिकारियों के पास एक भाले से भाले से मारने की "संभावना" अधिक थी। इसलिए, उन्होंने तब सामूहिक रूप से शिकार किया।

सिकंदर महान या दिमित्री डोंस्कॉय जैसे प्राचीन कमांडरों ने युद्ध की तैयारी करते हुए, न केवल योद्धाओं की वीरता और कौशल पर भरोसा किया, बल्कि मौके पर भी।

बहुत से लोग शाश्वत सत्य के लिए गणित से प्यार करते हैं दो बार हमेशा चार होता है, सम संख्याओं का योग सम होता है, एक आयत का क्षेत्रफल उसके आसन्न पक्षों के उत्पाद के बराबर होता है, आदि। किसी भी समस्या को हल करने में, सभी को मिलता है वही उत्तर - आपको बस निर्णय में कोई गलती नहीं करने की आवश्यकता है।

वास्तविक जीवन इतना सरल और स्पष्ट नहीं है। कई घटनाओं के परिणामों की पहले से भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह निश्चित रूप से कहना असंभव है कि उछाला गया सिक्का किस तरफ गिरेगा, अगले साल पहली बर्फ कब गिरेगी, या शहर में कितने लोग अगले घंटे के भीतर फोन करना चाहेंगे। ऐसी अप्रत्याशित घटनाओं को कहा जाता है यादृच्छिक रूप से .

हालाँकि, मामले के अपने कानून भी हैं, जो यादृच्छिक घटनाओं की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ खुद को प्रकट करना शुरू करते हैं। यदि आप एक सिक्के को 1000 बार उछालते हैं, तो "ईगल" लगभग आधा बार गिरेगा, जिसे दो या दस उछाल के बारे में भी नहीं कहा जा सकता है। "लगभग" का मतलब आधा नहीं है। यह, एक नियम के रूप में, ऐसा हो भी सकता है और नहीं भी। कानून आम तौर पर निश्चित रूप से कुछ भी नहीं बताता है, लेकिन एक निश्चित डिग्री निश्चितता देता है कि कुछ यादृच्छिक घटना घटित होगी। ऐसी नियमितताओं का अध्ययन गणित की एक विशेष शाखा द्वारा किया जाता है - सिद्धांत संभावना . इसकी मदद से, आप पहले हिमपात की तारीख और फोन कॉलों की संख्या दोनों के बारे में अधिक आत्मविश्वास (लेकिन अभी भी निश्चित नहीं) के साथ भविष्यवाणी कर सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत हमारे दैनिक जीवन से अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। यह हमें कई संभाव्य कानूनों को अनुभवजन्य रूप से स्थापित करने का एक शानदार अवसर देता है, बार-बार यादृच्छिक प्रयोगों को दोहराता है। इन प्रयोगों के लिए सामग्री अक्सर एक साधारण सिक्का, एक पासा, डोमिनोज़ का एक सेट, बैकगैमौन, रूले, या यहां तक ​​​​कि ताश के पत्तों का एक डेक होगा। इनमें से प्रत्येक वस्तु किसी न किसी रूप में खेलों से संबंधित है। तथ्य यह है कि यहां मामला सबसे अधिक बार प्रकट होता है। और पहले संभाव्य कार्य खिलाड़ियों के जीतने की संभावना का आकलन करने से जुड़े थे।

आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत जुए से दूर हो गया है, लेकिन उनके सहारा अभी भी मौके का सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय स्रोत हैं। रूले व्हील और डाई के साथ अभ्यास करके, आप सीखेंगे कि वास्तविक जीवन स्थितियों में यादृच्छिक घटनाओं की संभावना की गणना कैसे करें, जो आपको सफलता की संभावनाओं का आकलन करने, परिकल्पनाओं का परीक्षण करने और न केवल खेल और लॉटरी में इष्टतम निर्णय लेने की अनुमति देगा। .

संभाव्य समस्याओं को हल करते समय, बहुत सावधान रहें, प्रत्येक चरण को सही ठहराने का प्रयास करें, क्योंकि गणित के किसी अन्य क्षेत्र में इतने सारे विरोधाभास नहीं हैं। संभाव्यता सिद्धांत की तरह। और शायद इसके लिए मुख्य स्पष्टीकरण वास्तविक दुनिया के साथ इसका संबंध है जिसमें हम रहते हैं।

कई खेलों में, एक पासे का उपयोग किया जाता है, जिसमें प्रत्येक पक्ष पर 1 से 6 तक अलग-अलग अंक होते हैं। खिलाड़ी पासे को घुमाता है, देखता है कि कितने अंक गिरे (उस तरफ जो शीर्ष पर स्थित है), और बनाता है चालों की उचित संख्या: 1,2,3,4,5, या 6. पासे को फेंकना एक अनुभव, एक प्रयोग, एक परीक्षण माना जा सकता है, और प्राप्त परिणाम को एक घटना माना जा सकता है। लोग आमतौर पर किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में बहुत रुचि रखते हैं। पासे को उछालने पर वे क्या भविष्यवाणियां कर सकते हैं? पहली भविष्यवाणी: 1,2,3,4,5, या 6 में से कोई एक अंक निकल जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? जरूर आएगी। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है विश्वसनीय घटना।

दूसरी भविष्यवाणी : संख्या 7 गिर जाएगी। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? बेशक ऐसा नहीं होगा, यह असंभव है। वह घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभव घटना।

तीसरी भविष्यवाणी : नंबर 1 गिर जाएगा। क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना आएगी या नहीं? हम इस प्रश्न का पूर्ण निश्चित उत्तर देने में सक्षम नहीं हैं, क्योंकि अनुमानित घटना घटित हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक घटना।

व्यायाम : नीचे दिए गए कार्यों में चर्चा की गई घटनाओं का वर्णन करें। निश्चित रूप से, असंभव या यादृच्छिक।

हम एक सिक्का उछालते हैं। प्रतीक दिखाई दिया। (यादृच्छिक रूप से)

शिकारी ने भेड़िये को गोली मार दी और मारा। (यादृच्छिक रूप से)

छात्र रोज शाम को टहलने जाता है। सोमवार को सैर के दौरान उसकी मुलाकात तीन परिचितों से हुई। (यादृच्छिक रूप से)

आइए मानसिक रूप से निम्नलिखित प्रयोग करें: एक गिलास पानी को उल्टा कर दें। यदि यह प्रयोग अंतरिक्ष में नहीं, बल्कि घर पर या कक्षा में किया जाए, तो पानी बहेगा। (विश्वसनीय)

निशाने पर तीन गोलियां मारी। पाँच हिट थे" (असंभव)

हम पत्थर ऊपर फेंकते हैं। पत्थर हवा में लटका रहता है। (असंभव)

शब्द "प्रतिपक्षी" के अक्षरों को यादृच्छिक रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। शब्द "एनाक्रोइज़्म" निकलेगा। (असंभव)

№959. पेट्या ने गर्भ धारण किया प्राकृतिक संख्या. घटना इस प्रकार है:

ए) इरादा सम संख्या; (यादृच्छिक) बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है; (यादृच्छिक रूप से)

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम; (असंभव)

d) सम या विषम संख्या की कल्पना की जाती है। (विश्वसनीय)

№ 961. पेट्या और तोल्या अपने जन्मदिन की तुलना करते हैं। घटना इस प्रकार है:

क) उनके जन्मदिन मेल नहीं खाते; (यादृच्छिक) बी) उनके जन्मदिन समान हैं; (यादृच्छिक रूप से)

d) दोनों जन्मदिन छुट्टियों पर पड़ते हैं - नया साल (1 जनवरी) और रूस का स्वतंत्रता दिवस (12 जून)। (यादृच्छिक रूप से)

№ 962. बैकगैमौन खेलते समय, दो पासों का उपयोग किया जाता है। एक खिलाड़ी द्वारा की जाने वाली चालों की संख्या का निर्धारण पासे के दो फलकों पर संख्याओं को जोड़कर किया जाता है, और यदि एक "डबल" गिर जाता है (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), फिर चालों की संख्या दोगुनी हो जाती है। आप पासे को घुमाते हैं और गणना करते हैं कि आपको कितनी चालें चलानी हैं। घटना इस प्रकार है:

ए) आपको एक चाल चलनी चाहिए; बी) आपको 7 चालें बनानी होंगी;

ग) आपको 24 चालें बनानी होंगी; d) आपको 13 चालें चलनी चाहिए।

a) - असंभव (यदि संयोजन 1 + 0 गिर जाता है, तो 1 चाल चल सकती है, लेकिन पासे पर कोई संख्या 0 नहीं है)।

बी) - यादृच्छिक (यदि 1 + 6 या 2 + 5 गिर जाता है)।

ग) - यादृच्छिक (यदि संयोजन 6 +6 गिर जाता है)।

d) - असंभव (1 से 6 तक की संख्याओं का कोई संयोजन नहीं है, जिसका योग 13 है; यह संख्या "डबल" रोल करने पर भी प्राप्त नहीं की जा सकती, क्योंकि यह विषम है)।

अपने आप को जांचो। (गणित श्रुतलेख)

1) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटनाएं असंभव हैं, जो निश्चित हैं, जो यादृच्छिक हैं:

फुटबॉल मैच "स्पार्टक" - "डायनमो" ड्रॉ में समाप्त होगा। (यादृच्छिक रूप से)

आप जीत-जीत लॉटरी (प्रामाणिक) में भाग लेकर जीतेंगे

आधी रात को बर्फ़ गिरेगी और 24 घंटे बाद सूरज चमकेगा। (असंभव)

कल गणित की परीक्षा होगी। (यादृच्छिक रूप से)

आप संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (असंभव)

आप रूस के राष्ट्रपति चुने जाएंगे। (यादृच्छिक रूप से)

2) आपने एक स्टोर में एक टीवी खरीदा, जिसके लिए निर्माता दो साल की वारंटी देता है। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो निश्चित है:

टीवी एक साल के भीतर नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक रूप से)

टीवी दो साल तक नहीं टूटेगा। (यादृच्छिक रूप से)

दो साल के भीतर, आपको टीवी की मरम्मत के लिए भुगतान नहीं करना होगा। (विश्वसनीय)

टीवी तीसरे साल में टूट जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

3) 15 यात्रियों को ले जाने वाली एक बस में 10 स्टॉप बनाने हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो निश्चित है:

सभी यात्री अलग-अलग स्टॉप पर बस से उतरेंगे। (असंभव)

सभी यात्री एक ही स्टॉप पर उतरेंगे। (यादृच्छिक रूप से)

हर पड़ाव पर कोई न कोई उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

एक पड़ाव होगा जिस पर कोई नहीं उतरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

सभी स्टॉप पर सम संख्या में यात्री उतरेंगे। (असंभव)

