Zvyčajne sú rovnice systému napísané v stĺpci pod sebou a kombinované so zloženou zátvorkou

Systém rovníc tohto typu, kde a, b, c- čísla a x, y- premenné sa nazývajú sústava lineárnych rovníc.

Pri riešení sústavy rovníc sa využívajú vlastnosti, ktoré sú platné pre riešenie rovníc.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou

Pozrime sa na príklad

1) Vyjadrite premennú v jednej z rovníc. Napríklad, vyjadrime sa r v prvej rovnici dostaneme systém:

2) Dosaďte do druhej rovnice sústavy namiesto r výraz 3x-7:

3) Vyriešte výslednú druhú rovnicu:

4) Výsledné riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Systém rovníc má jedinečné riešenie: dvojicu čísel x = 1, y = -4. odpoveď: (1; -4) , napísané v zátvorkách, na prvej pozícii hodnotu X, Na druhom - r.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc sčítaním

Poďme vyriešiť sústavu rovníc z predchádzajúceho príkladu metóda pridávania.

1) Transformujte systém tak, aby koeficienty pre jednu z premenných boli opačné. Vynásobme prvú rovnicu sústavy „3“.

2) Pridajte rovnice sústavy člen po člene. Druhú rovnicu sústavy (ľubovoľnú) prepíšeme bez zmien.

3) Výsledné riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc

Grafické riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými spočíva v hľadaní súradníc spoločných bodov grafov rovníc.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Dve čiary v rovine sa môžu pretínať v jednom bode, byť rovnobežné alebo sa zhodovať. V súlade s tým môže sústava rovníc: a) mať jedinečné riešenie; b) nemajú riešenia; c) majú nekonečné množstvo riešení.

2) Riešením sústavy rovníc je bod (ak sú rovnice lineárne) priesečník grafov.

Grafické riešenie systému

Metóda zavádzania nových premenných

Zmena premenných môže viesť k riešeniu jednoduchšieho systému rovníc, než bol ten pôvodný.

Zvážte riešenie systému

Poďme teda predstaviť náhradu

Prejdime k počiatočným premenným

Špeciálne prípady

Bez riešenia sústavy lineárnych rovníc môžete počet jej riešení určiť z koeficientov príslušných premenných.

V tomto prípade je vhodné vyjadriť x pomocou y z druhej rovnice systému a výsledný výraz nahradiť x v prvej rovnici:

Prvá rovnica je rovnica s jednou premennou y. Poďme to vyriešiť:

5(7-3y)-2y = -16

Výslednú hodnotu y dosadíme do výrazu pre x:

Odpoveď: (-2; 3).

V tomto systéme je jednoduchšie vyjadriť y pomocou x z prvej rovnice a nahradiť výsledný výraz namiesto y v druhej rovnici:

Druhá rovnica je rovnica s jednou premennou x. Poďme to vyriešiť:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

Vo výraze pre y namiesto x dosadíme x=1 a nájdeme y:

Odpoveď: (1; -5).

Tu je vhodnejšie vyjadriť y pomocou x z druhej rovnice (keďže delenie 10 je jednoduchšie ako delenie 4, -9 alebo 3):

Poďme vyriešiť prvú rovnicu:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Dosaďte x=2 a nájdite y:

Odpoveď: (2; 1).

Pred aplikáciou substitučnej metódy je potrebné tento systém zjednodušiť. Obe strany prvej rovnice môžeme vynásobiť najmenším spoločným menovateľom, v druhej rovnici otvoríme zátvorky a uvedieme podobné pojmy:

Získali sme sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými. Teraz použijeme substitúciu. Je vhodné vyjadriť a až b z druhej rovnice:

Riešime prvú rovnicu systému:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Zostáva nájsť hodnotu a:

Podľa pravidiel formátovania píšeme odpoveď v zátvorkách oddelených bodkočiarkou v abecednom poradí.

Odpoveď: (14; -3).

Pri vyjadrení jednej premennej cez druhú je niekedy vhodnejšie nechať ju s určitým koeficientom.

Analyzujme dva typy riešení sústav rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučnou metódou musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Express. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Výslednú hodnotu dosadíme do inej rovnice namiesto vyjadrenej premennej.
3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém metódou sčítania (odčítania) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme identické koeficienty.
2. Sčítame alebo odčítame rovnice, čím vznikne rovnica s jednou premennou.
3. Vyriešte výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením systému sú priesečníky funkčných grafov.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, čo znamená, že premennú x je najjednoduchšie vyjadriť z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2.Po jej vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3+10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorte zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y, nájdime x, v prvom bode, kde sme to vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Je zvykom písať body na prvom mieste píšeme premennú x a na druhom mieste premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime pomocou metódy sčítania (odčítania) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc metódou sčítania

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberieme premennú, povedzme, že zvolíme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odčítajte druhú od prvej rovnice, aby ste sa zbavili premennej x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Nerobím si srandu.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Miesto lekcie v systéme lekcií: tretia lekcia na tému „Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými“

Typ lekcie: učenie sa novým poznatkom

Vzdelávacia technológia: rozvíjať kritické myslenie prostredníctvom čítania a písania

Metóda výučby:štúdium

Ciele lekcie: osvojiť si ďalší spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými - metódu sčítania

Úlohy:

• predmet: formovanie praktických zručností pri riešení sústav lineárnych rovníc metódou substitúcie;
• metapredmet: rozvíjať myslenie, vedomé vnímanie vzdelávacieho materiálu;
• osobné: podpora kognitívnej činnosti, kultúry komunikácie a vzbudzovanie záujmu o predmet.

V dôsledku toho študent:

• Pozná definíciu sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Vie, čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc v dvoch premenných;
• Dokáže napísať sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Chápe, koľko riešení môže mať sústava lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Dokáže určiť, či má systém riešenia, a ak áno, koľko;
• Pozná algoritmus riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou substitučných, algebraických a grafických metód.

Problematická otázka:"Ako vyriešiť systém lineárnych rovníc v dvoch premenných?"

Kľúčové otázky: Ako a prečo v živote používame rovnice?

Vybavenie: prezentácia; multimediálny projektor; obrazovka; počítač, pracovný zošit z algebry: 7. ročník: k učebnici A.G. Mordkovich a kol. „Algebra – 7“ 2012

Zdroje (odkiaľ pochádzajú informácie o danej téme: knihy, učebnice, internet atď.): učebnica „Algebra – 7“ 2012, A.G. Mordkovič

Formy organizovania vzdelávacích aktivít žiakov (skupinové, párovo-skupinové, frontálne a pod.): jednotlivé, čiastočne čelné, čiastočne parné

Hodnotiace kritériá:

• A – vedomosti a porozumenie +
• B – žiadosť a zdôvodnenie
• C – správa +
• D – reflexia a hodnotenie

Oblasti interakcie:

• ATL – vedieť efektívne využívať čas, plánovať si aktivity v súlade s vašimi cieľmi a zámermi a určiť najracionálnejší sled aktivít. Schopnosť odpovedať na otázky, zdôvodňovať, argumentovať. Vedieť analyzovať a hodnotiť svoje vlastné vzdelávacie a kognitívne aktivity, nájsť spôsoby riešenia problémov.
• HI študenti skúmajú dôsledky ľudskej činnosti

Počas vyučovania

I. Organizácia lekcie

II. Kontrola vlastnej prípravy

a) Č. 12.2(b, c).

Odpoveď: (5; 3). Odpoveď: (2; 3).

