При подготовката за изпита по математика учениците трябва да систематизират знанията си по алгебра и геометрия. Бих искал да комбинирам цялата известна информация, например как да изчисля площта на пирамида. Освен това, започвайки от основата и страничните повърхности до цялата повърхност. Ако ситуацията е ясна със страничните лица, тъй като те са триъгълници, тогава основата винаги е различна.
Какво да направите, когато намерите площта на основата на пирамидата?
Това може да бъде абсолютно всяка фигура: от произволен триъгълник до n-gon. И тази основа, освен разликата в броя на ъглите, може да бъде правилна фигура или неправилна. В задачите на USE, които представляват интерес за учениците, има само задачи с правилните цифри в основата. Затова ще говорим само за тях.
правоъгълен триъгълник
Това е равностранно. Такъв, в който всички страни са равни и се обозначава с буквата "а". В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:
S = (a 2 * √3) / 4.
Квадрат
Формулата за изчисляване на неговата площ е най-простата, тук "a" отново е страната:
Произволен правилен n-ъгълник
Страната на многоъгълник има същото обозначение. За броя на ъглите се използва латинската буква n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Как да процедираме при изчисляване на страничната и общата повърхност?
Тъй като основата е правилна фигура, всички лица на пирамидата са равни. Освен това всеки от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са равни. След това, за да изчислите страничната площ на пирамидата, ви е необходима формула, състояща се от сумата от еднакви мономи. Броят на членовете се определя от броя на страните на основата.
Площта на равнобедрен триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от продукта на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича апотема. Обозначението му е "А". Обща формулаза площта на страничната повърхност изглежда така:
S \u003d ½ P * A, където P е периметърът на основата на пирамидата.
Има ситуации, когато страните на основата не са известни, но са дадени страничните ръбове (c) и плоският ъгъл при нейния връх (α). Тогава се предполага, че се използва такава формула за изчисляване на страничната площ на пирамидата:
S = n/2 * в 2 sin α .
Задача №1
Състояние.Намерете общата площ на пирамидата, ако нейната основа е със страна 4 cm, а апотемата има стойност √3 cm.
Решение.Трябва да започнете с изчисляване на периметъра на основата. Тъй като това е правилен триъгълник, тогава P \u003d 3 * 4 \u003d 12 см. Тъй като апотемата е известна, можете веднага да изчислите площта на цялата странична повърхност: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
За триъгълник в основата ще се получи следната стойност на площта: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
За да определите цялата площ, ще трябва да добавите двете получени стойности: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Отговор. 10√3 cm2.
Задача №2
Състояние. Има правилна четириъгълна пирамида. Дължината на страната на основата е 7 мм, страничният ръб е 16 мм. Трябва да знаете неговата повърхност.
Решение.Тъй като полиедърът е четириъгълен и правилен, тогава основата му е квадрат. След като научите площите на основата и страничните лица, ще бъде възможно да изчислите площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. А при страничните стени са известни всички страни на триъгълника. Следователно можете да използвате формулата на Heron, за да изчислите техните площи.
Първите изчисления са прости и водят до това число: 49 mm 2. За втората стойност ще трябва да изчислите полупериметъра: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Сега можете да изчислите площта на равнобедрен триъгълник: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Има само четири такива триъгълника, така че когато изчислявате крайното число, ще трябва да го умножите по 4.
Оказва се: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Отговор. Желаната стойност е 267,576 mm 2.
Задача №3
Състояние. За правилна четириъгълна пирамида трябва да изчислите площта. В него страната на квадрата е 6 см, а височината е 4 см.
Решение.Най-лесният начин е да използвате формулата с произведението на периметъра и апотемата. Първата стойност е лесна за намиране. Второто е малко по-трудно.
Ще трябва да си спомним Питагоровата теорема и да разгледаме. Тя се образува от височината на пирамидата и апотемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на многостена попада в средата му.
Желаната апотема (хипотенуза правоъгълен триъгълник) е равно на √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Сега можете да изчислите желаната стойност: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Отговор. 96 см2.
Задача №4
Състояние.Правилната страна на основата му е 22 мм, страничните ребра са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този полиедър?
Решение.Разсъжденията в нея са същите като описаните в задача No2. Само там е дадена пирамида с квадрат в основата, а сега е шестоъгълник.
На първо място, площта на основата се изчислява по горната формула: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Сега трябва да намерите полупериметъра на равнобедрен триъгълник, който е странично лице. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Остава да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник, като се използва формулата на Херон, след което да се умножи по шест и да се добави към този, който се оказа за база.
Изчисления по формулата на Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Изчисления, които ще дадат площ на страничната повърхност: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Остава да ги съберем, за да разберем цялата повърхност: 5217,47≈5217 cm 2.
Отговор.Основа - 726√3 cm 2, странична повърхност - 3960 cm 2, цялата площ - 5217 cm 2.
триъгълна пирамидаПолиедър се нарича многостен, чиято основа е правилен триъгълник.