सभी स्टॉप पर विषम संख्या में यात्री उतरेंगे। (असंभव)

गृहकार्य : 53 नंबर 960, 963, 965 (स्वयं दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ)।

दूसरा पाठ।

इंतिहान गृहकार्य. (मौखिक रूप से)

क) स्पष्ट करें कि निश्चित, यादृच्छिक और असंभव घटनाएँ क्या हैं।

बी) इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना निश्चित है, जो असंभव है, जो यादृच्छिक है:

गर्मी की छुट्टियां नहीं होंगी। (असंभव)

सैंडविच मक्खन की तरफ नीचे की ओर गिरेगा। (यादृच्छिक रूप से)

स्कूल वर्ष अंततः समाप्त हो जाएगा। (विश्वसनीय)

मुझसे कल कक्षा में पूछा जाएगा। (यादृच्छिक रूप से)

मैं आज एक काली बिल्ली से मिल रहा हूँ। (यादृच्छिक रूप से)

№ 960. आपने इस पाठ्यपुस्तक को किसी भी पृष्ठ पर खोला और पहली संज्ञा चुनी जो सामने आई। घटना इस प्रकार है:

क) चुने हुए शब्द की वर्तनी में एक स्वर है। ((विश्वसनीय)

बी) चुने हुए शब्द की वर्तनी में "ओ" अक्षर है। (यादृच्छिक रूप से)

ग) चुने हुए शब्द की वर्तनी में कोई स्वर नहीं हैं। (असंभव)

d) चुने हुए शब्द की वर्तनी में एक नरम चिन्ह है। (यादृच्छिक रूप से)

№ 963. आप फिर से बैकगैमौन खेल रहे हैं। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

a) खिलाड़ी को दो से अधिक चालें नहीं चलनी चाहिए। (असंभव - सबसे छोटी संख्या 1 + 1 के संयोजन के साथ, खिलाड़ी 4 चालें बनाता है; संयोजन 1 + 2 3 चालें देता है; अन्य सभी संयोजन 3 से अधिक चालें देते हैं)

बी) खिलाड़ी को दो से अधिक चालें चलनी चाहिए। (विश्वसनीय - कोई भी संयोजन 3 या अधिक चाल देता है)

ग) खिलाड़ी को 24 से अधिक चालें नहीं चलानी चाहिए। (विश्वसनीय - सबसे बड़ी संख्या 6 + 6 का संयोजन 24 चाल देता है, और बाकी सभी - 24 से कम चालें)

d) खिलाड़ी को दो अंकों की संख्या में चालें बनानी चाहिए। (यादृच्छिक - उदाहरण के लिए, 2 + 3 का संयोजन एक अंक की चालों की संख्या देता है: 5, और दो चौकों का पतन दो अंकों की चाल देता है)

2. समस्या का समाधान।

№ 964. एक बैग में 10 गेंदें हैं: 3 नीली, 3 सफेद और 4 लाल। निम्नलिखित घटना का वर्णन करें:

a) बैग से 4 गेंदें निकाली जाती हैं, और वे सभी नीली हैं; (असंभव)

बी) बैग से 4 गेंदें निकाली जाती हैं, और वे सभी लाल हो जाती हैं; (यादृच्छिक रूप से)

ग) बैग से 4 गेंदें निकाली गईं, और वे सभी अलग-अलग रंगों की निकलीं; (असंभव)

घ) थैले में से 4 गेंदें निकाली गईं और उनमें कोई काली गेंद नहीं थी। (विश्वसनीय)

कार्य 1 । बॉक्स में 10 लाल, 1 हरे और 2 नीले पेन हैं। बॉक्स से यादृच्छिक रूप से दो वस्तुएँ ली जाती हैं। निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक है, जो निश्चित है:

ए) दो लाल हैंडल निकाले जाते हैं (यादृच्छिक)

बी) दो हरे रंग के हैंडल निकाले जाते हैं; (असंभव)

ग) दो नीले हैंडल निकाले जाते हैं; (यादृच्छिक रूप से)

डी) दो अलग-अलग रंगों के हैंडल निकाले जाते हैं; (यादृच्छिक रूप से)

ई) दो हैंडल निकाले जाते हैं; (विश्वसनीय)

e) दो पेंसिलें निकाली जाती हैं। (असंभव)

कार्य 2. विनी द पूह, पिगलेट और हर कोई - हर कोई - हर कोई जन्मदिन मनाने के लिए एक गोल मेज पर बैठता है। किस संख्या के साथ - सभी - सभी घटना "विनी द पूह और पिगलेट कंधे से कंधा मिलाकर बैठेंगे" विश्वसनीय है, और किसके साथ - यादृच्छिक?

(यदि सभी में से केवल 1 - सभी - सभी हैं, तो घटना विश्वसनीय है, यदि 1 से अधिक है, तो यह यादृच्छिक है)।

कार्य 3. 100 चैरिटी लॉटरी टिकटों में से 20 जीतने वाले टिकट "आप कुछ भी नहीं जीतते" घटना को असंभव बनाने के लिए आपको कितने टिकट खरीदने की आवश्यकता है?

कार्य 4. कक्षा में 10 लड़के और 20 लड़कियां हैं। ऐसे वर्ग के लिए निम्नलिखित में से कौन-सी घटना असंभव है, जो यादृच्छिक हैं, जो निश्चित हैं

कक्षा में दो लोग हैं जिनका जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ है। (यादृच्छिक रूप से)

कक्षा में दो व्यक्ति ऐसे हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ है। (विश्वसनीय)

कक्षा में दो लड़के हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ था। (यादृच्छिक रूप से)

कक्षा में दो लड़कियां हैं जिनका जन्म एक ही महीने में हुआ था। (विश्वसनीय)

सभी लड़कों का जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ था। (विश्वसनीय)

सभी लड़कियों का जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ था। (यादृच्छिक रूप से)

एक ही महीने में एक लड़का और एक लड़की का जन्म हुआ है। (यादृच्छिक रूप से)

एक लड़का और एक लड़की का जन्म अलग-अलग महीनों में हुआ है। (यादृच्छिक रूप से)

कार्य 5. एक बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली, 3 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से 4 गेंदें ड्रा करें। घटना पर विचार करें "खींची गई गेंदों में बिल्कुल एम रंगों की गेंदें होंगी"। 1 से 4 तक प्रत्येक एम के लिए, यह निर्धारित करें कि यह कौन सी घटना है - असंभव, निश्चित या यादृच्छिक, और तालिका भरें:

स्वतंत्र काम।

मैंविकल्प

क) आपके मित्र का जन्मदिन 32 से कम है;

ग) कल गणित की परीक्षा होगी;

d) अगले साल मॉस्को में रविवार को पहली बर्फ गिरेगी।

एक पासा फेंको। घटना का वर्णन करें:

ए) घन, गिरने पर, उसके किनारे पर खड़ा होगा;

बी) संख्याओं में से एक गिर जाएगी: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

ग) संख्या 6 गिर जाएगी;

d) एक संख्या जो 7 का गुणज हो, आएगी।

एक बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली और 3 हरी गेंदें हैं। घटना का वर्णन करें:

ए) सभी खींची गई गेंदें एक ही रंग की होती हैं;

बी) विभिन्न रंगों की सभी खींची गई गेंदें;

ग) खींची गई गेंदों में विभिन्न रंगों की गेंदें होती हैं;

ग) खींची गई गेंदों में एक लाल, पीली और हरी गेंद है।

द्वितीयविकल्प

घटना को निश्चित, असंभव या यादृच्छिक के रूप में वर्णित करें:

ए) एक सैंडविच जो टेबल से गिर गया है, फर्श पर गिर जाएगा, मक्खन की तरफ नीचे;

बी) मास्को में आधी रात को बर्फ गिरेगी, और 24 घंटों में सूरज चमक जाएगा;

ग) आप जीत-जीत लॉटरी में भाग लेकर जीतते हैं;

d) अगले साल मई में, पहली वसंत गड़गड़ाहट सुनाई देगी।

सभी दो अंकों की संख्या कार्ड पर लिखी जाती है। एक कार्ड यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। घटना का वर्णन करें:

ए) कार्ड शून्य निकला;

b) कार्ड पर एक संख्या है जो 5 का गुणज है;

ग) कार्ड पर एक संख्या है जो 100 का गुणज है;

d) कार्ड में 9 से बड़ी और 100 से कम संख्या होती है।

बॉक्स में 10 लाल, 1 हरे और 2 नीले पेन हैं। बॉक्स से यादृच्छिक रूप से दो वस्तुएँ ली जाती हैं। घटना का वर्णन करें:

ए) दो नीले हैंडल निकाले जाते हैं;

बी) दो लाल हैंडल निकाले जाते हैं;

ग) दो हरे हैंडल निकाले जाते हैं;

d) हरे और काले रंग के हैंडल निकाले जाते हैं।

गृहकार्य: 1). दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ।

2))। एक कार्य . एक बॉक्स में 3 लाल, 3 पीली, 3 हरी गेंदें हैं। हम यादृच्छिक रूप से N गेंदें निकालते हैं। घटना पर विचार करें "खींची गई गेंदों के बीच ठीक तीन रंगों की गेंदें होंगी।" 1 से 9 तक प्रत्येक N के लिए, निर्धारित करें कि यह कौन सी घटना है - असंभव, निश्चित या यादृच्छिक, और तालिका भरें:

संयोजन कार्य।

पहला सबक

गृहकार्य की जाँच करना। (मौखिक रूप से)

ए) हम उन समस्याओं की जांच करते हैं जो छात्रों के साथ आई थीं।

बी) अतिरिक्त कार्य।

मैं वी. लेव्शिन की पुस्तक "थ्री डेज़ इन कार्लिकानी" का एक अंश पढ़ रहा हूँ।

"सबसे पहले, एक चिकनी वाल्ट्ज की आवाज़ के लिए, संख्याओं ने एक समूह बनाया: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. फिर युवा स्केटर्स ने स्थान बदलना शुरू कर दिया, अधिक से अधिक नए समूह बनाए: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 आदि।

यह तब तक जारी रहा जब तक कि स्केटर्स अपनी मूल स्थिति में वापस नहीं आ गए।

उन्होंने कितनी बार जगह बदली है?

आज के पाठ में हम सीखेंगे कि ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाए। उन्हें कहा जाता है जुझारू।

3. नई सामग्री सीखना।

कार्य 1। संख्या 1, 2, 3 से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान: 11, 12, 13

31, 32, 33. केवल 9 अंक।

इस समस्या को हल करते समय, हमने सभी संभावित विकल्पों की गणना की, या, जैसा कि वे आमतौर पर इन मामलों में कहते हैं। सभी संभव संयोजन। इसलिए, ऐसे कार्यों को कहा जाता है जुझारू। जीवन में संभावित (या असंभव) विकल्पों की गणना करना काफी सामान्य है, इसलिए कॉम्बीनेटरियल समस्याओं से परिचित होना उपयोगी है।

№ 967. कई देशों ने अपने राष्ट्रीय ध्वज के प्रतीकों को अलग-अलग रंगों में समान चौड़ाई की तीन क्षैतिज पट्टियों के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया है - सफेद, नीला, लाल। कितने देश ऐसे प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज हो?

समाधान। मान लीजिए कि पहली पट्टी सफेद है। फिर दूसरी पट्टी नीली या लाल हो सकती है, और तीसरी पट्टी क्रमशः लाल या नीली हो सकती है। यह दो विकल्प निकला: सफेद, नीला, लाल या सफेद, लाल, नीला।

चलिए अब फ्रंट पेज नीले रंग का, तो फिर हमें दो विकल्प मिलते हैं: सफेद, लाल, नीला या नीला, लाल, सफेद।

पहली पट्टी को लाल होने दें, फिर दो और विकल्प: लाल, सफेद, नीला या लाल, नीला, सफेद।

कुल 6 संभावित विकल्प हैं। इस झंडे का इस्तेमाल 6 देश कर सकते हैं।

इसलिए, इस समस्या को हल करते समय, हम संभावित विकल्पों की गणना करने का एक तरीका ढूंढ रहे थे। कई मामलों में, यह एक चित्र बनाने के लिए उपयोगी साबित होता है - विकल्पों की गणना के लिए एक योजना। यह, सबसे पहले, उदाहरण है दूसरे, हमें सब कुछ ध्यान में रखने की अनुमति देता है, कुछ भी याद नहीं करने के लिए।

इस योजना को संभावित विकल्पों का वृक्ष भी कहा जाता है।

मुखपृष्ठ

दूसरी लेन

तीसरी लेन

प्राप्त संयोजन

№ 968. संख्या 1, 2, 4, 6, 8 से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

समाधान। हमारे लिए दो अंकों की संख्या के लिए, 0 को छोड़कर दिए गए अंकों में से कोई भी पहले स्थान पर हो सकता है यदि हम संख्या 2 को पहले स्थान पर रखते हैं, तो दिए गए अंकों में से कोई भी दूसरे स्थान पर हो सकता है . दो अंकों की पांच संख्याएँ होंगी: 2.,22, 24, 26, 28। इसी तरह, पहले अंक 4 के साथ पांच दो अंकों की संख्याएं होंगी, पहले अंक 6 के साथ पांच दो अंकों की संख्याएं और पांच दो- पहले अंक 8 के साथ अंक संख्या।

उत्तर: कुल 20 अंक हैं।

आइए इस समस्या को हल करने के लिए संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं।

दोहरे आंकड़े

पहला अंक

दूसरा अंक

प्राप्त संख्या

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाकर निम्नलिखित समस्याओं को हल करें।

№ 971. किसी देश के नेतृत्व ने अपना राष्ट्रीय ध्वज इस तरह बनाने का फैसला किया: एक रंग की आयताकार पृष्ठभूमि पर, एक कोने में एक अलग रंग का एक चक्र रखा जाता है। तीन संभावित रंगों में से रंग चुनने का निर्णय लिया गया: लाल, पीला, हरा। इस झंडे के कितने प्रकार हैं

मौजूद? आंकड़ा कुछ संभावित विकल्पों को दिखाता है।

उत्तर: 24 विकल्प।

№ 973. a) संख्या 1,3, 5, से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (27 नंबर)

ख) संख्या 1,3, 5 से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो? (6 अंक)

№ 979. आधुनिक पेंटाथलेट्स पांच खेलों में दो दिनों के लिए प्रतिस्पर्धा करते हैं: कूदना, तलवारबाजी, तैराकी, शूटिंग और दौड़ना।

क) प्रतियोगिता के प्रकारों को पास करने के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं? (120 विकल्प)

बी) प्रतियोगिता के आयोजनों को पारित करने के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम कार्यक्रम एक रन होना चाहिए? (24 विकल्प)

ग) प्रतियोगिता के प्रकारों को पास करने के क्रम के लिए कितने विकल्प हैं, यदि यह ज्ञात है कि अंतिम प्रकार चलना चाहिए, और पहला - शो जंपिंग? (6 विकल्प)

№ 981. दो कलशों में प्रत्येक पाँच में पाँच गेंदें होती हैं अलग - अलग रंग: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। प्रत्येक कलश से एक बार में एक गेंद निकाली जाती है।

ए) खींची गई गेंदों के कितने अलग संयोजन हैं ("सफेद-लाल" और "लाल-सफेद" जैसे संयोजन समान माने जाते हैं)?

(15 संयोजन)

ख) ऐसे कितने संयोजन हैं जिनमें खींची गई गेंदें एक ही रंग की हैं?

(5 संयोजन)

ग) ऐसे कितने संयोजन हैं जिनमें खींची गई गेंदें विभिन्न रंगों की हैं?

(15 - 5 = 10 संयोजन)

गृहकार्य: 54, संख्या 969, 972, स्वयं एक संयोजक समस्या लेकर आते हैं।

№ 969. कई देशों ने अपने राष्ट्रीय ध्वज के लिए अलग-अलग रंगों में समान चौड़ाई की तीन ऊर्ध्वाधर धारियों के रूप में प्रतीकों का उपयोग करने का निर्णय लिया है: हरा, काला, पीला। कितने देश ऐसे प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, बशर्ते कि प्रत्येक देश का अपना ध्वज हो?

№ 972. a) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) संख्या 1, 3, 5, 7, 9 से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

दूसरा पाठ

गृहकार्य की जाँच करना। ए) नंबर 969 और नंबर 972 ए) और नंबर 972 बी) - बोर्ड पर संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाएं।

बी) मौखिक रूप से संकलित कार्यों की जाँच करें।

समस्या को सुलझाना.

इसलिए, इससे पहले, हमने सीखा कि विकल्पों के पेड़ का उपयोग करके संयोजक समस्याओं को कैसे हल किया जाए। क्या यह एक अच्छा तरीका है? शायद हाँ, लेकिन बहुत बोझिल। आइए घरेलू समस्या संख्या 972 को एक अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें। कौन अनुमान लगा सकता है कि यह कैसे किया जा सकता है?

उत्तर: टी-शर्ट के पांच रंगों में से प्रत्येक के लिए शॉर्ट्स के 4 रंग हैं। कुल: 4 * 5 = 20 विकल्प।

№ 980. कलश में पांच अलग-अलग रंगों में पांच गेंदें होती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। प्रत्येक कलश से एक बार में एक गेंद निकाली जाती है। निम्नलिखित घटना को निश्चित, यादृच्छिक या असंभव के रूप में वर्णित करें:

क) विभिन्न रंगों की खींची हुई गेंदें; (यादृच्छिक रूप से)

बी) एक ही रंग की खींची गई गेंदें; (यादृच्छिक रूप से)

ग) काली और सफेद गेंदें खींची जाती हैं; (असंभव)

d) दो गेंदें निकाली जाती हैं, और दोनों निम्नलिखित में से किसी एक रंग में रंगी जाती हैं: सफेद, नीला, लाल, पीला, हरा। (विश्वसनीय)

№ 982. पर्यटकों के एक समूह ने एंटोनोवो - बोरिसोवो - व्लासोवो - ग्रिबोवो मार्ग के साथ एक यात्रा करने की योजना बनाई है। एंटोनोवो से बोरिसोवो तक आप नदी को पार कर सकते हैं या चल सकते हैं। बोरिसोवो से व्लासोवो तक आप पैदल चल सकते हैं या साइकिल चला सकते हैं। व्लासोवो से ग्रिबोवो तक आप नदी के किनारे तैर सकते हैं, साइकिल की सवारी कर सकते हैं या चल सकते हैं। पर्यटक कितने लंबी पैदल यात्रा के विकल्प चुन सकते हैं? पर्यटक कितने लंबी पैदल यात्रा के विकल्प चुन सकते हैं, बशर्ते कि मार्ग के कम से कम एक खंड में उन्हें साइकिल का उपयोग करना चाहिए?

(12 मार्ग विकल्प, उनमें से 8 साइकिल का उपयोग कर रहे हैं)

स्वतंत्र काम।

1 विकल्प

a) 0, 1, 3, 5, 7 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

ख) 0, 1, 3, 5, 7 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

एथोस, पोर्थोस और अरामिस के पास केवल एक तलवार, एक खंजर और एक पिस्तौल है।

क) बंदूकधारियों को कितने तरीकों से सशस्त्र किया जा सकता है?

ख) यदि अरामिस के पास तलवार होनी चाहिए तो कितने हथियार विकल्प हैं?

ग) यदि अरामिस के पास तलवार होनी चाहिए और पोर्थोस के पास पिस्तौल होनी चाहिए तो कितने हथियार विकल्प हैं?

कहीं, भगवान ने एक कौवे को पनीर का एक टुकड़ा भेजा, साथ ही पनीर, सॉसेज, सफेद और काली रोटी भी। एक देवदार के पेड़ पर बैठा एक कौआ नाश्ता करने ही वाला था, लेकिन उसने इसके बारे में सोचा: इन उत्पादों से सैंडविच कितने तरीकों से बनाए जा सकते हैं?

विकल्प 2

a) 0, 2, 4, 6, 8 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

ख) 0, 2, 4, 6, 8 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

काउंट मोंटे क्रिस्टो ने प्रिंसेस हाइड को झुमके, एक हार और एक ब्रेसलेट देने का फैसला किया। गहनों के प्रत्येक टुकड़े में निम्नलिखित प्रकार के रत्नों में से एक होना चाहिए: हीरे, माणिक या गार्नेट।

क) रत्न के गहनों के कितने संयोजन हैं?

ख) अगर झुमके हीरा होने चाहिए तो गहने के कितने विकल्प हैं?

ग) अगर झुमके हीरा और ब्रेसलेट गार्नेट होने चाहिए तो गहने के कितने विकल्प हैं?

नाश्ते के लिए, आप कॉफी या केफिर के साथ बन, सैंडविच या जिंजरब्रेड चुन सकते हैं। नाश्ते के कितने विकल्प उपलब्ध हैं?

गृहकार्य : संख्या 974, 975. (विकल्पों के एक वृक्ष को संकलित करके और गुणन नियम का उपयोग करके)

№ 974 . a) 0, 2, 4 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) 0, 2, 4 से कितनी तीन अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, बशर्ते कि संख्याओं की पुनरावृत्ति न हो?

№ 975 . a) 1.3, 5.7 संख्याओं से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

b) दी गई संख्या 1.3, 5.7 से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। किन अंकों की पुनरावृत्ति नहीं करनी चाहिए?

