Acum vom lua în considerare întrebarea cum să construim grafice funcții trigonometrice unghiuri multiple ωx, Unde ω este un număr pozitiv.

Pentru a reprezenta o funcție y = sin ωx Să comparăm această funcție cu funcția pe care am studiat-o deja y = sin x. Să presupunem că la x = x 0 funcţie y = sin x ia o valoare egală cu 0 . Apoi

y 0 = sin X 0 .

Să transformăm acest raport după cum urmează:

Prin urmare, funcția y = sin ωx la X = X 0 / ω ia aceeasi valoare la 0 , care este funcția y = sin x la x = X 0 . Și asta înseamnă că funcția y = sin ωxîși repetă valorile în ω ori mai des decât funcția y = sin x. Deci graficul funcției y = sin ωx obţinută prin „comprimarea” graficului funcţiei y = sin xîn ω ori de-a lungul axei x.

De exemplu, graficul funcției y \u003d sin 2x obţinută prin „comprimarea” sinusoidului y = sin x de două ori de-a lungul abscisei.

Graficul funcției y \u003d sin x / 2 obţinut prin „întinderea” sinusoidul y \u003d sin x de două ori (sau „comprimarea” în 1 / 2 ori) de-a lungul axei x.

Din moment ce funcţia y = sin ωxîși repetă valorile în ω ori mai des decât funcția
y = sin x, apoi perioada sa în ω ori mai mică decât perioada funcției y = sin x. De exemplu, perioada funcției y \u003d sin 2x egală 2π / 2 = π , și perioada funcției y \u003d sin x / 2 egală π / X / 2 = 4π .

Este interesant de studiat comportamentul funcției y \u003d sin ax pe exemplul animației, care poate fi creată foarte ușor în program arțar:

În mod similar, graficele sunt construite pentru alte funcții trigonometrice ale unghiurilor multiple. Figura prezintă un grafic al funcției y = cos 2x, care se obține prin „comprimarea” cosinusului y = cos x de două ori de-a lungul abscisei.

Graficul funcției y = cos x / 2 obţinută prin „întinderea” undei cosinus y = cos x de două ori de-a lungul axei x.

În figură vedeți un grafic al funcției y = tg 2x, obţinută prin „comprimarea” tangentoidului y = tg x de două ori de-a lungul abscisei.

Graficul funcției y = tg X / 2 , obţinută prin „întinderea” tangentoidului y = tg x de două ori de-a lungul axei x.

Și în sfârșit, animația realizată de program arțar:

Exerciții

1. Construiți grafice ale acestor funcții și indicați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate. Determinați perioadele acestor funcții.

A). y=sin 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 și). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg X / 3

în). y=tg 4x / 3 e). y = sin 2x / 3

2. Definiți perioadele de funcție y \u003d sin (πx)și y = tg (πх / 2).

3. Dați două exemple de funcție care ia toate valorile de la -1 la +1 (inclusiv aceste două numere) și se modifică periodic cu o perioadă de 10.

4 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile de la 0 la 1 (inclusiv aceste două numere) și se schimbă periodic cu un punct π / 2.

5. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile reale și se modifică periodic cu perioada 1.

6 *. Dați două exemple de funcții care iau toate valorile negative și zero, dar nu iau valori pozitive și se schimbă periodic cu o perioadă de 5.

În trigonometrie, multe formule sunt mai ușor de dedus decât de memorat. Cosinusul unui unghi dublu este o formulă minunată! Vă permite să obțineți formulele de reducere și formulele de jumătate de unghi.

Deci, avem nevoie de cosinusul unghiului dublu și unitatea trigonometrică:

Ele sunt chiar similare: în formula cosinusului unui unghi dublu - diferența dintre pătratele cosinusului și sinusului, iar în unitatea trigonometrică - suma lor. Dacă exprimăm cosinusul din unitatea trigonometrică:

și înlocuiți-l în cosinusul unghiului dublu, obținem:

Aceasta este o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:

Această formulă este cheia pentru obținerea formulei de reducere:

Deci, formula pentru scăderea gradului sinusului este:

Dacă unghiul alfa din el este înlocuit cu jumătate din unghiul alfa în jumătate și unghi dublu două alfa - după unghiul alfa, apoi obținem formula semiunghiului pentru sinus:

Acum, din unitatea trigonometrică, exprimăm sinusul:

Înlocuiți această expresie în formula pentru cosinusul unui unghi dublu:

Avem o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:

Această formulă este cheia pentru găsirea formulei de reducere a cosinusului și a formulei semiunghiului cosinus.

Astfel, formula pentru scăderea gradului de cosinus este:

Dacă înlocuim α cu α/2 în el și 2α cu α, atunci obținem formula pentru jumătatea argumentului pentru cosinus:

Deoarece tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, formula tangentei este:

Cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus. Deci formula cotangentei este:

Desigur, în proces de simplificare expresii trigonometrice nu are rost să derivăm formule cu jumătate de unghi sau să scădem gradul de fiecare dată. Este mult mai ușor să pui o foaie de formule în fața ta. Și simplificarea va avansa mai repede și memorie vizuală porniți pentru memorare.

Dar tot merită să derivam aceste formule de mai multe ori. Atunci vei fi absolut sigur că în timpul examenului, când nu există nicio modalitate de a folosi o foaie de cheat, le poți obține cu ușurință dacă este nevoie.

Relații între funcțiile trigonometrice de bază − sinus, cosinus, tangentă și cotangentă- sunt date formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Principal identități trigonometrice stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și concepte ale cercului unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule turnate

Formule turnate urma de la proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie, precum și proprietatea unei deplasări cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Motivul acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice completări arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în articol. formule pentru dublu, triplu etc. unghi.

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează cu ajutorul formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Substituție trigonometrică universală

Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.