В такава пирамида лицата на основата и ръбовете на страните са равни една на друга. Съответно, площта на страничните лица се намира от сумата от площите на три еднакви триъгълника. Намерете площта на страничната повърхност правилна пирамидаможете да използвате формулата. И можете да направите изчислението няколко пъти по-бързо. За да направите това, приложете формулата за площта на страничната повърхност на триъгълна пирамида:
където p е периметърът на основата, всички страни на която са равни на b, a е апотемата, спусната от върха към тази основа. Помислете за пример за изчисляване на площта на триъгълна пирамида.
Задача: Нека е дадена правилната пирамида. Страната на триъгълника, лежаща в основата, е b = 4 см. Апотемата на пирамидата е a = 7 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Тъй като според условията на проблема знаем дължините на всички необходими елементи, намерете периметъра. Не забравяйте, че в правилния триъгълник всички страни са равни и следователно периметърът се изчислява по формулата:
Заменете данните и намерете стойността:
Сега, знаейки периметъра, можем да изчислим страничната повърхност: 
За да приложите формулата за площта на триъгълна пирамида, за да изчислите пълната стойност, трябва да намерите площта на основата на полиедъра. За целта се използва формулата: 
Формулата за площта на основата на триъгълна пирамида може да бъде различна. Позволено е да се използва всяко изчисление на параметри за дадена фигура, но най-често това не се изисква. Помислете за пример за изчисляване на площта на основата на триъгълна пирамида.
Задача: В правилна пирамида страната на лежащия в основата триъгълник е a = 6 см. Изчислете повърхнината на основата.
За да изчислим, ни трябва само дължината на страната на правилен триъгълник, разположен в основата на пирамидата. Заместете данните във формулата: 
Доста често се изисква да се намери общата площ на полиедър. За да направите това, трябва да добавите площта на страничната повърхност и основата. 
Помислете за пример за изчисляване на площта на триъгълна пирамида.
Задача: Нека е дадена правилна триъгълна пирамида. Страната на основата е b = 4 см, апотемата е a = 6 см. Намерете общата площ на пирамидата.
Първо, нека намерим площта на страничната повърхност добре позната формула. Изчислете периметъра:
Заменяме данните във формулата: 
Сега намерете площта на основата: 
Познавайки площта на основата и страничната повърхност, намираме общата площ на пирамидата: 
Когато изчислявате площта на правилната пирамида, не трябва да забравяте, че основата е правилен триъгълник и много елементи на този полиедър са равни един на друг.
Пирамида, в основата на която лежи правилен шестоъгълник, а страните се оформят правилни триъгълници, е наречен шестоъгълна.
Този полиедър има много свойства:
- Всички страни и ъгли на основата са равни помежду си;
- Всички ръбове и двустенни въглищни пирамиди също са равни помежду си;
- Триъгълниците, образуващи страните, са еднакви, съответно имат еднаква площ, страни и височини.
За изчисляване на площта на правилна шестоъгълна пирамида се използва стандартната формула за страничната повърхност на шестоъгълна пирамида:
където P е периметърът на основата, a е дължината на апотемата на пирамидата. В повечето случаи можете да изчислите страничната площ с помощта на тази формула, но понякога можете да използвате друг метод. Тъй като страничните стени на пирамидата са образувани от равни триъгълници, можете да намерите площта на един триъгълник и след това да я умножите по броя на страните. В шестоъгълна пирамида има 6 от тях.Но този метод може да се използва и при изчислението.Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на шестоъгълна пирамида.
Нека е дадена правилна шестоъгълна пирамида, в която апотемата е a = 7 см, страната на основата е b = 3 см. Изчислете площта на страничната повърхност на многостена.
Първо, намерете периметъра на основата. Тъй като пирамидата е правилна, тя има правилен шестоъгълник в основата си. И така, всичките му страни са равни, а периметърът се изчислява по формулата:
Заменяме данните във формулата:
Сега можем лесно да намерим площта на страничната повърхност, като заместим намерената стойност в основната формула: 
Също така важен момент е търсенето на района на базата. Формулата за площта на основата на шестоъгълна пирамида се извлича от свойствата на правилния шестоъгълник: 
Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на основата на шестоъгълна пирамида, като вземем за основа условията от предишния пример.От тях знаем, че страната на основата е b = 3 см. Нека заместим данните в формулата: 
Формулата за площта на шестоъгълна пирамида е сумата от площта на основата и страничното сканиране: 
Помислете за пример за изчисляване на площта на шестоъгълна пирамида.
Нека е дадена пирамида, в основата на която лежи правилен шестоъгълник със страна b = 4 см. Апотема на даден многостен е a = 6 см. Намерете общата площ.
Знаем, че общата площ се състои от площите на основата и страничния размах. Така че нека първо ги намерим. Изчислете периметъра:
Сега намерете площта на страничната повърхност: 
След това изчисляваме площта на основата, в която лежи правилният шестоъгълник: 
Сега можем да сумираме резултатите:
