Формула проекції переміщення через координати тіла. Аналітичний опис рівноприскореного руху. Висновок формули для переміщення при рівноприскореному русі

Найважливіше для нас - це вміти обчислювати переміщення тіла, тому що знаючи переміщення можна знайти і координати тіла, а це і є головне завдання механіки. Як же обчислити переміщення при рівноприскореному русі?

Формулу визначення переміщення найпростіше отримати, якщо скористатися графічним методом.

У § 9 ми бачили, що за прямолінійному рівномірному русі переміщення тіла чисельно дорівнює площі фігури (прямокутника), розташованої під графіком швидкості. Чи це правильно для рівноприскореного руху?

При рівноприскореному русі тіла, що відбувається вздовж координатної осі X, швидкість з часом не залишається постійною, а змінюється згодом згідно з формулами:

Тому графіки швидкості мають вигляд, показаний малюнку 40. Пряма 1 цьому малюнку відповідає руху з «позитивним» прискоренням (швидкість зростає), пряма 2 - руху з «негативним» прискоренням (швидкість минає). Обидва графіки належать до випадку, коли в момент часу тіло мало швидкість

Виділимо на графіку швидкості рівноприскореного руху маленьку ділянку (рис. 41) і опустимо з точок а і перпендикуляри на вісь Довжина відрізка на осі чисельно дорівнює тому малому проміжку часу, за який швидкість змінилася від її значення в точці а до її значення в точці Під ділянкою графіка вийшла вузька смужка

Чи проміжок часу, чисельно рівний відрізку досить малий, то протягом цього часу зміна швидкості теж мало. Рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним, і смужка тоді мало відрізнятиметься від прямокутника. Площа смужки тому чисельно дорівнює переміщенню тіла за час, що відповідає відрізку

Але такі вузькі смужки можна розбити всю площу фігури, розташованої під графіком швидкості. Отже, переміщення за весь час чисельно дорівнює площі трапеції. Площа ж трапеції, як відомо з геометрії, дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. У нашому випадку довжина однієї з основ трапеції чисельно дорівнює довжина іншого - V. Висота ж її чисельно дорівнює Звідси випливає, що переміщення одно:

Підставимо в цю формулу замість вираз (1а), тоді

Розділивши почленно чисельник на знаменник, отримаємо:

Підставивши у формулу (2) вираз (16), отримаємо (див. рис. 42):

Формулу (2а) застосовують у тому випадку, коли вектор прискорення спрямований так само, як і вісь координат, а формулу (26) тоді, коли напрям вектора прискорення протилежний напрямку цієї осі.

Якщо початкова швидкість дорівнює нулю (рис. 43) і вектор прискорення спрямований по осі координат, то формули (2а) випливає, що

Якщо напрям вектора прискорення протилежно напрямку осі координат, то з формули (26) слід, що

(знак «-» тут означає, що вектор переміщення, як і вектор прискорення, спрямований протилежно обраної осі координат).

Нагадаємо, що у формулах (2а) та (26) величини і можуть бути як позитивними, так і негативними - це проекції векторів і

Тепер, коли ми отримали формули для обчислення переміщення, нам легко отримати формулу для обчислення координати тіла. Ми бачили (див. § 8), що для того, щоб знайти координату тіла в якийсь момент часу треба до початкової координати додати проекцію вектора переміщення тіла на вісь координат:

(За) якщо вектор прискорення спрямований так само, як і вісь координат, та

якщо напрям вектора прискорення протилежний напрямку осі координат.

Це і є формули, що дозволяють знаходити положення тіла будь-якої миті часу при прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього потрібно знати початкову координату тіла його початкову швидкість та прискорення а.

Завдання 1. Водій автомобіля, що рухається зі швидкістю 72 км/год, побачив червоний сигнал світлофора та натиснув на гальмо. Після цього автомобіль почав гальмувати, рухаючись із прискоренням

Яка відстань пройде автомобіль за час сік після початку гальмування? Яка відстань пройде автомобіль до повної зупинки?

