Можливі варіанти вибору 4 числа із 10. Формули комбінаторики. Перестановки. Підрахунок числа перестановок

Все N елементів, і жоден не повторюється, це завдання про кількість перестановок. Рішення можна знайти простим. На першому місці в ряді може стояти будь-який з елементів N, отже, виходить N варіантів. На другому місці – будь-який, крім того, який уже був використаний для першого місця. Отже, для кожного з N вже знайдених варіантів є (N - 1) варіантів другого місця та Загальна кількістькомбінацій стає N * (N - 1).
Це можна повторити інших елементів ряду. Для самого останнього місця залишається тільки один варіант - останній елемент, що залишився. Для передостаннього – два варіанти, і так далі.
Отже, для низки з N неповторних елементів можливих перестановок дорівнює добутку всіх від 1 до N. Цей твір називається факторіалом числа N і позначається N! (Читається «ен факторіал»).

У попередньому випадку кількість можливих елементів і кількість місць ряду збігалися, і їх число дорівнювало N. Але можлива ситуація, коли в ряді менше місць, ніж можливих елементів. Іншими словами, кількість елементів у вибірці дорівнює деякому числу M, причому M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
По-перше, може знадобитися порахувати загальну кількість можливих способів, якими можна побудувати ряд M елементів з N. Такі способи називаються розміщеннями.
По-друге, дослідника може цікавити кількість способів, якими можна вибрати M елементів з N. При цьому порядок розташування елементів вже не важливий, але будь-які два варіанти повинні відрізнятися між собою хоча б одним елементом. Такі методи називаються поєднаннями.

Щоб знайти кількість розміщень M елементів з N, можна вдатися до такого ж способу міркувань, як і у випадку з перестановками. На першому місці тут, як і раніше, може стояти N елементів, на другому (N - 1), і так далі. Але для останнього місця кількість можливих варіантівдорівнює не одиниці, а (N - M + 1), оскільки коли розміщення буде закінчено, залишиться ще (N - M) невикористаних елементів.
Таким чином, число розміщень M елементів з N дорівнює добутку всіх цілих чисел від (N - M + 1) до N, або, що те ж саме, приватному N!/(N - M)!.

Очевидно, що кількість поєднань M елементів з N буде менше кількості розміщень. Для кожного можливого поєднання є M! можливих розміщень, які від порядку елементів цього поєднання. Отже, щоб знайти цю кількість, потрібно розділити число розміщень M елементів з N на N!. Іншими словами, кількість поєднань по M елементів N дорівнює N!/(M!*(N - M)!).

Друзі! Якщо вже є в мене цей мертвий блокнот, використовую його для того, щоб задати вам завдання, над яким вчора билося три фізики, два економісти, один політехівський і один гуманітарій. Ми зламали собі весь мозок і в нас постійно виходять різні результати. Можливо, серед вас є програмісти та математичні генії, до того ж, завдання взагалі шкільне і дуже легке, у нас просто не виводиться формула. Тому що ми кинули заняття точними наукамиі натомість навіщось пишемо книжки і малюємо картини. Вибачте.

Отже, передісторія.

Мені видали нову банківську картку і я, як водиться, граючи вгадала її пін-код. Але не підряд. У сенсі, припустимо, пін-код був 8794, а я назвала 9748. Тобто я тріумфально вгадала всі цифри, що містилися у цьому чотиризначному числі. Ну так, не саме число, а просто його складові угадала. Але цифри всі вірні! ПРИМІТКА - я діяла навмання, тобто мені не треба було розставити вже відомі числа в потрібному порядку, я просто діяла в дусі: ось тут є невідомі мені чотири цифри, і я вважаю, що серед них можуть бути 9, 7, 4 і 8, а порядок їх важливий.Ми відразу запитали, скільки у мене взагалі було варіантів(напевно, щоб зрозуміти, наскільки це круто, що я взяла і вгадала). Тобто, із скількох комбінацій чотирьох цифр мені треба було обирати? І тут, природно, почалося пекло. У нас весь вечір вибухала голова, і у всіх, зрештою, вийшли абсолютно різні варіантивідповіді! Я навіть почала виписувати всі ці комбінації в блокнот поспіль у міру зростання, але на чотирьох сотнях зрозуміла, що їх більше чотирьох сотень (принаймні це спростувало відповідь фізика Треша, який запевняв мене, що комбінацій чотири сотні, але все одно це не абсолютно однозначно) - і здалася.

Власне, суть питання.Яка ймовірність вгадування (у будь-якому порядку) чотирьох чисел, що містяться у чотиризначному числі?

Або ні, переформулюємо (я гуманітарій, вибачте, хоча до математики завжди мала велику слабкість), щоб було ясніше і чіткіше. Скільки не повторюванихкомбінацій цифр міститься у ряді порядкових числівників від 0 до 9999? ( будь ласка, не плутайте це з питанням "скільки комбінацій не повторюванихцифр"!!! цифри можуть повторюватись! в сенсі, 2233 і 3322 - це даному випадкуодна і та ж комбінація!!).

Або ще конкретніше. Мені потрібно чотири рази вгадати одну цифру із десяти. Але не підряд.

Ну чи ще якось. Загалом потрібно дізнатися, скільки у мене було варіантів числової комбінації, з якої складався пін-код картки. Допоможіть, люди добрі! Тільки, будь ласка, допомагаючи, не починайте відразу писати, що варіантів цих 9999(вчора таке всім спадало на думку спочатку), тому що це ж дурниці - адже в тому ракурсі, який нас хвилює, число 1234, число 3421, число 4312 і так далі одним і тим же! Ну і так, цифри можуть повторюватися, адже буває пін-код 1111 або там, наприклад, 0007. Можна уявити замість пін-коду номер машини. Припустимо, яка можливість вгадати всі однозначні цифри, з яких складається номер машини? Або щоб взагалі прибрати теорію ймовірності - зі скількох числових комбінацій мені потрібно було вибрати одну?

Будь ласка, підкріпіть свої відповіді та міркування якими-небудь точними формулами, бо ми вчора й так мало не збожеволіли. Заздалегідь усім дякую!

P.S. Один розумна людина, програміст, художник і винахідник, щойно дуже правильно підказав правильне вирішення проблеми, подарувавши мені кілька хвилин прекрасного настрою: " розв'язання задачі таке: у неї обсесивно-комп ульсивний розлад, лікування таке: заміж і підгортати помідори. мене б більше на її місці хвилювало не питання «яка ймовірність», а питання «Чи зхуячи я звертаю увагу на всі ці цифри»?Загалом, навіть нема чого додати:)

Нижче калькулятор призначений для генерації всіх поєднань з n по m елементів.
Число таких поєднань, як можна розрахувати за допомогою калькулятора Елементи комбінаторики. Перестановки, розміщення, поєднання.

Опис алгоритму генерації під калькулятором

Алгоритм

Комбінації генеруються у лексикографічному порядку. Алгоритм працює з порядковими індексами елементів множини.
Розглянемо алгоритм з прикладу.
Для простоти викладу розглянемо безліч із п'яти елементів, індекси в якому починаються з 1, а саме, 1 2 3 4 5.
Потрібно згенерувати усі комбінації розміру m = 3.
Спочатку ініціалізується перша комбінація заданого розміру m – індекси у порядку зростання
1 2 3
Далі перевіряється останній елемент, т. е. i = 3. Якщо його значення менше n - m + i, він інкрементується на 1.
1 2 4
Знову перевіряється останній елемент, і він інкрементується.
1 2 5
Тепер значення елемента одно максимально можливому: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, перевіряється попередній елемент з i = 2.
Якщо його значення менше n - m + i, він інкрементується на 1, а всіх наступних елементів значення прирівнюється до значення попереднього елемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далі знову триває перевірка для i = 3.
1 3 5
Потім – перевірка для i = 2.
1 4 5
Потім настає черга i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
І далі,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - останнє поєднання, тому що всі його елементи дорівнюють n - m + i.

Незважаючи на важливу роль PIN-кодів у світовій інфраструктурі, досі не проводилося академічних досліджень про те, як, власне, люди обирають PIN-коди.

Дослідники з університету Кембриджу Sören Preibusch та Ross Anderson виправили ситуацію, опублікувавши перший у світі кількісний аналіз складності вгадування 4-циферного банківського PIN-коду.

