Nech existuje zbierka vektorov v -rozmernom aritmetickom priestore .

Definícia 2.1.Sada vektorov volal lineárne nezávislé systém vektorov, ak je rovnosť tvaru

vykonávané iba s nulovými hodnotami číselných parametrov .

Ak je možné splniť rovnosť (2.1) za predpokladu, že aspoň jeden z koeficientov je odlišný od nuly, potom sa takýto systém vektorov nazýva lineárne závislé .

Príklad 2.1. Skontrolujte lineárnu nezávislosť vektorov

Riešenie. Vytvorme rovnosť formulára (2.1)

Ľavá strana tohto výrazu sa môže stať nulou iba vtedy, ak je splnená podmienka , čo znamená, že systém je lineárne nezávislý.

Príklad 2.1. Budú tam vektory? lineárne nezávislé?

Riešenie. Je ľahké skontrolovať, či je rovnosť pravda pre hodnoty , . To znamená, že tento systém vektorov je lineárne závislý.

Veta 2.1. Ak je systém vektorov lineárne závislý, potom akýkoľvek vektor z tohto systému môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia (alebo superpozícia) zostávajúcich vektorov systému.

Dôkaz. Predpokladajme, že systém vektorov lineárne závislé. Potom podľa definície existuje množina čísel , medzi ktorými je aspoň jedno číslo odlišné od nuly a platí rovnosť (2.1):

Bez straty všeobecnosti predpokladáme, že nenulový koeficient je , tj . Potom možno poslednú rovnosť vydeliť a potom vyjadriť ako vektor:

.

Vektor je teda reprezentovaný ako superpozícia vektorov . Veta 1 je dokázaná.

Dôsledok. Ak je množina lineárne nezávislých vektorov, potom ani jeden vektor z tejto množiny nemôže byť vyjadrený v podmienkach ostatných.

Veta 2.2. Ak systém vektorov obsahuje nulový vektor, potom bude takýto systém nutne lineárne závislý.

Dôkaz. Nech je vektor nulový, tzn .

Potom zvolíme konštanty ( ) nasledujúcim spôsobom:

, .

V tomto prípade je splnená rovnosť (2.1). Prvý člen vľavo sa rovná nule, pretože ide o nulový vektor. Zostávajúce členy sa stanú nulou, keď sa vynásobia nulovými konštantami ( ). teda

pri , čo znamená vektory lineárne závislé. Veta 2.2 je dokázaná.

Ďalšia otázka, na ktorú musíme odpovedať, je čo najväčší počet vektorov môže tvoriť lineárne nezávislý systém V n-rozmerný aritmetický priestor. V odseku 2.1 sa uvažovalo o prirodzenom základe (1.4):

Zistilo sa, že ľubovoľný vektor -rozmerného priestoru je lineárna kombinácia vektorov prirodzenej bázy, teda ľubovoľný vektor. sa vyjadruje na prirodzenom základe ako

, (2.2)

kde sú súradnice vektora, čo sú nejaké čísla. Potom rovnosť

je možné len pre , a teda vektory prírodný základ tvoria lineárne nezávislý systém. Ak do tohto systému pridáme ľubovoľný vektor , potom na základe dôsledkov vety 1 bude systém závislý, pretože vektor je vyjadrený pomocou vektorov podľa vzorca (2.2).

Tento príklad ukazuje, že v n-rozmerný aritmetický priestor existujú systémy pozostávajúce z lineárne nezávislých vektorov. A ak k tomuto systému pridáme aspoň jeden vektor, dostaneme systém lineárne závislých vektorov. Dokážme, že ak počet vektorov presahuje rozmer priestoru, potom sú lineárne závislé.

Veta 2.3.V -rozmernom aritmetickom priestore neexistuje systém pozostávajúci z viac ako lineárne nezávislé vektory.