Рішення. За початок координат виберемо ту точку дороги, в якій автомобіль почав гальмувати. Координатну вісь направимо у напрямку руху автомобіля (рис. 44), а початок відліку часу віднесемо до моменту, коли водій натиснув на гальмо. Швидкість автомобіля спрямована так само, як вісь X, а прискорення автомобіля протилежне напрямку цієї осі. Тому проекція швидкості на вісь X позитивна, а проекція прискорення негативна та координату автомобіля потрібно знаходити за формулою (36):

Підставляючи в цю формулу значення

Тепер знайдемо, яку відстань пройде автомобіль до повної зупинки. Для цього нам потрібно знати час руху. Його можна дізнатися, скориставшись формулою

Оскільки в той момент, коли автомобіль зупиняється, його швидкість дорівнює нулю, то

Відстань, яка пройде автомобіль до повної зупинки, дорівнює координаті автомобіля в момент часу

Завдання 2. Визначте переміщення тіла, графік швидкості якого показано на малюнку 45. Прискорення тіла дорівнює а.

Рішення. Оскільки спочатку модуль швидкості тіла зменшується з часом, то вектор прискорення спрямований протилежно до напрямку . Для обчислення переміщення ми можемо скористатися формулою

З графіка видно, що час руху тому:

Отримана відповідь показує, що графік, зображений на малюнку 45, відповідає руху тіла спочатку в одному напрямку, а потім на таку ж відстань у протилежному напрямку, внаслідок чого тіло виявляється у вихідній точці. Подібний графік може, наприклад, відноситися до руху тіла, кинутого вертикально вгору.

Завдання 3. Тіло рухається вздовж прямої рівноприскорено із прискоренням а. Знайдіть різницю відстаней, що проходять тілом за два наступних один за одним однакових проміжку часу т.

Рішення. Приймемо пряму, вздовж якої рухається тіло, за вісь X. Якщо в точці А (рис. 46) швидкість тіла дорівнювала то його переміщення за час одно:

У точці тіло мало швидкість і його переміщення за наступний проміжок часу дорівнює:

2. На малюнку 47 зображено графіки швидкості руху трьох тіл? Який характер руху цих тіл? Що можна сказати про швидкості руху тіл у моменти часу, що відповідають точкам А та В? Визначте прискорення та напишіть рівняння рухів (формули для швидкості та переміщення) цих тіл.

3. Користуючись наведеними на малюнку 48 графіками швидкостей трьох тіл, виконайте такі завдання: а) Визначте прискорення цих тіл; б) складіть для

кожного тіла формулу залежності швидкості від часу: в) у чому подібні і чим різняться рухи, що відповідають графікам 2 та 3?

4. На малюнку 49 показано графіки швидкості руху трьох тіл. За цими графіками: а) визначте, чому відповідають відрізки ОА, ВВ та ОС на осях координат; 6) знайдіть прискорення, з якими рухаються тіла: в) напишіть рівняння руху для кожного тіла.

5. Літак при зльоті проходить злітну смугу за 15 сек і в момент відриву від зедллі має швидкість 100 м/сек. З яким прискоренням рухався літак та яка довжина злітної смуги?

6. Автомобіль зупинився біля світлофора. Після того як спалахнув зелений сигнал, він починає рухатися з прискоренням і рухається гак доти, поки швидкість його не стане рівною 16 м/сек, після чого він продовжує рух з постійною швидкістю. На якій відстані від світлофора виявиться автомобіль через 15 с після появи зеленого сигналу?

7. Снаряд, швидкість якого дорівнює 1000 м/сек, пробиває стіну бліндажу за і після цього має швидкість 200 м/сек. Вважаючи рух снаряда в товщі стіни рівноприскореним, знайдіть товщину стіни.

8. Ракета рухається з прискоренням і до деякого моменту часу досягає швидкості 900 м/сек. Який шлях вона пройде в наступні

9. На якій відстані від Землі виявився б космічний корабельчерез 30 хв після старту, якби він весь час рухався прямолінійно із прискоренням

Сторінка 8 з 12

§ 7. Переміщення при рівноприскореному
прямолінійному русі

1. Використовуючи графік залежності швидкості від часу, можна отримати формулу переміщення тіла за рівномірного прямолінійного руху.

На малюнку 30 наведено графік залежності проекції швидкості рівномірного руху на вісь Xвід часу. Якщо поставити перпендикуляр до осі часу в певній точці C, то отримаємо прямокутник OABC. Площа цього прямокутника дорівнює добутку сторін OAі OC. Але довжина сторони OAдорівнює v x, а довжина сторони OC - t, звідси S = v x t. Добуток проекції швидкості на вісь Xі часу і проекції переміщення, тобто. s x = v x t.

Таким чином, проекція переміщення при рівномірному прямолінійному русі чисельно дорівнює площі прямокутника, обмеженого осями координат, графіком швидкості та перпендикуляром, відновленим до осі часу.

2. Отримаємо аналогічно формулу проекції переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього скористаємося графіком залежності проекції швидкості на вісь Xвід часу (рис. 31). Виділимо на графіку мала ділянка abі опустимо перпендикуляри з крапок aі bна вісь часу. Якщо проміжок часу D t, що відповідає ділянці cdна осі часу, малий, можна вважати, що швидкість протягом цього проміжку часу не змінюється і тіло рухається рівномірно. В цьому випадку фігура cabdмало відрізняється від прямокутника та її площа чисельно дорівнює проекції переміщення тіла за час, що відповідає відрізку cd.

На такі смужки можна розбити всю фігуру OABC, і її площа дорівнюватиме сумі площ всіх смужок. Отже, проекція переміщення тіла за час tчисельно дорівнює площі трапеції OABC. З курсу геометрії ви знаєте, що площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її основ та висоти: S= (OA + BC)OC.

Як видно з малюнка 31, OA = v 0x , BC = v x, OC = t. Звідси випливає, що проекція переміщення виражається формулою: s x= (v x + v 0x)t.

При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла у будь-який момент часу дорівнює v x = v 0x + a x t, отже, s x = (2v 0x + a x t)t.

Звідси:

Щоб отримати рівняння руху тіла, підставимо у формулу проекції переміщення її вираз через різницю координат s x = x – x 0 .

Отримаємо: x – x 0 = v 0x t+ , або

x = x 0 + v 0x t + .

За рівнянням руху можна визначити координату тіла у будь-який момент часу, якщо відомі початкова координата, початкова швидкість та прискорення тіла.

3. Насправді часто зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти переміщення тіла при рівноприскореному прямолінійному русі, але час руху у своїй невідомо. У таких випадках використовують іншу формулу проекції переміщення. Отримаємо її.

З формули проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0x + a x tвисловимо час:

t = .

Підставивши цей вираз у формулу проекції переміщення, отримаємо:

s x = v 0x + .

Звідси:

s x = , або
–= 2a x s x.

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, то:

2a x s x.

4. Приклад розв'язання задачі

Лижник з'їжджає зі схилу гори зі стану спокою із прискоренням 0,5 м/с 2 за 20 с і далі рухається горизонтальною ділянкою, проїхавши до зупинки 40 м. З яким прискоренням рухався лижник горизонтальною поверхнею? Яка довжина схилу гори?

Дано:

Рішення

v 01 = 0

a 1 = 0,5 м/с 2

t 1 = 20 с

s 2 = 40 м

v 2 = 0

Рух лижника складається з двох етапів: на першому етапі, спускаючись зі схилу гори, лижник рухається зі швидкістю, що зростає по модулю; на другому етапі під час руху горизонтальною поверхнею його швидкість зменшується. Величини, що відносяться до першого етапу руху, запишемо з індексом 1, а до другого етапу індексом 2.

a 2?

s 1?

Систему відліку зв'яжемо із Землею, вісь Xнаправимо за напрямом швидкості лижника кожному етапі його руху (рис. 32).

Запишемо рівняння для швидкості лижника наприкінці спуску з гори:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

У проекціях на вісь Xотримаємо: v 1x = a 1x t. Оскільки проекції швидкості прискорення на вісь Xпозитивні, модуль швидкості лижника дорівнює: v 1 = a 1 t 1 .

Запишемо рівняння, що зв'язує проекції швидкості, прискорення та переміщення лижника на другому етапі руху:

–= 2a 2x s 2x .

Враховуючи, що початкова швидкість лижника цьому етапі руху дорівнює його кінцевої швидкості першому етапі

v 02 = v 1 , v 2x= 0 отримаємо

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Звідси a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с 2 .

Модуль переміщення лижника першому етапі руху дорівнює довжині схилу гори. Запишемо рівняння для переміщення:

s 1x = v 01x t + .

Звідси довжина схилу гори дорівнює s 1 = ;

s 1 == 100 м-коду.

Відповідь: a 2 = 0,125 м/с 2; s 1 = 100 м-коду.

Запитання для самоперевірки

1. Як за графіком залежності проекції швидкості рівномірного прямолінійного руху на вісь X

2. Як за графіком залежності проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху на вісь Xчас від часу визначити проекцію переміщення тіла?

3. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла за рівноприскореного прямолінійного руху?

4. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла, що рухається рівноприскорено та прямолінійно, якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю?

Завдання 7

1. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля за 2 хв, якщо за цей час його швидкість змінилася від 0 до 72 км/год? Яка координата автомобіля у момент часу t= 2 хв? Початкову координату вважати рівною нулю.

2. Потяг рухається з початковою швидкістю 36 км/год та прискоренням 0,5 м/с 2 . Чому рівні переміщення поїзда за 20 с та його координата в момент часу t= 20, якщо початкова координата поїзда 20 м?

3. Яким є переміщення велосипедиста за 5 с після початку гальмування, якщо його початкова швидкість при гальмуванні дорівнює 10 м/с, а прискорення становить 1,2 м/с 2 ? Чому дорівнює координата велосипедиста на момент часу t= 5 с, якщо у початковий час він перебував на початку координат?

4. Автомобіль, що рухається із швидкістю 54 км/год, зупиняється при гальмуванні протягом 15 с. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля при гальмуванні?

5. Два автомобілі рухаються назустріч один одному з двох населених пунктів, що знаходяться на відстані 2 км один від одного. Початкова швидкість одного автомобіля 10 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 , початкова швидкість іншого – 15 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 . Визначте час та координату місця зустрічі автомобілів.

Лабораторна робота №1

Дослідження рівноприскореного
прямолінійного руху

Мета роботи:

навчитися вимірювати прискорення за рівноприскореного прямолінійного руху; експериментально встановити відношення шляхів, що проходять тілом за рівноприскореного прямолінійного руху за послідовні рівні проміжки часу.

Прилади та матеріали:

жолоб, штатив, металева кулька, секундомір, вимірювальна стрічка, циліндр металевий.

Порядок виконання роботи

1. Зміцніть у лапці штатива один кінець ринви так, щоб він становив невеликий кут з поверхнею столу. У іншого кінця ринви покладіть у нього циліндр металевий.

2. Виміряйте шляхи, що проходять кулькою за 3 послідовні проміжки часу, рівних 1 з кожен. Це можна зробити по-різному. Можна поставити крейдою на жолобі мітки, що фіксують положення кульки в моменти часу, що дорівнює 1 с, 2 с, 3 с, і виміряти відстані s_між цими мітками. Можна, відпускаючи щоразу кульку з однієї і тієї ж висоти, виміряти шлях sпройдений ним спочатку за 1 с, потім за 2 с і за 3 с, а потім розрахувати шлях, пройдений кулькою за другу і третю секунди. Результати вимірів запишіть у таблицю 1.

3. Знайдіть відносини шляху, пройденого за другу секунду, до шляху, пройденого за першу секунду, та шляху, пройденого за третю секунду, до шляху, пройденого за першу секунду. Зробіть висновок.

4. Виміряйте час руху кульки по жолобу та пройдений шлях. Обчисліть прискорення його руху, використовуючи формулу s = .

5. Використовуючи експериментально отримане значення прискорення, обчисліть шляхи, які має пройти кулька за першу, другу та третю секунди свого руху. Зробіть висновок.

Таблиця 1

№ досвіду

Експериментальні дані

Теоретичні результати

Час t , з

Шлях s , см

Час t , з

Шлях

s, см

Прискорення a, см/с2

Часt, з

Шлях s , см

Траєкторія(від пізньолатинського trajectories – що відноситься до переміщення) – це лінія, якою рухається тіло (матеріальна точка). Траєкторія руху може бути прямою (тіло переміщається в одному напрямку) та криволінійною, тобто механічний рухможе бути прямолінійним та криволінійним.

Траєкторія прямолінійного рухуу цій системі координат – це пряма лінія. Наприклад, можна вважати, що траєкторія руху автомобіля рівною дорогою без поворотів є прямолінійною.

Криволінійний рух– це рух тіл по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі. Приклад криволінійного руху – рух точки на колесі автомобіля, що рухається, або рух автомобіля в повороті.

Рух може бути складним. Наприклад, траєкторія руху тіла на початку шляху може бути прямолінійною, потім криволінійною. Наприклад, автомобіль на початку шляху рухається прямою дорогою, а потім дорога починає «петляти» і автомобіль починає криволінійний рух.

Шлях

Шлях- Це довжина траєкторії. Шлях є скалярною величиноюта у міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в метрах (м). Розрахунок шляху виконується у багатьох завданнях із фізики. Деякі приклади будуть розглянуті далі у цьому підручнику.

Вектор переміщення

Вектор переміщення(або просто переміщення) – це спрямований відрізок прямий, що з'єднує початкове положення тіла з наступним положенням (рис. 1.1). Переміщення – величина векторна. Вектор переміщення спрямований від початкової точки до кінцевої.

Модуль вектор переміщення(тобто довжина відрізка, який з'єднує початкову і кінцеву точки руху) може дорівнювати пройденому шляху або бути менше пройденого шляху. Але ніколи модуль вектора переміщення не може бути більшим за пройдений шлях.

Модуль вектора переміщення дорівнює пройденому шляху, коли шлях збігається з траєкторією (див. розділи і ), наприклад, якщо з точки А до точки Б автомобіль переміщається прямою дорогою. Модуль вектора переміщення менший за пройдений шлях, коли матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор переміщення і пройдений шлях.

На рис. 1.1:

Ще приклад. Якщо автомобіль проїде по колу один раз, то вийде, що точка початку руху збігатиметься з точкою кінця руху і тоді вектор переміщення буде дорівнює нулю, а пройдений шлях дорівнюватиме довжині кола. Таким чином, шлях та переміщення – це два різні поняття.

Правило складання векторів

Вектори переміщень складаються геометрично за правилом складання векторів (правило трикутника або правило паралелограма, див. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Додавання векторів переміщень.

На рис 1.2 показані правила складання векторів S1 та S2:

а) Додавання за правилом трикутника
б) Додавання за правилом паралелограма

Вектор проекції переміщення

При розв'язанні задач із фізики часто використовують проекції вектора переміщення на координатні осі. Проекції вектора переміщення координатні осі можуть бути виражені через різниці координат його кінця і початку. Наприклад, якщо матеріальна точка перемістилася з точки А до точки В, то при цьому вектор переміщення (рис. 1.3).

Виберемо вісь так, щоб вектор лежав з цією віссю в одній площині. Опустимо перпендикуляри з точок А та В (з початкової та кінцевої точок вектора переміщення) до перетину з віссю ОХ. Таким чином ми отримаємо проекції точок А і В на вісь Х. Позначимо проекції точок А і відповідно А x і В x . Довжина відрізка А x У x на осі ОХ - це і є проекція вектора переміщенняна вісь ОХ, тобто

S x = A x B x

ВАЖЛИВО!
Нагадую для тих, хто не дуже добре знає математику: не плутайте вектор із проекцією вектора на якусь вісь (наприклад, S x). Вектор завжди позначається літерою або кількома літерами, над якими знаходиться стрілка. У деяких електронних документах стрілку не ставлять, оскільки це може спричинити труднощі при створенні електронного документа. У таких випадках орієнтуйтеся на зміст статті, де поруч із літерою може бути написане слово «вектор» або якимось іншим способом вам вказують на те, що це саме вектор, а не просто відрізок.

Рис. 1.3. Вектор проекції переміщення.

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ дорівнює різниці координат кінця та початку вектора, тобто

S x = x - x 0

Аналогічно визначаються та записуються проекції вектора переміщення на осі OY та OZ:

S y = y - y 0 S z = z - z 0

Тут x 0 , y 0 , z 0 - Початкові координати, або координати початкового положення тіла ( матеріальної точки); x, y, z - кінцеві координати, або координати подальшого положення тіла (матеріальної точки).

Проекція вектора переміщення вважається позитивною, якщо напрям вектора та напрям координатної осі збігаються (як на рис 1.3). Якщо напрям вектора та напрям координатної осі не збігаються (протилежні), то проекція вектора негативна (рис. 1.4).

Якщо вектор переміщення паралельний осі, модуль його проекції дорівнює модулю самого Вектора. Якщо вектор переміщення перпендикулярний до осі, то модуль його проекції дорівнює нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модулі проекції вектор переміщення.

Різниця між наступним і початковим значеннями якоїсь величини називається зміною цієї величини. Тобто, проекція вектора переміщення на координатну вісь дорівнює зміні відповідної координати. Наприклад, для випадку, коли тіло переміщається перпендикулярно до осі Х (рис. 1.4) виходить, що щодо осі Х тіло НЕ ПЕРЕМІЩУЄТЬСЯ. Тобто переміщення тіла по осі Х дорівнює нулю.

Розглянемо приклад руху тіла на площині. Початкове положення тіла - точка А з координатами х0 і у 0, тобто А(х0, у 0). Кінцеве положення тіла - точка з координатами х і у, тобто В (х, у). Знайдемо модуль переміщення тіла.

З точок А та В опустимо перпендикуляри на осі координат ОХ та OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Рух тіла на площині.

Визначимо проекції вектора переміщення осях ОХ і OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

На рис. 1.5 видно, що трикутник АВС прямокутний. З цього випливає, що під час вирішення завдання можна використовувати теорема Піфагора, за допомогою якої можна знайти модуль вектора переміщення, оскільки

АС = s x CB = s y

За теоремою Піфагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Звідки можна знайти модуль вектора переміщення, тобто довжину шляху тіла з точки А до точки В:

Ну і насамкінець пропоную вам закріпити отримані знання та розрахувати кілька прикладів на ваш розсуд. Для цього введіть будь-які цифри у поля координат та натисніть кнопку РОЗРАХУВАТИ. Ваш браузер повинен підтримувати виконання сценаріїв (скриптів) JavaScript і виконання сценаріїв має бути дозволено в налаштуваннях вашого браузера, інакше розрахунок не буде виконано. У речових числах ціла та дробова частини повинні розділятися точкою, наприклад, 10.5.

Спробуємо вивести формулу для знаходження проекції вектора переміщення тіла, яке рухається прямолінійно та рівноприскорено за будь-який проміжок часу.

Для цього звернемося до графіка залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу.

Графік залежності проекції швидкості прямолінійного рівноприскореного руху від часу

Нижче на малюнку представлений графік для проекції швидкості деякого тіла, яке рухається з початковою швидкість V0 і постійним прискоренням а.

Якби ми мали рівномірний прямолінійний рух, то для обчислення проекції вектора переміщення, необхідно було б порахувати площу фігури під графіком проекції вектора швидкості.

Тепер доведемо, що у разі рівноприскореного прямолінійного руху проекція вектора переміщення Sx визначатиметься так само. Тобто проекція вектора переміщення дорівнюватиме площі фігури під графіком векторної проекції швидкості.

Знайдемо площу фігури обмежену віссю оt, відрізками АТ і ПС, а також відрізком АС.

Виділимо на осі ot мінімальний проміжок часу db. Проведемо через ці точки перпендикуляри до осі часу, до їхнього перетину з графіком проекції швидкості. Зазначимо точки перетину a та c. За цей час швидкість тіла зміниться від Vax до Vbx.

Якщо взяти цей проміжок досить малим, то можна вважати що швидкість залишається практично незмінною, а отже ми матимемо на цьому проміжку справу з рівномірним прямолінійним рухом.

Тоді можна вважати відрізок ac горизонтальним, а abcd прямокутником. Площа abcd буде чисельно дорівнює проекції вектора переміщення за проміжок часу db. Ми можемо розбити на такі малі проміжки часу всю площу фігури OACB.

Тобто ми отримали, що проекція вектора переміщення Sx за проміжок часу, що відповідає відрізку ОВ, буде чисельно дорівнює площі S трапеції ОACB, і визначатиметься за тією самою формулою, що ця площа.

Отже,