Objemy tiel
Zostavila: Olesya Viktorovna Yuminova, učiteľka matematiky na Agrárnej vysokej škole v Krasnojarsku
Ciele lekcie:
Zaviesť pojem objem telies, jeho vlastnosti, jednotky merania objemu. Zopakujte so žiakmi vzorce na zistenie objemu kvádra alebo kocky. Oboznámte študentov s objemami priameho hranolu, ihlanu, valca a kužeľa, vedené vizuálnymi a názornými úvahami.
Rovnako ako všetky druhy umenia inklinujú k hudbe, všetky vedy inklinujú k matematike. D. Santayana
Geometria je umenie správneho uvažovania na nesprávnych výkresoch. Poya D.
Plocha Plocha polygónu je kladná hodnota časti roviny, ktorú polygón zaberá.
Objem Objem telesa je kladná hodnota tej časti priestoru, ktorú zaberá geometrické teleso.
Vlastnosti plôch: 1. Rovnaké mnohouholníky majú rovnaké plochy
Vlastnosti objemov: 1. Rovnaké telesá majú rovnaké objemy
F1
F2
F1
F2
2. Ak je polygón tvorený viacerými polygónmi, potom sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto polygónov. SF=SF1+SF2+SF3+SF4
2. Ak sa teleso skladá z viacerých telies, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto telies. VF=VF1+VF2
Plocha Jednotkou merania plôch je štvorec, ktorého strana sa rovná jednotke merania pre segmenty. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha atď.
Objem Za jednotku merania objemov vezmeme kocku, ktorej hrana sa rovná jednotke merania segmentov. Kocka s hranou 1 cm sa nazýva kubický centimeter a označuje sa cm3. Podobne sa určí 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 atď.
1
1
1
1
1
Plocha Geometrické útvary, ktoré majú rovnakú plochu, sa nazývajú rovnaké.
Objem rovnako veľké telesá sú tie, ktorých objemy sú rovnaké.
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1
V stereometrii sa uvažujú objemy mnohostenov a objemy rotačných telies.
Objem pravouhlého rovnobežnostena:
a-dĺžka b-šírka c-výška V=a.b.c Sbas= a.b V=Sbas.H
Objem kocky:
V=a3 V=Sbas.H
Sobas=a2
Objem priameho hranolu:
V=Sbas.H
Vparal=Smain.H Smain=2.SABC Podľa vlastnosti objemov Vparal=2.SABC.H V hranoly = (V rovnobežné) :2 V hranoly = (2.SABC.H): 2
Objem pyramídy:
Pre 2. a 3. pyramídu - SC - spoločná, tr CC1B1 = tr CBB1 Pre 1. a 3. pyramídu - CS - spoločná, tr SAB = tr BB1S V1=V2=V3 V hranoly= 3 V pyramídy Vpyramídy=1 V hranoly 3 Vpyramídy = 1 Sbas.H 3
Postavme pyramídu ABCS na hranol. Dokončený hranol bude pozostávať z 3 pyramíd - SABC, SCC1B1, SCBB1
Objem valca:
Označenia: R - polomer podstavy H - výška L - tvoriaca čiara L=H V - objem valca
V = PR2H - objem V= Sbas.H Sbas= PR2
Kužeľ:
OZNAČENIE: R - polomer základne L - tvoriaca čiara kužeľa H - výška V - objem V = 1Р2Н 3 - objem
Toto je zaujímavé:
V geológii existuje pojem "ventilátor". Ide o terén vytvorený nahromadením klastických hornín unášaných horskými riekami na podhorskú nížinu alebo do plochejšieho, širšieho údolia.
V biológii existuje pojem "kužeľ rastu". Toto je vrchol výhonku a koreňa rastlín, ktorý pozostáva z buniek vzdelávacieho tkaniva.
„Kuže“ je názov pre rodinu morských mäkkýšov z podtriedy Pereshobranchids. Uhryznutie šišiek je veľmi nebezpečné. Úmrtia sú známe.
Vo fyzike sa stretávame s pojmom „pevný uhol“. Ide o uholník v tvare kužeľa vyrezaný do gule.
Otestujte si svoje znalosti:
Formulujte pojem objemu. Formulujte základné vlastnosti objemov telies. Vymenujte jednotky na meranie objemu telies. Aký je vzorec na meranie objemu pravouhlého rovnobežnostena; - objem kocky; - objem rovného hranola; - objem pyramídy; - objem valca a objem kužeľa. Zmení sa objem valca, ak sa polomer jeho základne zväčší 2-krát a jeho výška sa zníži 4-krát? V = PR2H V=P(2R)2.H=P4R2. H = PR2. H 4 4 Základy dvoch ihlanov s rovnakou výškou sú štvoruholníky so zodpovedajúcimi rovnakými stranami. Sú objemy týchto pyramíd rovnaké? Z akých pevných látok sa skladá teleso získané otáčaním rovnoramenného lichobežníka okolo väčšej základne?
Domáca úloha:
Naučte sa vzorce pre objemy telies, definície. č. 648(a,c), č. 685, č. 666(a,c)
Vystuženie pokrytého materiálu:
Úloha č.1 Tri mosadzné kocky s hranami 3 cm, 4 cm a 5 cm sa roztavia do jednej kocky. Akú hranu má táto kocka? + + =
KONCEPCIA OBJEMU
KONCEPCIA OBJEMU
S je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
V je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
1. Rovnaké čísla majú rovnaké plochy.
2. Ak sa obrazec skladá z niekoľkých obrazcov, jeho plocha sa rovná súčtu plôch týchto obrazcov.
3. Jednotkou merania plochy je zvyčajne štvorec so stranou rovnajúcou sa jednotke merania pre segmenty.
KONCEPCIA OBJEMU
O dvoch telesách sa hovorí, že sú si rovné, ak sa dajú spojiť superpozíciou
S je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
V je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
1. Rovnaké čísla majú rovnaké plochy.
Rovnaké telesá majú rovnaký objem.
2. Ak sa obrazec skladá z niekoľkých obrazcov, jeho plocha sa rovná súčtu plôch týchto obrazcov.
3. Jednotkou merania plochy je zvyčajne štvorec so stranou rovnajúcou sa jednotke merania pre segmenty.
KONCEPCIA OBJEMU
Objem celého telesa je súčtom objemov jeho základných telies.
S je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
V je kladná veličina, ktorej číselná hodnota má tieto vlastnosti:
1. Rovnaké čísla majú rovnaké plochy.
Rovnaké telesá majú rovnaký objem.
2. Ak sa obrazec skladá z niekoľkých obrazcov, jeho plocha sa rovná súčtu plôch týchto obrazcov.
Ak je teleso zložené z viacerých telies, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto telies.
3. Jednotkou merania plochy je zvyčajne štvorec so stranou rovnajúcou sa jednotke merania pre segmenty.
Jednotkou merania objemu je zvyčajne kocka, ktorej hrana sa rovná jednotke merania segmentov.
KONCEPCIA OBJEMU
Objem pravouhlého rovnobežnostena
Veta: objem pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčinu jeho troch rozmerov. a,b,c – rozmery pravouhlého rovnobežnostena. V = abc. Dôsledok 1: objem pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčinu plochy základne a výšky. V = abc=Sh.
Dôsledok 2.
Objem pravého hranolu, ktorého základňa je pravouhlý trojuholník, sa rovná súčinu plochy základne a výšky. V = SABCh.
Literatúra:
Geometria 10 – 11: Učebnica. pre vzdelávacie inštitúcie / L.S. Atanasyan et al., Enlightenment 2003. Štúdium geometrie v ročníkoch 10 - 11: Metóda. odporúčania pre učebnicu / S.M. Sahakyan, V.F. Butuzov, Osvietenie, 2001
Vykonané:
Pakhomova E.A. učiteľ matematiky na mestskom vzdelávacom zariadení strednej školy tajga
Snímka 2
Ciele lekcie:
Zaviesť pojem objem telies, jeho vlastnosti, jednotky merania objemu. Zopakujte so žiakmi vzorce na zistenie objemu kvádra alebo kocky. Oboznámte študentov s objemami priameho hranolu, ihlanu, valca a kužeľa, vedené vizuálnymi a názornými úvahami.
Snímka 3
Tak ako všetky druhy umenia inklinujú k hudbe, všetky vedy inklinujú k matematike. D. Santayana
Snímka 4
Geometria je umenie správneho uvažovania na nesprávnych výkresoch. Poya D.
Snímka 5
Plocha Plocha polygónu je kladná hodnota časti roviny, ktorú polygón zaberá. Objem Objem telesa je kladná hodnota tej časti priestoru, ktorú zaberá geometrické teleso.
Snímka 6
Vlastnosti plôch: 1. Rovnaké mnohouholníky majú rovnakú plochu Vlastnosti objemov: 1. Rovnaké telesá majú rovnaké objemy F1 F2 F1 F2
Snímka 7
2. Ak je polygón tvorený viacerými polygónmi, potom sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto polygónov. SF=SF1+SF2+SF3+SF4 2. Ak sa teleso skladá z viacerých telies, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto telies. VF=VF1+VF2 F2 F3 F1 F4
Snímka 8
Plocha Jednotkou merania plôch je štvorec, ktorého strana sa rovná jednotke merania pre segmenty. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha atď. Objem Za jednotku merania objemov vezmeme kocku, ktorej hrana sa rovná jednotke merania segmentov. Kocka s hranou 1 cm sa nazýva kubický centimeter a označuje sa cm3. Podobne sa určí 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 atď. 1 1 1 1 1
Snímka 9
Plocha Geometrické útvary s rovnakými plochami sa nazývajú objemy s rovnakými plochami.
Snímka 10
V stereometrii sa uvažujú objemy mnohostenov a objemy rotačných telies.
Snímka 11
Objem pravouhlého rovnobežnostena:
a-dĺžka b-šírka c-výška V=a.b.c Sbas=a.b V=Sbas.H a c c
Snímka 12
Objem kocky:
V=a3 V=Sbas.H a a a a Sbas=a2
Snímka 13
Objem priameho hranolu:
V=Hlavný.H Vparal=Hlavný.H S hlavný=2.SABC Podľa vlastnosti objemov Vparal=2.SABС.H V hranoly = (V paralelné) :2 V hranoly = (2.SABC.H): 2
Snímka 14
Objem pyramídy:
2. a 3. pyramída má SC - spoločné, trCC1B1= trCBB1 1. a 3. pyramída má CS - spoločné, trSAB= trBB1S V1=V2=V3 Vhranoly= 3 V pyramídy Vpyramídy=1 V hranoly 3 Vpyramídy=1 Sbas.H 3 We dokončí stavbu ABCS pyramídy do hranola. Dokončený hranol bude pozostávať z 3 pyramíd - SABC, SCC1B1, SCBB1
Snímka 15
Objem valca:
Označenia: R - polomer podstavy H - výška L - tvoriaca čiara L=H V - objem valca V = PR2H - objem V= Sbas.H Sbas= PR2 L
Snímka 16
Kužeľ:
OZNAČENIE: R - polomer základne L - tvoriaca čiara kužeľa H - výška V - objem V = 1Р2Н 3 - objem
Snímka 18
Otestujte si svoje znalosti:
Formulujte pojem objemu. Formulujte základné vlastnosti objemov telies. Vymenujte jednotky na meranie objemu telies. Aký je vzorec na meranie objemu pravouhlého rovnobežnostena; - objem kocky; - objem rovného hranolu; - objem pyramídy; - objem valca a objem kužeľa. Zmení sa objem valca, ak sa polomer jeho základne zväčší 2-krát a jeho výška sa zníži 4-krát? V = PR2HV=P(2R)2.H=P4R2. H = PR2. H 4 4 Základy dvoch ihlanov s rovnakou výškou sú štvoruholníky so zodpovedajúcimi rovnakými stranami. Sú objemy týchto pyramíd rovnaké? Z akých pevných látok sa skladá teleso získané otáčaním rovnoramenného lichobežníka okolo väčšej základne?
Snímka 19
Domáca úloha:
Naučte sa vzorce pre objemy telies, definície. č. 648(a,c), č. 685, č. 666(a,c)
Snímka 20
Vystuženie pokrytého materiálu:
Úloha č.1 Tri mosadzné kocky s hranami 3 cm, 4 cm a 5 cm sa roztavia do jednej kocky. Akú hranu má táto kocka? + + = a1 a2 a3 ?
Snímka 21
Riešenie: VF=VF1+VF2+VF3 VF1=33 =27 (cm3) VF2=43 =64 (cm3) VF3=53 =125 (cm3) VF=27+64 +125=216 (cm3) VF=a3 a3= 216 (cm3) a= 6 (cm) Odpoveď: hrana kocky je 6 cm.
V tejto prezentácii pre 11. ročník sa pozrieme na pojem objem telesa, vlastnosti objemov telies a vyriešime niekoľko problémov.
Predtým boli študenti oboznámení s výpočtom plochy geometrických tvarov. Plocha je veľkosť postavy, ktorá je v rovnakej rovine.
Ak postava neleží v jednej rovine, ale v priestore, potom, keď hovoríme o jej veľkosti, prejdeme k pojmu objem. Prezentácia na tretej snímke ilustruje trojrozmerné telesá rôznych tvarov a objemov: amfora, sud, vedro. Autor uvádza pojem kubický centimeter - pozrite sa na nasledujúci obrázok: je zobrazený 1 cm na priamke, 1 štvorcový centimeter ako jednotka plochy a 1 kubický centimeter ako jednotka objemu tela. 1 kubický centimeter sa vyznačuje tromi telesnými rozmermi: dĺžka, šírka a výška, čo je jasne znázornené na obrázku.
1) Objemy rovnakých telies sú rovnaké.
2) Ak je teleso zložené z viacerých telies, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto telies. Obrázok ukazuje obrázok pozostávajúci z dvoch obrázkov F a Q. Potom objem tohto obrázku možno zapísať ako V = V F + V Q.
3) Ak jedno teleso obsahuje ďalšie, potom objem prvého telesa nie je menší ako objem druhého. Na obrázku je znázornená kocka so stranou a = 1 cm. Vo vnútri kocky je kocka so stranou 1/5 cm. Objem prvej kocky sa rovná V = a 3 = 1 cm 3. Objem kocky vo vnútri sa rovná V 1 = (1/5) 3 = 1/125 cm 3.
Zistili sme, že 1 cm 3 > 1/125 cm 3, t.j. V>V 1.
Dávajte pozor na dôsledok uvedený na nasledujúcom snímku: objem kocky s hranou 1/n sa rovná 1/n 3. Dôkaz tohto tvrdenia je uvedený. Predpokladajme, že máme kocku so stranou a = 1 cm a kocku umiestnenú vo vnútri prvej kocky so stranou a 1 = 1/n cm Objem prvej kocky sa rovná V = a 3 = 1 cm 3. Objem vnútri kocky je V 1 = (1/n ) 3 = 1/n 3 cm 3 . Q.E.D.
Aplikujme vlastnosti objemov telies v praxi pri riešení úloh.
Úloha 1. Dané teleso pozostávajúce z dvoch rovnobežnostenov umiestnených nad sebou (pozri obrázok). Šírka, dĺžka a výška týchto rovnobežnostenov sú známe: a c, b c, h c a a 3, b 3, h 3. Je potrebné nájsť objem celého tela. Nájdite objem prvého kvádra V c = a c x b c x h c = 36. Analogicky vypočítame objem prvého kvádra V 3 = a 3 x b 3 x h 3 = 3. Nájdite objem celého telesa pomocou druhej vlastnosti objemy telies: V = V c + V 3 = 39 .
Úloha 2. Na obrázku je tehla, ktorej rozmery sú známe: dĺžka 250, šírka 120, výška 65. Vzhľadom na rozmery otvoru sú 2200 x 120 x 700. Je potrebné určiť, koľko tehál sa do tohto otvoru zmestí. Nájdite objem jednej tehly V 1 = a 1 x b 1 x h 1. Nájdite objem otvoru pomocou podobného vzorca V 2 = a 2 x b 2 x h 2. Potom V 2 / V 1 označí počet tehál, ktoré sa zmestia do otvoru. Poznámka - objem tehly a otvoru sa nám možno nepodarí nájsť oddelene, pretože Takáto úloha neexistuje, ale okamžite vypočítajte počet tehál V 2 / V 1.
Túto prezentáciu môže použiť učiteľ v triede a žiaci na nej môžu pracovať aj samostatne.