Використовуючи дані про виток паролів з небанківських джерел та онлайн анкетування, вчені з'ясували, що до вибору PIN-кодів користувачі ставляться набагато серйозніше, ніж до вибору паролів для веб-сайтів: більшість кодів містять практично випадковий набір цифр. Тим не менш, серед вихідних даних присутні і прості комбінації, і дні народження, тобто при деякому везенні зловмисник може просто вгадати заповітний код.

Відправною точкою дослідження був набір 4-циферних послідовностей у паролях з бази RockYou (1.7 млн), та бази з 200 тисяч PIN-кодів від програми блокування екрану iPhone (базу надав розробник програми Daniel Amitay). У графіках, побудованих за цими даними, проступають цікаві закономірності - дати, роки, цифри, що повторюються, і навіть PIN-коди, що закінчуються на 69. На основі цих спостережень вчені побудували лінійну регресійну модель, яка оцінює популярність кожного PIN-коду залежно від 25 факторів, - наприклад, чи є код датою у форматі ДДММ, чи він зростаючою послідовністю, і так далі. Цим загальним умовам відповідають 79% та 93% PIN-кодів у кожному наборі.

Отже, користувачі вибирають 4-циферні коди на основі лише кількох простих факторів. Якби так вибиралися і банківські PIN-коди, 8-9% із них можна було б вгадати лише за три спроби! Але, звичайно, до банківських кодів люди ставляться набагато уважніше. Зважаючи на відсутність скільки-небудь великого набору справжніх банківських даних, дослідники опитали більше 1300 осіб, щоб оцінити, наскільки реальні PIN-коди відрізняються від розглянутих. Враховуючи специфіку дослідження, у респондентів запитували не про самі коди, а лише про їх відповідність якомусь із вищезгаданих факторів (зростання, формат ДДММ тощо).

Виявилося, що люди справді набагато ретельніше вибирають банківські PIN-коди. Приблизно чверть опитаних використовують випадковий PIN, згенерований банком. Більше третини вибирають свій PIN-код, використовуючи старий номер телефону, номер студентського квитка, або інший набір цифр, що виглядає випадковим. Згідно з отриманими результатами, 64% власників карток використовують псевдовипадковий PIN-код, - це набагато більше, ніж 23-27% у попередніх експериментах з не-банківськими кодами. Ще 5% використовують цифровий патерн (наприклад, 4545), а 9% віддають перевагу патерну на клавіатурі (наприклад, 2684). Загалом зловмисник із шістьма спробами (три з банкоматом і три з платіжним терміналом) має менше 2% шансів вгадати PIN-код чужої картки.

Чинник	приклад	RockYou	iPhone	Опитування
*Дати*
ДДММ	2311	5.26	1.38	3.07
ДМГГ	3876	9.26	6.46	5.54
ММДД	1123	10.00	9.35	3.66
ММГГ	0683	0.67	0.20	0.94
РРРР	1984	33.39	7.12	4.95
Разом		58.57	24.51	22.76
*Клавіатурний патерн*
суміжні	6351	1.52	4.99	-
квадрат	1425	0.01	0.58	-
кути	9713	0.19	1.06	-
хрест	8246	0.17	0.88	-
діагональна лінія	1590	0.10	1.36	-
горизонтальна лінія	5987	0.34	1.42	-
слово	5683	0.70	8.39	-
вертикальна лінія	8520	0.06	4.28	-
Разом		3.09	22.97	8.96
*Цифровий патерн*
закінчується на 69	6869	0.35	0.57	-
тільки цифри 0-3	2000	3.49	2.72	-
тільки цифри 0-6	5155	4.66	5.96	-
повторювані пари	2525	2.31	4.11	-
однакові цифри	6666	0.40	6.67	-
спадна послідовність	3210	0.13	0.29	-
зростаюча послідовність	4567	3.83	4.52	-
Разом		15.16	24.85	4.60
*Випадковий набір цифр*		23.17	27.67	63.68

Все б добре, але, на жаль, значна частина опитаних (23%) вибирає PIN-код у вигляді дати, - і майже третина з них використовує дату свого народження. Це суттєво змінює справу, адже майже всі (99%) респонденти відповіли, що зберігають у гаманці з банківськими картками різні посвідчення особи, на яких цю дату надруковано. Якщо зловмисник знає день народження власника картки, то за грамотного підходу ймовірність вгадування PIN-коду злітає до 9%.

100 найпопулярніших PIN-кодів

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S.Насправді, зрозуміло, зловмиснику набагато простіше підглянути ваш PIN-код, ніж вгадувати його. Але і від підгляду можна захиститися - навіть, здавалося б, у безвихідному становищі:

Комбінаторика - це розділ математики, у якому вивчаються питання, скільки різних комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів. Основи комбінаторики дуже важливі з метою оцінки ймовірностей випадкових подій, т.к. саме вони дозволяють підрахувати принципово можливу кількість різних варіантів розвитку подій.

Основна формула комбінаторики

Нехай є k груп елементів, причому i-я групаскладається з n i елементів. Виберемо по одному елементу з кожної групи. Тоді загальне число N способів, якими можна зробити такий вибір, визначається співвідношенням N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k .

приклад 1.Пояснимо це правило простому прикладі. Нехай є дві групи елементів, причому перша група складається з n 1 елементів, а друга - n 2 елементів. Скільки різних пар елементів можна скласти із цих двох груп, таким чином, щоб у парі було по одному елементу від кожної групи? Допустимо, ми взяли перший елемент із першої групи і, не змінюючи його, перебрали всі можливі пари, змінюючи лише елементи з другої групи. Таких пар цього елемента можна скласти n 2 . Потім ми беремо другий елемент із першої групи і також складаємо для нього всі можливі пари. Таких пар також буде n 2 . Так як у першій групі всього n 1 елемент, всього можливих варіантів буде n 1 * n 2 .

приклад 2.Скільки трицифрових парних чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?
Рішення: n 1 =6 (т.к. як перша цифра можна взяти будь-яку цифру з 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. як другу цифру можна взяти будь-яку цифру з 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. як третя цифра можна взяти будь-яку цифру з 0, 2, 4, 6).
Отже, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

У разі, коли всі групи складаються з однакового числа елементів, тобто. n 1 =n 2 =...n k =n вважатимуться, кожен вибір виробляється з однієї й тієї групи, причому елемент після вибору знову повертається у групу. Тоді число всіх способів вибору дорівнює n k. Такий спосіб вибору комбінаторики носить назву вибірки із поверненням.

приклад 3.Скільки всіх чотирицифрових чисел можна становити з цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Рішення.До кожного розряду чотиризначного числа є п'ять можливостей, отже N=5*5*5*5=5 4 =625.

Розглянемо безліч, які з n елементів. Це безліч у комбінаториці називається генеральною сукупністю.

Число розміщень з n елементів m

Визначення 1.Розміщенням з nелементів по mу комбінаториці називається будь-який упорядкований набірз mрізних елементів, вибраних з генеральної сукупності в nелементів.

приклад 4.Різними розміщеннями з трьох елементів (1, 2, 3) по два будуть набори (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) ). Розміщення можуть відрізнятися друг від друга як елементами, і їх порядком.

Число розміщень у комбінаториці позначається A n m і обчислюється за такою формулою:

Примітка: n!=1*2*3*...*n (читається: "ен факторіал"), крім того вважають, що 0!=1.

Приклад 5. Скільки існує двозначних чисел, у яких цифра десятків та цифра одиниць різні та непарні?
Рішення:т.к. непарних цифр п'ять, саме 1, 3, 5, 7, 9, це завдання зводиться до вибору і розміщення дві різні позиції двох із п'яти різних цифр, тобто. вказаних чисел буде:

Визначення 2. Поєднаннямз nелементів по mу комбінаториці називається будь-який невпорядкований набірз m різних елементів, обраних з генеральної сукупності nелементів.

Приклад 6. Для множини (1, 2, 3) поєднаннями є (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Число поєднань з n елементів m

Число поєднань позначається C n m і обчислюється за такою формулою:

Приклад 7.Скільки способами читач може вибрати дві книжки із шести наявних?

Рішення:Число методів дорівнює числу поєднань із шести книжок по дві, тобто. одно:

Перестановки з n елементів

Визначення 3. Перестановкоюз nелементів називається будь-який упорядкований набірцих елементів.

Приклад 7a.Різними перестановками множини, що складається з трьох елементів (1, 2, 3) є: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число різних перестановок з елементів n позначається P n і обчислюється за формулою P n = n!.

Приклад 8.Скільки способами сім книг різних авторів можна розставити на полиці в один ряд?

Рішення:це завдання про кількість перестановок семи різних книг. Є P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способів здійснити розміщення книг.

Обговорення.Ми бачимо, що число можливих комбінацій можна порахувати за різними правилами (перестановки, поєднання, розміщення), причому результат вийде різний, т.к. Принцип підрахунку і самі формули відрізняються. Уважно подивившись визначення, можна побачити, що результат залежить від кількох чинників одночасно.

По-перше, з того, з якої кількості елементів ми можемо комбінувати їх набори (наскільки велика генеральна сукупність елементів).

По-друге, результат залежить від того, який розмір набори елементів нам потрібні.

І останнє, важливо знати, чи є для нас істотним порядок елементів у наборі. Пояснимо останній чинник на такому прикладі.

Приклад 9.На батьківських зборах присутні 20 осіб. Скільки існує різних варіантів складу батьківського комітету, якщо до нього мають увійти 5 осіб?
Рішення:У цьому прикладі нас не цікавить порядок прізвищ у списку Комітету. Якщо в результаті в його складі будуть одні й ті ж люди, то за змістом для нас це один і той самий варіант. Тому ми можемо скористатися формулою для підрахунку числа поєднаньіз 20 елементів по 5.

Інакше будуть справи, якщо кожен член комітету спочатку відповідає за певний напрямок роботи. Тоді при тому самому списковому складі комітету, всередині нього можливо 5! варіантів перестановокякі мають значення. Кількість різних (і за складом, і за сферою відповідальності) варіантів визначається у цьому випадку числом розміщеньіз 20 елементів по 5.

Завдання для самоперевірки
1. Скільки трицифрових парних чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?
Т.к. число парне третьому місці може стояти 0, 2, 4, 6, тобто. чотири цифри. На другому місці може стояти будь-яка із семи цифр. У першому місці може стояти кожна з семи цифр крім нуля, тобто. 6 можливостей. Результат = 4 * 7 * 6 = 168.
2. Скільки існує п'ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо та праворуч наліво?
У першому місці може стояти будь-яка цифра крім 0, тобто. 9 можливостей. З другого краю місці може стояти будь-яка цифра, тобто. 10 можливостей. На місці теж може стояти будь-яка цифра, тобто. 10 можливостей. Четверта та п'ята цифри визначені заздалегідь, вони збігаються з першою та другою, отже число таких чисел 9*10*10=900.
3. У класі десять предметів та п'ять уроків на день. Скільки способами можна скласти розклад на один день?

4. Скільки можна вибрати 4 делегати на конференцію, якщо в групі 20 осіб?

n = C 20 4 = (20!) / (4! * (20-4)!) = (16! * 17 * 18 * 19 * 20) / ((1 * 2 * 3 * 4) * (16!) )) = (17 * 18 * 19 * 20) / (1 * 2 * 3 * 4) = 4845.
5. Скільки способами можна розкласти вісім різних листів по восьми різних конвертах, якщо кожен конверт кладеться лише одне лист?
У перший конверт можна покласти 1 з восьми листів, у другий один із семи, що залишилися, в третій один з шість т.д. n = 8! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 40320.
6. З трьох математиків та десяти економістів треба скласти комісію, що складається з двох математиків та шести економістів. Скільки способами це можна зробити?

КОМБІНАТОРИКА

Комбінаторика - розділ математики, який вивчає завдання вибору та розташування елементів з деякої основної множини відповідно до заданих правил. Формули та принципи комбінаторики використовуються в теорії ймовірностей для підрахунку ймовірності випадкових подійі, відповідно, отримання законів розподілу випадкових величин. Це, своєю чергою, дозволяє досліджувати закономірності масових випадкових явищ, що дуже важливим для правильного розуміння статистичних закономірностей, які у природі і техніці.

Правила складання та множення у комбінаториці

Правило суми. Якщо дві дії А і В взаємно виключають одна одну, причому дію А можна виконати m способами, а В - n способами, то виконати одну з цих дій (або А, або В) можна n + m способами.

приклад 1.

У класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток. Скільки способами можна призначити одного чергового?

Рішення

Черговим можна призначити чи хлопчика, чи дівчинку, тобто. черговим може бути будь-хто з 16 хлопчиків або будь-яка з 10 дівчаток.

За правилом суми отримуємо, що одного чергового можна призначити 16+10=26 способами.

Правило твору. Нехай потрібно виконати послідовно дій. Якщо перше дію можна виконати n 1 способами, друге дію n 2 способами, третє - n 3 способами і так до k-го дії, яке можна виконати n k способами, то всі k дій можуть бути виконані:

методами.

приклад 2.

У класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток. Скільки способами можна призначити двох чергових?

Рішення

Першим черговим можна призначити або хлопчика або дівчинку. Т.к. у класі навчається 16 хлопчиків та 10 дівчаток, то призначити першого чергового можна 16+10=26 способами.

Після того, як ми вибрали першого чергового, другого ми можемо вибрати з 25 осіб, що залишилися, тобто. 25 способами.

По теоремі множення двоє чергових можна вибрати 26*25=650 способами.

Поєднання без повторень. Поєднання з повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість поєднань без повторень, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо вибрати m з n різних предметів ?

приклад 3.

Необхідно вибрати в подарунок 4 з 10 різних книг. Скільки можна це зробити?

Рішення

Нам із 10 книг потрібно вибрати 4, причому порядок вибору не має значення. Таким чином, потрібно знайти число поєднань з 10 елементів по 4:

Розглянемо задачу про кількість поєднань із повтореннями: є по r однакових предметів кожного з n різних типів; скільки способами можна, можливо вибрати m () з цих (n * r) предметів?

приклад 4.

У кондитерському магазині продавалися 4 сорти тістечок: наполеони, еклери, пісочні та листкові. Скільки можна купити 7 тістечок?

Рішення

Т.к. серед 7 тістечок можуть бути тістечка одного сорту, число способів, якими можна купити 7 тістечок, визначається числом поєднань з повтореннями з 7 по 4.

Розміщення без повторень. Розміщення з повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість розміщень без повторень, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо вибрати і розмістити по m різним місцям m з n різних предметів?

Приклад 5.

У деякій газеті 12 сторінок. Необхідно на сторінках цієї газети розмістити чотири фотографії. Скільки можна це зробити, якщо жодна сторінка газети не повинна містити більше однієї фотографії?

Рішення.

У цьому ми не просто вибираємо фотографії, а розміщуємо їх у певних сторінках газети, причому кожна сторінка газети має містити трохи більше однієї фотографії. Таким чином, завдання зводиться до класичної задачі про визначення числа розміщень без повторень із 12 елементів по 4 елементи:

Таким чином, 4 фотографії на 12 сторінках можна розташувати 11 880 способами.

Також класичним завданнямкомбінаторики є завдання про кількість розміщень із повтореннями, зміст якої можна висловити питанням: скільки способами можна, можливо вибрать і розмістити по m різним місцям m з n предметів,зреді яких є однакові?

Приклад 6.

У хлопчика залишилися від набору для настільна граштампи з цифрами 1, 3 і 7. Він вирішив за допомогою цих штампів нанести на всі книги п'ятизначні номери-скласти каталог. Скільки різних п'ятизначних номерів може становити хлопчик?

Перестановки без повторень. Перестановки із повтореннями

Класичним завданням комбінаторики є завдання про кількість перестановок без повторення, зміст якої можна висловити: скільки способами можна, можливо розмістити n різних предметів на n різних місцях?

Приклад 7.

Скільки можна скласти чотирилітерних «слів» із літер слова «шлюб»?

Рішення

Генеральною сукупністю є 4 літери слова «шлюб» (б, р, а, к). Число «слів» визначається перестановками цих 4 літер, тобто.

Для випадку, коли серед n елементів, що вибираються, є однакові (вибірка з поверненням), задачу про кількість перестановок з повтореннями можна висловити питанням: Скільки способами можна переставити n предметів, розташованих на n різних місцях, якщо серед n предметів є k різних типів (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.