समस्या संख्याएँ पाठ्यपुस्तक से ली गई हैं

"गणित-5", आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच, 2004।

1.1. कॉम्बिनेटरिक्स से कुछ जानकारी

1.1.1. आवास

वस्तुओं के एक निश्चित समूह के चयन और स्थान से संबंधित सरलतम अवधारणाओं पर विचार करें।
संभाव्य समस्याओं को हल करते समय इन क्रियाओं को करने के तरीकों की संख्या की गणना अक्सर की जाती है।
परिभाषा. से आवास एनतत्वों द्वारा क (क ≤एन) का कोई आदेशित उपसमुच्चय है कएक सेट के तत्वों से मिलकर बनता है एनविभिन्न तत्व।
उदाहरण।संख्याओं के निम्नलिखित क्रम समुच्चय के 3 तत्वों (1;2;3) से 2 तत्वों की व्यवस्था हैं: 12, 13, 23, 21, 31, 32।
ध्यान दें कि प्लेसमेंट उनके घटक तत्वों और उनकी संरचना के क्रम में भिन्न होते हैं। प्लेसमेंट 12 और 21 में समान संख्याएं हैं, लेकिन उनका क्रम अलग है। इसलिए, इन प्लेसमेंट को अलग माना जाता है।
से विभिन्न प्लेसमेंट की संख्या एनतत्वों द्वारा कसूत्र द्वारा निरूपित और परिकलित:
,
कहाँ पे एन! = 1∙2∙...∙(एन - 1)∙एन(पढ़ना " एनफैक्टोरियल)।
1, 2, 3 अंकों से बनने वाली दो अंकों की संख्याओं की संख्या, बशर्ते कि कोई अंक दोहराया न जाए:

1.1.2 क्रमपरिवर्तन

परिभाषा. से क्रमपरिवर्तन एनतत्वों को ऐसे प्लेसमेंट कहा जाता है एनतत्व जो केवल तत्वों की व्यवस्था में भिन्न होते हैं।
से क्रमपरिवर्तन की संख्या एनतत्वों पी नसूत्र द्वारा गणना: पी न=एन!
उदाहरण। 5 व्यक्ति कितने प्रकार से लाइन अप कर सकते हैं? तरीकों की संख्या 5 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।
पी 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
परिभाषा. अगर बीच में एनतत्वों कसमान, फिर इनका क्रमपरिवर्तन एनतत्वों को दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन कहा जाता है।
उदाहरण।मान लीजिए कि 6 पुस्तकों में से 2 समान हैं। शेल्फ पर सभी पुस्तकों की कोई भी व्यवस्था दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन है।
दोहराव के साथ विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या (में से) एनतत्व, जिनमें से कसमरूप) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: .
हमारे उदाहरण में, पुस्तकों को एक शेल्फ पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है: .

1.1.3. युग्म

परिभाषा. से संयोजन एनतत्वों द्वारा कऐसे प्लेसमेंट कहलाते हैं एनतत्वों द्वारा क, जो कम से कम एक तत्व से एक दूसरे से भिन्न होते हैं।
के विभिन्न संयोजनों की संख्या एनतत्वों द्वारा कसूत्र द्वारा निरूपित और परिकलित: .
परिभाषा के अनुसार, 0!=1.
संयोजनों में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1.
2.
3.
4.
उदाहरण।विभिन्न रंगों के 5 फूल हैं। एक गुलदस्ता के लिए, 3 फूलों का चयन किया जाता है। 5 में से 3 फूलों के विभिन्न गुलदस्ते की संख्या है: .

1.2. यादृच्छिक घटनाएं

1.2.1. घटनाक्रम

प्राकृतिक विज्ञान में वास्तविकता का ज्ञान परीक्षणों (प्रयोग, अवलोकन, अनुभव) के परिणामस्वरूप होता है।
परीक्षण या अनुभव कुछ विशिष्ट परिस्थितियों का कार्यान्वयन है जिन्हें मनमाने ढंग से पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है बड़ी संख्याएक बार।
यादृच्छिक रूप से एक घटना कहा जाता है जो किसी परीक्षण (अनुभव) के परिणामस्वरूप हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
इस प्रकार, घटना को एक परीक्षण का परिणाम माना जाता है।
उदाहरण।सिक्का उछालना एक परीक्षा है। फेंके जाने पर बाज का दिखना एक घटना है।
जिन घटनाओं का हम निरीक्षण करते हैं, उनके घटित होने की संभावना और उनके संबंधों की प्रकृति में भिन्नता होती है।
घटना कहा जाता है भरोसेमंद यदि परीक्षण के परिणामस्वरूप ऐसा होना निश्चित है।
उदाहरण।परीक्षा में सकारात्मक या नकारात्मक अंक प्राप्त करने वाला छात्र एक निश्चित घटना है यदि परीक्षा सामान्य नियमों के अनुसार आगे बढ़ती है।
घटना कहा जाता है असंभव यदि यह इस परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है।
उदाहरण।केवल रंगीन (गैर-सफेद) गेंदों वाले कलश से एक सफेद गेंद निकालना एक असंभव घटना है। ध्यान दें कि प्रयोग की अन्य शर्तों के तहत, एक सफेद गेंद की उपस्थिति को बाहर नहीं किया जाता है; इस प्रकार, यह घटना केवल हमारे अनुभव की स्थितियों में असंभव है।
इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाओं को बड़े लैटिन द्वारा दर्शाया जाएगा अक्षर ए, बी, सी... एक निश्चित घटना को अक्षर से दर्शाया जाएगा, एक असंभव घटना को से।
दो या दो से अधिक घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभव किसी दिए गए परीक्षण में, यदि यह मानने का कारण है कि इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में अधिक या कम होने की संभावना नहीं है।
उदाहरण।पासे को एक बार फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 अंक का आना सभी समान रूप से संभव घटनाएँ हैं। बेशक, यह माना जाता है कि पासा एक सजातीय सामग्री से बना है और इसका एक नियमित आकार है।
दो घटनाओं को कहा जाता है असंगत किसी दिए गए परीक्षण में, यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर करती है, और संयुक्त अन्यथा।
उदाहरण।बॉक्स में मानक और गैर-मानक भाग होते हैं। आइए एक विवरण लें। एक मानक भाग की उपस्थिति एक गैर-मानक भाग की उपस्थिति को बाहर करती है। ये घटनाएं असंगत हैं।
कई आयोजन फॉर्म घटनाओं का पूरा समूह इस परीक्षण में, यदि इस परीक्षण के परिणामस्वरूप उनमें से कम से कम एक अनिवार्य रूप से होता है।
उदाहरण।उदाहरण से घटनाएँ समान रूप से संभव और जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।
दो असंबद्ध घटनाएँ जो किसी दिए गए परीक्षण में घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, कहलाती हैं विपरीत घटनाएं.
यदि उनमें से एक को द्वारा निरूपित किया जाता है ए, तो दूसरे को आमतौर पर के माध्यम से निरूपित किया जाता है (यह "नहीं" पढ़ता है ए»).
उदाहरण।एक लक्ष्य पर एक शॉट के साथ मारना और गायब होना विपरीत घटनाएँ हैं।

1.2.2. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

घटना की संभावना इसकी घटना की संभावना का एक संख्यात्मक उपाय है।
आयोजन लेकिनबुलाया अनुकूल प्रतिस्पर्धा परअगर जब भी कोई घटना घटती है लेकिन, घटना घटित होती है पर.
घटनाक्रम लेकिन 1 , लेकिन 2 , ..., लेकिनएनप्रपत्र केस चार्ट , यदि वे:
1) समान रूप से संभव हैं;
2) जोड़ीवार असंगत हैं;
3) एक पूरा समूह बनाएं।
मामलों की योजना में (और केवल इस योजना में) संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा होती है पी(ए) विकास लेकिन. यहां, समान रूप से संभव और जोड़ीवार असंगत घटनाओं के चयनित पूर्ण समूह से संबंधित प्रत्येक घटना को केस कहा जाता है।
यदि एक एनयोजना में सभी मामलों की संख्या है, और एम- घटना के अनुकूल मामलों की संख्या लेकिन, फिर घटना की संभावना लेकिनसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है:

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:
1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।
वास्तव में, यदि कोई घटना निश्चित है, तो घटनाओं की योजना में प्रत्येक घटना घटना का पक्ष लेती है। इस मामले में एम = एनऔर इसलिए

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।
वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो मामलों की योजना में से कोई भी मामला घटना के पक्ष में नहीं है। इसीलिए एम= 0 और इसलिए,

एक यादृच्छिक घटना की संभावना है सकारात्मक संख्याशून्य और एक के बीच।
सचमुच, यादृच्छिक घटनाकेवल के एक हिस्से के पक्ष में है कुल गणनाकेस आरेख में मामले। इसलिए 0<एम<एन, जिसका अर्थ है 0<एम/एन<1 и, следовательно, 0 < पी (ए) < 1.
अतः, किसी भी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
0 ≤ पी(ए) ≤ 1.
वर्तमान में, प्रायिकता के गुणों को ए.एन. द्वारा तैयार किए गए स्वयंसिद्धों के रूप में परिभाषित किया गया है। कोलमोगोरोव.
संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के मुख्य लाभों में से एक घटना की संभावना की सीधे गणना करने की क्षमता है, अर्थात। प्रयोगों का सहारा लिए बिना, जिन्हें तार्किक तर्क द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना की समस्याएं

