Rovnice s modulmi, metódy riešenia. Časť 1.

Pred priamym štúdiom techník riešenia takýchto rovníc je dôležité pochopiť podstatu modulu, jeho geometrický význam. Hlavné metódy riešenia takýchto rovníc sú stanovené v pochopení definície modulu a jeho geometrického významu. Takzvaná metóda intervalov pri otváraní modulárnych zátvoriek je taká efektívna, že pomocou nej je možné vyriešiť úplne akúkoľvek rovnicu alebo nerovnosť s modulmi. V tejto časti budeme podrobne študovať dve štandardné metódy: metódu intervalov a metódu nahradenia rovnice populáciou.

Ako však uvidíme, tieto metódy sú vždy účinné, ale nie vždy pohodlné a môžu viesť k dlhým a dokonca nie príliš pohodlným výpočtom, ktoré si prirodzene vyžadujú viac času na ich vyriešenie. Preto je dôležité poznať tie metódy, ktoré výrazne zjednodušujú riešenie určitých štruktúr rovníc. Umocnenie oboch častí rovnice, metóda zavedenia novej premennej, grafická metóda, riešenie rovníc obsahujúcich modul pod znamienkom modulu. Týmto metódam sa budeme venovať v nasledujúcej časti.

Definícia modulu čísla. Geometrický význam modulu.

Najprv sa zoznámime s geometrickým významom modulu:

číslo modulo a (|a|) volajte vzdialenosť na číselnej osi od začiatku (bod 0) k bodu A(a).

Na základe tejto definície zvážte niekoľko príkladov:

|7| je vzdialenosť od 0 do bodu 7, samozrejme je 7. → | 7 |=7

|-5| je vzdialenosť od 0 do bodu -5 a rovná sa: 5. → |-5| = 5

Všetci chápeme, že vzdialenosť nemôže byť záporná! Preto |x| ≥ 0 vždy!

Vyriešte rovnicu: |x |=4

Táto rovnica sa dá čítať takto: vzdialenosť od bodu 0 k bodu x je 4. Áno, ukázalo sa, že z 0 sa môžeme pohybovať doľava aj doprava, čo znamená pohyb doľava o vzdialenosť rovnajúcu sa 4 skončíme v bode: -4 a pohybom doprava skončíme v bode: 4. Skutočne, |-4 |=4 a |4 |=4.

Odpoveď je teda x=±4.

Ak si pozorne preštudujete predchádzajúcu rovnicu, všimnete si, že: vzdialenosť vpravo pozdĺž číselnej osi od 0 do bodu sa rovná samotnému bodu a vzdialenosť vľavo od 0 po číslo sa rovná opačnej číslo! Uvedomujúc si, že napravo od 0 sú kladné čísla a naľavo od 0 záporné, formulujeme definície modulu čísla: modul (absolútna hodnota) čísla X(|x|) sa nazýva samotné číslo X, ak x ≥0, a číslo je X ak x<0.

Tu musíme nájsť množinu bodov na číselnej osi, vzdialenosť od 0 po ktorú bude menšia ako 3, predstavme si číselnú os, na nej bod 0, choďte doľava a napočítajte jeden (-1), dva (- 2) a tri (-3), stop. Pôjdu ďalšie body, ktoré ležia ďalej ako 3 alebo vzdialenosť, do ktorej je od 0 väčšia ako 3, teraz pôjdeme doprava: jeden, dva, tri, znova zastavte. Teraz vyberieme všetky naše body a dostaneme interval x: (-3; 3).

Je dôležité, aby ste to jasne videli, ak to stále nevyjde, nakreslite si papier a uvidíte, že táto ilustrácia je pre vás úplne jasná, nebuďte leniví a pokúste sa vo svojej mysli vidieť riešenia nasledujúcich úloh:

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

| x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x|>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2x-x²-3|=?

|x²+2|=? |х²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Venovať pozornosť zvláštnym úlohám v druhom stĺpci? Skutočne, vzdialenosť nemôže byť záporná, preto: |x|=-5- nemá žiadne riešenia, samozrejme, nemôže byť menšia ako 0, preto: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 sú všetky čísla.

Keď sa naučíte, ako rýchlo vidieť výkresy s riešeniami, čítajte ďalej.

Inštrukcia

Ak je modul reprezentovaný ako spojitá funkcia, potom hodnota jeho argumentu môže byť kladná alebo záporná: |х| = x, x > 0; |x| = - x, x

Modul je nula a modul akéhokoľvek kladného čísla je jeho modul. Ak je argument záporný, po otvorení zátvoriek sa jeho znamienko zmení z mínus na plus. Na základe toho vyplýva záver, že moduly opaku sú rovnaké: |-x| = |x| = x.

Modul komplexného čísla sa zistí podľa vzorca: |a| = √b ² + c ² a |a + b| ≤ |a| + |b|. Ak argument obsahuje kladné číslo ako násobiteľ, potom ho možno vyňať zo znamienka zátvorky, napríklad: |4*b| = 4*|b|.

Ak je argument prezentovaný ako komplexné číslo, pre uľahčenie výpočtov je povolené poradie členov výrazu v hranatých zátvorkách: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, pretože (2-3) je menšie ako nula.

Umocnený argument je súčasne pod znamienkom odmocniny rovnakého rádu - rieši sa pomocou: √a² = |a| = ±a.

Ak máte pred sebou úlohu, ktorá nešpecifikuje podmienku rozšírenia modulových zátvoriek, nemusíte sa ich zbaviť - to bude konečný výsledok. A ak ich chcete otvoriť, musíte zadať znamienko ±. Napríklad musíte nájsť hodnotu výrazu √(2 * (4-b)) ². Jeho riešenie vyzerá takto: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Keďže znamienko výrazu 4-b nie je známe, treba ho ponechať v zátvorke. Ak pridáte ďalšiu podmienku, napríklad |4-b| >

Modul nuly sa rovná nule a modul akéhokoľvek kladného čísla sa rovná samému sebe. Ak je argument záporný, po otvorení zátvoriek sa jeho znamienko zmení z mínus na plus. Na základe toho vyplýva záver, že moduly opačných čísel sú rovnaké: |-x| = |x| = x.

Modul komplexného čísla sa zistí podľa vzorca: |a| = √b ² + c ² a |a + b| ≤ |a| + |b|. Ak argument obsahuje kladné celé číslo ako násobiteľ, potom ho možno vyňať zo znamienka zátvorky, napríklad: |4*b| = 4*|b|.

Modul nemôže byť záporný, takže akékoľvek záporné číslo sa prevedie na kladné: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ak je argument uvedený ako komplexné číslo, potom je pre uľahčenie výpočtov povolené zmeniť poradie členov výrazu v hranatých zátvorkách: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, pretože (2-3) je menšie ako nula.

Ak máte pred sebou úlohu, ktorá nešpecifikuje podmienku rozšírenia modulových zátvoriek, nemusíte sa ich zbaviť - to bude konečný výsledok. A ak ich chcete otvoriť, musíte zadať znamienko ±. Napríklad musíte nájsť hodnotu výrazu √(2 * (4-b)) ². Jeho riešenie vyzerá takto: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Keďže znamienko výrazu 4-b nie je známe, treba ho ponechať v zátvorke. Ak pridáte ďalšiu podmienku, napríklad |4-b| > 0, potom je výsledok 2 * |4-b| = 2*(4-b). Ako neznámy prvok môže byť uvedené aj konkrétne číslo, ktoré by sa malo brať do úvahy, pretože. ovplyvní to znamienko výrazu.

Termín (modul) v doslovnom preklade z latinčiny znamená „merať“. Tento pojem zaviedol do matematiky anglický vedec R. Cotes. A nemecký matematik K. Weierstrass predstavil znak modulu - symbol, ktorým sa tento pojem pri písaní označuje.

V kontakte s

Prvýkrát sa tento pojem študuje v matematike v programe 6. ročníka strednej školy. Podľa jednej definície je modul absolútna hodnota reálneho čísla. Inými slovami, ak chcete zistiť modul reálneho čísla, musíte zahodiť jeho znamienko.

Graficky absolútna hodnota A označené ako |a|.

Hlavným rozlišovacím znakom tohto pojmu je, že ide vždy o nezápornú hodnotu.

Čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkom, sa nazývajú opačné čísla. Ak je hodnota kladná, potom je jej opak záporný a nula je jej vlastným opakom.

geometrická hodnota

Ak vezmeme do úvahy koncept modulu z hľadiska geometrie, potom bude označovať vzdialenosť, ktorá sa meria v jednotkových segmentoch od začiatku k danému bodu. Táto definícia plne odhaľuje geometrický význam skúmaného pojmu.

Graficky to možno vyjadriť takto: |a| = O.A.

Vlastnosti absolútnej hodnoty

Nižšie zvážime všetky matematické vlastnosti tohto konceptu a spôsoby písania vo forme doslovných výrazov:

Vlastnosti riešenia rovníc s modulom

Ak hovoríme o riešení matematických rovníc a nerovníc, ktoré obsahujú modul, musíte si uvedomiť, že na ich vyriešenie budete musieť tento znak otvoriť.

Napríklad, ak znamienko absolútnej hodnoty obsahuje nejaký matematický výraz, tak pred otvorením modulu je potrebné vziať do úvahy aktuálne matematické definície.

|A + 5| = A + 5 ak A je väčšie alebo rovné nule.

5-A ak je A menšie ako nula.

V niektorých prípadoch môže byť znamienko jednoznačne rozšírené pre akúkoľvek hodnotu premennej.

Uvažujme ešte o jednom príklade. Zostrojme súradnicovú čiaru, na ktorej označíme všetky číselné hodnoty, ktorých absolútna hodnota bude 5.

Najprv musíte nakresliť súradnicovú čiaru, určiť na nej počiatok súradníc a nastaviť veľkosť jedného segmentu. Okrem toho musí mať čiara smer. Teraz na tejto priamke je potrebné použiť značky, ktoré sa budú rovnať hodnote jedného segmentu.

Môžeme teda vidieť, že na tejto súradnicovej línii budú pre nás dva body záujmu s hodnotami 5 a -5.

V tomto článku budeme podrobne analyzovať absolútna hodnota čísla. Uvedieme rôzne definície modulu čísla, zavedieme notáciu a uvedieme grafické ilustrácie. V tomto prípade uvažujeme o rôznych príkladoch hľadania modulu čísla podľa definície. Potom uvádzame a zdôvodňujeme hlavné vlastnosti modulu. Na konci článku si povieme, ako sa určuje a zisťuje modul komplexného čísla.

Navigácia na stránke.

Modul počtu - definícia, zápis a príklady

Najprv sa predstavíme označenie modulu. Modul čísla a budeme písať ako , to znamená, že naľavo a napravo od čísla umiestnime zvislé čiary, ktoré tvoria znamienko modulu. Uveďme pár príkladov. Napríklad modulo -7 možno zapísať ako ; modul 4 125 je zapísaný ako a modul je zapísaný ako .

Nasledujúca definícia modulu sa vzťahuje na, a teda, na celé čísla a na racionálne a iracionálne čísla, ako na jednotlivé časti množiny reálnych čísel. Budeme hovoriť o module komplexného čísla v.

Definícia.

Modul a je buď samotné číslo a, ak a je kladné číslo, alebo číslo −a, opak čísla a, ak a je záporné číslo, alebo 0, ak a=0 .

Vyslovená definícia modulu čísla sa často píše v nasledujúcom tvare , tento zápis znamená, že ak a>0 , ak a=0 a ak a<0 .

Záznam môže byť reprezentovaný v kompaktnejšej forme . Tento zápis znamená, že ak (a je väčšie alebo rovné 0 ), a ak a<0 .

Existuje aj záznam . Tu by mal byť prípad, keď a=0 vysvetlený samostatne. V tomto prípade máme , ale −0 = 0 , keďže nula sa považuje za číslo, ktoré je opačné.

Poďme priniesť príklady hľadania modulu čísla s danou definíciou. Napríklad nájdime moduly s číslami 15 a . Začnime hľadaním. Keďže číslo 15 je kladné, jeho modul sa podľa definície rovná tomuto samotnému číslu, teda . Aký je modul čísla? Keďže je záporné číslo, jeho modul sa rovná číslu opačnému k číslu, teda číslu . Teda, .

Na záver tohto odseku uvádzame jeden záver, ktorý je veľmi vhodné aplikovať v praxi pri hľadaní modulu čísla. Z definície modulu čísla vyplýva, že modul čísla sa rovná číslu pod znamienkom modulu bez ohľadu na jeho znamienko a z vyššie uvedených príkladov je to veľmi jasne viditeľné. Vyjadrené vyhlásenie vysvetľuje, prečo sa modul čísla tiež nazýva absolútna hodnota čísla. Takže modul čísla a absolútna hodnota čísla sú jedno a to isté.

Modul čísla ako vzdialenosť

Geometricky možno modul čísla interpretovať ako vzdialenosť. Poďme priniesť určenie modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Definícia.

Modul a je vzdialenosť od začiatku na súradnicovej čiare k bodu zodpovedajúcemu číslu a.

Táto definícia je v súlade s definíciou modulu čísla uvedenou v prvom odseku. Vysvetlime si tento bod. Vzdialenosť od začiatku k bodu zodpovedajúcemu kladnému číslu sa rovná tomuto číslu. Nula zodpovedá referenčnému bodu, preto sa vzdialenosť od referenčného bodu k bodu so súradnicou 0 rovná nule (žiadny samostatný segment a žiadny segment tvoriaci zlomok jedného segmentu nemusí byť vyčlenený, aby ste sa dostali z bodu O do bodu so súradnicou 0). Vzdialenosť od začiatku k bodu so zápornou súradnicou sa rovná číslu opačnému k súradnici daného bodu, pretože sa rovná vzdialenosti od začiatku k bodu, ktorého súradnica je opačné číslo.

Napríklad modul čísla 9 je 9, pretože vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou 9 je deväť. Uveďme si ďalší príklad. Bod so súradnicou −3,25 sa nachádza vo vzdialenosti 3,25 od bodu O, takže .

Znela definícia modulu čísla je špeciálnym prípadom definovania modulu rozdielu dvoch čísel.

Definícia.

Diferenčný modul dvoch čísel a a b sa rovná vzdialenosti medzi bodmi súradnicovej čiary so súradnicami a a b .

To znamená, že ak sú dané body na súradnicovej čiare A(a) a B(b), potom sa vzdialenosť od bodu A do bodu B rovná modulu rozdielu medzi číslami a a b. Ak zoberieme bod O (referenčný bod) ako bod B, tak dostaneme definíciu modulu čísla uvedeného na začiatku tohto odseku.

Určenie modulu čísla pomocou aritmetickej druhej odmocniny

Niekedy nájdené stanovenie modulu pomocou aritmetickej druhej odmocniny.

Napríklad vypočítajme moduly čísel −30 a na základe tejto definície. Máme . Podobne vypočítame modul dvoch tretín: .

Definícia modulu čísla v zmysle aritmetickej druhej odmocniny je tiež v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Ukážme to. Nech a je kladné číslo a nech −a je záporné. Potom A , ak a=0 , potom .

Vlastnosti modulu

Modul má niekoľko charakteristických výsledkov - vlastnosti modulu. Teraz uvedieme hlavné a najčastejšie používané z nich. Pri zdôvodňovaní týchto vlastností sa budeme opierať o definíciu modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Začnime najzrejmejšou vlastnosťou modulu − modul čísla nemôže byť záporné číslo. V doslovnom tvare má táto vlastnosť tvar pre ľubovoľné číslo a . Táto vlastnosť sa dá veľmi ľahko zdôvodniť: modul čísla je vzdialenosť a vzdialenosť nemôže byť vyjadrená ako záporné číslo.

Prejdime k ďalšej vlastnosti modulu. Modul čísla sa rovná nule práve vtedy, ak je toto číslo nula. Modul nuly je podľa definície nulový. Nula zodpovedá začiatku, žiadny iný bod na súradnicovej línii nezodpovedá nule, pretože každé reálne číslo je spojené s jedným bodom na súradnicovej línii. Z rovnakého dôvodu každé číslo iné ako nula zodpovedá inému bodu, ako je počiatok. A vzdialenosť od začiatku k akémukoľvek inému bodu ako k bodu O sa nerovná nule, pretože vzdialenosť medzi dvoma bodmi je rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa tieto body zhodujú. Vyššie uvedená úvaha dokazuje, že iba nulový modul sa rovná nule.

Pokračuj. Opačné čísla majú rovnaké moduly, to znamená pre ľubovoľné číslo a . V skutočnosti dva body na súradnicovej čiare, ktorých súradnice sú opačné čísla, sú v rovnakej vzdialenosti od začiatku, čo znamená, že moduly opačných čísel sú rovnaké.

Ďalšia vlastnosť modulu je: modul súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel, teda . Podľa definície je modul súčinu čísel a a b buď a b, ak , alebo −(a b) ak . Z pravidiel násobenia reálnych čísel vyplýva, že súčin modulov čísel a a b sa rovná buď a b , , alebo −(a b) , ak , čo dokazuje uvažovanú vlastnosť.

Modul podielu a delený b sa rovná podielu delenia modulu a modulom b, teda . Zdôvodnime túto vlastnosť modulu. Keďže kvocient sa rovná súčinu, potom . Na základe predchádzajúcej vlastnosti máme . Zostáva len použiť rovnosť , ktorá platí na základe definície modulu čísla.

Nasledujúca vlastnosť modulu je zapísaná ako nerovnosť: , a , b a c sú ľubovoľné reálne čísla. Písomná nerovnosť nie je nič iné ako trojuholníková nerovnosť. Aby to bolo jasné, zoberme si body A(a) , B(b) , C(c) na súradnicovej priamke a uvažujme degenerovaný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na tej istej priamke. Podľa definície sa modul rozdielu rovná dĺžke segmentu AB, - dĺžke segmentu AC a - dĺžke segmentu CB. Keďže dĺžka žiadnej strany trojuholníka nepresahuje súčet dĺžok ostatných dvoch strán, nerovnosť , teda platí aj nerovnosť.

Práve preukázaná nerovnosť je oveľa bežnejšia vo forme . Zapísaná nerovnosť sa zvyčajne považuje za samostatnú vlastnosť modulu s formuláciou: „ Modul súčtu dvoch čísel nepresahuje súčet modulov týchto čísel". Ale nerovnosť priamo vyplýva z nerovnosti , ak do nej vložíme −b namiesto b a vezmeme c=0 .

Modul komplexného čísla

Dajme si stanovenie modulu komplexného čísla. Nech nám je dané komplexné číslo, napísané v algebraickom tvare , kde x a y sú nejaké reálne čísla, ktoré reprezentujú reálnu a imaginárnu časť daného komplexného čísla z a je imaginárnou jednotkou.