Samostatná práca:
Možnosť 2:
Možnosť 1:
Skontrolujte odpovede:
Možnosť 2:
Možnosť 1:
Kosínusová veta:
Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínus uhla medzi nimi
- Najstarší dôkaz sínusovej vety v rovine je opísaný v knihe Nasira ad-Din At-Tusiho „Pojednanie o úplnom štvoruholníku“, napísanej v 13. storočí. Sínusovú vetu pre sférický trojuholník dokázali matematici stredovekého východu už v 10. storočí. V diele Al-Jayaniho z 11. storočia „Kniha neznámych oblúkov sféry“ bol daný všeobecný dôkaz vety o sínusoch o sfére.
Nasir ad-Din At-Tusi
Sínusová veta :
Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov
- komentár: Dá sa dokázať, že pomer strany trojuholníka k sínusu opačného uhla sa rovná priemeru kružnice opísanej. Preto pre akýkoľvek trojuholník ABC so stranami AB=c, BC=a, CA=b platia nasledujúce rovnosti:
- Kde R je polomer kružnice opísanej.
1) Napíšte sínusovú vetu pre tento trojuholník:
2) Napíšte kosínusovú vetu na výpočet strany MC:
Nájdite uhol B.
Nájdite dĺžku strany BC.
Nájdite dĺžku strany AB.
Nájdite MN.
Napíšte vzorec na výpočet:
- http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
- http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
- https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
- http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
- http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117
Sínusové a kosínusové vety v problémoch s praktickým obsahom
sú pravdivé?
Cvičenie 1
produkty týchto strán hriech uhol medzi nimi.
Druhá mocnina ktorejkoľvek strany vozíka sa rovná súčtu
štvorcov ostatných dvoch strán bez
produkty týchto strán cos uhol medzi nimi.
Druhá mocnina ktorejkoľvek strany vozíka sa rovná súčtu
štvorce ostatných dvoch strán bez dvojitého
produkty týchto strán cos uhol medzi nimi.
V pravouhlom trojuholníku
štvorec nohy sa rovná rozdielu štvorcov
hypotenzia a iná noha.
Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé?
Úloha 2
sínusy opačných uhlov.
Strany trojuholníka sú proporcionálne
kosínusy opačných uhlov.
Strany trojuholníka sú proporcionálne
sínusy susedných uhlov.
Strany trojuholníka sú proporcionálne
opačné uhly.
Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé?
Úloha 3
plocha a obvod.
Vyriešiť trojuholník znamená zmerať všetko
jeho prvky.
Vyriešiť trojuholník znamená nájsť ho
neznáme prvky z troch známych.
Vyriešiť trojuholník znamená nájsť ho
rovnaký trojuholník.
Nepravda!
Nepravda!
Nepravda!
Zápas?
Úloha 4
A) veta o sínusoch
B) Heronov vzorec
B) Pytagorova veta
D) kosínusová veta
Obďaleč stojí muž vysoký 1,7 m
8 krokov od tyče, na ktorej visí lampáš.
Tieň človeka sa rovná štyrom krokom. Na čom
výška (v metroch) je umiestnená lampa?
Úloha 5
8 krokov
4 kroky
Tip (2)
Zvážte podobné trojuholníky
Δ ABC
Δ AKM
Ježko má futbalovú loptu, ktorá je umiestnená vo vzdialenosti 23 m a 24 m od bránkových tyčí. Šírka bránky je 7 m Nájdite uhol, pod ktorým loptička dopadá na bránu?
Úloha 6
Úloha 7
Algoritmus na riešenie praktických problémov
- Vykonajte kreslenie
- Vyriešte geometrický problém
Úloha 7
Nájdite vzdialenosť k neprístupnému objektu
Algoritmus na zistenie vzdialenosti k neprístupnému objektu
- Označte 2 body, medzi ktorými je možné zmerať vzdialenosť
- Vykonajte merania uhla
- Zostavte matematický model (nákres)
- Vyriešte geometrický problém pomocou sínusovej vety
Rozhodnite sa sami 1 možnosť Na určenie šírky rieky (AC) boli vyznačené 2 body C a B vo vzdialenosti 50m od seba. Merali sme uhly ACB a ABC, kde A je strom stojaci na druhej strane rieky na okraji vody. (<АCВ=550, <АВС=650) Možnosť 2 Na určenie šírky rieky (AC) boli vyznačené 2 body B a C vo vzdialenosti 40m od seba. Merali sme uhly ACB a ABC, kde A je strom stojaci na druhej strane rieky na okraji vody. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м
Predmet « Kosínusová veta"
Typ lekcie : lekcia osvojovania si nových vedomostí
Miesto lekcie – prvá lekcia na túto tému
Učebný cieľ lekcie :
vedomosti študentov o formulácii kosínusovej vety;
zručnosť:
nájdite dĺžku tretej strany zo známych dvoch ďalších a uhol
medzi nimi;
určiť uhol (kosínus uhla) trojuholníka pomocou troch známych
stranám;
určiť typ trojuholníka na základe troch známych strán.