Dôkaz. Zvážte ľubovoľné -rozmerné vektory:

………………………

Nechaj . Urobme lineárnu kombináciu vektorov (2.3) a prirovnajme ju k nule:

Vektorová rovnosť (2.4) je ekvivalentom skalárnych rovníc pre súradnice vektory :

(2.5)

Tieto rovnosti tvoria systém homogénnych rovníc s neznámymi . Keďže počet neznámych je väčší ako počet rovníc ( ), potom má homogénna sústava (2.5) nenulové riešenie na základe vety 9.3 v sekcii 1. V dôsledku toho je pre niektoré hodnoty platná rovnosť (2.4). , medzi ktorými nie sú všetky rovné nule, čo znamená, že sústava vektorov (2.3) je lineárne závislá. Veta 2.3 je dokázaná.

Dôsledok. V -rozmernom priestore existujú systémy pozostávajúce z lineárne nezávislých vektorov a každý systém obsahujúci viac ako vektorov bude lineárne závislý.

Definícia 2.2.Systém lineárne nezávislých vektorov sa nazýva základ priestoru, ak možno ľubovoľný vektor v priestore vyjadriť ako lineárnu kombináciu týchto lineárne nezávislých vektorov.

2.3. Lineárna vektorová transformácia

Zvážte dva vektory a -rozmerný aritmetický priestor.

Definícia 3.1.Ak každý vektor Ak je vektor z rovnakého priestoru asociovaný, potom hovoríme, že je daná určitá transformácia -rozmerného aritmetického priestoru.

Túto transformáciu budeme označovať . Vektor nazveme obrázok. Môžeme napísať rovnosť

. (3.1)

Definícia 3.2.Transformácia (3.1) sa bude nazývať lineárna, ak spĺňa nasledujúce vlastnosti:

, (3.2)

, (3.3)

kde je ľubovoľný skalár (číslo).

Definujme transformáciu (3.1) v súradnicovom tvare. Nech sú súradnice vektorov A viazaný závislosťou

(3.4)

Vzorce (3.4) definujú transformáciu (3.1) v súradnicovom tvare. Kurzy ( ) systémy rovnosti (3.4) možno znázorniť ako maticu

nazývaná transformačná matica (3.1).

Zavedieme stĺpcové vektory

,

ktorých prvkami sú súradnice vektorov A podľa toho teda A . Odteraz budeme stĺpcové vektory nazývať vektormi.

Potom možno transformáciu (3.4) zapísať v maticovom tvare

. (3.5)

Transformácia (3.5) je lineárna vďaka vlastnostiam aritmetických operácií na maticách.

Zoberme si nejakú transformáciu, ktorej obraz je nulový vektor. V maticovej forme bude táto transformácia vyzerať

, (3.6)

a v súradnicovom tvare – predstavujú sústavu lineárnych homogénnych rovníc

(3.7)

Definícia 3.3.Lineárna transformácia sa nazýva nesingulárna, ak sa determinant matice lineárnej transformácie nerovná nule, tj. . Ak determinant zmizne, transformácia bude degenerovaná .

Je známe, že systém (3.7) má triviálne (zrejmé) riešenie – nulu. Toto riešenie je jedinečné, pokiaľ determinant matice nie je nula.

Nenulové riešenia systému (3.7) sa môžu objaviť, ak je lineárna transformácia degenerovaná, teda ak je determinant matice nulový.

Definícia 3.4. Hodnosť transformácie (3.5) je hodnosť transformačnej matice.

Môžeme povedať, že rovnaký počet sa rovná počtu lineárne nezávislých riadkov matice.

Prejdime ku geometrickej interpretácii lineárnej transformácie (3.5).

Príklad 3.1. Nech je daná lineárna transformačná matica , kde Vezmite ľubovoľný vektor , Kde a nájdite jeho obrázok:
Potom vektor
.

Ak , potom vektor zmení dĺžku aj smer. Na obr.

Ak , potom dostaneme obrázok

,

teda vektor
alebo , čo znamená, že zmení len dĺžku, ale nezmení smer (obr. 2).

Príklad 3.2. Nechaj , . Poďme nájsť obrázok:

,

to jest
, alebo .

Vektor v dôsledku transformácie zmenil svoj smer na opačný, pričom dĺžka vektora zostala zachovaná (obr. 3).

Príklad 3.3. Zvážte maticu lineárna transformácia. Je ľahké ukázať, že v tomto prípade sa obraz vektora úplne zhoduje so samotným vektorom (obr. 4). naozaj,

.

Dá sa povedať, že lineárna transformácia vektorov mení pôvodný vektor v dĺžke aj smere. V niektorých prípadoch však existujú matice, ktoré transformujú vektor iba v smere (príklad 3.2) alebo iba v dĺžke (príklad 3.1, prípad ).

Treba si uvedomiť, že všetky vektory ležiace na tej istej priamke tvoria systém lineárne závislých vektorov.

Vráťme sa k lineárnej transformácii (3.5)

a zvážte zber vektorov , pre ktoré je obrázok nulovým vektorom, takže .

Definícia 3.5. Množina vektorov, ktoré sú riešením rovnice , tvorí podpriestor -rozmerného aritmetického priestoru a je tzv lineárne transformačné jadro.

Definícia 3.6. Porucha lineárnej transformácie dimenzia jadra tejto transformácie sa nazýva, teda najväčší počet lineárne nezávislých vektorov spĺňajúcich rovnicu .

Keďže hodnosť lineárnej transformácie je hodnosťou matice, môžeme o defekte matice sformulovať nasledovné tvrdenie: defekt sa rovná rozdielu , kde je rozmer matice a je jej poradie.

Ak sa hodnosť lineárnej transformačnej matice (3.5) hľadá Gaussovou metódou, potom sa poradie zhoduje s počtom nenulových prvkov na hlavnej diagonále už transformovanej matice a defekt je určený počtom nula riadkov.

Ak je lineárna transformácia nedegenerovaná, tzn , potom sa jeho defekt stane nulou, pretože jadro je jediným nulovým vektorom.

Ak je lineárna transformácia degenerovaná a , potom systém (3.6) má iné riešenia okrem nulového a defekt je v tomto prípade už iný ako nula.

Obzvlášť zaujímavé sú transformácie, ktoré pri zmene dĺžky nemenia smer vektora. Presnejšie povedané, ponechávajú vektor na čiare obsahujúcej pôvodný vektor za predpokladu, že čiara prechádza počiatkom. Takéto transformácie budú diskutované v nasledujúcom odseku 2.4.

Vektory, ich vlastnosti a pôsobenie s nimi

Vektory, akcie s vektormi, lineárny vektorový priestor.

Vektory sú usporiadanou kolekciou konečného počtu reálnych čísel.

Akcie: 1.Vynásobenie vektora číslom: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Sčítanie vektorov (patria do rovnakého vektorového priestoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-rozmerný (lineárny priestor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Veta. Aby bol systém n vektorov, n-rozmerný lineárny priestor, lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby jeden z vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

Veta. Ľubovoľná množina n+ 1. vektorov n-rozmerného lineárneho priestoru javov. lineárne závislé.

Sčítanie vektorov, násobenie vektorov číslami. Odčítanie vektorov.

Súčet dvoch vektorov je vektor smerujúci od začiatku vektora po koniec vektora za predpokladu, že začiatok sa zhoduje s koncom vektora. Ak sú vektory dané ich expanziami vo vektoroch základnej jednotky, potom pri pridávaní vektorov sa pripočítajú ich zodpovedajúce súradnice.

Zoberme si to na príklade karteziánskeho súradnicového systému. Nechaj

Ukážme to

Z obrázku 3 je zrejmé, že

Súčet ľubovoľného konečného počtu vektorov zistíme pomocou pravidla mnohouholníka (obr. 4): na zostrojenie súčtu konečného počtu vektorov stačí spojiť začiatok každého nasledujúceho vektora s koncom predchádzajúceho vektora. a zostrojte vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom posledného.

Vlastnosti operácie sčítania vektorov:

V týchto výrazoch m, n sú čísla.

Rozdiel medzi vektormi sa nazýva vektor. Druhý člen je vektor opačný ako smer vektora, ale jeho dĺžka je rovnaká.

Operácia odčítania vektorov je teda nahradená operáciou sčítania

Vektor, ktorého začiatok je v bode A (x1, y1, z1), sa nazýva vektor polomeru bodu A a označuje sa jednoducho. Keďže jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu A, jeho expanzia v jednotkových vektoroch má tvar

Vektor, ktorý začína v bode A(x1, y1, z1) a končí v bode B(x2, y2, z2) možno zapísať ako

kde r2 je vektor polomeru bodu B; r 1 - vektor polomeru bodu A.

Preto expanzia vektora v jednotkových vektoroch má tvar

Jeho dĺžka sa rovná vzdialenosti medzi bodmi A a B

NÁSOBENIE

Takže v prípade rovinnej úlohy sa súčin vektora podľa a = (ax; ay) s číslom b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2) x 3.

3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Takže v prípade priestorovej úlohy sa súčin vektora a = (ax; ay; az) číslom b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b; az b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2; -5) krát 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Bodový súčin vektorov a kde je uhol medzi vektormi a ; ak buď, tak

Z definície skalárneho súčinu vyplýva, že

kde je napríklad veľkosť priemetu vektora do smeru vektora.

Skalárny štvorcový vektor:

Vlastnosti bodového produktu:

Bodový produkt v súradniciach

Ak To

Uhol medzi vektormi

Uhol medzi vektormi - uhol medzi smermi týchto vektorov (najmenší uhol).

Krížový súčin (Krížový súčin dvoch vektorov.) - toto je pseudovektor kolmý na rovinu skonštruovaný z dvoch faktorov, ktorý je výsledkom binárnej operácie „vektorové násobenie“ nad vektormi v trojrozmernom euklidovskom priestore. Súčin nie je komutatívny ani asociatívny (je antikomutatívny) a líši sa od bodového súčinu vektorov. V mnohých inžinierskych a fyzikálnych problémoch musíte byť schopní skonštruovať vektor kolmý na dva existujúce - vektorový produkt túto príležitosť poskytuje. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – dĺžka krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich dĺžok, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

Krížový súčin je definovaný iba v trojrozmerných a sedemrozmerných priestoroch. Výsledok vektorového súčinu, podobne ako skalárneho súčinu, závisí od metriky euklidovského priestoru.

Na rozdiel od vzorca na výpočet vektorov skalárneho súčinu zo súradníc v trojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme, vzorec pre krížový súčin závisí od orientácie pravouhlého súradnicového systému alebo, inými slovami, jeho „chirality“

Kolinearita vektorov.

Dva nenulové (nerovnajúce sa 0) vektory sa nazývajú kolineárne, ak ležia na rovnobežných priamkach alebo na tej istej priamke. Prijateľné, ale neodporúčané synonymum sú „paralelné“ vektory. Kolineárne vektory môžu byť identicky smerované („kosmerné“) alebo opačne (v druhom prípade sa niekedy nazývajú „antikolineárne“ alebo „antiparalelné“).

Zmiešaný súčin vektorov( a, b, c)- skalárny súčin vektora a a vektorový súčin vektorov b a c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

niekedy sa mu hovorí trojitý bodový súčin vektorov, zrejme preto, že výsledkom je skalár (presnejšie pseudoskalár).

Geometrický význam: Modul zmiešaného produktu sa číselne rovná objemu rovnobežnostenu vytvoreného vektormi (a,b,c) .

Vlastnosti

Zmiešaný produkt je šikmo symetrický vzhľadom na všetky jeho argumenty: t.j. e. preusporiadanie akýchkoľvek dvoch faktorov zmení označenie produktu. Z toho vyplýva, že zmiešaný súčin v pravom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a:

Zmiešaný súčin v ľavom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a so znamienkom mínus:

najmä

Ak sú akékoľvek dva vektory rovnobežné, potom s ktorýmkoľvek tretím vektorom tvoria zmiešaný produkt rovný nule.

Ak sú tri vektory lineárne závislé (to znamená koplanárne, ležiace v rovnakej rovine), ich zmiešaný súčin sa rovná nule.

Geometrický význam - Zmiešaný produkt sa v absolútnej hodnote rovná objemu kvádra (pozri obrázok) tvoreného vektormi a; znamenie závisí od toho, či je táto trojica vektorov pravotočivá alebo ľavotočivá.

Koplanarita vektorov.

Tri vektory (alebo väčší počet) sa nazývajú koplanárne, ak sú zredukované na spoločný počiatok a ležia v rovnakej rovine

Vlastnosti koplanarity

Ak je aspoň jeden z troch vektorov nula, potom sa tieto tri vektory tiež považujú za koplanárne.

Trojica vektorov obsahujúcich pár kolineárnych vektorov je koplanárna.

Zmiešaný súčin koplanárnych vektorov. Toto je kritérium pre koplanaritu troch vektorov.

Koplanárne vektory sú lineárne závislé. Toto je tiež kritérium koplanarity.

V 3-rozmernom priestore tvoria základ 3 nekoplanárne vektory

Lineárne závislé a lineárne nezávislé vektory.

Lineárne závislé a nezávislé vektorové systémy.Definícia. Vektorový systém je tzv lineárne závislé, ak existuje aspoň jedna netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná nulovému vektoru. V opačnom prípade, t.j. ak sa nulovému vektoru rovná iba triviálna lineárna kombinácia daných vektorov, volajú sa vektory lineárne nezávislé.

Veta (kritérium lineárnej závislosti). Aby bol systém vektorov v lineárnom priestore lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby aspoň jeden z týchto vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

1) Ak je medzi vektormi aspoň jeden nulový vektor, potom je celý systém vektorov lineárne závislý.

V skutočnosti, ak napríklad , potom za predpokladu, že máme netriviálnu lineárnu kombináciu .▲

2) Ak medzi vektormi niektoré tvoria lineárne závislý systém, potom je celý systém lineárne závislý.

V skutočnosti nech sú vektory , , lineárne závislé. To znamená, že existuje netriviálna lineárna kombinácia rovnajúca sa nulovému vektoru. Ale potom, za predpokladu , získame tiež netriviálnu lineárnu kombináciu rovnajúcu sa nulovému vektoru.

2. Základ a rozmer. Definícia. Systém lineárne nezávislých vektorov vektorový priestor sa nazýva základ tohto priestoru, ak sa dá ľubovoľný vektor z reprezentovať ako lineárna kombinácia vektorov tohto systému, t.j. pre každý vektor existujú reálne čísla taká, že platí rovnosť Táto rovnosť sa nazýva vektorový rozklad podľa základu a čísel sa volajú súradnice vektora vzhľadom na základ(alebo v základe) .

Veta (o jedinečnosti expanzie vzhľadom na základ). Každý vektor v priestore sa dá rozšíriť na základ jediným spôsobom, t.j. súradnice každého vektora v základe sú určené jednoznačne.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Riešenie. Hľadáme všeobecné riešenie sústavy rovníc

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

Gaussova metóda. Aby sme to dosiahli, zapíšeme tento homogénny systém do súradníc:

Systémová matica

Povolený systém má tvar: (r A = 2, n= 3). Systém je kooperatívny a neistý. Jeho všeobecné riešenie ( X 2 – voľná premenná): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prítomnosť nenulového konkrétneho riešenia napríklad naznačuje, že vektory a 1 , a 2 , a 3 lineárne závislé.

Príklad 2

Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Riešenie. Uvažujme o homogénnom systéme rovníc a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

alebo v rozšírenej forme (podľa súradníc)

Systém je homogénny. Ak je nedegenerovaný, tak má unikátne riešenie. V prípade homogénneho systému existuje nulové (triviálne) riešenie. To znamená, že v tomto prípade je systém vektorov nezávislý. Ak je systém degenerovaný, potom má nenulové riešenia, a preto je závislý.

Skontrolujeme degeneráciu systému:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Systém je nedegenerovaný a teda aj vektory a 1 , a 2 , a 3 lineárne nezávislé.

Úlohy. Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokážte, že systém vektorov bude lineárne závislý, ak bude obsahovať:

a) dva rovnaké vektory;

b) dva proporcionálne vektory.

Definícia 1. Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak jeden z vektorov systému môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov systému a lineárne nezávislý - inak.

Definícia 1´. Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak existujú čísla s 1 , s 2 , …, s k , nie všetky rovné nule, takže lineárna kombinácia vektorov s danými koeficientmi sa rovná nulovému vektoru: = , inak sa systém nazýva lineárne nezávislý.

Ukážme, že tieto definície sú ekvivalentné.

Nech je splnená definícia 1, t.j. jeden zo systémových vektorov sa rovná lineárnej kombinácii ostatných:

Lineárna kombinácia sústavy vektorov sa rovná nulovému vektoru a nie všetky koeficienty tejto kombinácie sa rovnajú nule, t.j. Definícia 1´ je splnená.

Ponechajte definíciu 1´. Lineárna kombinácia systému vektorov sa rovná , a nie všetky koeficienty kombinácie sa rovnajú nule, napríklad koeficienty vektora .

Jeden z vektorov sústavy sme prezentovali ako lineárnu kombináciu ostatných, t.j. Definícia 1 je splnená.

Definícia 2. Nazýva sa jednotkový vektor alebo jednotkový vektor n-rozmerný vektor, ktorý i-tá súradnica sa rovná jednej a zvyšok je nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Veta 1. Rôzne jednotkové vektory n-rozmerný priestor sú lineárne nezávislé.

Dôkaz. Nech sa lineárna kombinácia týchto vektorov s ľubovoľnými koeficientmi rovná nulovému vektoru.

Z tejto rovnosti vyplýva, že všetky koeficienty sú rovné nule. Máme rozpor.

Každý vektor n-rozmerný priestor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) môže byť reprezentované ako lineárna kombinácia jednotkových vektorov s koeficientmi rovnými vektorovým súradniciam

Veta 2. Ak systém vektorov obsahuje nulový vektor, potom je lineárne závislý.

Dôkaz. Nech je daný systém vektorov a jeden z vektorov je nula, napríklad = . Potom pomocou vektorov tohto systému môžete vytvoriť lineárnu kombináciu rovnú nulovému vektoru a nie všetky koeficienty budú nulové:

Preto je systém lineárne závislý.

Veta 3. Ak je niektorý podsystém systému vektorov lineárne závislý, potom je lineárne závislý celý systém.

Dôkaz. Je daný systém vektorov. Predpokladajme, že systém je lineárne závislý, t.j. sú tam čísla s 1 , s 2 , …, s r , nie všetky sa rovnajú nule, takže = . Potom

Ukázalo sa, že lineárna kombinácia vektorov celého systému sa rovná , a nie všetky koeficienty tejto kombinácie sú rovné nule. V dôsledku toho je systém vektorov lineárne závislý.

Dôsledok. Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom ktorýkoľvek z jeho podsystémov je tiež lineárne nezávislý.

Dôkaz.

Predpokladajme opak, t.j. niektorý subsystém je lineárne závislý. Z vety vyplýva, že celý systém je lineárne závislý. Dospeli sme k rozporu.

Veta 4 (Steinitzova veta). Ak je každý z vektorov lineárnou kombináciou vektorov a m>n, potom je systém vektorov lineárne závislý.

Dôsledok. V žiadnom systéme n-rozmerných vektorov nemôže byť viac ako n lineárne nezávislých vektorov.

Dôkaz. Každý n-rozmerný vektor je vyjadrený ako lineárna kombinácia n jednotkových vektorov. Ak teda systém obsahuje m vektory a m>n, potom podľa vety je tento systém lineárne závislý.

Nechaj L je ľubovoľný lineárny priestor, a i Î L,- jeho prvky (vektory).

Definícia 3.3.1. Výraz , Kde , - ľubovoľné reálne čísla, nazývané lineárna kombinácia vektory a 1, a 2,…, a n.

Ak je vektor R = , potom to hovoria R rozložené na vektory a 1, a 2,…, a n.

Definícia 3.3.2. Lineárna kombinácia vektorov sa nazýva netriviálne, ak je medzi číslami aspoň jedno nenulové. V opačnom prípade sa nazýva lineárna kombinácia triviálne.

Definícia 3.3.3 . Vektory a 1 , a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne závislé, ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia taká, že

= 0 .

Definícia 3.3.4. Vektory a 1 ,a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne nezávislé, ak rovnosť = 0 je možné len v prípade, že všetky čísla l 1, l 2,…, l n sú súčasne rovné nule.

Všimnite si, že každý nenulový prvok a 1 môže byť považovaný za lineárne nezávislý systém, pretože rovnosť l a 1 = 0 možné len ak l= 0.

Veta 3.3.1. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť a 1 , a 2 ,…, a n je možnosť rozkladu aspoň jedného z týchto prvkov na zvyšok.

Dôkaz. Nevyhnutnosť. Nech prvky a 1 , a 2 ,…, a n lineárne závislé. Znamená to, že = 0 a aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, l n odlišný od nuly. Nechaj pre istotu l 1 ¹ 0. Potom

t.j. prvok a 1 sa rozloží na prvky a 2 , a 3 , ..., a n.

Primeranosť. Nech prvok a 1 rozložíme na prvky a 2 , a 3 , …, a n, t.j. a 1 = . Potom = 0 , preto existuje netriviálna lineárna kombinácia vektorov a 1 , a 2 ,…, a n, rovná 0 , takže sú lineárne závislé .

Veta 3.3.2. Ak aspoň jeden z prvkov a 1 , a 2 ,…, a n nula, potom sú tieto vektory lineárne závislé.

Dôkaz . Nechaj a n= 0 , potom = 0 , čo znamená lineárnu závislosť týchto prvkov.

Veta 3.3.3. Ak medzi n vektormi nejaké p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dôkaz. Pre istotu nech sú prvky a 1 , a 2 ,…, a p lineárne závislé. To znamená, že existuje netriviálna lineárna kombinácia taká, že = 0 . Zadaná rovnosť zostane zachovaná, ak prvok pridáme do oboch jeho častí. Potom + = 0 a aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, lp odlišný od nuly. Preto vektory a 1 , a 2 ,…, a n sú lineárne závislé.

Dôsledok 3.3.1. Ak je n prvkov lineárne nezávislých, potom ľubovoľné k z nich sú lineárne nezávislé (k< n).

Veta 3.3.4. Ak vektory a 1, a 2,…, a n- 1 sú lineárne nezávislé a prvky a 1, a 2,…, a n- 1, a n sú lineárne závislé, potom vektor a n možno rozšíriť na vektory a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dôkaz. Keďže podľa podmienky a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n sú lineárne závislé, potom existuje ich netriviálna lineárna kombinácia = 0 , a (inak sa ukáže, že vektory a 1 , a 2 ,…, a sú lineárne závislé n- 1). Ale potom vektor

Q.E.D.