Spręsdami uždavinį C2 koordinačių metodu, daugelis mokinių susiduria su ta pačia problema. Jie nemoka skaičiuoti taško koordinatesįtraukta į skaliarinės sandaugos formulę. Didžiausi sunkumai yra piramidės. Ir jei baziniai taškai laikomi daugiau ar mažiau normaliais, tai viršūnės yra tikras pragaras.

Šiandien nagrinėsime taisyklingą keturkampę piramidę. Taip pat yra trikampė piramidė (dar žinoma tetraedras). Tai sudėtingesnis dizainas, todėl jam bus skirta atskira pamoka.

Pradėkime nuo apibrėžimo:

Taisyklinga piramidė yra tokia, kurioje:

1. Pagrindas yra taisyklingas daugiakampis: trikampis, kvadratas ir kt.;
2. Prie pagrindo nubrėžtas aukštis eina per jo centrą.

Visų pirma, keturkampės piramidės pagrindas yra kvadratas. Visai kaip Cheopsas, tik šiek tiek mažesnis.

Žemiau pateikiami piramidės, kurios visos briaunos lygios 1, skaičiavimai. Jei jūsų uždavinyje taip nėra, skaičiavimai nesikeičia – tiesiog skirsis skaičiai.

Keturkampės piramidės viršūnės

Taigi, tegul yra taisyklinga keturkampė piramidė SABCD, kur S yra viršus, o ABCD pagrindas yra kvadratas. Visos briaunos lygios 1. Reikia įvesti koordinačių sistemą ir rasti visų taškų koordinates. Mes turime:

Supažindiname su koordinačių sistema, kurios pradžia yra taške A:

1. Ašis OX nukreipta lygiagrečiai kraštinei AB ;
2. Ašis OY - lygiagreti AD . Kadangi ABCD yra kvadratas, AB ⊥ AD ;
3. Galiausiai OZ ašis nukreipta aukštyn, statmena plokštumai ABCD.

Dabar mes apsvarstysime koordinates. Papildoma konstrukcija: SH – aukštis pritrauktas prie pagrindo. Patogumui piramidės pagrindą išimsime atskirame paveikslėlyje. Kadangi taškai A , B , C ir D yra OXY plokštumoje, jų koordinatė yra z = 0. Turime:

1. A = (0; 0; 0) – sutampa su kilme;
2. B = (1; 0; 0) – žingsnis po 1 išilgai OX ašies nuo pradžios;
3. C = (1; 1; 0) - žingsnis po 1 išilgai OX ašies ir po 1 išilgai OY ašies;
4. D = (0; 1; 0) - žingsnis tik išilgai OY ašies.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - kvadrato centras, segmento AC vidurys.

Belieka surasti taško S koordinates. Atkreipkite dėmesį, kad taškų S ir H koordinatės x ir y yra vienodos, nes jos yra tiesėje, lygiagrečioje OZ ašiai. Belieka rasti taško S z koordinatę.

Apsvarstykite trikampius ASH ir ABH:

1. AS = AB = 1 pagal sąlygą;
2. Kampas AHS = AHB = 90°, nes SH yra aukštis, o AH ⊥ HB yra kvadrato įstrižainės;
3. Šoninė AH – dažna.

Vadinasi, stačiųjų trikampių ASH ir ABH lygus viena koja ir viena hipotenuzė. Taigi SH = BH = 0,5 BD . Bet BD yra kvadrato, kurio kraštinė yra 1, įstrižainė. Todėl turime:

Bendros taško S koordinatės:

Pabaigoje užrašome visų taisyklingos stačiakampės piramidės viršūnių koordinates:

Ką daryti, kai šonkauliai skiriasi

Bet ką daryti, jei piramidės šoniniai kraštai nėra lygūs pagrindo kraštams? Šiuo atveju apsvarstykite trikampį AHS:

Trikampis AHS- stačiakampio formos, o hipotenuzė AS taip pat yra originalios piramidės SABCD šoninis kraštas. Koją AH nesunku apsvarstyti: AH = 0,5 AC. Raskite likusią koją SH pagal Pitagoro teoremą. Tai bus taško S z koordinatė.

Užduotis. Duota taisyklinga keturkampė piramidė SABCD , kurios pagrinde yra kvadratas, kurio kraštinė 1. Šoninė briauna BS = 3. Raskite taško S koordinates.

Jau žinome šio taško x ir y koordinates: x = y = 0,5. Tai išplaukia iš dviejų faktų:

1. Taško S projekcija į OXY plokštumą yra taškas H;
2. Tuo pačiu metu taškas H yra kvadrato ABCD, kurio visos kraštinės lygios 1, centras.

Belieka rasti taško S koordinatę. Apsvarstykite trikampį AHS. Jis yra stačiakampis, su hipotenuze AS = BS = 3, koja AH yra pusė įstrižainės. Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, mums reikia jo ilgio:

Pitagoro teorema trikampiui AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Mes turime:

Taigi, taško S koordinatės:

Piramidės koncepcija

1 apibrėžimas

Geometrinė figūra, sudaryta iš daugiakampio ir taško, kuris nėra plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinama piramide (1 pav.).

Daugiakampis, iš kurio sudaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu, trikampiai, gauti sujungus su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas yra bendras visiems. trikampiai yra piramidės viršūnė.

Piramidžių rūšys

Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ją galima vadinti trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramidžių tipas yra taisyklinga piramidė.

Leiskite mums pristatyti ir įrodyti turtą teisinga piramidė.

1 teorema

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Aprašykime apskritimą aplink pagrindą (4 pav.).

4 pav

Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname

Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Todėl visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės ženklą.

Teorema įrodyta.

Dabar pristatome tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingos piramidės sąvoka.

3 apibrėžimas

Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.

Akivaizdu, kad pagal 1 teoremą visi apotemai yra lygūs.

2 teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime kaip $a$, o apotemą kaip $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi pagal 1 teoremą visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Kitas piramidžių tipas yra nupjauta piramidė.

4 apibrėžimas

Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramidė

Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrių sumos sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Užduoties pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite nupjautos trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštuma, einančia per šoninių paviršių vidurinę liniją.

Sprendimas.

Pagal teoremą apie vidurinė linija gauname, kad sutrumpintos piramidės viršutinė bazė lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$.

Tada pagal 3 teoremą gauname

Puikiai žinome didžiąsias Egipto piramides, kiekvienas gali įsivaizduoti, kaip jos atrodo. Šis vaizdas padės mums suprasti tokių ypatybes geometrinė figūra kaip piramidė.

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš plokščio daugiakampio – piramidės pagrindo, taško, kuris nėra pagrindo plokštumoje – piramidės viršūnės ir visų atkarpų, jungiančių viršūnę su pagrindo taškais. Segmentai, jungiantys piramidės viršūnę su pagrindo viršūne, vadinami šoniniais kraštais. Ant pav. 1 pavaizduota piramidė SABCD. Keturkampis ABCD – piramidės pagrindas, taškas S – piramidės viršūnė, atkarpos SA, SB, SC ir SD – piramidės briaunos.

Piramidės aukštis yra statmenas, nukritęs nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos. Ant pav. 1 SO yra piramidės aukštis.

Piramidė vadinama n-kampe, jei jos pagrindas yra n-kampis. 1 paveiksle pavaizduota keturkampė piramidė. Trikampė piramidė vadinama tetraedru.

Piramidė vadinama taisyklingąja, jei jos pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukščio pagrindas sutampa su šio daugiakampio centru. Taisyklingos piramidės šoninės briaunos yra lygios, todėl šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įprastoje piramidėje šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas nuo piramidės viršaus, vadinamas apotema.

Piramidė turi daugybę savybių.

Visos piramidės įstrižainės priklauso jos paviršiams.

Jei visi šoniniai kraštai yra vienodi, tada:

• netoli piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
• šoniniai šonkauliai formuojasi su pagrindo plokštuma vienodi kampai, ir atvirkščiai, jei šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba jei šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos yra lygūs.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindinę plokštumą vienu kampu, tada:

• piramidės pagrinde gali būti įrašytas apskritimas, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
• šoninių paviršių aukščiai lygūs;
• šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugos.

Apsvarstykite formules, kaip rasti piramidės tūrį, paviršiaus plotą.

Piramidės tūrį galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

kur S yra pagrindo plotas, o h yra aukštis.

Norėdami sužinoti bendrą piramidės paviršiaus plotą, naudokite formulę:

S p \u003d S b + S o,

kur S p – bendras paviršiaus plotas, S b – šoninio paviršiaus plotas, S o – bazinis plotas.

Nupjautoji piramidė yra daugiakampis, uždarytas tarp piramidės pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios jos pagrindui. Nupjautosios piramidės paviršiai, esantys lygiagrečiose plokštumose, vadinami nupjautinės piramidės pagrindais, likusieji paviršiai – šoniniais paviršiais. Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai, šoniniai paviršiai – trapecijos. Nupjauta piramidė, kuri gaunama iš taisyklingosios piramidės, vadinama taisyklingąja. nupjauta piramidė. Taisyklingos nupjautinės trapecijos šoniniai paviršiai yra lygiašonės trapecijos, jų aukščiai vadinami apotemais.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Piramidė- tai daugiakampis, turintis vieną paviršių - piramidės pagrindą - savavališką daugiakampį, o likusius - šoninius paviršius - trikampius su bendra viršūne, vadinamą piramidės viršūne. Nuo piramidės viršūnės iki jos pagrindo nukritęs statmuo vadinamas piramidės aukštis. Piramidė vadinama trikampe, keturkampe ir pan., jei piramidės pagrindas yra trikampis, keturkampis ir pan. Trikampė piramidė yra tetraedras – tetraedras. Keturkampis – penkiakampis ir kt.

Piramidė, Nupjauta piramidė

Teisinga piramidė

Jei piramidės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nukrenta iki pagrindo centro, tai piramidė yra taisyklinga. Taisyklingoje piramidėje visos šoninės briaunos yra lygios, visi šoniniai paviršiai yra vienodi lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus trikampio aukštis vadinamas − dešiniosios piramidės apotema.

Nupjauta piramidė

skerspjūvis pagrindo lygiagreti piramidė dalija piramidę į dvi dalis. Piramidės dalis tarp jos pagrindo ir šios atkarpos yra nupjauta piramidė . Ši nupjautos piramidės atkarpa yra vienas iš jos pagrindų. Atstumas tarp nupjautinės piramidės pagrindų vadinamas nupjautinės piramidės aukščiu. Nupjauta piramidė vadinama teisinga, jei piramidė, iš kurios ji buvo gauta, buvo teisinga. Visi taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra lygios lygiašonės trapecijos. Taisyklingos nupjautinės piramidės trapecijos šoninio paviršiaus aukštis vadinamas - taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

Apsvarstykite piramidžių, kurių šoniniai paviršiai yra statmeni pagrindui, savybes.

Jeigu du gretimi piramidės šoniniai paviršiai yra statmeni pagrindui, tada bendras šių paviršių šoninis kraštas yra piramidės aukštis. Jei užduotis tai sako piramidės kraštas yra jos aukštis, tada mes kalbame apie tokio tipo piramides.

Piramidės paviršiai statmenai pagrindui yra stačiakampiai trikampiai.

Jei piramidės pagrindas yra trikampis

Tokios piramidės šoninis paviršius paprastai ieškomas kaip visų šoninių paviršių plotų suma.

Piramidės pagrindas yra stačiakampė projekcija veidas, kuris nėra statmenas pagrindui (šiuo atveju SBC). Taigi, pagal ortogonaliosios projekcijos ploto teoremą, pagrindo plotas yra lygus šio paviršiaus ploto sandaugai iš kampo tarp jo ir pagrindinės plokštumos kosinuso.

Jei piramidės pagrindas yra stačiakampis

Tokiu atveju visi piramidės paviršiai yra statūs trikampiai.

Trikampiai SAB ir SAC yra stačiakampiai, nes SA yra piramidės aukštis. Trikampis ABC yra stačiakampis.

Tai, kad trikampis SBC yra stačiakampis, išplaukia iš teoremos ant trijų statmenų (AB yra įstrižosios SB projekcija į pagrindo plokštumą. Kadangi AB yra statmena BC pagal sąlygą, tai SB taip pat yra statmena BC ).

Kampas tarp SBC šoninio paviršiaus ir pagrindo šiuo atveju yra ABS kampas.

Šoninio paviršiaus plotas lygus stačiųjų trikampių plotų sumai:

Kadangi šiuo atveju

Jei piramidės pagrindas yra lygiašonis trikampis

Šiuo atveju kampas tarp šoninio paviršiaus BCS plokštumos ir pagrindo plokštumos yra kampas AFS, kur AF yra lygiašonio trikampio ABC aukštis, mediana ir pusiausvyra.

Panašiai - jei piramidės pagrinde yra lygiakraštis trikampis ABC.

Jei piramidės pagrindas yra lygiagretainis

Šiuo atveju piramidės pagrindas yra šoninių paviršių, kurie nėra statmeni pagrindui, stačiakampė projekcija.

Jei pagrindą padalinsime į du trikampius, tada

kur α ir β yra atitinkamai kampai tarp ADS ir CDS plokštumų ir pagrindinės plokštumos.

Jei BF ir BK yra lygiagretainio aukščiai, tai kampas BFS yra CDS šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindinę plokštumą, o kampas BKS yra ADS paviršiaus polinkio kampas.

(brėžinys padarytas tuo atveju, kai B yra bukas kampas).

Jei piramidės pagrindas yra rombas ABCD, tai kampai BFS ir BKS yra lygūs. Trikampiai ABS ir CBS, taip pat ADS ir CDS šiuo atveju taip pat yra lygūs.

Jei piramidės pagrindas yra stačiakampis

Šiuo atveju kampas tarp šoninio paviršiaus SAD plokštumos ir pagrindo plokštumos yra kampas SAB,

o kampas tarp šoninio paviršiaus SCD plokštumos ir pagrindo plokštumos yra kampas SCB

(pagal trijų statmenų teoremą).