हमने कई शारीरिक रूप से पूरी तरह से अलग प्रणालियों पर विचार किया, और यह सुनिश्चित किया कि गति के समीकरण एक ही रूप में कम हो जाएं

भौतिक प्रणालियों के बीच अंतर केवल में प्रकट होता है अलग परिभाषामात्रा और विभिन्न में शारीरिक भावनाचर एक्स: यह एक निर्देशांक, एक कोण, एक आवेश, एक धारा, आदि हो सकता है। ध्यान दें कि इस मामले में, समीकरण (1.18) की संरचना से निम्नानुसार है, मात्रा में हमेशा व्युत्क्रम समय का आयाम होता है।

समीकरण (1.18) तथाकथित का वर्णन करता है हार्मोनिक कंपन.

समीकरण हार्मोनिक कंपन(1.18) रैखिक है अंतर समीकरणदूसरा क्रम (क्योंकि इसमें चर का दूसरा व्युत्पन्न शामिल है एक्स). समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि

यदि कोई समारोह एक्स (टी)इस समीकरण का हल है, तो फलन सीएक्स (टी)उसका समाधान भी होगा ( सीएक मनमाना स्थिरांक है);

अगर कार्य एक्स 1 (टी)तथा एक्स 2 (टी)इस समीकरण के हल हैं, तो उनका योग एक्स 1 (टी) + एक्स 2 (टी)भी इसी समीकरण का हल होगा।

एक गणितीय प्रमेय भी सिद्ध होता है, जिसके अनुसार दूसरे क्रम के समीकरण के दो स्वतंत्र हल होते हैं। अन्य सभी समाधान, रैखिकता के गुणों के अनुसार, उनके रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रत्यक्ष विभेदन द्वारा यह जांचना आसान है कि स्वतंत्र कार्य करता है और समीकरण (1.18) को संतुष्ट करता है। तो इस समीकरण का सामान्य हल है:

कहाँ पे सी1,सी2मनमानी स्थिरांक हैं। इस समाधान को दूसरे रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है। हम मात्रा का परिचय देते हैं

और कोण को इस प्रकार परिभाषित करें:

तब व्यापक हल (1.19) को इस प्रकार लिखा जाता है

त्रिकोणमिति सूत्रों के अनुसार, कोष्ठक में व्यंजक है

हम अंत में पहुंचते हैं हार्मोनिक दोलनों के समीकरण का सामान्य समाधानजैसा:

गैर-ऋणात्मक मान एबुलाया दोलन आयाम, - दोलन का प्रारंभिक चरण. संपूर्ण कोज्या तर्क - संयोजन - कहलाता है दोलन चरण.

व्यंजक (1.19) और (1.23) पूर्णतया समतुल्य हैं, इसलिए हम सरलता के कारणों के लिए इनमें से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं। दोनों समाधान समय के आवधिक कार्य हैं। वास्तव में, ज्या और कोज्या एक अवधि के साथ आवधिक होते हैं . इसलिए, एक प्रणाली के विभिन्न राज्य जो हार्मोनिक दोलन करते हैं, समय की अवधि के बाद दोहराए जाते हैं टी*, जिसके लिए दोलन चरण को एक वेतन वृद्धि प्राप्त होती है जो कि . का गुणज है :

इसलिए यह इस प्रकार है कि

इनमें से कम से कम

बुलाया दोलन की अवधि (चित्र। 1.8), ए - उसका वृत्ताकार (चक्रीय) आवृत्ति.

चावल। 1.8.

वे भी उपयोग करते हैं आवृत्ति संकोच

तदनुसार, वृत्ताकार आवृत्ति प्रति दोलनों की संख्या के बराबर होती है सेकंड।

तो, अगर समय पर सिस्टम टीचर के मूल्य द्वारा विशेषता एक्स (टी),फिर, वही मान, चर का समय अवधि के बाद होगा (चित्र 1.9), अर्थात्

वही मान, निश्चित रूप से, थोड़ी देर बाद दोहराया जाएगा। 2टी, जेडटीआदि।

चावल। 1.9. दोलन अवधि

सामान्य समाधान में दो मनमाना स्थिरांक शामिल हैं ( सी 1, सी 2या ए, एक), जिसका मान दो द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए आरंभिक स्थितियां. आमतौर पर (हालांकि जरूरी नहीं) उनकी भूमिका चर के प्रारंभिक मूल्यों द्वारा निभाई जाती है एक्स(0)और इसके व्युत्पन्न।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए हार्मोनिक दोलनों के समीकरण का हल (1.19) स्प्रिंग लोलक की गति का वर्णन करता है। स्वेच्छ अचरों का मान इस बात पर निर्भर करता है कि हम लोलक को किस प्रकार संतुलन से बाहर लाए। उदाहरण के लिए, हमने वसंत को कुछ दूरी तक खींचा और बिना प्रारंभिक वेग के गेंद को छोड़ दिया। इस मामले में

स्थानापन्न टी = 0(1.19) में, हम अचर का मान ज्ञात करते हैं 2 . से

समाधान इस प्रकार दिखता है:

भार की गति समय के साथ विभेदन द्वारा ज्ञात की जाती है

यहां प्रतिस्थापित करना टी = 0, अचर ज्ञात कीजिए 1 से:

आखिरकार

(1.23) की तुलना में, हम पाते हैं कि दोलन आयाम है, और इसका प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर है:।

अब हम लोलक को दूसरे तरीके से संतुलन से बाहर लाते हैं। आइए लोड को हिट करें, ताकि यह एक प्रारंभिक गति प्राप्त कर ले, लेकिन व्यावहारिक रूप से प्रभाव के दौरान हिलता नहीं है। फिर हमारे पास अन्य प्रारंभिक शर्तें हैं:

हमारा समाधान दिखता है

लोड की गति कानून के अनुसार बदल जाएगी:

आइए इसे यहां रखें:

सबसे सरल प्रकार के कंपन हैं हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन समय के साथ साइन या कोसाइन कानून के अनुसार बदलता है।

तो, परिधि के चारों ओर गेंद के एक समान घुमाव के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन पर एक हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति करता है (चित्र 1)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन की स्थिति से विस्थापन को एक समीकरण (इसे हार्मोनिक गति का गतिज नियम कहा जाता है) के रूप में वर्णित किया गया है:

जहाँ x - विस्थापन - संतुलन स्थिति के सापेक्ष समय t पर दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाने वाला मान और किसी निश्चित समय पर संतुलन स्थिति से बिंदु की स्थिति तक की दूरी द्वारा मापा जाता है; ए - दोलन आयाम - संतुलन की स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी - दोलन अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। सबसे छोटा स्पैनवह समय जिसके बाद दोलन की विशेषता वाली भौतिक मात्राओं के मूल्यों को दोहराया जाता है; - पहला भाग;

समय पर दोलन का चरण t. दोलन चरण तर्क है आवधिक कार्य, जो, किसी दिए गए दोलन आयाम के लिए, राज्य को निर्धारित करता है दोलन प्रणाली(विस्थापन, वेग, त्वरण) किसी भी समय शरीर का।

यदि समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन बिंदु को संतुलन की स्थिति से अधिकतम रूप से विस्थापित किया जाता है, तो, और संतुलन की स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

यदि दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन की स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

मान V, आवर्त का व्युत्क्रम और 1 s में किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या के बराबर, दोलन आवृत्ति कहलाती है:

यदि समय में t शरीर N को पूर्ण दोलन करता है, तो

मूल्य , यह दर्शाता है कि शरीर s में कितने दोलन करता है, कहलाता है चक्रीय (गोलाकार) आवृत्ति.

हार्मोनिक गति के गतिज नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ग्राफिक रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता को कोसाइन (या साइनसॉइड) द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्रा 2, मामले के लिए संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता को दर्शाता है।

आइए जानें कि समय के साथ किसी दोलन बिंदु की गति कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

x-अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम कहाँ है।

इस सूत्र से पता चलता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी हार्मोनिक कानून के अनुसार एक ही आवृत्ति के साथ एक अलग आयाम के साथ बदलता है, और मिश्रण चरण से आगे होता है (चित्र 2, बी) .

त्वरण की निर्भरता का पता लगाने के लिए, हम वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण प्रक्षेपण k (चित्र 2, c) द्वारा चरण बदलाव की ओर जाता है।

6. यांत्रिक दोलनमूल सूत्र

हार्मोनिक कंपन समीकरण

कहाँ पे एक्स -संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन; टी- समय; लेकिन,, - क्रमशः आयाम, कोणीय आवृत्ति, दोलनों का प्रारंभिक चरण; - इस समय दोलनों का चरण टी.

कोणीय दोलन आवृत्ति

जहां और T दोलनों की आवृत्ति और अवधि हैं।

हार्मोनिक दोलन करने वाले बिंदु की गति,

हार्मोनिक त्वरण

आयाम लेकिनएक सीधी रेखा के साथ होने वाली समान आवृत्तियों के साथ दो दोलनों को जोड़कर प्राप्त परिणामी दोलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे एक 1 तथा लेकिन 2 - दोलन घटकों के आयाम; 1 और 2 - उनके प्रारंभिक चरण।

परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण सूत्र से पाया जा सकता है

एक ही सीधी रेखा के साथ अलग-अलग, लेकिन करीब मान, आवृत्तियों ν 1 और ν 2 के साथ होने वाले दो दोलनों के योग से उत्पन्न होने वाली धड़कन की आवृत्ति,

आयाम ए 1 और ए 2 और प्रारंभिक चरणों φ 1 और φ 2 के साथ दो परस्पर लंबवत दोलनों में भाग लेने वाले बिंदु के प्रक्षेपवक्र का समीकरण,

यदि दोलन घटकों के प्रारंभिक चरण 1 और φ 2 समान हैं, तो प्रक्षेपवक्र समीकरण रूप लेता है

अर्थात् बिंदु एक सीधी रेखा में गति करता है।

इस घटना में कि चरण अंतर, समीकरण रूप लेता है

अर्थात्, बिंदु एक दीर्घवृत्त के अनुदिश चलता है।

एक भौतिक बिंदु के हार्मोनिक कंपन का अंतर समीकरण

, या , जहाँ m बिंदु का द्रव्यमान है; क- अर्ध-लोचदार बल का गुणांक ( क=टी 2) ।

हार्मोनिक दोलन करने वाले एक भौतिक बिंदु की कुल ऊर्जा,

एक वसंत (वसंत पेंडुलम) पर निलंबित शरीर के दोलन की अवधि,

कहाँ पे एम- शरीर का द्रव्यमान; क- स्प्रिंग में कठोरता। सूत्र उस सीमा के भीतर लोचदार कंपन के लिए मान्य है जिसमें हुक का नियम पूरा होता है (शरीर के द्रव्यमान की तुलना में वसंत के एक छोटे द्रव्यमान के साथ)।

एक गणितीय लोलक के दोलन की अवधि

कहाँ पे मैं- पेंडुलम की लंबाई; जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण। भौतिक लोलक का दोलन काल

कहाँ पे जे- अक्ष के बारे में दोलन करने वाले पिंड की जड़ता का क्षण

उतार-चढ़ाव; एक- दोलन के अक्ष से लोलक के द्रव्यमान केंद्र की दूरी;

एक भौतिक पेंडुलम की कम लंबाई।

उपरोक्त सूत्र असीम रूप से छोटे आयामों के मामले में सटीक हैं। परिमित आयामों के लिए, ये सूत्र केवल अनुमानित परिणाम देते हैं। आयाम पर अवधि के मूल्य में त्रुटि से अधिक नहीं 1% से अधिक नहीं है।

एक लोचदार धागे पर लटके हुए शरीर के मरोड़ वाले कंपन की अवधि,

कहाँ पे जे- लोचदार धागे से मेल खाने वाली धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण; क- एक लोचदार धागे की कठोरता, लोचदार क्षण के अनुपात के बराबर जो तब होता है जब धागे को उस कोण पर घुमाया जाता है जिससे धागा मुड़ जाता है।

अवमंदित दोलनों का अवकल समीकरण , या ,

कहाँ पे आर- प्रतिरोध का गुणांक; मैं - भिगोना गुणांक: ;ω 0 - कंपन की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति *

नम दोलन समीकरण

कहाँ पे पर)- इस समय नम दोलनों का आयाम टी;उनकी कोणीय आवृत्ति है।

नम दोलनों की कोणीय आवृत्ति

समय पर नम दोलनों के आयाम की निर्भरता

मैं

कहाँ पे लेकिन 0 - इस समय दोलनों का आयाम टी=0.

लघुगणक दोलन कमी

कहाँ पे पर)तथा ए (टी + टी)- दो क्रमिक दोलनों के आयाम एक अवधि द्वारा एक दूसरे से समय में अलग हो जाते हैं।

मजबूर कंपन का अंतर समीकरण

जहां एक बाहरी आवधिक बल एक दोलन सामग्री बिंदु पर कार्य कर रहा है और मजबूर दोलन पैदा कर रहा है; एफ 0 - इसका आयाम मूल्य;

मजबूर कंपन का आयाम

गुंजयमान आवृत्ति और गुंजयमान आयाम तथा

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1बिंदु कानून के अनुसार दोलन करता है एक्स (टी) =, कहाँ पे ए = 2देखें प्रारंभिक चरण निर्धारित करें if

एक्स(0) = सेमी और एक्स , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента टी=0.

समाधान। हम गति के समीकरण का उपयोग करते हैं और इस समय विस्थापन को व्यक्त करते हैं टी=0 प्रारंभिक चरण के माध्यम से:

यहाँ से हम प्रारंभिक चरण पाते हैं:

* हार्मोनिक दोलनों के लिए पहले दिए गए सूत्रों में, समान मान को केवल (सूचकांक 0 के बिना) द्वारा निरूपित किया गया था।

दिए गए मानों को इस व्यंजक में रखें एक्स(0) और लेकिन:φ= = . तर्क का मान दो कोण मानों से संतुष्ट होता है:

यह तय करने के लिए कि कोण के इनमें से कौन सा मान भी शर्त को संतुष्ट करता है, हम पहले पाते हैं:

इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर मान टी=0 और वैकल्पिक रूप से प्रारंभिक चरणों के मान और, हम पाते हैं

टी ठीक है हमेशा की तरह ए>0 और >0, तब प्रारंभिक चरण का केवल पहला मान ही शर्त को पूरा करता है। इस प्रकार, वांछित प्रारंभिक चरण

के प्राप्त मान के आधार पर हम एक सदिश आरेख की रचना करेंगे (चित्र 6.1)। उदाहरण 2द्रव्यमान के साथ सामग्री बिंदु टी\u003d 5 ग्राम आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करता है ν = 0.5 हर्ट्ज। दोलन आयाम ए=3 सेमी. निर्धारित करें: 1) गति उस समय अंक जब ऑफसेट एक्स == 1.5 सेमी; 2) अधिकतम बल एफ अधिकतम बिंदु पर अभिनय; 3) अंजीर। 6.1 कुल ऊर्जा इदोलन बिंदु।

और हम विस्थापन का पहली बार अवकलज लेकर वेग सूत्र प्राप्त करते हैं:

विस्थापन के रूप में गति को व्यक्त करने के लिए, समय को सूत्र (1) और (2) से बाहर रखा जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को वर्गाकार करते हैं, पहले को विभाजित करते हैं लेकिन 2 , A 2 2 पर दूसरा और जोड़ें:

, या

. के लिए अंतिम समीकरण को हल करना , पाना

इस सूत्र के अनुसार गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

प्लस चिन्ह उस स्थिति से मेल खाता है जब वेग की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है एक्स,ऋण चिह्न - जब गति की दिशा अक्ष की ऋणात्मक दिशा के साथ मेल खाती है एक्स।

हार्मोनिक दोलन के दौरान विस्थापन, समीकरण (1) के अलावा, समीकरण द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है

इस समीकरण के साथ वही हल दोहराने पर हमें वही उत्तर मिलता है।

2. एक बिंदु पर कार्य करने वाला बल, हम न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार पाते हैं:

कहाँ पे एक -एक बिंदु का त्वरण, जो हमें गति के समय के व्युत्पन्न द्वारा प्राप्त होता है:

त्वरण व्यंजक को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अतः बल का अधिकतम मान

इस समीकरण में , , के मान रखने पर टीतथा ए,पाना

3. एक दोलन बिंदु की कुल ऊर्जा किसी भी समय के लिए गणना की गई गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग है।

कुल ऊर्जा की गणना करने का सबसे आसान तरीका उस समय है जब गतिज ऊर्जा अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाती है। इस बिंदु पर, संभावित ऊर्जा शून्य है। तो कुल ऊर्जा इदोलन बिंदु अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है

हम सूत्र (2) से अधिकतम गति निर्धारित करते हैं, सेटिंग: . गति व्यंजक को सूत्र (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

इस सूत्र में मात्राओं के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या एमसीजे।

उदाहरण 3एक पतली छड़ के सिरों पर मैं= 1 मीटर और वजन एम 3 =400 ग्राम छोटी गेंदों को द्रव्यमान के साथ प्रबलित किया जाता है एम 1=200 ग्राम तथा एम 2 = 300 ग्राम। रॉड क्षैतिज अक्ष के बारे में लंबवत है

डाइकुलर रॉड और इसके मध्य से गुजरते हुए (चित्र 6.2 में बिंदु O)। अवधि को परिभाषित करें टीरॉड द्वारा किए गए कंपन।