कार्य 1.1. एक पासे के एक रोल में सम अंक (घटना A) प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
समाधान. घटनाओं पर विचार करें लेकिनमैं- छोड़ दिया या हार मान लिया मैंअंक, मैं= 1, 2,…, 6. जाहिर है, ये घटनाएं मामलों का एक पैटर्न बनाती हैं। फिर सभी मामलों की संख्या एन= 6. अंकों की एक सम संख्या को मामलों द्वारा पसंद किया जाता है लेकिन 2 , लेकिन 4 , लेकिन 6, यानी एम= 3. तब .
कार्य 1.2. एक कलश में 5 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। गेंदों को अच्छी तरह मिलाया जाता है और फिर यादृच्छिक रूप से 1 गेंद निकाल ली जाती है। खींची गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता क्या है?
समाधान. कुल 15 मामले हैं, जो मामलों का पैटर्न बनाते हैं। और अपेक्षित घटना लेकिन- एक सफेद गेंद की उपस्थिति उनमें से 5 द्वारा पसंद की जाती है, इसलिए .
कार्य 1.3. बच्चा वर्णमाला के छह अक्षरों के साथ खेलता है: ए, ए, ई, के, पी, टी। इस संभावना को खोजें कि वह कैरिज (घटना ए) शब्द को यादृच्छिक रूप से जोड़ सकता है।
समाधान. निर्णय इस तथ्य से जटिल है कि अक्षरों में समान हैं - दो अक्षर "ए"। इसलिए, इस परीक्षण में सभी संभावित मामलों की संख्या 6 अक्षरों की पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है:
.
ये मामले समान रूप से संभव हैं, जोड़ीवार असंगत हैं, और घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, अर्थात। एक केस आरेख बनाएं। केवल एक मौका घटना के पक्ष में है लेकिन. इसीलिए
.
कार्य 1.4. तान्या और वान्या 10 लोगों की कंपनी में नए साल का जश्न मनाने के लिए तैयार हो गए। वे दोनों वास्तव में एक दूसरे के बगल में बैठना चाहते थे। क्या संभावना है कि उनकी इच्छा पूरी हो जाएगी यदि यह उनके दोस्तों के बीच स्थानों को बहुत से वितरित करने की प्रथा है?
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना "तान्या और वान्या की इच्छा की पूर्ति।" 10 की एक मेज पर 10 लोग बैठ सकते हैं! विभिन्न तरीके। इनमें से कितने एन= 10! क्या तान्या और वान्या के लिए समान रूप से संभव तरीके अनुकूल हैं? साथ-साथ बैठे हुए तान्या और वान्या 20 अलग-अलग पोजीशन ले सकते हैं। वहीं, उनके आठ दोस्त टेबल 8 पर बैठ सकते हैं! अलग तरीके, तो एम= 20∙8!. फलस्वरूप,
.
कार्य 1.5. 5 महिलाओं और 20 पुरुषों का एक समूह तीन प्रतिनिधियों का चयन करता है। यह मानते हुए कि उपस्थित लोगों में से प्रत्येक के समान रूप से चुने जाने की संभावना है, दो महिलाओं और एक पुरुष के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. परीक्षण के समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें 25 लोगों में से तीन प्रतिनिधियों को चुना जा सकता है, अर्थात। . आइए अब हम अनुकूल मामलों की संख्या की गणना करें, अर्थात्। ब्याज की घटना होने की संख्या। पुरुष प्रतिनिधि को बीस तरीकों से चुना जा सकता है। वहीं, शेष दो प्रतिनिधि महिलाएं होनी चाहिए, और आप पांच में से दो महिलाओं को चुन सकते हैं। फलस्वरूप, । इसीलिए
.
समस्या 1.6।चार गेंदें चार छेदों में बेतरतीब ढंग से बिखरी हुई हैं, प्रत्येक गेंद समान संभावना के साथ एक या दूसरे छेद में गिरती है और स्वतंत्र रूप से (एक ही छेद में कई गेंदों को प्राप्त करने में कोई बाधा नहीं है)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक छेद में तीन गेंदें होंगी, एक - दूसरे में, और अन्य दो छेदों में कोई गेंद नहीं होगी।
समाधान। मामलों की कुल संख्या एन= 4 4। तरीकों की संख्या जिसमें एक छेद चुना जा सकता है, जहां तीन गेंदें होंगी, . उन तरीकों की संख्या जिनमें आप उस छेद को चुन सकते हैं जहां एक गेंद होगी, . पहले होल में डालने के लिए आप चार गेंदों में से तीन गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या, . अनुकूल मामलों की कुल संख्या। घटना की संभावना:
समस्या 1.7.बॉक्स में 10 समान गेंदें हैं, जिन पर संख्या 1, 2, ..., 10 अंकित हैं। भाग्य के लिए छह गेंदें निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंदों में निम्नलिखित होंगे: a) गेंद नंबर 1; बी) गेंद # 1 और # 2।
समाधान. ए) परीक्षण के संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या दस में से छह गेंदों को निकालने के तरीकों की संख्या के बराबर है, अर्थात।
आइए उस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या ज्ञात करें जिसमें हम रुचि रखते हैं: चयनित छह गेंदों में गेंद नंबर 1 है और इसके परिणामस्वरूप, शेष पांच गेंदों में अलग-अलग संख्याएं होती हैं। ऐसे परिणामों की संख्या स्पष्ट रूप से उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें शेष नौ में से पांच गेंदों का चयन किया जा सकता है, अर्थात।
वांछित संभावना संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या के लिए विचाराधीन घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है:
बी) हमारे लिए ब्याज की घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या (चयनित गेंदों में गेंद नंबर 1 और नंबर 2 हैं, इसलिए, चार गेंदों की अलग-अलग संख्याएं हैं) उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें चार गेंदें हो सकती हैं शेष आठ में से निकाला गया, अर्थात्। वांछित संभावना

1.2.3. सांख्यिकीय संभावना

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग तब किया जाता है जब किसी प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित नहीं होते हैं।
सापेक्ष घटना आवृत्ति लेकिनसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है:
,
कहाँ पे एमपरीक्षणों की संख्या है जिसमें घटना लेकिनयह आ गया है एनकिए गए परीक्षणों की कुल संख्या है।
जे. बर्नौली ने साबित किया कि प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति व्यावहारिक रूप से कुछ स्थिर संख्या से मनमाने ढंग से भिन्न होगी। यह पता चला कि यह स्थिरांक किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। इसलिए, स्वाभाविक रूप से, पर्याप्त संख्या में परीक्षणों के साथ एक घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति को पहले से शुरू की गई संभावना के विपरीत, सांख्यिकीय संभावना कहा जाता है।
उदाहरण 1.8. आप एक झील में मछलियों की संख्या का अनुमान कैसे लगा सकते हैं?
झील में चलो एक्समछली। हम नेटवर्क फेंकते हैं और, मान लें, हम इसमें पाते हैं एनमछली। हम उनमें से प्रत्येक को चिह्नित करते हैं और इसे वापस जारी करते हैं। कुछ दिनों बाद उसी मौसम में और उसी जगह हमने वही जाल डाला। मान लीजिए हमें इसमें m मछली मिलती है, जिनमें से कलेबल किया हुआ। घटना होने दें लेकिन- "पकड़ी गई मछली को लेबल किया जाता है।" फिर सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा के अनुसार।
लेकिन अगर झील में एक्समछली और हमने इसे जारी किया एनलेबल, फिर।
इसलिये आर * (लेकिन) » आर(लेकिन), फिर ।

1.2.4. घटनाओं पर संचालन। जोड़ प्रमेय

जोड़, या एक संघ, कई घटनाओं का एक घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना (एक ही परीक्षण में) की घटना होती है।
जोड़ लेकिन 1 + लेकिन 2 + … + लेकिनएनइस तरह निरूपित:
या .
उदाहरण. दो पासे फेंके जाते हैं। घटना होने दें लेकिन 1 पासे पर रोलिंग 4 अंक होते हैं, और घटना पर- एक और पासे पर 5 अंक के रोल में। घटनाक्रम लेकिनतथा परसंयुक्त। इसलिए घटना लेकिन +परपहले पासे पर 4 अंक लुढ़कते हैं, या दूसरे पासे पर 5 अंक, या पहले पासे पर 4 अंक और एक ही समय में दूसरे पासे पर 5 अंक होते हैं।
उदाहरण।आयोजन लेकिन- 1 ऋण पर जीत, घटना पर- 2 ऋणों पर जीतें। फिर घटना ए+बी- कम से कम एक ऋण जीतना (संभवतः एक बार में दो)।
कामया कई घटनाओं का प्रतिच्छेदन एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं (एक ही परीक्षण में) की संयुक्त घटना होती है।
काम परआयोजन लेकिन 1 , लेकिन 2 , …, लेकिनएनइस तरह निरूपित:
.
उदाहरण।घटनाक्रम लेकिनतथा परसंस्थान में प्रवेश के बाद क्रमशः I और II राउंड के सफल पारित होने में शामिल हैं। फिर घटना लेकिन×बीदोनों राउंड के सफल समापन में शामिल हैं।
घटनाओं के योग और उत्पाद की अवधारणाओं की स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या है। घटना होने दें लेकिनक्षेत्र में एक बिंदु की हिट है लेकिन, और घटना पर- क्षेत्र में एक बिंदु मारना पर. फिर घटना ए+बीइन क्षेत्रों के मिलन में एक बिंदु का प्रहार होता है (चित्र 2.1), और घटना लेकिनपरइन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन में एक बिंदु का प्रहार होता है (चित्र 2.2)।

चावल। 2.1 अंजीर। 2.2
प्रमेय. अगर घटनाएं एक मैं(मैं = 1, 2, …, एन) जोड़ीवार असंगत हैं, तो घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:
.
होने देना लेकिनतथा Ā - विपरीत घटनाएं, यानी। ए + ए= , जहाँ एक निश्चित घटना है। जोड़ प्रमेय से यह इस प्रकार है कि
पी (Ω) = आर(लेकिन) + आर(Ā ) = 1, इसलिए
आर(Ā ) = 1 – आर(लेकिन).
अगर घटनाएं लेकिन 1 और लेकिन 2 संयुक्त हैं, तो दो संयुक्त घटनाओं के योग की प्रायिकता बराबर है:
आर(लेकिन 1 + लेकिन 2) = आर(लेकिन 1) + आर(लेकिन 2) - पी ( लेकिन 1× लेकिन 2).
संभाव्यता जोड़ प्रमेय जटिल घटनाओं की घटना की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना से आगे बढ़ना संभव बनाता है।
कार्य 1.8. शूटर ने निशाने पर एक शॉट फायर किया। 10 अंक के नॉकआउट होने की प्रायिकता (घटना) लेकिन), 9 अंक (घटना) पर) और 8 अंक (घटना) से) क्रमशः 0.11 के बराबर हैं; 0.23; 0.17. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक शॉट के साथ शूटर 8 अंक से कम स्कोर करता है (घटना डी).
समाधान. चलो विपरीत घटना पर चलते हैं - एक शॉट के साथ, शूटर कम से कम 8 अंक खटखटाएगा। घटना तब होती है जब लेकिनया पर, या से, अर्थात। . घटनाओं के बाद से ए, बी, सेजोड़ीवार असंगत हैं, फिर, अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
, कहाँ पे ।
कार्य 1.9. ब्रिगेड की टीम से, जिसमें 6 पुरुष और 4 महिलाएं शामिल हैं, ट्रेड यूनियन सम्मेलन के लिए दो लोगों का चयन किया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि चुने गए व्यक्तियों में से कम से कम एक महिला (घटना .) लेकिन).
समाधान. अगर कोई घटना होती है लेकिन, तो निम्नलिखित असंगत घटनाओं में से एक अनिवार्य रूप से घटित होगी: पर- "एक पुरुष और एक महिला को चुना जाता है"; से"दो महिलाओं को चुना गया है।" इसलिए, हम लिख सकते हैं: ए = बी + सी. घटनाओं की संभावना का पता लगाएं परतथा से. 10 में से दो लोगों को तरीकों से चुना जा सकता है। 4 में से दो महिलाओं को तरीकों से चुना जा सकता है। नर और मादा को 6×4 तरीकों से चुना जा सकता है। फिर । घटनाओं के बाद से परतथा सेअसंगत हैं, तो, अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
पी (ए) = पी (बी + सी) = पी (बी) + पी (सी .)) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
समस्या 1.10.पुस्तकालय में एक शेल्फ पर बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित 15 पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से पांच बंधी हुई हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से तीन पाठ्यपुस्तकें लेता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ली गई पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक बंधी होगी (घटना लेकिन).
समाधान. पहला तरीका। आवश्यकता - ली गई तीन बाध्य पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक - निम्नलिखित तीन असंगत घटनाओं में से कोई भी होने पर पूरी की जाएगी: पर- 1 बाध्य पाठ्यपुस्तक से- दो बाध्य पाठ्यपुस्तकें डी- तीन बाध्य पाठ्यपुस्तकें।
घटना जिसमें हम रुचि रखते हैं लेकिनघटनाओं के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: ए = बी + सी + डी. अतिरिक्त प्रमेय द्वारा,
पी (ए) = पी (बी) + पी (सी) + पी (डी)। (2.1)
घटनाओं की संभावना का पता लगाएं बी, सीतथा डी(संयुक्त योजनाएं देखें):

समानता (2.1) में इन संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं
पी (ए)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
दूसरा तरीका। आयोजन लेकिन(ली गई तीन पाठ्यपुस्तकों में से कम से कम एक पर बाध्यकारी है) और Ā (किसी भी पाठ्यपुस्तक में कोई बंधन नहीं है) विपरीत हैं, इसलिए पी (ए) + पी (Ā .)) = 1 (दो विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है)। यहाँ से पी(ए) = 1 – पी (ए)।किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता Ā (कोई भी पाठ्यपुस्तक बंधी नहीं है)
वांछित संभावना
पी(ए) = 1 - पी(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5 सशर्त संभाव्यता। प्रायिकता गुणन प्रमेय

सशर्त संभाव्यता पी(बी/लेकिन) घटना बी की संभावना है, इस धारणा पर गणना की जाती है कि घटना ए पहले ही हो चुकी है।
प्रमेय. दो घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना उनमें से एक की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, दूसरे की सशर्त संभावना से, इस धारणा पर गणना की जाती है कि पहली घटना पहले ही हो चुकी है:
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी( पर/लेकिन). (2.2)
दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से किसी एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की प्रायिकता में परिवर्तन नहीं होता है, अर्थात।
पी(ए) = पी(ए/बी) या पी(बी) = पी(बी/लेकिन). (2.3)
अगर घटनाएं लेकिनतथा परस्वतंत्र हैं, तो सूत्र (2.2) और (2.3) का अर्थ है
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी(बी). (2.4)
विलोम कथन भी सत्य है, अर्थात्। यदि समानता (2.4) दो घटनाओं के लिए है, तो ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं। दरअसल, सूत्र (2.4) और (2.2) का अर्थ है
पी(ए∙बी) = पी(ए)∙पी(बी) = पी(ए) × पी(बी/लेकिन), कहाँ पे पी(ए) = पी(बी/लेकिन).
घटनाओं की एक सीमित संख्या के मामले में फॉर्मूला (2.2) को सामान्यीकृत किया जा सकता है लेकिन 1 , लेकिन 2 ,…,एक:
पी(ए 1 ∙लेकिन 2 ∙…∙एक)=पी(ए 1)∙पी(ए 2 /लेकिन 1)∙पी(ए 3 /लेकिन 1 लेकिन 2)∙…∙बरतन/लेकिन 1 लेकिन 2 …एक -1).
कार्य 1.11. 5 सफेद और 10 काली गेंदों वाले कलश में से एक पंक्ति में दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिन).
समाधान. घटनाओं पर विचार करें: पर- खींची गई पहली गेंद सफेद है; से- दूसरी खींची गई गेंद सफेद है। फिर ए = बीसी.
अनुभव दो तरह से किया जा सकता है:
1) वापसी के साथ: रंग तय करने के बाद, खींची गई गेंद को कलश में वापस कर दिया जाता है। इस मामले में, घटनाएं परतथा सेस्वतंत्र:
पी(ए) = पी(बी)∙पी(सी) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) प्रतिस्थापन के बिना: खींची गई गेंद को एक तरफ रख दिया जाता है। इस मामले में, घटनाएं परतथा सेआश्रित:
पी(ए) = पी(बी)∙पी(सी/पर).
एक घटना के लिए परस्थितियां समान हैं, और के लिए सेस्थिति बदल गई है। हो गई पर, तो कलश में 14 गेंदें बची हैं, जिनमें से 4 सफेद हैं।
इसलिए, ।
कार्य 1.12. 50 प्रकाश बल्बों में से 3 गैर-मानक हैं। एक ही समय में लिए गए दो बल्बों के गैर-मानक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. घटनाओं पर विचार करें: लेकिन- पहला बल्ब गैर-मानक है, पर- दूसरा बल्ब गैर-मानक है, से- दोनों बल्ब गैर मानक हैं। यह स्पष्ट है कि सी = ए∙पर. प्रतिस्पर्धा लेकिन 50 में से 3 मामलों का पक्ष लेना संभव है, अर्थात। पी(ए) = 3/50। अगर घटना लेकिनपहले ही हुआ, फिर घटना पर 49 में से दो मामलों का पक्ष लेना संभव है, अर्थात्। पी(बी/लेकिन) = 2/49। फलस्वरूप,
.
कार्य 1.13. दो एथलीट स्वतंत्र रूप से एक ही लक्ष्य पर गोली मारते हैं। पहले एथलीट के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 और दूसरे एथलीट के 0.8 है। क्या संभावना है कि लक्ष्य मारा जाएगा?
समाधान. लक्ष्य मारा जाएगा यदि या तो पहला शूटर, या दूसरा, या दोनों इसे हिट करते हैं, अर्थात। एक घटना होगी ए+बी, जहां घटना लेकिनपहले एथलीट और घटना द्वारा लक्ष्य को मारना शामिल है पर- दूसरा। फिर
पी(ए+पर)=पी(ए)+पी(बी)–पी(ए∙पर)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
समस्या 1.14।वाचनालय में संभाव्यता के सिद्धांत पर छह पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से तीन बाध्य हैं। लाइब्रेरियन ने यादृच्छिक रूप से दो पाठ्यपुस्तकें लीं। दो पाठ्यपुस्तकों के बंधे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. आइए हम घटनाओं के अंकन का परिचय दें :ए- ली गई पहली पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है, पर- दूसरी पाठ्यपुस्तक बाध्य है। संभावना है कि पहली पाठ्यपुस्तक में बाध्यकारी है,
पी(ए) = 3/6 = 1/2.
संभावना है कि दूसरी पाठ्यपुस्तक बाध्य है, यह देखते हुए कि पहली पुस्तक ली गई थी, अर्थात। किसी घटना की सशर्त संभावना पर, क्या यह: पी(बी/लेकिन) = 2/5.
घटनाओं की प्रायिकता के लिए गुणन प्रमेय के अनुसार दोनों पाठ्यपुस्तकों के बंधे होने की वांछित प्रायिकता के बराबर है
पी(एबी) = पी(ए) ∙ पी(बी/लेकिन)= 1/2 2/5 = 0.2।
समस्या 1.15.दुकान में 7 पुरुष और 3 महिलाएं कार्यरत हैं। कार्मिक संख्या के अनुसार तीन लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना गया था। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी चयनित व्यक्ति पुरुष हैं।
समाधान. आइए घटनाओं के संकेतन का परिचय दें: ए- पुरुष पहले चुना गया पर- दूसरा चयनित व्यक्ति, से -तीसरा चयनित व्यक्ति। एक पुरुष के पहले चुने जाने की प्रायिकता पी(ए) = 7/10.
एक आदमी के दूसरे चुने जाने की प्रायिकता, बशर्ते कि एक आदमी पहले ही पहले चुना जा चुका हो, यानी। किसी घटना की सशर्त संभावना परअगला : पी(बी/ए) = 6/9 = 2/3.
किसी व्यक्ति के तीसरे चुने जाने की प्रायिकता, बशर्ते कि दो व्यक्ति पहले ही चुने जा चुके हों, अर्थात किसी घटना की सशर्त संभावना सेहै: पी(सी/अब) = 5/8.
वांछित संभावना है कि सभी तीन चयनित व्यक्ति पुरुष हैं, पी(एबीसी) = पी(ए) पी(बी/लेकिन) पी(सी/अब) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24।

1.2.6. कुल संभाव्यता सूत्र और बेयस सूत्र

होने देना बी 1 , बी 2 ,…, बी नहींजोड़ीवार असंगत घटनाएँ (परिकल्पनाएँ) हैं और लेकिन- एक घटना जो उनमें से केवल एक के संयोजन में हो सकती है।
आइए जानते हैं (बी मैं) तथा पी(ए/बी मैं) (मैं = 1, 2, …, एन).
इन शर्तों के तहत, सूत्र मान्य हैं:
(2.5)
(2.6)
सूत्र (2.5) कहलाता है कुल संभावना सूत्र . यह एक घटना की संभावना की गणना करता है लेकिन(पूर्ण संभावना)।
सूत्र (2.6) कहलाता है बेयस फॉर्मूला . यह आपको परिकल्पना की संभावनाओं की पुनर्गणना करने की अनुमति देता है यदि घटना लेकिनहो गई।
उदाहरण संकलित करते समय, यह विचार करना सुविधाजनक है कि परिकल्पना एक पूर्ण समूह बनाती है।
कार्य 1.16. टोकरी में एक ही किस्म के चार पेड़ों के सेब हैं। पहले से - सभी सेबों का 15%, दूसरे से - 35%, तीसरे से - 20%, चौथे से - 30%। पके सेब क्रमशः 99%, 97%, 98%, 95% हैं।
क) इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक सेब पक जाएगा? लेकिन).
बी) बशर्ते कि यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब पका हुआ निकला हो, इस संभावना की गणना करें कि यह पहले पेड़ से है।
समाधान. ए) हमारे पास 4 परिकल्पनाएं हैं:
बी 1 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब पहले पेड़ से लिया जाता है;
बी 2 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब दूसरे पेड़ से लिया जाता है;
बी 3 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब तीसरे पेड़ से लिया जाता है;
बी 4 - यादृच्छिक रूप से लिया गया एक सेब चौथे पेड़ से लिया जाता है।
स्थिति के अनुसार उनकी संभावनाएँ: पी(बी 1) = 0,15; पी(बी 2) = 0,35; पी(बी 3) = 0,2; पी(बी 4) = 0,3.
सशर्त घटना संभावनाएं लेकिन:
पी(ए/बी 1) = 0,99; पी(ए/बी 2) = 0,97; पी(ए/बी 3) = 0,98; पी(ए/बी 4) = 0,95.
यादृच्छिक रूप से चुने गए एक सेब के पके होने की प्रायिकता कुल प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
पी(ए)=पी(बी 1)∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2)∙पी(ए/बी 2)+पी(बी 3)∙पी(ए/बी 3)+पी(बी 4)∙पी(ए/बी 4)=0,969.
बी) हमारे मामले के लिए बेयस फॉर्मूला का रूप है:
.
समस्या 1.17.एक सफेद गेंद को दो गेंदों वाले कलश में गिराया जाता है, जिसके बाद एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। यदि गेंदों की प्रारंभिक संरचना (रंग के अनुसार) के बारे में सभी संभव धारणाएं समान रूप से संभव हैं, तो खींची गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - एक सफेद गेंद खींची जाती है। गेंदों की प्रारंभिक संरचना के बारे में निम्नलिखित धारणाएँ (परिकल्पनाएँ) संभव हैं: बी 1कोई सफेद गेंद नहीं मे २- एक सफेद गेंद तीन बजे- दो सफेद गेंदें।
चूँकि कुल तीन परिकल्पनाएँ हैं, और परिकल्पनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है (क्योंकि वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं), तो प्रत्येक परिकल्पना की संभावना 1/3 के बराबर होती है, अर्थात।
पी(बी 1) = पी(बी 2)= पी (बी 3) = 1/3.
सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद निकाली जाएगी, यह देखते हुए कि शुरू में कलश में कोई सफेद गेंद नहीं थी, पी(ए/बी 1)=1/3। सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद खींची जाएगी, यह देखते हुए कि कलश में मूल रूप से एक सफेद गेंद थी, पी(ए/बी 2)=2/3. सशर्त संभावना है कि एक सफेद गेंद खींची जाएगी, यह देखते हुए कि कलश में मूल रूप से दो सफेद गेंदें थीं। पी(ए/बी 3)=3/ 3=1.
एक सफेद गेंद निकाले जाने की वांछित प्रायिकता कुल प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:
आर(लेकिन)=पी(बी 1)∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2)∙पी(ए/बी 2)+पी(बी 3)∙पी(ए/बी 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
कार्य 1.18. दो मशीनें समान भागों का उत्पादन करती हैं जो एक सामान्य कन्वेयर को खिलाए जाते हैं। पहली मशीन का प्रदर्शन दूसरी मशीन से दोगुना है। पहली मशीन उत्कृष्ट गुणवत्ता के औसतन 60% भागों का उत्पादन करती है, और दूसरी - 84%। असेंबली लाइन से यादृच्छिक रूप से लिया गया हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह वस्तु पहली मशीन द्वारा बनाई गई थी।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना एक उत्कृष्ट गुणवत्ता वाली वस्तु है। दो धारणाएँ बनाई जा सकती हैं: बी 1- भाग का उत्पादन पहली मशीन द्वारा किया जाता है, और (चूंकि पहली मशीन दूसरी मशीन से दुगुने भागों का उत्पादन करती है) पी(ए/बी 1) = 2/3; बी 2 - भाग दूसरी मशीन द्वारा निर्मित किया गया था, और पी(बी 2) = 1/3.
सशर्त संभावना है कि पहली मशीन द्वारा निर्मित होने पर हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा, पी(ए/बी 1)=0,6.
सशर्त संभावना है कि दूसरी मशीन द्वारा निर्मित होने पर हिस्सा उत्कृष्ट गुणवत्ता का होगा, पी(ए/बी 1)=0,84.
कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार, यादृच्छिक रूप से चयनित भाग के उत्कृष्ट गुणवत्ता के होने की प्रायिकता बराबर है
पी(ए)=पी(बी 1) ∙पी(ए/बी 1)+पी(बी 2) ∙पी(ए/बी 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68।
बेयस सूत्र के अनुसार, पहले ऑटोमेटन द्वारा लिए गए उत्कृष्ट भाग की वांछित संभावना के बराबर है

कार्य 1.19. भागों के तीन बैच हैं जिनमें से प्रत्येक में 20 भाग हैं। पहले, दूसरे और तीसरे बैच में मानक भागों की संख्या क्रमशः 20, 15, 10 है। एक हिस्सा जो मानक निकला, उसे चयनित बैच से यादृच्छिक रूप से निकाला गया था। भागों को बैच में वापस कर दिया जाता है और दूसरी बार उसी बैच से एक भाग को बेतरतीब ढंग से हटा दिया जाता है, जो मानक भी निकलता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पुर्जे तीसरे बैच से लिए गए थे।
समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - दो परीक्षणों में से प्रत्येक में (वापसी के साथ), एक मानक भाग पुनर्प्राप्त किया गया था। तीन परिकल्पनाएँ बनाई जा सकती हैं: बी 1 - पहले बैच से भागों को हटा दिया जाता है, पर 2 - भाग दूसरे बैच से लिए गए हैं, पर 3 - तीसरे बैच से भागों को हटा दिया जाता है।
विवरण लिए गए बैच से यादृच्छिक रूप से लिए गए थे, इसलिए परिकल्पना की संभावनाएं समान हैं: पी(बी 1) = पी(बी 2) = पी(बी 3) = 1/3.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 1), यानी संभावना है कि पहले बैच से लगातार दो मानक भाग निकाले जाएंगे। यह घटना विश्वसनीय है, क्योंकि। पहले बैच में, सभी भाग मानक हैं, इसलिए पी(ए/बी 1) = 1.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 2), यानी संभावना है कि दो मानक भागों को दूसरे बैच से क्रमिक रूप से (वापसी के साथ) निकाला जाएगा: पी(ए/बी 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
सशर्त संभावना खोजें पी(ए/बी 3), यानी संभावना है कि तीसरे बैच से दो मानक भागों को क्रमिक रूप से हटा दिया जाएगा (वापसी के साथ): पी(ए/बी 3) = 10/20 10/20 = 1/4।
बेयस सूत्र के अनुसार, तीसरे बैच से निकाले गए दोनों मानक भागों को वांछित संभावना के बराबर है

1.2.7. पुन: परीक्षण

यदि कई परीक्षण किए जाते हैं, और एक घटना की संभावना लेकिनप्रत्येक परीक्षण में अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं होता है, तो ऐसे परीक्षणों को कहा जाता है घटना ए के संबंध में स्वतंत्र।विभिन्न स्वतंत्र परीक्षणों में, घटना लेकिनया तो अलग-अलग संभावनाएं हो सकती हैं या एक ही संभावना हो सकती है। हम आगे केवल ऐसे स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेंगे जिनमें घटना लेकिनसमान संभावना है।
इसे उत्पादित होने दें पीस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना लेकिनप्रकट हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। आइए मान लें कि किसी घटना की प्रायिकता लेकिनप्रत्येक परीक्षण में समान है, अर्थात् . के बराबर आर।इसलिए, घटना के न होने की प्रायिकता लेकिनप्रत्येक परीक्षण में भी स्थिर है और 1 के बराबर है- आर।ऐसी संभाव्य योजना कहलाती है बर्नौली योजना. आइए हम प्रायिकता की गणना करने का कार्य स्वयं निर्धारित करें कि पीबर्नौली घटना परीक्षण लेकिनबिल्कुल सच हो जाएगा कएक बार ( क- सफलताओं की संख्या) और, इसलिए, महसूस नहीं किया जाएगा पी-एक बार। इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि यह आवश्यक नहीं है कि घटना लेकिनबिल्कुल दोहराया कएक निश्चित क्रम में बार। वांछित संभावना को निरूपित करें आर पी (के). उदाहरण के लिए, प्रतीक आर 5 (3) का अर्थ है कि पांच परीक्षणों में घटना ठीक 3 बार दिखाई देगी और इसलिए, 2 बार नहीं होगी।
तथाकथित का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है बर्नौली सूत्र,जो दिखता है:
.
समस्या 1.20.संभावना है कि एक दिन के दौरान बिजली की खपत स्थापित मानदंड से अधिक नहीं होगी . के बराबर है आर= 0.75। संभावना है कि अगले 6 दिनों में 4 दिनों के लिए बिजली की खपत मानक से अधिक नहीं होगी।
समाधान। 6 दिनों में से प्रत्येक के दौरान बिजली की सामान्य खपत की संभावना स्थिर और बराबर है आर= 0.75। इसलिए, हर दिन बिजली के अधिक व्यय की संभावना भी स्थिर और बराबर है क्यू = 1–आर=1–0,75=0,25.
बर्नौली सूत्र के अनुसार वांछित प्रायिकता बराबर है
.
कार्य 1.21. शतरंज के दो बराबर खिलाड़ी शतरंज खेलते हैं। कौन सा अधिक संभावना है: चार में से दो गेम जीतने के लिए या छह में से तीन गेम (ड्रा को ध्यान में नहीं रखा जाता है)?
समाधान. समान शतरंज खिलाड़ी खेल रहे हैं, इसलिए जीतने की संभावना आर= 1/2, इसलिए हारने की प्रायिकता क्यू 1/2 के बराबर भी है। इसलिये सभी खेलों में जीतने की संभावना स्थिर होती है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल किस क्रम में जीते जाते हैं, तो बर्नौली सूत्र लागू होता है।
चार में से दो गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

छह में से तीन गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

इसलिये पी 4 (2) > पी 6 (3), छह में से तीन की तुलना में चार में से दो गेम जीतने की अधिक संभावना है।
हालांकि, कोई यह देख सकता है कि बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करना एनयह काफी कठिन है, क्योंकि सूत्र को बड़ी संख्या में संचालन के प्रदर्शन की आवश्यकता होती है और इसलिए गणना की प्रक्रिया में त्रुटियां जमा होती हैं; नतीजतन, अंतिम परिणाम सही से काफी भिन्न हो सकता है।
इस समस्या को हल करने के लिए, कई सीमा प्रमेय हैं जिनका उपयोग बड़ी संख्या में परीक्षणों के मामले में किया जाता है।
1. पॉइसन की प्रमेय
बर्नौली योजना के अनुसार बड़ी संख्या में परीक्षण करते समय (साथ .) एन=> ∞) और कम संख्या में अनुकूल परिणामों के साथ क(यह मानते हुए कि सफलता की संभावना पीछोटा), बर्नौली सूत्र पॉइसन सूत्र के करीब पहुंचता है
.
उदाहरण 1.22।उद्यम द्वारा उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन में विवाह की प्रायिकता बराबर होती है पी=0.001। क्या संभावना है कि उत्पादों की 5000 इकाइयों के उत्पादन में 4 से कम दोषपूर्ण होंगे (घटना लेकिन समाधान. इसलिये एनबड़ा है, हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग करते हैं:

गणना करना एक्स:
समारोह सम है, इसलिए φ(–1.67) = (1.67)।
परिशिष्ट A.1 की तालिका के अनुसार, हम (1.67) = 0.0989 पाते हैं।
वांछित संभावना पी 2400 (1400) = 0,0989.
3. लाप्लास अभिन्न प्रमेय
यदि प्रायिकता आरकिसी घटना का घटित होना एबर्नौली योजना के अनुसार प्रत्येक परीक्षण में शून्य और एक से स्थिर और भिन्न होता है, फिर बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एन, संभावना आर पी (के 1 , क 2) घटना घटना एइन परीक्षणों में क 1 से क 2 गुना लगभग बराबर
आर पी(क 1 , क 2) = ( एक्स"") – Φ ( एक्स"), कहाँ पे
लाप्लास फ़ंक्शन है,

लैपलेस फ़ंक्शन में निश्चित इंटीग्रल की गणना विश्लेषणात्मक कार्यों के वर्ग पर नहीं की जाती है, इसलिए इसकी गणना के लिए तालिका 1 का उपयोग किया जाता है। खंड 2, परिशिष्ट में दिया गया है।
उदाहरण 1.24।एक सौ स्वतंत्र परीक्षणों में से प्रत्येक में होने वाली घटना की संभावना स्थिर और बराबर है पी= 0.8. घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) कम से कम 75 बार और अधिकतम 90 बार; बी) कम से कम 75 बार; ग) 74 बार से अधिक नहीं।
समाधान. आइए लाप्लास के अभिन्न प्रमेय का उपयोग करें:
आर पी(क 1 , क 2) = ( एक्स"") – Φ( एक्स"), जहां ( एक्स) लैपलेस फ़ंक्शन है,

ए) शर्त के अनुसार एन = 100, पी = 0,8, क्यू = 0,2, क 1 = 75, क 2 = 90. गणना करें एक्स""तथा एक्स" :


यह देखते हुए कि लाप्लास फ़ंक्शन विषम है, अर्थात। एफ(- एक्स) = - एफ ( एक्स), हम पाते हैं
पी 100 (75; 90) \u003d एफ (2.5) - एफ (-1.25) \u003d एफ (2.5) + एफ (1.25)।
तालिका के अनुसार पी.2. एप्लिकेशन ढूंढें:
एफ (2.5) = 0.4938; (1.25) = 0.3944।
वांछित संभावना
पी 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
बी) आवश्यकता है कि घटना कम से कम 75 बार घटित हो, इसका मतलब है कि घटना की घटनाओं की संख्या 75, या 76, ..., या 100 के बराबर हो सकती है। इस प्रकार, विचाराधीन मामले में, किसी को लेना चाहिए क 1 = 75, क 2 = 100. तब

.
तालिका के अनुसार पी.2. अनुप्रयोगों, हम पाते हैं (1.25) = 0.3944; (5) = 0.5.
वांछित संभावना
पी 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ग) घटना - " लेकिनकम से कम 75 बार दिखाई दिया" और " लेकिन 74 बार से अधिक नहीं दिखाई दिए" विपरीत हैं, इसलिए इन घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 है। इसलिए, वांछित संभावना
पी 100 (0;74) = 1 – पी 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

कृपया पाठ का जर्मन में अनुवाद करें।

सिर्फ ऑनलाइन अनुवादक में नहीं।

गोल्डन गेट कीव का प्रतीक है, जो वास्तुकला के सबसे पुराने उदाहरणों में से एक है जो हमारे समय तक जीवित रहा है। कीव के सुनहरे द्वार 1164 में प्रसिद्ध कीव राजकुमार यारोस्लाव द वाइज़ के तहत बनाए गए थे। प्रारंभ में, उन्हें दक्षिणी कहा जाता था और वे शहर के रक्षात्मक किलेबंदी की प्रणाली का हिस्सा थे, व्यावहारिक रूप से शहर के अन्य गार्ड फाटकों से अलग नहीं थे। यह दक्षिणी गेट्स था जिसे पहले रूसी मेट्रोपॉलिटन हिलारियन ने "कानून और अनुग्रह पर धर्मोपदेश" में "महान" कहा था। राजसी हागिया सोफिया के निर्माण के बाद, "महान" द्वार दक्षिण-पश्चिम की ओर से कीव का मुख्य भूमि प्रवेश द्वार बन गया। उनके महत्व को समझते हुए, यारोस्लाव द वाइज़ ने शहर और रूस पर हावी होने वाले ईसाई धर्म को श्रद्धांजलि देने के लिए फाटकों पर घोषणा के एक छोटे से चर्च का निर्माण करने का आदेश दिया। उस समय से, सभी रूसी क्रॉनिकल स्रोतों ने कीव के दक्षिण गेट्स को गोल्डन गेट्स कहना शुरू कर दिया। गेट की चौड़ाई 7.5 मीटर, मार्ग की ऊंचाई 12 मीटर और लंबाई लगभग 25 मीटर थी।

टेक्स का अनुवाद करने में सहायता करें!

ले स्पोर्ट सीई एन "एस्ट पास सीलेमेंट डेस कोर्ट्स डी जिम। सी" इस्ट ऑस्ट्रेलियाई सौटर टूजोर्स प्लस हाउत नगर जौर या बैलन डांसर। ले स्पोर्ट डेवलपमेंट टन कॉर्प्स और ऑस्ट्रेलियाई टन सर्वो। Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. कुंद तू फैस उन कबाने दन्स उन अर्ब्रे तू फैस डू स्पोर्ट। Quand तू ते चमगादड़ एवेक टन फ़्रे तू फ़ैस डू खेल। क्वांड तू कोर्स, पार्स क्यू तू एस एन रिटार्ड ए एल "इकोले, तू फैस डू स्पोर्ट।

पाठ का उद्देश्य:

1. कुछ असंभव और यादृच्छिक घटनाओं की अवधारणा का परिचय दें।
2. घटनाओं के प्रकार को निर्धारित करने के लिए ज्ञान और कौशल तैयार करना।
3. विकास: कम्प्यूटेशनल कौशल; ध्यान; विश्लेषण करने, तर्क करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता; समूह कार्य कौशल।

कक्षाओं के दौरान

1) संगठनात्मक क्षण।

इंटरएक्टिव व्यायाम: बच्चों को उदाहरणों को हल करना चाहिए और शब्दों को समझना चाहिए, परिणामों के अनुसार उन्हें समूहों (विश्वसनीय, असंभव और यादृच्छिक) में विभाजित किया जाता है और पाठ का विषय निर्धारित किया जाता है।

1 कार्ड।

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 कार्ड

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 कार्ड

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) अध्ययन किए गए ज्ञान का वास्तविककरण।

खेल "क्लैप": एक सम संख्या - ताली, एक विषम संख्या - खड़े हो जाओ।

कार्य: संख्याओं की दी गई श्रृंखला से 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... सम और विषम का निर्धारण करें।

3) एक नया विषय सीखना।

आपके पास टेबल पर क्यूब्स हैं। आइए उन पर करीब से नज़र डालें। क्या देखती है?

पासे का उपयोग कहाँ किया जाता है? कैसे?

समूह के काम।

एक प्रयोग का संचालन।

पासा पलटते समय आप क्या भविष्यवाणियां कर सकते हैं?

पहली भविष्यवाणी: 1,2,3,4,5 या 6 में से कोई एक संख्या निकल जाएगी।

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है भरोसेमंद.

दूसरी भविष्यवाणी: 7 नंबर आएगा।

क्या आपको लगता है कि अनुमानित घटना घटित होगी या नहीं?

यह नामुमकिन है!

वह घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती, कहलाती है असंभव।

तीसरी भविष्यवाणी: नंबर 1 आएगा।

क्या यह घटना होगी?

एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक रूप से.

4) अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

I. घटना के प्रकार का निर्धारण करें

-कल बर्फ़ लाल होगी।

कल भारी हिमपात होगा।

कल, हालांकि यह जुलाई है, फिर भी हिमपात होगा।

कल, हालांकि जुलाई है, बर्फ़ नहीं पड़ेगी।

कल बर्फ़ पड़ेगी और बर्फ़ीला तूफ़ान आएगा।

द्वितीय. इस वाक्य में एक शब्द इस प्रकार जोड़ें कि घटना असंभव हो जाए।

कोल्या ने इतिहास में ए प्राप्त किया।

साशा ने टेस्ट में एक भी टास्क पूरा नहीं किया।

ओक्साना मिखाइलोव्ना (इतिहास के शिक्षक) नए विषय की व्याख्या करेंगे।

III. असंभव, यादृच्छिक और कुछ निश्चित घटनाओं के उदाहरण दीजिए।

चतुर्थ। पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें (समूहों में)।

नीचे दिए गए कार्यों में चर्चा की गई घटनाओं को निश्चित, असंभव या यादृच्छिक के रूप में वर्णित करें।

नंबर 959. पेट्या ने एक प्राकृतिक संख्या की कल्पना की। घटना इस प्रकार है:

ए) एक सम संख्या की कल्पना की जाती है;

बी) एक विषम संख्या की कल्पना की जाती है;

ग) एक संख्या की कल्पना की जाती है जो न तो सम है और न ही विषम;

d) सम या विषम संख्या की कल्पना की जाती है।

नंबर 960। आपने इस पाठ्यपुस्तक को किसी भी पृष्ठ पर खोला और पहली संज्ञा चुनी जो सामने आई। घटना इस प्रकार है:

क) चुने हुए शब्द की वर्तनी में एक स्वर है;

बी) चुने हुए शब्द की वर्तनी में "ओ" अक्षर है;

ग) चुने हुए शब्द की वर्तनी में कोई स्वर नहीं हैं;

d) चुने हुए शब्द की वर्तनी में एक नरम चिन्ह है।

#961, #964 हल करें।

हल किए गए कार्यों की चर्चा।

5) प्रतिबिंब।

1. पाठ में आप किन घटनाओं से मिले?

2. इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना निश्चित है, कौन सी असंभव है, और कौन सी यादृच्छिक है:

क) गर्मी की छुट्टियां नहीं होंगी;

बी) सैंडविच मक्खन की तरफ नीचे गिर जाएगा;

ग) किसी दिन स्कूल वर्ष समाप्त हो जाएगा।

6) होमवर्क:

दो विश्वसनीय, यादृच्छिक और असंभव घटनाओं के साथ आओ।

उनमें से एक को ड्रा करें।