Vzorce na výpočet rýchlosti bodu, zrýchlenia, polomeru zakrivenia trajektórie, dotyčnice, normály a binormály podľa daných závislostí súradníc od času. Príklad riešenia úlohy, v ktorej je podľa daných pohybových rovníc potrebné určiť rýchlosť a zrýchlenie bodu. Určuje sa aj polomer zakrivenia trajektórie, dotyčnica, normálna a binormálna.
ObsahÚvod
Závery nižšie uvedených vzorcov a prezentácia teórie sú uvedené na stránke „Kinematika hmotného bodu“. Tu aplikujeme hlavné výsledky tejto teórie na súradnicovú metódu špecifikácie pohybu hmotného bodu.
Nech máme pevný pravouhlý súradnicový systém so stredom v pevnom bode. V tomto prípade je poloha bodu M jednoznačne určená jeho súradnicami (x, y, z). Súradnicový spôsob určenia pohybu bodu- ide o metódu, pri ktorej sa udávajú závislosti súradníc od času. To znamená, že sú dané tri funkcie času (pre trojrozmerný pohyb):
Definícia kinematických veličín
Keď poznáme závislosť súradníc od času, automaticky určíme vektor polomeru hmotného bodu M podľa vzorca:
,
kde sú jednotkové vektory (orty) v smere osí x, y, z.
Pri diferenciácii s ohľadom na čas nájdeme projekcie rýchlosti a zrýchlenia na súradnicových osiach:
;
;
Moduly rýchlosti a zrýchlenia:
;
.
.
Tangenciálne (tangenciálne) zrýchlenie je projekcia celkového zrýchlenia do smeru rýchlosti:
.
Vektor tangenciálneho (tangenciálneho) zrýchlenia:
Normálne zrýchlenie:
.
;
.
Jednotkový vektor v smere hlavnej normály trajektórie:
.
Polomer zakrivenia trajektórie:
.
Stred zakrivenia dráhy:
.
.
Príklad riešenia problému
Určenie rýchlosti a zrýchlenia bodu podľa daných rovníc jeho pohybu
Podľa daných pohybových rovníc bodu určte typ jeho trajektórie a pre daný okamih nájdite polohu bodu na trajektórii, jeho rýchlosť, plné, tangenciálne a normálové zrýchlenie, ako aj polomer krivosti. trajektórie.
Rovnice pohybu bodu:
, cm;
, cm.
Riešenie
Určenie typu trajektórie
Z pohybových rovníc vylúčime čas. Aby sme to dosiahli, prepíšeme ich do tvaru:
;
.
Aplikujme vzorec:
.
;
;
;
.
Takže máme rovnicu trajektórie:
.
Toto je rovnica paraboly s vrcholom v bode a osou symetrie.
Pretože
, To
; alebo
.
Podobne získame obmedzenie pre súradnicu:
;
;
Dráha bodu je teda oblúk paraboly
,
umiestnený na
A .
Z bodov postavíme parabolu.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Určte polohu bodu v čase.
;
.
Určenie rýchlosti bodu
Diferencovaním súradníc a vzhľadom na čas nájdeme zložky rýchlosti.
.
Na rozlíšenie je vhodné použiť vzorec trigonometrie:
. Potom
;
.
Vypočítame hodnoty zložiek rýchlosti v čase:
;
.
Modul rýchlosti:
.
Určenie zrýchlenia bodu
Diferencovaním zložiek rýchlosti a vzhľadom na čas nájdeme zložky zrýchlenia bodu.
;
.
Vypočítajte hodnoty zložiek zrýchlenia v čase:
;
.
Akceleračný modul:
.
Tangenciálne zrýchlenie je projekcia celkového zrýchlenia do smeru rýchlosti:
.
Pretože potom vektor tangenciálneho zrýchlenia smeruje opačne k rýchlosti.
Normálne zrýchlenie:
.
Vektor a smeruje k stredu zakrivenia trajektórie.
Polomer zakrivenia trajektórie:
.
Dráha bodu je oblúk paraboly
;
.
Bodová rýchlosť: .
Bodové zrýchlenie: ; ; .
Polomer zakrivenia trajektórie: .
Definícia iných veličín
Pri riešení problému sme zistili:
vektorový a rýchlostný modul:
;
;
vektorový a celkový modul zrýchlenia:
;
;
tangenciálne a normálne zrýchlenia:
;
;
polomer zakrivenia trajektórie: .
Definujme zostávajúce množstvá.
Jednotkový vektor v smere dotyčnice cesty:
.
Vektor tangenciálneho zrýchlenia:
.
Normálny vektor zrýchlenia:
.
Jednotkový vektor v smere hlavnej normály:
.
Súradnice stredu zakrivenia trajektórie:
.
Zaveďme tretiu os súradnicového systému kolmú na osi a . V 3D systéme
;
.
Jednotkový vektor v binormálnom smere:
.
pohybové úlohy
Použijeme rovnicu (4) a vezmeme jej deriváciu vzhľadom na čas
V (8) s jednotkovými vektormi sú projekcie vektora rýchlosti na súradnicové osi
Projekcie rýchlosti na súradnicových osiach sú definované ako prvé časové derivácie zodpovedajúcich súradníc.
Keď poznáte projekcie, môžete nájsť modul vektora a jeho smer
,
(10)
Stanovenie rýchlosti prirodzeným spôsobom
pohybové úlohy
Nech je daná dráha hmotného bodu a zákon zmeny krivočiarej súradnice. Predpokladajme, že pri t 1 bod mal 
a súradnica s 1, zatiaľ čo t 2 - súradnica s 2. Počas
súradnica bola zvýšená 
, potom priemerná rýchlosť bodu
.
Aby sme našli rýchlosť v danom časovom okamihu, prejdeme na limit
,
.
(12)
Vektor rýchlosti bodu prirodzeným spôsobom špecifikácie pohybu je definovaný ako prvá časová derivácia krivočiarej súradnice.
bodové zrýchlenie
Pod zrýchlením hmotného bodu rozumieť vektorovej veličine, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny vektora rýchlosti bodu vo veľkosti a smere v čase.
Zrýchlenie bodu vektorovou metódou určenia pohybu
Zvážte bod v dvoch časových bodoch t 1
(
) A t 2
(
), Potom 
- prírastok času 
- zvýšenie rýchlosti.
Vektor 
vždy leží v rovine pohybu a smeruje ku konkávnosti trajektórie.
P 
jeden priemerné bodové zrýchlenie počas
t
pochopiť veľkosť
.
(13)
Aby sme našli zrýchlenie v danom časovom okamihu, prejdeme na limit
,
.
(14)
Zrýchlenie bodu v danom čase je definované ako druhá časová derivácia vektora polomeru bodu alebo prvá časová derivácia vektora rýchlosti.
Vektor zrýchlenia je umiestnený v priľahlej rovine a smeruje ku konkávnosti trajektórie.
Zrýchlenie bodu súradnicovou metódou určenia pohybu
Využime rovnicu spojenia medzi vektorovou a súradnicovou metódou určenia pohybu
A vezmite si z toho druhú deriváciu
,
.
(15)
V rovnici (15) s jednotkovými vektormi sú projekcie vektora zrýchlenia na súradnicové osi
.
(16)
Projekcie zrýchlenia na súradnicových osiach sú definované ako prvé časové derivácie projekcií rýchlosti alebo ako druhé časové derivácie zodpovedajúcich súradníc.
Modul a smer vektora zrýchlenia možno nájsť z nasledujúcich výrazov
,
(17)
,
,
.
(18)
Zrýchlenie bodu s prirodzeným spôsobom špecifikácie pohybu
P 
Nechajte bod pohybovať sa po krivočiarej trajektórii. Zvážte dve jeho polohy v časových okamihoch t
(s, M, v) A t 1
(s 1 , M 1 , v 1).
V tomto prípade je zrýchlenie určené jeho priemetmi na osi prirodzeného súradnicového systému pohybujúceho sa spolu s bodom M. Osi sú nasmerované nasledovne:
M - dotyčnica smerujúca pozdĺž dotyčnice k trajektórii smerom ku kladnej referencii vzdialenosti,
M n- hlavná normála smerujúca pozdĺž normály ležiaca v priľahlej rovine a smerujúca ku konkávnosti trajektórie,
M b je binormálne, kolmé na rovinu M n a tvorí pravú trojicu s prvými osami.
Keďže vektor zrýchlenia leží v súvislej rovine, potom a b = 0. Nájdite projekcie zrýchlenia na iných osiach.
.
(19)
Premietnime (19) na súradnicové osi
,
(20)
.
(21)
Nakreslite osi cez bod M 1 rovnobežné s osami v bode M a nájdite projekcie rýchlosti:
Kde - takzvaný uhol susedstva.
Nahraďte (22) za (20)
.
O t 0 0, cos 1 potom
.
(23)
Tangenciálne zrýchlenie bodu je určené prvou časovou deriváciou rýchlosti alebo druhou časovou deriváciou krivočiarej súradnice.
Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje zmenu veľkosti vektora rýchlosti.
Nahraďte (22) za (21)
.
Vynásobte čitateľa a menovateľa s získať známe limity
Kde 
(prvý pozoruhodný limit),
,
,
, Kde
- polomer zakrivenia trajektórie.
Dosadením vypočítaných limitov do (24) dostaneme
.
(25)
Normálne zrýchlenie bodu je určené pomerom druhej mocniny rýchlosti k polomeru zakrivenia trajektórie v danom bode.
Normálne zrýchlenie charakterizuje zmenu vektora rýchlosti v smere a vždy smeruje ku konkávnosti trajektórie.
Nakoniec získame projekcie zrýchlenia hmotného bodu na osi prirodzeného súradnicového systému a modul vektora
,
(26)
.
(27)
Pohyb bodu v priestore možno považovať za daný, ak sú známe zákony zmeny jeho troch kartézskych súradníc x, y, z v závislosti od času. V niektorých prípadoch však priestorový pohyb hmotné body(napríklad v oblastiach ohraničených povrchmi rôznych tvarov) je použitie pohybových rovníc v karteziánskych súradniciach nepohodlné, pretože sú príliš ťažkopádne. V takýchto prípadoch je možné zvoliť ďalšie tri nezávislé skalárne parametre $q_1,(\ q)_2,\ \ q_3$, nazývané krivočiare alebo zovšeobecnené súradnice, ktoré tiež jednoznačne určujú polohu bodu v priestore.
Rýchlosť bodu M sa pri zadávaní jeho pohybu v krivočiarych súradniciach určí ako vektorový súčet zložiek rýchlosti rovnobežných so súradnicovými osami:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\čiastočné \overrightarrow(r))(\čiastočné q_1)\dot(q_1)+\frac(\čiastočné \ overrightarrow(r))(\čiastočné q_2)\bodka(q_2)+\frac(\čiastočné \overrightarrow(r))(\čiastočné q_3)\bodka(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\+v_(q_3)\overline(e_3)\]
projekcie vektor rýchlosti na zodpovedajúcich súradnicových osiach sú: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline(1,3)$
Tu $H_i=\left|(\left(\frac(\čiastočné \overrightarrow(r))(\čiastočné q_i)\right))_M\right|$ je parameter, ktorý sa nazýva i-tý koeficient Lame a sa rovná hodnote modulu parciálna derivácia vektora polomeru bodu vzhľadom na i-tú krivočiaru súradnicu vypočítanú v danom bode M. Každý z vektorov $\overline(e_i)$ má smer zodpovedajúci smeru pohyb koncového bodu vektora polomeru $r_i$ s rastúcimi i-tými zovšeobecnenými súradnicami. Modul rýchlosti v ortogonálnom krivočiarom súradnicovom systéme možno vypočítať zo závislosti:
Vo vyššie uvedených vzorcoch sa hodnoty derivácií a Lameho koeficientov počítajú pre aktuálnu polohu bodu M v priestore.
súradnice bodu v sférickom súradnicovom systéme sú skalárne parametre r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$ počítané podľa obr. 1.
Obrázok 1. Vektor rýchlosti v sférických súradniciach
Systém pohybových rovníc bodu má v tomto prípade tvar:
\[\left\( \begin(pole)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(pole) \right.\]
Na obr. Obrázok 1 ukazuje vektor polomeru r nakreslený z počiatku, uhly $(\mathbf \varphi )$ a $(\mathbf \theta )$, ako aj súradnicové čiary a osi uvažovaného systému v ľubovoľnom bode M trajektóriu. Je vidieť, že súradnice $((\mathbf \varphi ))$ a $((\mathbf \theta ))$ ležia na povrchu gule s polomerom r. Tento krivočiary súradnicový systém je tiež ortogonálny. Kartézske súradnice môžu byť vyjadrené pomocou sférických súradníc takto:
Potom Lame koeficienty: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; projekcie rýchlosti bodu na osi sférického súradnicového systému $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ a modul vektora rýchlosti
Zrýchlenie bodu v sférickom súradnicovom systéme
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]
projekcie zrýchlenia bodu na osi sférického súradnicového systému
\ \
Akceleračný modul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Úloha 1
Bod sa pohybuje pozdĺž priesečníka gule a valec podľa rovníc: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $\theta $ --- sférické súradnice). Nájdite modul a priemet rýchlosti bodu na osiach guľového súradnicového systému.
Nájdite projekcie vektora rýchlosti na osiach sférických súradníc:
Modul rýchlosti $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
Úloha 2
Pomocou podmienky problému 1 určite modul bodového zrýchlenia.
Nájdite projekcie vektora zrýchlenia na osiach sférických súradníc:
\ \ \
Akceleračný modul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