समाधान। एक भौतिक लोलक की दोलन अवधि, जो गेंदों के साथ एक छड़ है, संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है

कहाँ पे जे- टी -इसका वजन; मैं से - पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से अक्ष तक की दूरी।

इस लोलक की जड़ता का क्षण योग के बराबर हैगेंदों की जड़ता के क्षण जे 1 और जे 2 और छड़ी जे 3:

गेंदों को भौतिक बिंदुओं के रूप में लेते हुए, हम उनकी जड़ता के क्षणों को व्यक्त करते हैं:

चूँकि अक्ष छड़ के मध्य से होकर गुजरता है, तो इस अक्ष के प्रति इसका जड़त्व आघूर्ण जे 3 = =. परिणामी अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करना जे 1 , जे 2 तथा जे 3 सूत्र (2) में, हम भौतिक पेंडुलम की जड़ता का कुल क्षण पाते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करके गणना करते हुए, हम पाते हैं

चावल। 6.2 लोलक के द्रव्यमान में गेंदों का द्रव्यमान और छड़ का द्रव्यमान होता है:

दूरी मैं से हम निम्नलिखित विचारों के आधार पर दोलन की धुरी से लोलक के द्रव्यमान का केंद्र पाते हैं। यदि अक्ष एक्सरॉड के साथ सीधे और बिंदु के साथ मूल को संरेखित करें हे,फिर वांछित दूरी मैंपेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक के बराबर है, अर्थात।

मात्राओं के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एम 1 , एम 2 , एम, मैंऔर गणना करते हुए, हम पाते हैं

सूत्र (1) के अनुसार गणना करने के बाद, हम भौतिक पेंडुलम की दोलन अवधि प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4भौतिक पेंडुलम लंबाई के साथ एक छड़ है मैं= 1 मीटर और वजन 3 टी 1 साथव्यास और द्रव्यमान के साथ एक घेरा द्वारा इसके एक छोर से जुड़ा हुआ है टी 1 . क्षैतिज अक्ष आउंस

लोलक छड़ के बीच से होकर लम्बवत गुजरता है (चित्र 6.3)। अवधि को परिभाषित करें टीइस तरह के एक पेंडुलम के दोलन।

समाधान। भौतिक लोलक का दोलन काल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(1)

कहाँ पे जे- दोलन की धुरी के बारे में पेंडुलम की जड़ता का क्षण; टी -इसका वजन; मैंसी - पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र से दोलन की धुरी तक की दूरी।

लोलक का जड़त्व आघूर्ण छड़ के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है जे 1 और घेरा जे 2:

(2).

छड़ के लंबवत अक्ष के सापेक्ष छड़ की जड़ता का क्षण और उसके द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने का सूत्र सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है . इस मामले में टी = 3टी 1 और

हम स्टीनर प्रमेय का उपयोग करके घेरा की जड़ता का क्षण पाते हैं ,कहाँ पे जे- एक मनमाना अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण; जे 0 - दिए गए अक्ष के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण; एक -निर्दिष्ट अक्षों के बीच की दूरी। इस सूत्र को घेरा पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

भावों को प्रतिस्थापित करना जे 1 और जे 2 सूत्र (2) में, हम रोटेशन की धुरी के बारे में पेंडुलम की जड़ता का क्षण पाते हैं:

दूरी मैं से लोलक की धुरी से उसके द्रव्यमान केंद्र तक है

सूत्र में प्रतिस्थापित करना (1) व्यंजक जे, मैंसी और पेंडुलम का द्रव्यमान, हम इसके दोलन की अवधि पाते हैं:

इस सूत्र द्वारा गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं टी\u003d 2.17 एस।

उदाहरण 5एक ही दिशा के दो दोलनों को समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है; एक्स 2 = =, जहां लेकिन 1 = 1 सेमी, ए 2 \u003d 2 सेमी, एस, एस, \u003d \u003d। 1. दोलन के घटकों के प्रारंभिक चरण φ 1 और φ 2 निर्धारित करें

बानी 2. आयाम ज्ञात करें लेकिनऔर परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण । परिणामी दोलन के लिए समीकरण लिखिए।

समाधान। 1. हार्मोनिक दोलन के समीकरण का रूप है

आइए समस्या की स्थिति में दिए गए समीकरणों को उसी रूप में बदलें:

अभिव्यक्ति (2) की समानता (1) के साथ तुलना से, हम पहले और दूसरे दोलनों के प्रारंभिक चरण पाते हैं:

खुशी और प्रसन्न।

2. आयाम निर्धारित करने के लिए लेकिनपरिणामी उतार-चढ़ाव में, प्रस्तुत किए गए वेक्टर आरेख का उपयोग करना सुविधाजनक है चावल। 6.4. कोसाइन प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

दोलन घटकों का चरण अंतर कहाँ है।चूंकि , फिर, पाए गए मान 2 और 1 को प्रतिस्थापित करने पर हमें रेड मिलता है।

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें लेकिन 1 , लेकिन 2 और सूत्र (3) में और गणना करें:

ए= 2.65 सेमी।

परिणामी दोलन के प्रारंभिक चरण की स्पर्शरेखा को सीधे अंजीर से निर्धारित किया जा सकता है। 6.4: , जहां से प्रारंभिक चरण

हार्मोनिक कंपन वे कंपन होते हैं जिनमें भौतिक मात्राएक हार्मोनिक (साइनसॉइडल, कोसाइन) कानून के अनुसार समय के साथ परिवर्तन। हार्मोनिक दोलन समीकरण निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
एक्स(टी) = एकोस(ω टी+φ )
या
एक्स (टी) = ए∙सिन (ω टी + φ)

X - समय t . पर संतुलन की स्थिति से विचलन
A - दोलन आयाम, A का आयाम X . के आयाम के समान है
ω - चक्रीय आवृत्ति, rad/s (प्रति सेकंड रेडियन)
- प्रारंभिक चरण, राड
टी - समय, s
टी - दोलन अवधि, एस
एफ - दोलन आवृत्ति, हर्ट्ज (हर्ट्ज)
- लगभग 3.14, 2π=6.28 . के बराबर स्थिरांक

दोलन अवधि, हर्ट्ज़ में आवृत्ति और चक्रीय आवृत्ति संबंधों से संबंधित हैं।
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
इन रिश्तों को याद रखने के लिए आपको निम्नलिखित बातों को समझना होगा।
प्रत्येक पैरामीटर ω, f, T विशिष्ट रूप से दूसरों को निर्धारित करता है। दोलनों का वर्णन करने के लिए, इनमें से किसी एक पैरामीटर का उपयोग करना पर्याप्त है।

अवधि टी एक उतार-चढ़ाव का समय है, इसका उपयोग उतार-चढ़ाव के ग्राफ को प्लॉट करने के लिए करना सुविधाजनक है।
चक्रीय आवृत्ति - दोलनों के समीकरणों को लिखने के लिए उपयोग किया जाता है, जिससे आप गणितीय गणना कर सकते हैं।
आवृत्ति f - समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या, हर जगह उपयोग की जाती है। हर्ट्ज़ में, हम उस आवृत्ति को मापते हैं जिससे रेडियो ट्यून किया जाता है, साथ ही साथ मोबाइल फोन की रेंज भी। संगीत वाद्ययंत्रों को ट्यून करते समय स्ट्रिंग्स के कंपन की आवृत्ति हर्ट्ज़ में मापी जाती है।

व्यंजक (ωt+φ) को दोलन चरण कहा जाता है, और φ के मान को प्रारंभिक चरण कहा जाता है, क्योंकि यह समय t=0 पर दोलन चरण के बराबर होता है।

साइन और कोसाइन फ़ंक्शन पक्षों के अनुपात का वर्णन करते हैं सही त्रिकोण. इसलिए, बहुत से लोग यह नहीं समझते हैं कि ये कार्य हार्मोनिक दोलनों से कैसे संबंधित हैं। यह संबंध एक समान घूर्णन वेक्टर द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। एक समान रूप से घूमने वाले वेक्टर का प्रक्षेपण हार्मोनिक दोलन करता है।
नीचे दी गई तस्वीर तीन हार्मोनिक दोलनों का एक उदाहरण दिखाती है। आवृत्ति में समान, लेकिन चरण और आयाम में भिन्न।

प्रारंभिक चरण की पसंद, हार्मोनिक दोलनों का वर्णन करते समय, साइन फ़ंक्शन से कोसाइन फ़ंक्शन तक जाने की अनुमति देती है:

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन:

हार्मोनिक कानून के अनुसार मुक्त कंपन होने के लिए, यह आवश्यक है कि शरीर को संतुलन की स्थिति में वापस लाने की प्रवृत्ति संतुलन की स्थिति से शरीर के विस्थापन के समानुपाती हो और विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित हो :

दोलन करने वाले पिंड का द्रव्यमान कहाँ है।

एक भौतिक प्रणाली जिसमें हार्मोनिक दोलन मौजूद हो सकते हैं, कहलाते हैं लयबद्ध दोलक,और हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण।

1.2. कंपन का जोड़

एक प्रणाली के लिए दो या दो से अधिक स्वतंत्र दोलनों में एक साथ भाग लेना असामान्य नहीं है। इन मामलों में, एक जटिल दोलन गति का निर्माण होता है, जो एक दूसरे को कंपन (जोड़कर) कंपन द्वारा बनाया जाता है। जाहिर है, दोलनों के योग के मामले बहुत विविध हो सकते हैं। वे न केवल जोड़े गए दोलनों की संख्या पर निर्भर करते हैं, बल्कि दोलन मापदंडों पर, उनकी आवृत्तियों, चरणों, आयामों, दिशाओं पर भी निर्भर करते हैं। दोलनों के योग के सभी संभावित मामलों की समीक्षा करना संभव नहीं है, इसलिए हम केवल व्यक्तिगत उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रहेंगे।

एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित हार्मोनिक दोलनों का जोड़

समान अवधि के समान रूप से निर्देशित दोलनों को जोड़ने पर विचार करें, लेकिन प्रारंभिक चरण और आयाम में भिन्न। जोड़े गए दोलनों के समीकरण निम्नलिखित रूप में दिए गए हैं:

विस्थापन कहाँ और हैं; और आयाम हैं; और जोड़े गए दोलनों के प्रारंभिक चरण हैं।

रेखा चित्र नम्बर 2।

एक वेक्टर आरेख (चित्र 2) का उपयोग करके परिणामी दोलन के आयाम को निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिस पर आयाम और योग दोलनों के वैक्टर कोणों और अक्ष पर प्लॉट किए जाते हैं, और कुल दोलन का आयाम वेक्टर द्वारा प्राप्त किया जाता है समांतर चतुर्भुज नियम।

यदि हम समान रूप से वैक्टर (समांतर चतुर्भुज) की प्रणाली को घुमाते हैं और वैक्टर को अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं , तो उनके अनुमानों के अनुसार हार्मोनिक दोलन करेंगे दिए गए समीकरण. वैक्टर की पारस्परिक व्यवस्था, और एक ही समय में अपरिवर्तित रहती है, इसलिए परिणामी वेक्टर के प्रक्षेपण की दोलन गति भी हार्मोनिक होगी।

इसका मतलब यह है कि कुल गति एक हार्मोनिक दोलन है जिसमें एक चक्रीय आवृत्ति होती है। हम आयाम मापांक को परिभाषित करते हैं लेकिनपरिणामी उतार-चढ़ाव। एक कोण में (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोणों की समानता से)।

फलस्वरूप,

यहाँ से: ।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार,

परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण निम्न से निर्धारित होता है:

चरण और आयाम के संबंध परिणामी गति के आयाम और प्रारंभिक चरण को खोजना संभव बनाते हैं और इसके समीकरण की रचना करते हैं: .

धड़कता है

आइए हम उस मामले पर विचार करें जब दो जोड़े गए दोलनों की आवृत्ति एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होती है, और आयामों को समान होने दें और प्रारंभिक चरण, अर्थात।

हम इन समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से जोड़ते हैं:

आइए रूपांतरित करें

चावल। 3.

चूंकि यह धीरे-धीरे बदलता है, इसलिए मान को शब्द के पूर्ण अर्थ में आयाम नहीं कहा जा सकता है (आयाम एक स्थिर मान है)। परंपरागत रूप से, इस मान को एक चर आयाम कहा जा सकता है। इस तरह के उतार-चढ़ाव का ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है। जोड़े गए दोलनों में समान आयाम होते हैं, लेकिन अलग-अलग अवधि होती है, जबकि अवधि और एक दूसरे से थोड़ा भिन्न होते हैं। ऐसे दोलनों को जोड़ते समय, धड़कनें देखी जाती हैं। प्रति सेकंड बीट्स की संख्या जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियों में अंतर से निर्धारित होती है, अर्थात।

जब आवृत्ति और कंपन एक-दूसरे के करीब हों, तो दो ट्यूनिंग कांटे ध्वनि करते समय बीट्स देखे जा सकते हैं।

परस्पर लंबवत दोलनों का जोड़

होने देना सामग्री बिंदुएक साथ दो परस्पर लंबवत दिशाओं में समान अवधियों के साथ होने वाले दो हार्मोनिक दोलनों में भाग लेता है। इन दिशाओं को जोड़ा जा सकता है आयताकार प्रणालीनिर्देशांक, मूल बिंदु को बिंदु की संतुलन स्थिति पर रखते हुए। आइए हम बिंदु C के अक्षों के अनुदिश विस्थापन को निरूपित करें और , क्रमशः, और . (चित्र 4)।

आइए कई विशेष मामलों पर विचार करें।

1). दोलनों के प्रारंभिक चरण समान हैं

आइए हम उलटी गिनती की शुरुआत के क्षण को इस तरह से चुनें कि दोनों दोलनों के प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हों। फिर कुल्हाड़ियों के साथ विस्थापन और समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

इन समानताओं को पद से विभाजित करते हुए, हम बिंदु C के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:
या ।

नतीजतन, दो परस्पर लंबवत दोलनों के योग के परिणामस्वरूप, बिंदु C मूल बिंदु से गुजरने वाले एक सीधी रेखा खंड के साथ दोलन करता है (चित्र 4)।

चावल। चार।

2). प्रारंभिक चरण अंतर है :

इस मामले में दोलन समीकरणों का रूप है:

बिंदु प्रक्षेपवक्र समीकरण:

नतीजतन, बिंदु C मूल बिंदु से गुजरने वाले एक सीधी रेखा खंड के साथ दोलन करता है, लेकिन पहले मामले की तुलना में अन्य चतुर्थांश में स्थित है। आयाम लेकिनदोनों मामलों में परिणामी उतार-चढ़ाव के बराबर है:

3). प्रारंभिक चरण अंतर है .

दोलन समीकरणों का रूप है:

पहले समीकरण को इससे और दूसरे को इससे विभाजित करें:

हम दोनों समानताओं का वर्ग करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं। हम दोलन बिंदु के परिणामी गति के प्रक्षेपवक्र के लिए निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

दोलन बिंदु C अर्ध-अक्ष और दीर्घवृत्त के साथ चलता है। समान आयामों के साथ, कुल गति का पथ एक वृत्त होगा। सामान्य स्थिति में, के लिए , लेकिन एक से अधिक, अर्थात, , पारस्परिक रूप से लंबवत दोलनों को जोड़ते समय, दोलन बिंदु वक्रों के साथ चलता है जिसे लिसाजस आंकड़े कहा जाता है।

लिसाजस आंकड़े

लिसाजौस के आंकड़े- एक बिंदु द्वारा खींचे गए बंद प्रक्षेपवक्र जो एक साथ दो परस्पर लंबवत दिशाओं में दो हार्मोनिक दोलन करते हैं।

सबसे पहले इसका अध्ययन फ्रांसीसी वैज्ञानिक जूल्स एंटोनी लिसाजौस ने किया था। आकृतियों का आकार दोनों दोलनों के आवर्तों (आवृत्तियों), प्रावस्थाओं और आयामों के बीच संबंध पर निर्भर करता है।(चित्र 5)।

चित्र 5.

दोनों अवधियों की समानता के सबसे सरल मामले में, आंकड़े दीर्घवृत्त होते हैं, जो एक चरण अंतर के साथ या रेखा खंडों में पतित होते हैं, और एक चरण अंतर और आयामों की समानता के साथ एक सर्कल में बदल जाते हैं। यदि दोनों दोलनों की अवधि बिल्कुल मेल नहीं खाती है, तो चरण अंतर हर समय बदलता रहता है, जिसके परिणामस्वरूप दीर्घवृत्त हर समय विकृत होता है। जब महत्वपूर्ण रूप से अलग अवधिलिसाजस आंकड़े नहीं देखे जाते हैं। हालांकि, यदि अवधियों को पूर्णांक के रूप में जोड़ा जाता है, तो दोनों अवधियों के कम से कम गुणक के बराबर समय अंतराल के बाद, गतिमान बिंदु फिर से उसी स्थिति में लौट आता है - अधिक जटिल रूप के लिसाजस आंकड़े प्राप्त होते हैं।
लिसाजस के आंकड़े एक आयत में फिट होते हैं जिसका केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, और पक्ष समन्वय अक्षों के समानांतर होते हैं और उनके दोनों किनारों पर दोलन आयाम (छवि 6) के बराबर दूरी पर स्थित होते हैं।