Úlohy osobného rozvoja:
organizovať situácie pre:
sebaurčenie žiakov o predpovedanom výsledku
kognitívna aktivita;
rozvoj reflexných schopností;
vytvoriť podmienky pre:
rozvoj komunikačných schopností žiakov;
rozvoj myslenia žiakov, schopnosti argumentovať a dokazovať.
Vybavenie a materiály: multimediálna inštalácia, obrazovka, tabuľa, krieda.
Stručný plán lekcie
1. Organizovanie času.
2. Aktualizácia popredných vedomostí a metód konania.
3. Motivácia a stanovenie cieľov.
4. Hlavná časť. Dôkaz kosínusovej vety. Výkon
príklady aplikácie kosínusovej vety pri riešení úloh.
Samostatná aplikácia vedomostí. (Mini test).
5. Reflexia. Zhrnutie lekcie.
Počas vyučovania
1. fáza Organizačné. Zdravím študentov a kontrolujem pripravenosť školského pracoviska na školenie. Vytváram náladu na prácu, oznamujem žiakom, že na hodine sa hodnotia bodovaním na pracovnej karte.
2. fázaAktualizácia vedomostí študentov, predloženie hypotézy.
Na začiatok navrhujem zahriatie (test) pomocou vzorcov „Redukčné vzorce“, „Hodnoty sínusu, kosínusu a tangenty pre uhly od 0⁰ do 180⁰“.
Napíšte vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi pomocou ich súradníc.
3. fáza Vytvorenie problémovej situácie a jej riešenie.Motivácia a stanovenie cieľov.
Problematická úloha zvyšuje motiváciu žiakov k ďalšej kognitívnej činnosti. Organizuje sa situácia na stanovenie cieľa hodiny a predpovedanie výsledkov hodiny, napríklad je potrebné nájsť univerzálny spôsob, ako nájsť dĺžku tretej strany trojuholníka zo známych dĺžok ostatných dvoch strany a uhol medzi nimi.
Skupinová práca.
Riešenie problému . Úloha. Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi bodmi nájdite dĺžku strany BC▲ ABC, ak A(0;0), B(c;0), C(bcosA ; bsinA ).
Záver: Uveďme slovnú formuláciu výslednej rovnosti. Získame vetu tzv kosínusová veta:
Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi.
Jedným z najkrajších a najjednoduchších dôkazov kosínusovej vety je jej dôkaz v súradnicovej rovine.
Môžeme povedať, že Pytagorova veta je špeciálnym prípadom kosínusovej vety? Áno, lebo cos 90 o = 0.
4. fáza Fizminutka.
6. fáza Vyjadrenie problému: koľko prvkov musí byť známych, aby sa problém vyriešil? Zostavte model, určte typ problému, preskúmajte vzťahy a súvislosti medzi prvkami trojuholníka .
Otázka do diskusie Denia. Aký problém možno vyriešiť pomocou kosínusovej vety?
S vedomím, že má tvar a 2
=b 2
+c 2
- 2bc×cosγ, transformujte tento výraz tak, aby sa požadovaná hodnota stala uhlom γ: b 2
+c 2
=2bc×cosγ+a 2
.
Potom uveďte, čo je zobrazené rovnice do trochu iného tvaru: b 2
+c 2-
a 2
=2bc×cosγ. Tento výraz potom nasleduje v tom nižšie:
cosγ=√b2+c2-a2/2bc.
Otázka do diskusie
Denia. Čo môžete nájsť pomocou tohto vzorca?
Hodnota kosínusu uhla v trojuholníku.
Žiaci majú vypočítať kosínus najväčšieho uhla v trojuholníku so známymi dĺžkami troch strán a určiť typ tohto trojuholníka.
Vypočítajte kosínus väčšieho uhla v trojuholníku, ak sú jeho strany rovnaké:
Možnosti č.1
Možnosť č.2
Možnosť #3
c = 6, b = 8, a = 9
c = 6, b = 8, a = 10
c = 6, b = 8, a = 11
cos 19/96
pretože 0
pretože 0
79 0
90 0
103 0
Výsledky výpočtov každej skupiny sa zapíšu do tabuľky, prediskutujú sa a vyvodia sa závery:
Na určenie typu trojuholníka (akútny, obdĺžnikový, tupý)
potrebné:
Vypočítajte kosínus uhla oproti väčšej strane;
Ak cos 0, ostrý trojuholník;
Ak cos 0, pravouhlý trojuholník;
Ak cos 0, trojuholník je tupý.
Otázka do diskusie Denia.Ako môžete odpovedať na túto otázku bez výpočtu kosínusu najväčšieho uhla? Spomínam si na vetu o vzťahu medzi stranami a uhlami trojuholníka. (V trojuholníku leží väčší uhol oproti väčšej strane a naopak, väčšia strana leží oproti väčšiemu uhlu).
ZÁVER.
Nech c je najväčšia strana
- Ak s 2 < a
2 +b 2, potom je trojuholník ostrý;
- Ak s 2 = a 2 +b 2, potom je trojuholník pravouhlý;
- Ak s 2 > a 2 +b 2, potom je trojuholník tupý.
Skontrolujte výstup o dokončených úlohách (doma).
7. fáza Budovanie dlhodobého plánu pre ďalšiu prácu.
- učiteľská otázka : Otázka do diskusie. Aké problémy možno vyriešiť pomocou kosínusovej vety?
- odpovede študentov
nájdite dĺžku tretej strany od známych dvoch ďalších a uhol medzi nimi;
určiť uhol (kosínus uhla) trojuholníka na základe troch známych strán
určiť typ trojuholníka na základe troch známych strán
5. fáza Konsolidácia. Mini-tes
Mini test
Podmienka
Možnosti odpovede
V trojuholníku so stranami m , n , p proti strane
p leží uhol α . Potom platí nasledovné
vzorec:
A) m 2 n 2 p 2 2 n.p. cosα
B) m n 2 p 2 2 n.p.čos α
IN) p 2 m 2 n 2 mnčos α ;
G) p m 2 n 2 mnčos α ;
Ak je kosínus väčšieho uhla trojuholníka
je záporný, potom tento trojuholník:
A) ostrý uhol; B) obdĺžnikový;
IN) tupý.
Dĺžky dvoch strán trojuholníka sú rovnaké a 3 a uhol
je medzi nimi 450. Potom je dĺžka tretej strany:
A) 2; B) 3; B) √ 5; G) 5
V trojuholníku sú dĺžky strán √3; 4; √7. Určte typ trojuholníka
A) ostrý uhol; B) obdĺžnikový;
IN) tupý.
Vyšetrenie.
Možnosti odpovede
1
IN) p 2 m 2 n 2 mn cosα ;
2
IN) tupý.
3
B)√ 5
4
IN) tupý
Čo ešte treba urobiť na dokončenie lekcie?
Žiaci: "Zadajte domácu úlohu."
Učiteľ: "Keby ste boli učiteľom, akú domácu úlohu by ste zadali?"
8. fáza Domáca úloha. S.98, č. 1025(d).
Navrhujem vložiť záverečnú známku na pracovné karty a zamyslieť sa nad vyplnením tabuľky.
Diskusia k vyplneniu tabuľky. hodnotenia
Aplikácie č. 1. Zahrievanie. Test
"Redukčné vzorce", "Hodnoty sínusu, kosínusu a tangenty pre uhly od 0° do 180°"
1. hriech (90 ⁰ - α ) =
2. cos (90 ⁰ - α ) =
3. hriech (180 ⁰ - α ) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα
4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα
5. čo 60 ⁰ = 1) 2) 3)
6. pretože 30 ⁰ = 1) 2) 3)
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Sínusová veta
Veta 12.2 (sínusová veta) Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.
C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.
M O X MO sinX MX sinO = = OX sinC Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.
C D E CD sinE EC sinD = = DE sinC Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.
Dôsledok sínusovej vety, kde R je polomer kružnice opísanej okolo ∆ ABC
Úloha Nájdite polomer kružnice opísanej okolo ∆ ABC, ak AC = 2 cm, ABC = 45° A C B 45 0 2 Následkom sínusovej vety R = R = 2: (2 ·) R =
Trigonometrický stôl č.1 č.2 č.3 č.4 č.5
AB sinC AC sinB = C A B 75 0 60 0 60 0 4 4 ? 45 0 45 0 Nájsť AB Úloha č. 1 Tabuľka
AB sinC BC sinA = C A B 60 0 60 0 ? 2 3 3 2 Úloha č. 2 Tabuľka
2 AB sinC AC sinB = C A B ? 2 2 2 2 2 13 5 0 13 5 0 Nájsť uhol A Úloha č. 3 Tabuľka
120 0 AC sinD AD sinC = AB C D je rovnobežník. Nájdite AC. D A B C 30 0 30 0 6 0 0 5 5 ? 120 0 30 0 Úloha č. 4 Tabuľka
45 0 2 45 0 BC sinA AB sinC = AB C D je rovnobežník. Nájdite BC. D A B C 30 0 30 0 2 ? 105 0 30 0 Úloha č. 5 Tabuľka
Stránka domácich úloh 162-163, odsek 110; dokázať vetu 12.2; podľa zošita č.99 – 104
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Interaktívny test, ktorý obsahuje 5 úloh s výberom jednej správnej odpovede zo štyroch navrhnutých s prihliadnutím na čas strávený absolvovaním testu; Test bol vytvorený v programe PowerPoint-2007 s...
Hodina - Riešenie úloh z geometrie 9. ročník. "Oblasť trojuholníka. Sínusová veta. Kosínusová veta."
Riešenie problémov zahŕňa schopnosť aplikovať poznatky za štandardných podmienok alebo s miernymi odchýlkami od nich. Do úvahy prichádzajú aj úlohy, ktoré vyžadujú schopnosť aplikovať znalosti v komplexných...
