Formos kur funkcija yra vadinama kvadratinė funkcija.

Kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė.

Panagrinėkime atvejus:

I CASE, KLASIKINĖ PARABOLĖ

Tai yra , ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėkite taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. koordinačių plokštumoje (kuo mažesniu žingsniu imsime x reikšmes (šiuo atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x reikšmių imsime, tuo sklandesnė bus kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad jei paimtume atvejį , , , tai yra, gautume parabolę, kuri yra simetriška ašiai (oh). Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, „a“ SKIRIASI NUO VIENETAS

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgsena? Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, esant toms pačioms reikšmėms, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai mąstome ir 2 ir 3 paveikslėlių atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“ už parabolę:

Apibendrinkime:

1)Koeficiento ženklas lemia šakų kryptį. Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliučioji vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“ ir „suspaudimą“. Kuo didesnė , tuo siauresnė parabolė; kuo mažesnė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS, ATSIRODA „C“.

Dabar įveskime į žaidimą (tai yra, apsvarstykime atvejį, kai), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė pasislinks aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATSIRODA „b“.

Kada parabolė „atitrūks“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kada nustos būti lygus?

Čia reikia sukurti parabolę viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šioje vietoje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0;0)) pastatysime parabolę, kurią jau galime padaryti. Jei nagrinėjame atvejį, tai nuo viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, vieną į viršų, - gautas taškas yra mūsų (panašiai žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tai iš viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, du – į viršų ir t.t.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės modelį, nes mūsų atveju.

Statant parabolę suradus viršūnės koordinates labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė tikrai praeis per tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė yra . Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta ordinatę taške , nes .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome jį simetriškai parabolės simetrijos ašies atžvilgiu, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (oh). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Ankstesniame pavyzdyje mūsų diskriminanto šaknis nėra sveikasis skaičius; konstruojant mums nėra prasmės rasti šaknis, tačiau aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su ašimi (oh) (nuo title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi išsiaiškinkime

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 – aukštyn, a<0 – вниз)

2) parabolės viršūnės koordinates randame naudodami formulę , .

3) randame parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) naudodami laisvąjį terminą, sukonstruokite šiam taškui simetrišką tašką parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (reikia pastebėti, kad pasitaiko, kad žymėti neapsimoka Pavyzdžiui, šis taškas, nes vertė yra didelė... šį tašką praleidžiame...)

4) Rastame taške - parabolės viršūnėje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0;0)) konstruojame parabolę. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus randame (jei jie dar „nepavirtę“) išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes jau gavome viršūnės koordinates. Kodėl?

Paimkime kvadratinį trinarį ir išskirkime jame visą kvadratą: Žiūrėkite, mes gavome, kad , . Jūs ir aš anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra, dabar.

Pavyzdžiui, . Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykiškai). Tai yra, atliekame 1 punktus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

Užrašas 2. Jei parabolė pateikiama panašia į šią forma (ty pateikiama kaip dviejų tiesinių faktorių sandauga), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su ašimi (jautis). Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusioje dalyje mes veikiame pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

Parabolės konstravimas yra viena iš gerai žinomų matematinių operacijų. Gana dažnai jis naudojamas ne tik moksliniais tikslais, bet ir grynai praktiniais. Išsiaiškinkime, kaip atlikti šią procedūrą naudojant „Excel“ programos įrankius.

Parabolė yra tokio tipo kvadratinės funkcijos grafikas f(x)=ax^2+bx+c. Viena iš nuostabių jos savybių yra tai, kad parabolė turi simetriškos figūros formą, susidedančią iš taškų, vienodu atstumu nuo krypties. Apskritai parabolės sudarymas programoje „Excel“ mažai kuo skiriasi nuo bet kurio kito grafiko kūrimo šioje programoje.

Lentelės kūrimas

Visų pirma, prieš pradėdami statyti parabolę, turėtumėte pastatyti lentelę, kurios pagrindu ji bus sukurta. Pavyzdžiui, paimkime funkcijos grafiko konstravimą f(x)=2x^2+7.

Grafiko braižymas

Kaip minėta aukščiau, dabar turime sukurti patį grafiką.

Diagramos redagavimas

Dabar galite šiek tiek redaguoti gautą grafiką.

Be to, galite atlikti bet kokio kito tipo gautos parabolės redagavimą, įskaitant jos pavadinimo ir ašių pavadinimų keitimą. Šie redagavimo būdai neperžengia darbo „Excel“ su kitų tipų diagramomis ribų.

Kaip matote, parabolės sukūrimas programoje „Excel“ iš esmės nesiskiria nuo kito tipo grafiko ar diagramos sukūrimo toje pačioje programoje. Visi veiksmai atliekami remiantis iš anksto sugeneruota lentele. Be to, reikia atsižvelgti į tai, kad sklaidos diagrama labiausiai tinka konstruojant parabolę.

Norint nubrėžti funkciją stačiakampėje koordinačių sistemoje, mums reikia dviejų statmenų tiesių xOy (kur O yra x ir y sankirta), kurios vadinamos "koordinačių ašimis", ir mums reikia matavimo vieneto.

Taškas šioje sistemoje turi dvi koordinates.
M(x, y): M yra taško pavadinimas, x yra abscisė ir matuojama Ox, y yra ordinatė ir matuojama Oy.

Jei laikysime funkciją f: A -> B (kur A yra apibrėžimo sritis, B yra funkcijos reikšmių diapazonas), tada šios funkcijos grafiko taškas gali būti pavaizduotas forma P ( x, f(x)).

Pavyzdys
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Jei x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (kur Gf yra šios funkcijos grafikas).

Kvadratinė funkcija

Standartinė forma: f(x) = ax 2 + bx + c

Viršūnės forma: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
Kur Δ = b 2 - 4ac

Jei a > 0, tada mažiausia reikšmė f(x) bus $-\frac(\Delta)(4a)$ , kuris gaunamas, jei $x=-\frac(b)(2a)$. Tvarkaraštis bus išgaubta parabolė, kurio viršūnė (taškas, kuriame ji keičia kryptį) yra $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Jeigu< 0 , то минимальное значение f(x) bus $-\frac(\Delta)(4a)$ , kuris gaunamas, jei $x=-\frac(b)(2a)$. Tvarkaraštis bus įgaubta parabolė, kurios viršūnė yra $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Parabolė yra simetriška tiesei, kurią ji kerta $x=-\frac(b)(2a)$ ir kuri vadinama "simetrijos ašis".
Štai kodėl priskiriame vertes x, tada pasirenkame juos simetriškus $-\frac(b)(2a)$ atžvilgiu.
Braižant grafiką labai svarbūs susikirtimo taškai su koordinačių ašimis.

|. Taškas, esantis ašyje Jautis turi formą P(x, 0), nes atstumas nuo jo iki Jautis lygus 0. Jei taškas taip pat įjungtas Jautis o funkcijos grafike ji taip pat turi formą P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Taigi, norint rasti susikirtimo su ašimi taško koordinates Jautis, turime išspręsti lygtį f(x)=0. Gauname lygtį a 2 + bx + c = 0.

Lygties sprendimas priklauso nuo ženklo Δ = b 2 - 4ac.

Apsvarstykime šias parinktis:

1) Δ< 0 ,
tada lygtis neturi sprendinių R(realiųjų skaičių aibė) ir grafikas nesikerta Jautis. Grafiko forma bus tokia:

2) Δ = 0,
tada lygtis turi du sprendinius $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Grafikas liečia ašį Jautis parabolės viršūnėje. Grafiko forma bus tokia:

3) Δ > 0,
tada lygtis turi du skirtingus sprendinius.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ ir $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Funkcijos grafikas susikirs su ašimi Jautis taškuose M(x 1 Ir Jautis. Grafiko forma bus tokia:

||. Taškas, esantis ašyje Oy turi formą R(0, y), nes atstumas nuo Oy lygus 0 . Jei taškas yra ant Oy ir funkcijos grafike, tada ji taip pat turi formą R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

Kvadratinės funkcijos atveju
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Būtini žingsniai kvadratinei funkcijai nubraižyti

f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c

1. Sudarome kintamųjų lentelę, kurioje įvedame keletą svarbių reikšmių x.

2. Apskaičiuokite viršūnės $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$ koordinates.

3. Lentelėje taip pat įrašome 0 ir simetriškas nulines reikšmes $-\frac(b)(2a)$.

4. Nustatome susikirtimo su ašimi tašką Jautis, sprendžiant lygtį f(x)=0 ir užrašykite šaknis x 1 Ir x 2 lentelėje.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ grafiko prisilietimai Jautis tiesiai parabolės viršuje. Vėl pasirinksime dvi patogias reikšmes, kurios yra simetriškos $-\frac(b)(2a)$. Norėdami geriau apibrėžti grafiko formą, galime pasirinkti kitas reikšmių poras x, bet jie turi būti simetriški $-\frac(b)(2a)$.

5. Nubraižome šias reikšmes koordinačių sistemoje ir sudarome šiuos taškus jungiantį grafiką.

1 pavyzdys
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Simetrinė 0 reikšmė 1 atžvilgiu yra 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Mes radome taškus:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Grafikas atrodys taip:

2 pavyzdys
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4 × a × c = (-2) 2 - 4 × (-1) × 8 = 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (simetriška 0 reikšmė, palyginti su -1, yra -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 ir x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

3 pavyzdys
f: R → R
f(x) = x 2 – 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4 × a × c = (-4) 2 - 4 × 1 × 4 = 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (simetriška 0 reikšmė 2 atžvilgiu yra 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

4 pavyzdys
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4 × a × c = 4 2 - 4 × (-1) × (-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (simetriška 0 reikšmė 2 atžvilgiu yra 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Ši lygtis neturi sprendinių. Mes pasirinkome simetriškas reikšmes maždaug 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Jei apibrėžimo sritis yra ne R (realiųjų skaičių aibė), o kažkoks intervalas, tada ištriname grafiko dalį, kuri atitinka tas reikšmes x, kurių nėra šiame intervale. Lentelėje turite įrašyti intervalo pabaigos taškus.

5 pavyzdys
f :)