Ebben a leckében felidézzük az összes korábban tanulmányozott módszert a polinom tényezőkké alakítására, és megfontoljuk az alkalmazásukra vonatkozó példákat, emellett tanulmányozunk egy új módszert - a teljes négyzetes módszert, és megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni különféle problémák megoldásában.

Téma:Polinomok faktorálása

Lecke:Polinomok faktorizálása. Teljes négyzet kiválasztási módszer. Módszerek kombinációja

Emlékezzünk vissza a polinom faktorálásának főbb módszereire, amelyeket korábban tanulmányoztak:

Az a módszer, amellyel a zárójelekből kiveszünk egy közös tényezőt, vagyis egy olyan tényezőt, amely a polinom minden tagjában megtalálható. Vegyünk egy példát:

Emlékezzünk vissza, hogy a monomiális hatványok és számok szorzata. Példánkban mindkét tagnak van néhány közös, azonos eleme.

Tehát vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

;

Emlékezzünk vissza, hogy a renderelt szorzót a zárójellel megszorozva ellenőrizhetjük a renderelés helyességét.

csoportosítási módszer. Nem mindig lehetséges egy közös tényezőt kivenni egy polinomból. Ebben az esetben a tagjait úgy kell csoportokra bontani, hogy minden csoportból ki lehessen venni egy közös faktort, és megpróbálni úgy lebontani, hogy a csoportokban lévő tényezők kiszűrése után egy közös faktor jelenjen meg a az egész kifejezést, és a terjeszkedés folytatható. Vegyünk egy példát:

Csoportosítsa az első tagot a negyedikkel, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat pedig a hatodikkal:

Vegyük sorra a közös tényezőket a csoportokban:

A kifejezésnek van egy közös tényezője. Vegyük ki:

Rövidített szorzóképletek alkalmazása. Vegyünk egy példát:

;

Írjuk le részletesen a kifejezést:

Nyilván előttünk van a különbség négyzetének képlete, hiszen két kifejezés négyzetösszege van, és ebből kivonjuk a kettős szorzatát. Tekerjünk a képlet szerint:

Ma egy másik módszert fogunk megtanulni - a teljes négyzetes kiválasztási módszert. Az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képletein alapul. Idézd fel őket:

Az összeg (különbség) négyzetének képlete;

Ezeknek a formuláknak az a sajátossága, hogy két kifejezés négyzetét és kettős szorzatát tartalmazzák. Vegyünk egy példát:

Írjuk fel a kifejezést:

Tehát az első kifejezés , a második pedig .

Ahhoz, hogy képletet készítsünk az összeg vagy a különbség négyzetére, nem elegendő a kifejezések duplaszorzata. Össze kell adni és ki kell vonni:

Összecsukjuk az összeg teljes négyzetét:

Alakítsuk át a kapott kifejezést:

Alkalmazzuk a négyzetkülönbség képletet, emlékezzünk arra, hogy két kifejezés négyzeteinek különbsége a szorzat, az összegek pedig a különbségükkel:

Tehát ez a módszer mindenekelőtt abból áll, hogy azonosítani kell a négyzetes a és b kifejezéseket, vagyis meg kell határozni, hogy ebben a példában mely kifejezések négyzetesek. Ezt követően ellenőrizni kell a kettős szorzat meglétét, és ha nincs ott, akkor összeadjuk és kivonjuk, ez nem változtatja meg a példa jelentését, de a polinom a négyzet képleteivel faktorálható ha lehetséges, a négyzetek összege vagy különbsége és különbsége.

Térjünk át a példák megoldására.

1. példa – faktorizálás:

Négyzetes kifejezések keresése:

Írjuk le, mi legyen a kettős termékük:

Adjuk össze és vonjuk ki a duplaszorzatot:

Összecsukjuk az összeg teljes négyzetét, és adjunk hasonlókat:

A négyzetek különbségének képlete szerint írjuk:

2. példa - oldja meg az egyenletet:

;

Az egyenlet bal oldalán egy trinomikus található. Ki kell számolnia. A különbség négyzetének képletét használjuk:

Megvan az első kifejezés és a kettős szorzat négyzete, a második kifejezés négyzete hiányzik, adjuk össze és vonjuk ki:

Zárjuk össze a teljes négyzetet, és adjunk hasonló kifejezéseket:

Alkalmazzuk a négyzetek különbségi képletét:

Tehát megvan az egyenlet

Azt tudjuk, hogy a szorzat csak akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ennek alapján egyenleteket írunk fel:

Oldjuk meg az első egyenletet:

Oldjuk meg a második egyenletet:

Válasz: vagy

;

Az előző példához hasonlóan járunk el - válassza ki a különbség négyzetét.

Az ilyen eljárás végrehajtásának képessége rendkívül szükséges a matematika számos témakörében négyzetes trinomikusfejsze 2 + bx + c . A leggyakrabban:

1) Parabolák rajzolása y= fejsze 2 + bx+ c;

2) Sok feladat megoldása négyzetes hármasra ( másodfokú egyenletekés egyenlőtlenségek, paraméterekkel kapcsolatos problémák stb.);

3) Négyzetes trinomit tartalmazó függvények, valamint másodrendű görbékkel való munka (tanulók számára).

Hasznos dolog, röviden! Kész vagy az ötösre? Akkor tanuljunk!)

Mit jelent egy binomiális teljes négyzetének kiválasztása négyzetes hármasban?

Ez a feladat azt jelenti, hogy az eredeti négyzetháromtagot a következő formára kell konvertálni:

Szám a mi van a bal oldalon, mi van a jobb oldalon azonos. X-négyzet együttható. Ezért van megjelölve egy levél. Szorozza a jobb oldalon szögletes zárójelekkel. A zárójelben ugyanaz a binomiális szerepel, amelyről ebben a témában is szó esik. Egy tiszta x és valamilyen szám összege m. Igen, kérem, figyeljen tiszta x! Fontos.

És itt vannak a levelek més n igaz - néhány új számok. Mi lesz az átalakításaink eredményeként. Kiderülhetnek pozitívak, negatívak, egészek, töredékesek – mindenféle! Az alábbi példákban meglátja. Ezek a számok attól függenek együtthatókbóla, bésc. Megvannak a saját speciális általános képleteik. Meglehetősen terjedelmes, frakciókkal. Ezért nem adom meg őket itt és most. Miért van szüksége a józan elmének extra szemétre? Igen, és nem is érdekes. Legyünk kreatívak.)

Mit kell tudni és érteni?

Először is fejből kell tudni. Közülük legalább kettő négyzetes összegés különbség négyzet.

Ezek:

E pár képlet nélkül – sehol. Nem csak ezen a leckén, hanem általában szinte az összes többi matematikán. Világos a tipp?)

De a puszta memorizált képletek itt nem elegendőek. Okosabbra van szükség tudja alkalmazni ezeket a képleteket. És nem annyira közvetlenül, balról jobbra, hanem fordítva, jobbról balra. Azok. az eredeti négyzetháromtag segítségével tudja megfejteni az összeg / különbség négyzetét. Ez azt jelenti, hogy könnyen, automatikusan fel kell ismernie a típusegyenlőségeket:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

E hasznos készség nélkül nincs mód... Tehát ha ezekkel az egyszerű dolgokkal problémái vannak, akkor zárja be ezt az oldalt. Még túl korai itt.) Először is lépjen a fenti linkre. Ő neked való!

Ó, mióta foglalkozol a témával? Kiváló! Akkor olvass tovább.)

Így:

Hogyan válasszuk ki a binomiális teljes négyzetét egy négyzetes hármasban?

Kezdjük természetesen egy egyszerűvel.

1. szint. Együttható x-nél2 egyenlő 1-gyel

Ez a legegyszerűbb helyzet, amely minimális további átalakítást igényel.

Például adott egy négyzetes trinomiális:

x 2 +4x+6

Külsőleg a kifejezés nagyon hasonlít az összeg négyzetére. Tudjuk, hogy az összeg négyzete tartalmazza az első és a második kifejezés tiszta négyzetét ( a 2 és b 2 ), valamint a kettős termék 2 ab ugyanezek a kifejezések.

Nos, már megvan az első kifejezés négyzete tiszta formájában. azt x 2 . Valójában pontosan ez az ilyen szintű példák egyszerűsége. Meg kell kapnia a második kifejezés négyzetét b 2 . Azok. megtalálja b. És nyomként fog szolgálni kifejezés x első fokon, azaz 4x. Végül 4x ként ábrázolható dupla termék xx egy kettesért. Mint ez:

4 x = 2 ́ x 2

Tehát, ha 2 ab=2x2és a= x, akkor b=2 . Tudsz írni:

x 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Így minket Akarok. De! Matematika Azt akarom, hogy a cselekedeteink képezzék az eredeti kifejezés lényegét nem változott. Így készült. Hozzáadtuk a dupla terméket 2 2 , ezzel megváltoztatva az eredeti kifejezést. Tehát, hogy ne sértsük meg a matematikát, ez a legtöbb 2 2 most kell elvitel. Mint ez:

…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….

Szinte minden. Már csak 6-ot kell hozzáadni, az eredeti trinomiálisnak megfelelően. A hatos nem ment sehova! Mi írunk:

= x 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Most az első három kifejezés a netet (vagy - teljes) binomiális négyzet x+2 . Vagy (x+2) 2 . Ezt próbáljuk elérni.) Nem is leszek lusta, és zárójelbe teszek:

… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

A zárójelek nem változtatják meg a kifejezés lényegét, de egyértelműen utalnak arra, hogy mit, hogyan és miért. Marad hátra, hogy összecsukja ezt a három tagot egy teljes négyzetbe a képlet szerint, és számolja meg a fennmaradó farkot számokkal -2 2 +6 (ez 2 lenne) és írd be:

x 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Minden. Mi kiemelte zárójel négyzet (x+2) 2 az eredetitől négyzetes trinomikus x 2 +4x+6. Összeggé változtatta teljes négyzet binomiális (x+2) 2 és valamilyen állandó szám (kettő). És most megírom átalakításaink teljes láncolatát kompakt formában. Az egyértelműség kedvéért.

És ez minden.) Ez a lényege a teljes négyzet kiválasztásának eljárásának.

Egyébként mik itt a számok més n? Igen. Mindegyik egyenlő kettővel: m=2, n=2 . Így történt ez a kiválasztás során.

Egy másik példa:

Válassza ki a binomiális teljes négyzetét:

x 2 -6x+8

És ismét az első pillantás az x-szel jelzett kifejezésre. A 6x-ot x és három szorzatára fordítjuk. Dupla előtt - mínusz. Tehát kiemeljük különbség négyzet. Összeadjuk (hogy teljes négyzetet kapjunk) és azonnal kivonjuk (kompenzáljuk) a hármast a négyzetben, azaz. 9. Nos, ne feledkezzünk meg a nyolcról. Kapunk:

Itt m=-3 és n=-1 . Mindkettő negatív.

Érted az elvet? Aztán itt volt az idő elsajátítani és általános algoritmus. Minden ugyanaz, de leveleken keresztül. Tehát van egy négyzetes hármastagunk x 2 + bx+ c (a=1) . Mit csinálunk:

bx b /2 :

b Val vel.

Érthető? Az első két példa nagyon egyszerű volt, egész számokkal. Ismerkedésre. Rosszabb, ha az átalakulások során törtek kerülnek ki. Itt a legfontosabb, hogy ne félj! És hogy ne féljen, mindenkinek ismernie kell a törtekkel végzett műveleteket, igen...) De itt van az ötös szint, nem? Bonyolítjuk a feladatot.

Tegyük fel, hogy adott a következő trinom:

x 2 +x+1

Hogyan szervezzük meg az összeg négyzetét ebben a hármasban? Nincs mit! Hasonló. Pontokon dolgozunk.

1. Nézzük azt a tagot, ahol x az első fokon ( bx), és alakítsa át x szorzatának kétszereséreb /2 .

A mi kifejezésünk x-szel csak x. És akkor mi van? Hogyan változtathatjuk magányos X-et dupla termék? Igen, nagyon könnyű! Közvetlenül az utasítások szerint. Mint ez:

Szám b az eredeti trinomikusban - egy. vagyis b/2 töredékesnek bizonyul. Fél. 1/2. Hát rendben. Már nem kicsi.)

2. A duplaszorzathoz hozzáadunk, és azonnal kivonjuk a szám négyzetét b/2. Hozzáadjuk - teljes négyzet kiegészítésére. Elvisszük - kártérítésért. A legvégére adunk hozzá egy szabad kifejezést Val vel.

Folytatjuk:

3. Az első három tagot a megfelelő képlet szerint az összeg / különbség négyzetévé alakítjuk. A kívül maradó kifejezést gondosan számokban számítják ki.

Az első három kifejezést zárójelek választják el. Elválasztani persze nem lehet. Ez pusztán az átalakítások kényelme és egyértelműsége érdekében történik. Most már jól látható, hogy az összeg teljes négyzete zárójelben van (x+1/2) 2 . És minden, ami az összeg négyzetén kívül marad (ha számoljuk), +3/4-et ad. Célvonal:

Válasz:

Itt m=1/2 , a n=3/4 . Törtszámok. Megtörténik. Egy ilyen trinomit elkaptak...

Ilyen a technológia. Megvan? Tudsz lépni a következő szintre?

2. szint. Az x 2 együttható nem egyenlő 1-gyel – mit tegyünk?

Ez egy általánosabb eset, mint az eset a=1. A számítások mennyisége természetesen növekszik. Idegesít, igen... De általános megoldásáltalában ugyanaz marad. Csak egy új lépés kerül hozzáadásra. Ez boldoggá tesz.)

Egyelőre gondoljon egy ártalmatlan esetre, töredékek és egyéb buktatók nélkül. Például:

2 x 2 -4 x+6

Középen van egy mínusz. Tehát a különbség négyzetét illesztjük. De az x négyzetének együtthatója kettős. És könnyebb vele dolgozni. Tiszta x-szel. Mit kell tenni? És ezt a kettőt tegyük zárójelbe! Hogy ne zavarjon. Jogunk van hozzá! Kapunk:

2(x 2 -2 x+3)

Mint ez. Most a háromtagú zárójelben - már a tiszta X négyzet! Ahogy az 1. szintű algoritmus megköveteli, és most már lehet dolgozni ezzel az új trinomiálissal a régi jól bevált séma szerint. Itt cselekszünk. Írjuk külön és alakítsuk át:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Félig kész. Továbbra is be kell illeszteni a kapott kifejezést a zárójelekbe, és vissza kell bontani. Kap:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Kész!

Válasz:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

A fejben rögzítjük:

Ha az x négyzetének együtthatója nem egyenlő eggyel, akkor ezt az együtthatót zárójelből kivesszük. A zárójelben maradó trinomiálissal a szokásos algoritmus szerint dolgozunk a=1. Miután kiválasztott egy teljes négyzetet, illessze be az eredményt a helyére, és nyissa vissza a külső zárójeleket.

De mi van akkor, ha a b és c együtthatók nem oszthatók a-val? Ez a leggyakoribb és egyben a legrosszabb eset. Aztán csak töredékek, igen... Nincs mit tenni. Például:

3 x 2 +2 x-5

Minden a régi, zárójelben elküldjük a hármat, így kapjuk:

Sajnos sem kettő, sem öt nem osztható teljesen hárommal, így az új (redukált) trinom együtthatói töredékes. Hát nem nagy ügy. Közvetlen munka törtekkel: két harmada x alakul át megduplázódott x szorzata egy harmadszor add hozzá az egyharmad négyzetét (azaz 1/9), vond ki, vond ki az 5/3-ot...

Általában megérted!

Döntse el, mi van már ott. Ennek a következőnek kell lennie:

És még egy gereblye. Sok diák híresen visszaszorítja a pozitív egész számokat és a töredékes esélyeket is, de ragaszkodik a negatívokhoz. Például:

- x 2 +2 x-3

Mit kell tenni a mínusz előttx 2 ? Az összeg/különbözet ​​négyzetének képletében minden pluszra szükség van... Nem kérdés! Minden a régi. Ezt a mínuszt kivesszük zárójeleknél. Azok. mínusz egy. Mint ez:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

És minden. És a háromtagú zárójelben - ismét a recézett pályán.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Szóval mínusz:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Ez minden. Mit? Nem tudja, hogyan tegye a mínuszt a zárójelbe? Nos, ez a kérdés a hetedik osztály elemi algebrájára vonatkozik, nem a négyzetes trinomiálisokra ...

Ne feledje: dolgozzon negatív együtthatóval a semmiben sem különbözik a pozitívumokkal való munka. A negatívum kiemelése a zárójelből, majd - az összes szabály szerint.

Miért kell egy teljes négyzetet kiválasztani?

Az első hasznos dolog a parabolák gyors és hibamentes rajzolása!

Például egy ilyen feladat:

Ábrázolja a függvényt:y=- x 2 +2 x+3

Mit fogunk csinálni? Pontokra építve? Természetesen lehetséges. Kis lépések a hosszú úton. Elég unalmas és érdektelen...

Először is emlékeztetlek erre az építésnél Bármi parabolák, mindig egy standard kérdéssort adunk neki. Ketten vannak. Ugyanis:

1) Hová irányulnak a parabola ágai?

2) Hol van a csúcs?

Az ágak irányával minden világos az eredeti kifejezéstől kezdve. A fióktelepeket irányítják Lefele, mert az együttható előttx 2 - negatív. Mínusz egy. Mínusz az x-négyzet előtt mindig megfordítja a parabolát.

De a tetejének elhelyezkedésével minden nem olyan nyilvánvaló. Természetesen van egy általános képlet az abszcisszának az együtthatókon keresztül történő kiszámítására aés b.

Ezt:

De nem mindenki emlékszik erre a képletre, ó, nem mindenki... És azok 50%-a, akik még emlékeznek, hirtelen megbotlik és elrontják a banális aritmetikát (általában játékszámításkor). Kár, ugye?)

Most megtudhatja, hogyan kell megtalálni bármely parabola csúcsának koordinátáit az elmédben egy perc alatt! x és y is. Egy csapásra és minden képlet nélkül. Hogyan? Egy teljes négyzet kiválasztásával!

Tehát a kifejezésünkben a teljes négyzetet jelöljük ki. Kapunk:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Aki jól jártas Általános információ a funkciókról és jól elsajátította a témát" függvénygráf transzformációk ", könnyen rájön, hogy a kívánt parabolánkat a szokásos parabolából kapjuk y= x 2 három átalakítás segítségével. Azt:

1) Változtassa meg az ágak irányát.

Ezt a mínusz jel jelzi a szögletes zárójelek előtt ( a=-1). Ez volt y= x 2 , lett y=- x 2 .

Átalakítás: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) A parabola párhuzamos fordítása y=- x 2 X 1 egység JOBBRA.

Így keletkezik a köztes ütemterv y=-(x-1 ) 2 .

Átalakítás: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).

Miért jobbra tolódik és nem balra, bár zárójelben van egy mínusz? Ez a gráftranszformációk elmélete. Ez egy külön kérdés.

És végül,

3) Párhuzamos átvitel parabolák y=-( x -1) 2 4 egység FEL.

Így kapjuk meg a végső parabolát. y=-(x-1) 2 +4 .

Átalakítás: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)

És most megnézzük az átalakulásaink láncolatát, és arra gondolunk: Merre mozog a parabola csúcsa?y=x 2 ? A (0; 0) pontban volt, az első transzformáció után a csúcs nem mozdult sehova (a parabola egyszerűen megfordult), a második után +1-gyel x-el lejjebb, a harmadik után pedig y-vel. +4. A teljes csúcs elérte a lényeget (1; 4) . Ez az egész titok!

A kép a következő lesz:

Tulajdonképpen ez az oka annak, hogy ilyen kitartóan hívtam fel a figyelmet a számokra. més n, amelyet a teljes négyzet kiválasztása során kapunk. Nem találta ki, miért? Igen. A lényeg az, hogy a pont koordinátákkal (- m ; n ) - mindig egy parabola teteje y = a ( x + m ) 2 + n . Csak nézzük a számokat a konvertált trinomikus és az elmédben megadjuk a helyes választ, hol van a teteje. Kényelmes, nem?)

A parabolák rajzolása az első hasznos dolog. Térjünk át a másodikra.

A második hasznos dolog a másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.

Igen igen! A teljes négyzet kiválasztása sok esetben kiderül sokkal gyorsabb és hatékonyabb hagyományos módszerek az ilyen problémák megoldására. Kétség? Kérem! Íme egy feladat a számodra:

Oldja meg az egyenlőtlenséget:

x 2 +4 x+5 > 0

Tanult? Igen! Ez klasszikus négyzetes egyenlőtlenség . Minden ilyen egyenlőtlenséget a szabványos algoritmus old meg. Ehhez szükségünk van:

1) Készítsen az egyenlőtlenségből a standard forma egyenletét, oldja meg, keresse meg a gyököket!

2) Rajzolja meg az X tengelyt, és jelölje meg pontokkal az egyenlet gyökereit!

3) Sematikusan ábrázoljon egy parabolát az eredeti kifejezés szerint!

4) Határozza meg az ábrán a +/- területeket! Válassza ki a kívánt területeket az eredeti egyenlőtlenség szerint, és írja le a választ!

Valójában ez az egész folyamat bosszantó, igen...) És ráadásul nem mindig menti meg a hibáktól olyan nem szabványos helyzetekben, mint ez a példa. Először próbáljuk ki a mintát, jó?

Tehát tegyük az első pontot. Az egyenlőtlenségből egyenletet készítünk:

x 2 +4 x+5 = 0

Szabványos másodfokú egyenlet, trükkök nélkül. Mi döntünk! A diszkriminatívnak tekintjük:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Ez az! És a diszkrimináns negatív! Az egyenletnek nincs gyökere! És nincs mit rajzolni a tengelyre... Mit tegyek?

Itt egyesek arra a következtetésre juthatnak, hogy az eredeti egyenlőtlenség szintén nincsenek megoldásai.. Ez egy végzetes téveszme, igen... De a teljes négyzet kiemelésével fél perc alatt meg lehet adni a helyes választ erre az egyenlőtlenségre! Kétség? Nos, időzítheti.

Tehát a kifejezésünkben a teljes négyzetet jelöljük ki. Kapunk:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Az eredeti egyenlőtlenség így kezdett kinézni:

(x+2) 2 +1 > 0

És most anélkül, hogy bármit tovább megoldanánk vagy átalakítanánk, egyszerűen bekapcsoljuk az elemi logikát, és azt gondoljuk: ha valamilyen kifejezés négyzetére (az érték nyilván nem negatív!) adjunk hozzá még egyet, akkor milyen számra jutunk? Igen! Szigorúan pozitív!

Most nézzük az egyenlőtlenséget:

(x+2) 2 +1 > 0

A matematikai nyelv szócikkét lefordítjuk oroszra: erre az x szigorúan pozitív kifejezés szigorú lesz több nulla? Nem tippelted? Igen! Bármelyikkel!

Íme a válaszod: x tetszőleges szám.

Most térjünk vissza az algoritmushoz. Ennek ellenére a lényeg megértése és az egyszerű memorizálás két különböző dolog.)

Az algoritmus lényege, hogy a standard egyenlőtlenség bal oldaláról készítünk egy parabolát, és megnézzük, hol van az X tengely felett, hol alatta. Azok. hol a bal oldal pozitív értékei, hol negatívak.

Ha a bal oldalunkról készítünk parabolát:

y=x 2 +4 x+5

És rajzold meg a grafikonját, látni fogjuk összes egész parabola áthalad az x tengely felett. A kép így fog kinézni:

A parabola ferde, igen... Ezért sematikus. De ugyanakkor minden látható a képen, amire szükségünk van. A parabolának nincsenek metszéspontjai az X tengellyel, nincsenek nulla értékei a játéknak. És természetesen nincsenek negatív értékek sem. Ezt a teljes X-tengely árnyékolásával mutatjuk be. Egyébként az Y tengelyt és a csúcs koordinátáit jó okkal ábrázoltam itt. Hasonlítsa össze a parabola csúcskoordinátáit (-2; 1) és a transzformált kifejezésünket!

y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

És hogyan? Igen! A mi esetünkben m=2 és n=1 . Ezért a parabola csúcsának vannak koordinátái: (- m; n) = (-2; 1) . Ez mind logikus.)

Egy másik feladat:

Oldja meg az egyenletet:

x 2 +4 x+3 = 0

Egyszerű másodfokú egyenlet. Dönthet a régi módon. keresztül lehetséges. Ahogy szeretné. A matematikát nem zavarja.)

Nézzük a gyökereket: x 1 =-3 x 2 =-1

És ha ennek sem az egyik, sem a másik módja nem emlékszik? Nos, jó értelemben egy kettes ragyog neked, de... Legyen így, megmentelek! Megmutatom, hogyan lehet megoldani néhány másodfokú egyenletet csak a hetedik osztály módszereivel. Újra válassz egy teljes négyzetet!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

És most az eredményül kapott kifejezést így írjuk... négyzetek különbsége! Igen, igen, van egy a hetedik osztályban:

a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)

Öntvény a konzolok kiállnak(x+2) , és a szerepben b- egy. Kapunk:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Ezt a bővítést illesztjük be az egyenletbe a négyzetes trinom helyett:

(x+1)(x+3)=0

Azt kell kitalálni, hogy a tényezők szorzata nullával egyenlő akkor és csak akkor amikor bármelyik egyenlő nullával. Tehát (gondolatban!) minden zárójelet nullázunk.

Kapunk: x 1 =-3 x 2 =-1

Ez minden. Ugyanaz a két gyökér. Ilyen az ügyes vevő. A diszkrimináns mellett.)

Egyébként a diszkriminánsról és kb általános képlet a másodfokú egyenlet gyökerei:

A leckében kihagytam ennek a nehézkes képletnek a levezetését. A haszontalanságért. De itt a helye neki.) Szeretné tudni, hogyan kapja meg ezt a képletet? Honnan származik a diszkrimináns kifejezés, és miért pontosanb 2 -4ac, de más módon nem? Mégis, a történések lényegének teljes megértése sokkal hasznosabb, mint mindenféle betűk és szimbólumok meggondolatlan firkálása, igaz?)

A harmadik hasznos dolog a másodfokú egyenlet gyökeinek képletének levezetése.

Essünk neki! Bevesszük a négyzetes hármast Általános nézet fejsze 2 + bx+ cés… elkezdünk egy teljes négyzetet kiválasztani! Igen, igaz leveleken keresztül! Volt számtan, algebra lett.) Először szokás szerint kivesszük a betűt a a zárójelen kívül, és az összes többi együtthatót el kell osztani ezzel a:

Mint ez. Ez egy teljesen legális átalakítás: a nem egyenlő nullával, és osztható vele. És ismét zárójelekkel dolgozunk a szokásos algoritmus szerint: az x kifejezésből kettős szorzatot készítünk, hozzáadjuk / kivonjuk a második szám négyzetét ...

Minden ugyanaz, csak betűkkel.) Próbáld meg befejezni magad! Egészséges!)

Az összes átalakítás után ezt kell kapnia:

És miért kell ilyen kupacokat építenünk egy ártalmatlan trinomiálisból – kérdezed? Semmi, most érdekes lesz! És most természetesen egyenlőségjelet teszünk ehhez a dologhoz nullára:

Megoldjuk, mint egy normál egyenletet, minden szabály szerint dolgozunk, csak betűkkel. Alapfokút végzünk:

1) Mozgassa a nagyobb részt jobbra. A plusz mozgatásakor mínuszra váltunk. Annak érdekében, hogy ne húzzunk mínuszt maga a tört elé, egyszerűen megváltoztatom az összes jelet a számlálóban. A bal oldalon a számlálóban volt4ac-b 2 , és az átvitel után válik -( 4ac-b 2 ) , azaz b 2 -4 ac. Valami ismerős, nem gondolod? Igen! Megkülönböztető, ő a leginkább...) Ez így lesz:

2) Töröljük a szögletes zárójeleket az együtthatóból. Mindkét részt elosztjuk a következővel: a". Bal oldalon, a zárójelek előtt a betű a eltűnik, és a jobb oldalon bemegy egy nagy tört nevezőjébe, és azzá alakítja 4 a 2 .

Kiderült, hogy ez az egyenlőség:

Nem sikerült neked? Akkor a "" téma neked szól. Azonnal menj oda!

következő lépés kivonjuk a gyökeret. Érdekel minket az X, igaz? És az X a négyzet alatt ül... Természetesen a gyökerek kinyerésére vonatkozó szabályok szerint bontjuk ki. A kivonás után a következő történik:

A bal oldalon az összeg négyzete látható eltűnikés ez csak maga az összeg. Ami kötelező.) De a jobb oldalon megjelenik plusz minusz. Ugyanis a mi tetemes frakciónk, a félelmetes megjelenés ellenére, az csak néhány szám. Törtszám. Együttható függő a, b, c. Ugyanakkor ennek a törtnek a számlálójából a gyök nincs szépen kivonva, két kifejezés különbsége van. És itt van a nevező gyökere 4 a 2 elég kivehető! Könnyű lesz 2 a.

"Trükkös" kérdés a kitöltéshez: volt-e jogom a gyökér kivonásához a kifejezésből 4 a2, adj választ csak 2a? Végül is a kitermelési szabály négyzetgyök kötelezi a modul jelének elhelyezésére, pl.2|a| !

Gondolj bele, miért hagytam ki mégis a modul jelet. Nagyon hasznos. Tipp: a válasz a jelben rejlik plusz minusz tört előtt.)

Maradtak üres helyek. Tiszta x-et adunk a bal oldalon. Ehhez mozgassa a kis töredéket jobbra. Jelváltással a paprika tiszta. Emlékeztetlek arra, hogy a törtben lévő jel bárhol és bármilyen módon megváltoztatható. A tört előtt szeretnénk változtatni, a nevezőben, a számlálóban szeretnénk. jelet váltok a számlálóban. Ez volt + b, lett – b. Remélem, nincs kifogás?) Az átutalás után így alakul:

Összeadunk két törtet azonos nevezővel, és megkapjuk (végre!):

Jól? Mit mondhatnék? Azta!)

A negyedik hasznos dolog, hogy a tanulók vegyék tudomásul!

Most simán menjünk iskolából egyetemre. Nem fogod elhinni, de a teljes négyzet kiválasztása a felsőbb matematikában is szükséges!

Például egy ilyen feladat:

Keresse meg a határozatlan integrált:

Hol kezdjem? A közvetlen alkalmazás nem gördül. Csak egy teljes négyzet kiválasztása ment, igen...)

Azok, akik nem tudják, hogyan válasszanak ki egy teljes négyzetet, örökké ragaszkodnak ehhez az egyszerű példához. És ki tudja hogyan, kiosztja és megkapja:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

És most az integrált (tudóknak) eggyel kell venni!

Ez nagyszerű, igaz? És ez nem csak integrál! Az analitikus geometriáról már hallgatok, azzal együtt másodrendű görbék – ellipszis, hiperbola, parabola és kör.

Például:

Határozza meg a görbe típusát, egyenlet adja meg:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

A teljes négyzet kiválasztásának képessége nélkül a feladat nem megoldható, igen ... De a példa nem is lehetne egyszerűbb! A hozzáértőknek természetesen.

Az x-szel és y-vel rendelkező kifejezéseket halomba csoportosítjuk, és minden változóhoz teljes négyzeteket választunk. Kap:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Szóval hogy is van ez? Megtudtad, milyen állat?) Hát persze! Három sugarú kör, amelynek középpontja a (3; 4) pontban van.

És ez minden.) Hasznos dolog egy teljes négyzet kiválasztása!)

Mint már megjegyeztem, az integrálszámításban nincs kényelmes képlet a tört integrálására. Ezért van egy szomorú tendencia: minél „divatosabb” a tört, annál nehezebb megtalálni belőle az integrált. Ebben a tekintetben különféle trükkökhöz kell folyamodni, amelyekről most kitérek. A felkészült olvasók azonnal használhatják Tartalomjegyzék:

• Az egyszerű törtek differenciáljele alá történő összesítés módja

Számláló mesterséges transzformációs módszer

1. példa

A figyelembe vett integrál egyébként a változó metódusváltásával is megoldható, jelölve, de a megoldás sokkal hosszabb lesz.

2. példa

megtalálja határozatlan integrál. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa. Megjegyzendő, hogy itt a változócsere módszer már nem működik.

Figyelem fontos! Az 1. és 2. számú példa tipikus és gyakori. Ilyen integrálok különösen gyakran merülnek fel más integrálok megoldása során, különösen irracionális függvények (gyökök) integrálásakor.

A fenti módszer abban az esetben is működik ha a számláló legnagyobb hatványa nagyobb, mint a nevező legnagyobb hatványa.

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

Kezdjük a számlálóval.

A számláló kiválasztási algoritmusa valahogy így néz ki:

1) A számlálóban rendeznem kell , de ott . Mit kell tenni? Zárójelbe teszem és megszorzom: .

2) Most megpróbálom kinyitni ezeket a zárójeleket, mi történik? . Hmm... már jobb, de a számlálóban kezdetben nincs kettős. Mit kell tenni? Meg kell szorozni a következővel:

3) A zárójelek ismételt kinyitása: . És itt az első siker! Szükséges kiderült! De a probléma az, hogy megjelent egy extra kifejezés. Mit kell tenni? Annak érdekében, hogy a kifejezés ne változzon, ugyanezt hozzá kell adnom a konstrukciómhoz:
. Az élet könnyebb lett. Lehetséges-e újra rendezni a számlálóban?

4) Megteheti. Próbáljuk: . Bontsa ki a második tag zárójelét:
. Elnézést, de igazából az előző lépésben volt, és nem . Mit kell tenni? A második tagot meg kell szoroznunk a következővel:

5) Az ellenőrzés érdekében ismét megnyitom a zárójeleket a második kifejezésben:
. Most már normális: a 3. bekezdés végső felépítéséből származik! De ismét van egy kis „de”, megjelent egy extra kifejezés, ami azt jelenti, hogy hozzá kell tennem a kifejezésemhez:

Ha mindent jól csináltunk, akkor az összes zárójelet megnyitva az integrandus eredeti számlálóját kell kapnunk. Ellenőrizzük:
Jó.

Ilyen módon:

Kész. Az utolsó félévben azt a módszert alkalmaztam, hogy a függvényt a differenciál alá vontam.

Ha megtaláljuk a válasz deriváltját és a kifejezést közös nevezőre hozzuk, akkor pontosan az eredeti integrandust kapjuk. Az összeggé való bővítés megfontolt módszere nem más, mint a fordított művelet, amellyel a kifejezést közös nevezőre hozzuk.

Az ilyen példákban a számlálóválasztási algoritmust a legjobban vázlaton lehet végrehajtani. Bizonyos készségek birtokában mentálisan is működni fog. Emlékszem egy rekordidőre, amikor kiválasztottam a 11. hatványt, és a számláló kibővítése majdnem két sornyi Werdet vett igénybe.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa.

Az egyszerű törtek differenciáljele alá történő összesítés módja

Térjünk át a következő típusú törtekre.
, , , (a és az együtthatók nem egyenlők nullával).

Sőt, néhány arcszinuszos és arctangenses eset már becsúszott a leckében Változómódosítási módszer határozatlan integrálban. Az ilyen példákat úgy oldjuk meg, hogy a függvényt a differenciál jele alá hozzuk, majd a táblázat segítségével integráljuk. Íme néhány tipikusabb példa hosszú és magas logaritmussal:

5. példa

6. példa

Itt célszerű elővenni egy integráltáblázatot és követni, hogy milyen képleteket ill hogyanátalakulás történik. Jegyzet, Hogyan és miért négyzetek vannak kiemelve ezekben a példákban. Különösen a 6. példában először a nevezőt kell ábrázolnunk , majd hozd a differenciál jele alá. És mindezt meg kell tennie a szabványos táblázatos képlet használatához .

De mit nézzünk meg, próbálja meg egyedül megoldani a 7,8-as példákat, különösen, mivel ezek meglehetősen rövidek:

7. példa

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ha ezeket a példákat is ellenőrizni tudja, akkor nagy tisztelet az Ön megkülönböztető képessége a javából.

Teljes négyzet kiválasztási módszer

Az űrlap integráljai, (együtthatók és nem egyenlők nullával) megoldódnak teljes négyzetes kiválasztási módszer, amely már megjelent a leckében Geometriai diagram transzformációk.

Valójában az ilyen integrálok az imént megvizsgált négy táblaintegrál egyikére redukálódnak. És ezt az ismert rövidített szorzási képletekkel érik el:

A képleteket ebben az irányban alkalmazzák, vagyis a módszer ötlete az, hogy a kifejezéseket mesterségesen rendezi vagy a nevezőben, majd átalakítja őket vagy -ra.

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

azt a legegyszerűbb példa, ahol a - egységegyüttható kifejezéssel(és nem valami szám vagy mínusz).

Nézzük a nevezőt, itt egyértelműen az esetre redukálódik az egész. Kezdjük a nevező konvertálását:

Nyilvánvalóan hozzá kell adni 4-et. És hogy a kifejezés ne változzon - ugyanazt a négyet és ki kell vonni:

Most alkalmazhatja a következő képletet:

Az átalakítás befejezése után MINDIG kívánatos a fordított mozgás végrehajtása: minden rendben van, nincs hiba.

A szóban forgó példa letisztult kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Kész. Egy "szabad" komplex függvényt a differenciáljel alá vinni: , elvileg elhanyagolható

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy példa az önálló megoldásra, a válasz a lecke végén található.

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Mi a teendő, ha mínusz van előtte? Ebben az esetben ki kell venni a mínuszt a zárójelekből, és a feltételeket a szükséges sorrendbe kell rendezni:. Állandó("dupla" be ez az eset) ne érintse!

Most zárójelben teszünk egyet. A kifejezést elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy szükségünk van egyre a zárójel mögé - tegyük hozzá:

Íme a képlet, alkalmazd:

MINDIG ellenőrizzük a tervezetet:
, amelyet ellenőrizni kellett.

A példa tiszta kialakítása így néz ki:

Bonyolítjuk a feladatot

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Itt a kifejezéssel már nem egyetlen együttható, hanem „ötös”.

(1) Ha egy állandó található a helyen, akkor azonnal kivesszük a zárójelből.

(2) Általában mindig jobb ezt az állandót kivenni az integrálból, hogy ne akadályozza.

(3) Nyilvánvaló, hogy mindent a képletre redukálunk. Meg kell érteni a kifejezést, nevezetesen, hogy kapjunk egy „kettőt”

(4) Igen, . Tehát hozzáadjuk a kifejezéshez, és kivonjuk ugyanazt a törtet.

(5) Most válasszon egy teljes négyzetet. Általános esetben ki kell számítani is, de itt van egy hosszú logaritmus képlet , és a műveletnek nincs értelme végrehajtani, miért - ez egy kicsit lejjebb fog kiderülni.

(6) Valójában alkalmazhatjuk a képletet , csak az "x" helyett van, ami nem tagadja a táblázatos integrál érvényességét. Szigorúan véve egy lépés hiányzik - az integráció előtt a függvényt differenciáljel alá kellett volna vinni: , de, mint már többször megjegyeztem, ezt gyakran figyelmen kívül hagyják.

(7) A gyökér alatti válaszban kívánatos az összes zárójelet visszanyitni:

Nehéz? Nem ez a legnehezebb az integrálszámításban. Bár a vizsgált példák nem annyira bonyolultak, mint inkább jó számítási technikát igényelnek.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy „csináld magad” példa. Válaszoljon a lecke végén.

A nevezőben gyökös integrálok vannak, amelyek egy csere segítségével a figyelembe vett típusú integrálokká redukálódnak, ezekről a cikkben olvashat Komplex integrálok, de jól felkészült diákok számára készült.

A számlálót a differenciál jele alá hozzuk

Ez a lecke utolsó része, azonban az ilyen típusú integrálok meglehetősen gyakoriak! Ha felgyülemlett a fáradtság, talán jobb holnap olvasni? ;)

Az általunk figyelembe vett integrálok hasonlóak az előző bekezdés integráljaihoz, formájuk: vagy (a , és együtthatók nem egyenlők nullával).

Vagyis a nálunk lévő számlálóban lineáris függvény. Hogyan lehet megoldani az ilyen integrálokat?

Meghatározás

Az olyan kifejezéseket, mint a 2 x 2 + 3 x + 5, négyzetes trinomiálisnak nevezzük. Általános esetben a négyzetes trinom az a x 2 + b x + c alakú kifejezés, ahol a, b, c a, b, c tetszőleges számok, és a ≠ 0.

Tekintsük az x 2 - 4 x + 5 négyzetháromtagot. Írjuk fel a következő formában: x 2 - 2 2 x + 5. Adjunk hozzá 2 2-t ehhez a kifejezéshez, és vonjunk ki 2 2-t, így kapjuk: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Vegye figyelembe, hogy x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, tehát x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Az általunk végrehajtott átalakítást ún "teljes négyzet kiválasztása négyzetes trinomiálisból".

Válassza ki a tökéletes négyzetet a 9 x 2 + 3 x + 1 négyzetháromtagból.

Ne feledje, hogy 9 x 2 = (3 x) 2, "3x=2*1/2*3x". Ezután `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Adjuk hozzá és vonjuk ki a kapott `(1/2)^2` kifejezést, megkapjuk

"((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4".

Mutassuk meg, hogyan használható a négyzetes trinomból a teljes négyzet kinyerésének módszere a négyzetes trinom faktorizálására.

Tényező a négyzet trinomit 4 x 2 - 12 x + 5 .

Kiválasztjuk a teljes négyzetet a négyzetháromtagból: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Most alkalmazzuk az a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) képletet, így kapjuk: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Tényezd ki a négyzet trinomit - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Most vegyük észre, hogy 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .

Hozzáadjuk a 2 2 kifejezést a 9 x 2 - 12 x kifejezéshez, így kapjuk:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 3 x - 2 2 .

Alkalmazzuk a négyzetek különbségének képletét:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Tényező a négyzet trinomit 3 x 2 - 14 x - 5 .

A 3 x 2 kifejezést nem tudjuk valamilyen kifejezés négyzeteként ábrázolni, mert ezt még nem tanultuk meg az iskolában. Ezen a későbbiekben fogsz átmenni, és már a 4. feladatban is tanulmányozzuk négyzetgyök. Mutassuk meg, hogyan szorozhatunk egy adott négyzetháromtagot:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Megmutatjuk, hogyan lehet a teljes négyzet módszert használni egy négyzetes trinom legnagyobb vagy legkisebb értékének meghatározására.
Tekintsük az x 2 - x + 3 négyzetháromságot. Teljes négyzet kiválasztása:

"(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4". Vegye figyelembe, hogy ha "x=1/2", a négyzetes trinomiális értéke "11/4", ha pedig "x!=1/2", akkor a "11/4" értéke hozzáadódik pozitív szám, így `11/4-nél nagyobb számot kapunk. Ily módon legkisebb érték A négyzetes trinom értéke '11/4', és az 'x=1/2' értékkel adódik.

Határozzuk meg a - 16 2 + 8 x + 6 négyzetháromtag legnagyobb értékét!

Kiválasztjuk a teljes négyzetet a négyzetháromtagból: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

`x=1/4` esetén a négyzetes trinom értéke 7 , `x!=1/4` esetén pedig egy pozitív számot kivonunk a 7-ből, azaz 7-nél kisebb számot kapunk. Tehát a 7-es szám legmagasabb érték négyzetes trinomiális, és ezt az "x=1/4" értékkel kapjuk meg.

Tényezősítse az "(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)" számlálót és nevezőt, és törölje a törtet.

Figyeljük meg, hogy az x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 tört nevezője. A tört számlálóját tényezőkre bontjuk a négyzetháromtagból a teljes négyzet kinyerésének módszerével. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ezt a törtet `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` alakra redukáltuk, miután (x - 3)-mal redukáltuk, `(x+5)/(x-3) )".

Tényező a polinom x 4 - 13 x 2 + 36.

Alkalmazzuk a teljes négyzetes módszert erre a polinomra. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`