Atlikdami trigonometrines transformacijas, vadovaukitės šiais patarimais:

1. Nebandykite iš karto sugalvoti schemos, kaip išspręsti pavyzdį nuo pradžios iki pabaigos.
2. Nebandykite konvertuoti viso pavyzdžio iš karto. Judėti į priekį mažais žingsneliais.
3. Atminkite, kad be trigonometrinių formulių trigonometrijoje, vis tiek galite taikyti visas teisingas algebrines transformacijas (laužtinius skliaustais, mažėjančias trupmenas, sutrumpintas daugybos formules ir pan.).
4. Tikėkite, kad viskas bus gerai.

Pagrindinės trigonometrinės formulės

Dauguma trigonometrijos formulių dažnai taikomos ir iš dešinės į kairę, ir iš kairės į dešinę, todėl šias formules reikia išmokti taip gerai, kad galėtumėte lengvai pritaikyti kurią nors formulę abiem kryptimis. Pirmiausia užsirašome apibrėžimus trigonometrinės funkcijos. Tegul yra stačiakampis trikampis:

Tada sinuso apibrėžimas yra toks:

Kosinuso apibrėžimas:

Tangento apibrėžimas:

Kotangento apibrėžimas:

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė:

Paprasčiausios pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmės:

Dvigubo kampo formulės. Dvigubo kampo sinusas:

Dvigubo kampo kosinusas:

Dvigubo kampo liestinė:

Dvigubo kampo kotangentas:

Papildomos trigonometrinės formulės

Trigonometrinės sudėties formulės. Sumos sinusas:

Skirtumo sinusas:

Sumos kosinusas:

Skirtumo kosinusas:

Sumos tangentas:

Skirtumo tangentas:

Sumos kotangentas:

Skirtumo kotangentas:

Trigonometrinės formulės sumai paversti sandauga. Sinusų suma:

Sinuso skirtumas:

Kosinusų suma:

Kosinuso skirtumas:

liestinių suma:

Tangentinis skirtumas:

Kotangentų suma:

Kotangento skirtumas:

Trigonometrinės formulės sandaugai paversti suma. Sinusų sandauga:

Sinuso ir kosinuso sandauga:

Kosinusų sandauga:

Laipsnio mažinimo formulės.

Pusės kampo formulės.

Trigonometrinės redukcijos formulės

Kosinuso funkcija vadinama kofunkcija sinuso funkcija ir atvirkščiai. Panašiai funkcijos tangentas ir kotangentas yra kofunkcijos. Redukcijos formules galima suformuluoti pagal šią taisyklę:

• Jei redukcijos formulėje kampas atimamas (pridedamas) iš 90 laipsnių arba 270 laipsnių, tai redukuojama funkcija pakeičiama į kofunkciją;
• Jei redukcinėje formulėje kampas atimamas (pridedamas) iš 180 laipsnių arba 360 laipsnių, tai išsaugomas sumažintos funkcijos pavadinimas;
• Šiuo atveju prieš redukuotą funkciją yra ženklas, kurį redukuota (t. y. pradinė) funkcija turi atitinkamame ketvirtyje, jei atimtą (pridėtą) kampą laikysime smailiu.

Liejamos formulės pateikiami lentelės pavidalu:

Autorius trigonometrinis ratas nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes:

Trigonometrinės lygtys

Norint išspręsti tam tikrą trigonometrinę lygtį, ji turi būti sumažinta iki vienos iš paprasčiausių trigonometrinių lygčių, kuri bus aptarta toliau. Už tai:

• Galima taikyti trigonometrines formules aukščiau. Tokiu atveju nereikia bandyti konvertuoti viso pavyzdžio iš karto, bet reikia judėti į priekį mažais žingsneliais.
• Reikia nepamiršti ir galimybės transformuoti kokią nors išraišką algebrinių metodų pagalba, t.y. pavyzdžiui, ką nors įdėti iš skliaustų arba, atvirkščiai, atidaryti skliaustus, sumažinti trupmeną, taikyti sutrumpintą daugybos formulę, sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio ir pan.
• Spręsdami trigonometrines lygtis, galite taikyti grupavimo metodas. Reikia atsiminti, kad tam, kad kelių veiksnių sandauga būtų lygi nuliui, pakanka, kad bet kuris iš jų būtų lygus nuliui, ir likusi dalis egzistavo.
• Taikymas kintamasis pakeitimo metodas, kaip įprasta, lygtis po pakeitimo įvedimo turėtų tapti paprastesnė ir joje neturėtų būti pradinio kintamojo. Taip pat turite nepamiršti atlikti atvirkštinio pakeitimo.
• Atminkite, kad vienarūšės lygtys dažnai pasitaiko ir trigonometrijoje.
• Atidarant modulius ar sprendžiant neracionalias lygtis trigonometrinėmis funkcijomis, reikia atsiminti ir atsižvelgti į visas atitinkamų lygčių sprendimo įprastomis funkcijomis subtilybes.
• Prisiminkite apie ODZ (trigonometrinėse lygtyse ODZ apribojimai iš esmės susiveda į tai, kad negalima dalyti iš nulio, tačiau nepamirškite ir kitų apribojimų, ypač apie išraiškų pozityvumą racionaliose galiose ir po lyginių laipsnių šaknis ). Taip pat atminkite, kad sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti tik nuo minus vieno iki plius vieno imtinai.

Svarbiausia, jei nežinote, ką daryti, bent ką nors padaryti, o svarbiausia teisingai naudoti trigonometrines formules. Jei tai, ką gaunate, gerėja ir gerėja, tęskite sprendimą, o jei blogėja, grįžkite į pradžią ir pabandykite taikyti kitas formules, taip darykite tol, kol suklumpate teisingą sprendimą.

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulės. Sinusui yra dvi lygiavertės sprendimo rašymo formos:

Kitoms trigonometrinėms funkcijoms žymėjimas yra unikalus. Dėl kosinuso:

Dėl liestinės:

Dėl kotangento:

Trigonometrinių lygčių sprendimas kai kuriais ypatingais atvejais:

Išmokite visas fizikos formules ir dėsnius, o matematikoje – formules ir metodus. Tiesą sakant, tai padaryti taip pat labai paprasta, fizikoje yra tik apie 200 reikalingų formulių, o matematikoje dar šiek tiek mažiau. Kiekviename iš šių dalykų yra apie tuziną standartinių metodų, kaip išspręsti pagrindinio sudėtingumo problemas, kurių taip pat galima išmokti, taigi, visiškai automatiškai ir be vargo, reikiamu metu išspręsti didžiąją dalį skaitmeninės transformacijos. Po to teks galvoti tik apie sunkiausias užduotis.

Dalyvaukite visuose trijuose fizikos ir matematikos pratybų etapuose. Kiekviename RT galima apsilankyti du kartus, kad būtų išspręstos abi galimybės. Vėlgi, DT, be gebėjimo greitai ir efektyviai spręsti problemas, formulių ir metodų išmanymo, taip pat būtina mokėti tinkamai planuoti laiką, paskirstyti jėgas, o svarbiausia teisingai užpildyti atsakymo formą. , nesupainiodami nei atsakymų ir užduočių numerių, nei savo pavardės. Taip pat RT metu svarbu priprasti prie užduočių klausimų pateikimo stiliaus, kuris nepasiruošusiam žmogui DT gali pasirodyti labai neįprastas.

Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įvykdymas, taip pat atsakingas baigiamųjų treniruočių testų išnagrinėjimas leis jums parodyti puikų KT rezultatą, maksimalų, ką sugebate.

Radote klaidą?

Jei, kaip jums atrodo, mokymo medžiagoje radote klaidą, parašykite apie tai el. paštu (). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, užduoties numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra tariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba paaiškinama, kodėl tai ne klaida.

Pateikiami santykiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje eilės tvarka išvardijame visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka išspręsti didžiąją dalį trigonometrijos uždavinių. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinis trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Liejamos formulės

Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, mnemoninę taisyklę, kaip jas įsiminti, ir jų taikymo pavyzdžius.

Papildymo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampas .

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės susideda iš perėjimo prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Universalus trigonometrinis pakeitimas

Pagrindinių trigonometrijos formulių apžvalgą užbaigiame formulėmis, išreiškiančiomis trigonometrines funkcijas pusės kampo liestinės atžvilgiu. Šis pakeitimas vadinamas universalus trigonometrinis pakeitimas. Jo patogumas slypi tuo, kad visos trigonometrinės funkcijos išreiškiamos pusės kampo liestine racionaliai be šaknų.

Bibliografija.

• Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išorinį dizainą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Trigonometrija, trigonometrinės formulės

Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje eilės tvarka išvardijame visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka išspręsti didžiąją dalį trigonometrijos uždavinių. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vienetinio apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje pagrindinės trigonometrinės tapatybės.

Puslapio viršuje

Liejamos formulės

Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Šių formulių pagrindimą, mnemoninę taisyklę joms įsiminti ir jų taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje apie redukcines formules.

Puslapio viršuje

Papildymo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas.

Daugiau Detali informacija yra pridėjimo formulių straipsnyje.

Puslapio viršuje

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu.

Puslapio viršuje

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje pusės kampo formulės.

Puslapio viršuje

Sumažinimo formulės

Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Puslapio viršuje

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės susideda iš perėjimo prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Formulių išvedimą ir jų taikymo pavyzdžius rasite straipsnių sinuso ir kosinuso sumos ir skirtumo formulėse.

Puslapio viršuje

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Puslapio viršuje

Universalus trigonometrinis pakeitimas

Pagrindinių trigonometrijos formulių apžvalgą užbaigiame formulėmis, išreiškiančiomis trigonometrines funkcijas pusės kampo liestinės atžvilgiu. Šis pakeitimas vadinamas universalus trigonometrinis pakeitimas. Jo patogumas slypi tuo, kad visos trigonometrinės funkcijos išreiškiamos pusės kampo liestine racionaliai be šaknų.

Daugiau informacijos rasite straipsnyje universalus trigonometrinis pakeitimas.

Puslapio viršuje

• Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla – 3 leidimas. — M.: Švietimas, 1993. — 351 p.: iliustr. — ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Trigonometrinės formulės- tai reikalingiausios trigonometrijos formulės, reikalingos norint išreikšti trigonometrines funkcijas, kurios atliekamos bet kuriai argumento reikšmei.

Sudėjimo formulės.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

nuodėmė (α - β) \u003d sin α cos β - nuodėmė β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Dvigubo kampo formulės.

cos 2α = cos²α - nuodėmė²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

nuodėmė 2α = 2 nuodėmėα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2 ctgα )

Trigubo kampo formulės.

sin3α = 3sinα – 4sin³α

cos 3α = 4 cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3 tgα - tg³α ) ÷ (1–3 tg²α )

ctg 3α = (3 ctg α – ctg³ α) ÷ (1–3 ctg² α)

Pusės kampo formulės.

Liejimo formulės.

Funkcija / kampas rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 – α	3π/2 + α	2π - α	2π + α
Funkcija / kampas °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Išsamus redukcijos formulių aprašymas.

Pagrindinės trigonometrinės formulės.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė:

sin2α+cos2α=1

Ši tapatybė yra Pitagoro teoremos taikymo trikampiui vienetiniame trigonometriniame apskritime rezultatas.

Ryšys tarp kosinuso ir tangento:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 arba sec 2 α−tan 2 α=1.

Ši formulė yra pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė ir gaunama iš jos padalijus kairę ir dešinę dalis iš cos2α. Manoma, kad α≠π/2+πn,n∈Z.

Ryšys tarp sinuso ir kotangento:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 arba csc 2 α−cot 2 α=1.

Ši formulė taip pat išplaukia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės (gaunama iš jos padalijus kairę ir dešinę puses iš sin2α. Čia daroma prielaida, kad α≠πn,n∈Z.

Tangento apibrėžimas:

tanα=sinα/cosα,

kur α≠π/2+πn,n∈Z.

Kotangento apibrėžimas:

cotα = cosα/sinα,

kur α≠πn,n∈Z.

Lietinės ir kotangento apibrėžimų pasekmė:

tanα⋅ cotα=1,

kur α≠πn/2,n∈Z.

Sekanto apibrėžimas:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Cosecanto apibrėžimas:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometrinės nelygybės.

Paprasčiausios trigonometrinės nelygybės:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Trigonometrinių funkcijų kvadratai.

Trigonometrinių funkcijų kubų formulės.

Trigonometrija Matematika. Trigonometrija. Formulės. Geometrija. teorija

Apsvarstėme pagrindines trigonometrines funkcijas (neapsigaukite, be sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, yra daugybė kitų funkcijų, bet apie jas vėliau), tačiau kol kas apsvarstysime kai kurias pagrindines jau ištirtų funkcijų savybes.

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kad ir koks būtų paimtas tikrasis skaičius t, jam gali būti priskirtas vienareikšmiškai apibrėžtas skaičius sin(t).

Tiesa, korespondencijos taisyklė yra gana sudėtinga ir susideda iš toliau.

Norėdami rasti nuodėmės (t) reikšmę pagal skaičių t, jums reikia:

1. uždėkite skaičių apskritimą koordinačių plokštuma kad apskritimo centras sutaptų su pradžia, o apskritimo pradžios taškas A patektų į tašką (1; 0);
2. rasti apskritime tašką, atitinkantį skaičių t;
3. raskite šio taško ordinas.
4. ši ordinatė yra norima sin(t).

Tiesą sakant, mes kalbame apie funkciją s = sin(t), kur t yra bet koks realusis skaičius. Mes žinome, kaip apskaičiuoti kai kurias šios funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) ir tt) , žinome kai kurias jo savybes.

Trigonometrinių funkcijų jungtis

Kaip jūs, tikiuosi, manote, kad visos trigonometrinės funkcijos yra tarpusavyje susijusios ir net nežinant vienos vertės, ją galima rasti per kitą.

Pavyzdžiui, svarbiausia visos trigonometrijos formulė yra pagrindinė trigonometrinė tapatybė:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Kaip matote, žinodami sinuso vertę, galite rasti kosinuso vertę ir atvirkščiai.

Trigonometrijos formulės

Taip pat labai paplitusios formulės, siejančios sinusą ir kosinusą su liestine ir kotangentu:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Iš paskutinių dviejų formulių galima nustatyti dar vieną trigometrinį tapatumą, šį kartą jungiantį tangentą ir kotangentą:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Dabar pažiūrėkime, kaip šios formulės veikia praktiškai.

1 PAVYZDYS. Supaprastinkite išraišką: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Pirmiausia rašome liestinę, išlaikydami kvadratą:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Dabar mes pateikiame viską pagal bendrą vardiklį ir gauname:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) )\]

Ir galiausiai, kaip matome, skaitiklis gali būti sumažintas iki vieneto pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę, todėl gauname: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Su kotangentu atliekame visus tuos pačius veiksmus, tik vardiklis nebeturės kosinuso, o sinuso, o atsakymas bus toks:

\[ 1+ \lovytė^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Atlikę šią užduotį, išvedėme dar dvi labai svarbias mūsų funkcijas jungiančias formules, kurias taip pat turite žinoti kaip penkis pirštus:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Turite mintinai žinoti visas sistemoje pateiktas formules, kitaip tolesnis trigonometrijos tyrimas be jų tiesiog neįmanomas. Ateityje formulių bus daugiau ir jų bus daug, ir patikinu, kad visas jas tikrai ilgai atsiminsite, o gal ir neprisiminsite, bet šiuos šešis kūrinius turėtų žinoti VISI !

Pilna visų pagrindinių ir retų trigonometrinių redukcijos formulių lentelė.

Čia galite rasti patogios formos trigonometrines formules. O trigonometrines redukcijos formules galima peržiūrėti kitame puslapyje.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

yra matematinės išraiškos trigonometrinėms funkcijoms, kurios vykdomos kiekvienai argumento reikšmei.

• sin² α + cos² α = 1
• tgα ctgα = 1
• tan α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Papildymo formulės

• sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
• nuodėmė (α - β) \u003d sin α cos β - nuodėmė β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
• cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
• tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α – β) = (ctg α ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

Dvigubo kampo formulės

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α – 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α – 1) ÷ (2 ctg α)

Trigubo kampo formulės

• sin3α = 3sinα – 4sin³α
• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
• tg 3α = (3 tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3 tg² α)
• ctg 3α = (3 ctg α – ctg³ α) ÷ (1–3 ctg² α)

Sumažinimo formulės

• sin² α = (1 – cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• sin² α cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
• sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Perėjimas nuo produkto prie sumos

• sin α cos β = ½ (sin (α + β) + nuodėmė (α - β))
• sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Išvardinome nemažai trigonometrinių formulių, bet jei ko trūksta, rašykite.

Viskas studijoms » Matematika mokykloje » Trigonometrinės formulės - cheat sheet

Norėdami pažymėti puslapį, paspauskite Ctrl+D.

Grupė su krūva Naudinga informacija(pasirašykite, jei turite laikyti egzaminą arba egzaminą):

Visa santraukų, kursinių darbų, tezių ir kt. duomenų bazė mokymo medžiaga teikiama nemokamai. Naudodamiesi svetainės medžiaga patvirtinate, kad perskaitėte vartotojo sutartį ir visiškai sutinkate su visomis jos sąlygomis.

detaliai nagrinėjama trigonometrinių lygčių bendrųjų sprendinių grupių transformacija. Trečioje dalyje nagrinėjamos nestandartinės trigonometrinės lygtys, kurių sprendiniai pagrįsti funkciniu požiūriu.

Visos trigonometrijos formulės (lygtys): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos trigonometrinės nelygybės. Elementariųjų trigonometrinių nelygybių sprendimo metodai yra išsamiai apsvarstyti tiek vieneto apskritime, tiek ...

… kampas 1800-α= išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Taigi mokyklos geometrijos kurse trigonometrinės funkcijos sąvoka įvedama geometrinėmis priemonėmis dėl didesnio jų prieinamumo. Tradicinė metodinė trigonometrinių funkcijų tyrimo schema yra tokia: 1) pirmiausia nustatomos trigonometrinės funkcijos aštrus kampas stačiakampis...

… Namų darbai 19(3,6), 20(2,4) Tikslų nustatymas Pagrindinių žinių atnaujinimas Trigonometrinių funkcijų savybės Redukcijos formulės nauja medžiaga Trigonometrinių funkcijų reikšmės Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas Konsolidavimas Užduočių sprendimas Pamokos tikslas: šiandien apskaičiuosime trigonometrinių funkcijų reikšmes ir spręsime...

... suformuluota hipotezė turėjo išspręsti šiuos uždavinius: 1. Nustatyti trigonometrinių lygčių ir nelygybių vaidmenį mokant matematikos; 2. Sukurti trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo įgūdžių formavimo metodiką, skirtą trigonometrinių vaizdų kūrimui; 3. Eksperimentiškai patikrinkite sukurtos metodikos efektyvumą. Dėl sprendimų…

Trigonometrinės formulės

Trigonometrinės formulės

Jūsų dėmesiui pristatome įvairias su trigonometrija susijusias formules.

(8) Dvigubo kampo kotangentas

ctg(2α) =

ctg 2 (α) – 1 2 ctg (α)

(9) Trigubo kampo sinusas sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) – nuodėmė 3 (α) (10) Trigubo kampo kosinusas cos(3α) = cos 3 (α) – 3cos(α)sin 2 (α) (11) Sumos/skirtumo kosinusas cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sumos/skirtumo sinusas sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Sumos/skirtumo tangentas (14) Sumos/skirtumo kotangentas (15) Sinusų gaminys sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) – cos(α+β)) (16) Kosinusų sandauga cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Sinuso ir kosinuso sandauga sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Sinusų suma/skirtumas sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Kosinusų suma cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) kosinuso skirtumas cos(α) – cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Tangentų suma/skirtumas (22) Sinuso mažinimo formulė sin 2 (α) = ½ (1 – cos (2α)) (23) Kosinuso mažinimo formulė cos 2 (α) = ½ (1 + cos (2α)) (24) Sinuso ir kosinuso suma/skirtumas (25) Sinuso ir kosinuso suma/skirtumas su koeficientais (26) Pagrindinis arcsinuso ir arkosino santykis arcsin(x) + arckos(x) = π/2 (27) Pagrindinis ryšys tarp arktangento ir arkotangento arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Bendrosios formulės

- spausdinimo versija

Apibrėžimai Kampo α sinusas (paskirtis nuodėmė (α)) – kampui α priešingos kojos santykis su hipotenuze. Kampo α kosinusas (paskirtis cos(α)) yra kojos, esančios greta kampo α, santykis su hipotenuze. Kampo liestinė α (paskirtis tg(α)) – kampui α priešingos kojos santykis su gretima kojele. Lygiavertis apibrėžimas yra kampo α sinuso ir to paties kampo kosinuso santykis sin(α)/cos(α). Kampo α kotangentė (paskirtis ctg(α)) – kampui α besiribojančios kraštinės santykis su priešinga kraštine. Lygiavertis apibrėžimas yra kampo α kosinuso ir to paties kampo sinuso santykis – cos(α)/sin(α). Kitos trigonometrinės funkcijos: sekantas — sek(α) = 1/cos(α); kosekantas cosec(α) = 1/sin(α). Pastaba Mes specialiai nerašome ženklo * (dauginti), - kur dvi funkcijos rašomos iš eilės, be tarpo, tai numanoma. Užuomina Norint išvesti kelių (4+) kampų kosinuso, sinuso, liestinės arba kotangento formules, pakanka jas parašyti atitinkamai pagal formules. sumos kosinusas, sinusas, liestinė arba kotangentas arba sumažinti iki ankstesnių atvejų, sumažinant iki trigubų ir dvigubų kampų formulių. Papildymas Išvestinė lentelė

© moksleivis. Matematika (palaikoma „Branch Tree“) 2009—2016 m

Šiame puslapyje rasite visas pagrindines trigonometrines formules, kurios padės išspręsti daugybę pratimų, labai supaprastindamos pačią išraišką.

Trigonometrinės formulės yra matematinės trigonometrinių funkcijų lygybės, kurios galioja visoms galiojančioms argumentų reikšmėms.

Formulės nustato ryšį tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento.

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško (ordinatės) y koordinatė. Kampo kosinusas yra taško x koordinatė (abscisė).

Tangentas ir kotangentas yra atitinkamai sinuso ir kosinuso santykis ir atvirkščiai.
„sin\\alpha,\cos\\alpha“.
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

Ir du, kurie naudojami rečiau – sekantas, kosekantas. Jie žymi santykį 1 su kosinusu ir sinusu.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Iš trigonometrinių funkcijų apibrėžimų galite pamatyti, kokius ženklus jos turi kiekviename ketvirtyje. Funkcijos ženklas priklauso tik nuo to, kuriame kvadrante yra argumentas.

Keičiant argumento ženklą iš „+“ į „-“, tik kosinuso funkcija nekeičia savo reikšmės. Jis vadinamas net. Jo grafikas yra simetriškas y ašiai.

Likusios funkcijos (sinusas, liestinė, kotangentas) yra nelyginės. Kai argumento ženklas pakeičiamas iš „+“ į „-“, jų reikšmė taip pat pasikeičia į neigiamą. Jų grafikai yra simetriški kilmės atžvilgiu.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
„cos(-\alpha)=cos \ \alpha“.
„tg(-\alpha)=-tg \ \alpha“.
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra formulės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo trigonometrinių funkcijų („sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha“) ir leidžiančios rasti kiekvienos iš šių funkcijų vertė per bet kurią žinomą kitą.
„sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1“.
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Trigonometrinių funkcijų kampų sumos ir skirtumo formulės

Argumentų pridėjimo ir atėmimo formulės išreiškia dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrines funkcijas šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Dvigubo kampo formulės

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)".
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)'
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2

Trigubo kampo formulės

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha
„cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha“
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)'
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)

Pusės kampo formulės

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)"
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \\alpha)(sin \\alpha)`

Pusinės, dvigubos ir trigubos argumentų formulės išreiškia šių argumentų funkcijas `sin, \cos, \tg, \ctg` (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) tų pačių funkcijų argumentas „\alpha“.

Jų išvestį galima gauti iš ankstesnės grupės (argumentų pridėjimas ir atėmimas). Pavyzdžiui, dvigubo kampo tapatybės lengvai gaunamos pakeitus „\beta“ į „\alpha“.

Sumažinimo formulės

Trigonometrinių funkcijų kvadratų (kubų ir kt.) formulės leidžia pereiti nuo 2,3, ... laipsnių iki trigonometrinių pirmojo laipsnio funkcijų, tačiau keli kampai (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... " arba "2\alpha, \ 4\alpha, \...").
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

Formulės – tai skirtingų argumentų trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo transformacijos į sandaugą.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2".
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Čia vieno argumento funkcijų pridėjimas ir atėmimas paverčiami sandauga.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)
„cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)“
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha

Šios formulės paverčia vieneto ir trigonometrinės funkcijos sumą ir skirtumą sandauga.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)
„1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)“
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)"
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Funkcijų konvertavimo formulės

Formulės, skirtos trigonometrinių funkcijų sandaugai su argumentais \alfa ir \beta konvertuoti į šių argumentų sumą (skirtumą).
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)'
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)'
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)'
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta) (ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))“.

Universalus trigonometrinis pakeitimas

Šios formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestine.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Liejamos formulės

Redukcijos formules galima gauti naudojant tokias trigonometrinių funkcijų savybes kaip periodiškumas, simetrija, poslinkio savybė tam tikru kampu. Jie leidžia savavališkas kampo funkcijas konvertuoti į funkcijas, kurių kampas yra nuo 0 iki 90 laipsnių.

Jei kampas (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Vienų trigonometrinių funkcijų išraiška kitomis

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))".
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)".
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)".

Trigonometrija pažodžiui verčiama kaip „trikampių matavimas“. Jis pradedamas studijuoti mokykloje, o išsamiau tęsiamas universitetuose. Todėl nuo 10 klasės reikalingos pagrindinės trigonometrijos formulės, taip pat ir už išlaikęs egzaminą. Jie žymi ryšius tarp funkcijų, o kadangi šių ryšių yra daug, tai ir pačių formulių yra nemažai. Prisiminti juos visus nėra lengva, o ir nebūtina – prireikus galima visus juos išvesti.

Trigonometrinės formulės naudojamos integraliniam skaičiavimui, taip pat trigonometriniams supaprastinimams, skaičiavimams ir transformacijoms.