Odpoveď: (4;2)

Vyjadrite jednu premennú pomocou inej:

• p = p /(g * h) – hustota kvapaliny
• p = g * p * h - tlak kvapaliny na dne nádoby
• h = p /(g * p) – výška
• p = m / V - hustota
• m = V*p-hmotnosť
• p = m / V – hustota

Algoritmus na riešenie systému dvoch rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy:

1. Vyjadrite y pomocou x z prvej (alebo druhej) rovnice systému.
2. Do druhej (prvej) rovnice sústavy dosaďte namiesto y výraz získaný v prvom kroku.
3. Vyriešte rovnicu získanú v druhom kroku pre x.
4. Dosaďte hodnotu x zistenú v treťom kroku do výrazu y v zmysle x získaného v prvom kroku.
5. Napíšte odpoveď ako dvojicu hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

Samostatná práca:

V zošite s. 46 – 47.

• do „3“ č. 6(a);
• do „4“ č. 6(b);
• do „5“ č. 7.

III. Aktualizácia referenčných znalostí

Čo je to systém lineárnych rovníc v dvoch premenných?

Sústava rovníc sú dve alebo viac rovníc, pre ktoré je potrebné nájsť všetky ich spoločné riešenia.

Aké je riešenie sústavy rovníc v dvoch premenných?

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi je dvojica čísel (x,y) taká, že ak tieto čísla dosadíme do rovníc sústavy, každá z rovníc sústavy sa zmení na skutočnú rovnosť.

Koľko riešení môže mať sústava lineárnych rovníc v dvoch premenných?

Ak sú svahy rovnaké, potom sú čiary rovnobežné a neexistujú žiadne korene.

Ak uhlové koeficienty nie sú rovnaké, potom sa čiary pretínajú, jeden koreň (súradnice priesečníka).

Ak sú sklony rovnaké, potom sa čiary zhodujú a koreň je nekonečne veľký.

IV. Učenie nového materiálu

Doplňte prázdne miesta: Príloha 1 (nasleduje autotest na sklíčkach)

V. Práca na téme vyučovacej hodiny

V triede: Č. 13,2 (a, d), 13,3 (a, d).

VI. Domáca úloha

Odsek 13 – učebnica; slovník; Č. 13,2 (b, c), 13,3 (b, c).

VII. Zhrnutie lekcie

• Hurá!!! Rozumiem všetkému!
• Na niektorých veciach musím popracovať!
• Boli neúspechy, ale všetko prekonám!

VIII. Riešenie problémov s vojenskou zložkou

Hlavný bojový tank T-80.

Prijatý do prevádzky v roku 1976. Prvý sériový tank na svete s hlavnou elektrárňou založenou na motore s plynovou turbínou.

Základné taktické a technické údaje (TTD):

Hmotnosť, t – 46

Rýchlosť, km/h – 70

Cestovný dosah, km – 335-370

Výzbroj: 125 mm kanón s hladkou hlavňou (40 kusov streliva);

12,7 mm guľomet (300 kusov streliva);

7,62 mm guľomet PKT (strelivo 2000 ks)

Ako dlho môže zostať tank T-80 v pohybe bez tankovania?

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Substitučná metóda umožňuje jednoducho riešiť sústavy lineárnych rovníc akejkoľvek zložitosti. Podstatou metódy je, že pomocou prvého výrazu systému vyjadríme „y“ a výsledný výraz potom dosadíme do druhej rovnice systému namiesto „y“. Keďže rovnica už neobsahuje dve neznáme, ale iba jednu, môžeme ľahko nájsť hodnotu tejto premennej a potom ju použiť na určenie hodnoty druhej.

Predpokladajme, že máme systém lineárnych rovníc nasledujúceho tvaru:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Vyjadrime \

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Výsledný výraz dosadíme do rovnice 2:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Poďme nájsť hodnotu \

Zjednodušme a vyriešime rovnicu otvorením zátvoriek a zohľadňme pravidlá na prenos výrazov:

Teraz poznáme hodnotu \ Použime to na nájdenie hodnoty \

Odpoveď: \[(4;2).\]

Kde môžem vyriešiť systém rovníc online pomocou substitučnej metódy?

Systém rovníc môžete vyriešiť na našej webovej stránke. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Ako vyriešiť rovnicu nájdete aj na našej webovej stránke. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte.