- (Matek.) Az y \u003d f (x) függvény akkor is meghívásra kerül, ha nem változik, amikor a független változó csak előjelet változtat, vagyis ha f (x) \u003d f (x). Ha f (x) = f (x), akkor az f (x) függvényt páratlannak nevezzük. Például y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

Az F(x) = x egy példa egy páratlan függvényre. Az f(x) = x2 egy példa egy páros függvényre. f(x) = x3 ... Wikipédia

Függvény, amely kielégíti az f (x) = f (x) egyenlőséget. Lásd a páros és páratlan függvényeket... Nagy szovjet enciklopédia

Az F(x) = x egy példa egy páratlan függvényre. Az f(x) = x2 egy példa egy páros függvényre. f(x) = x3 ... Wikipédia

Az F(x) = x egy példa egy páratlan függvényre. Az f(x) = x2 egy példa egy páros függvényre. f(x) = x3 ... Wikipédia

Az F(x) = x egy példa egy páratlan függvényre. Az f(x) = x2 egy példa egy páros függvényre. f(x) = x3 ... Wikipédia

Az F(x) = x egy példa egy páratlan függvényre. Az f(x) = x2 egy példa egy páros függvényre. f(x) = x3 ... Wikipédia

Speciális függvények, amelyeket E. Mathieu francia matematikus vezetett be 1868-ban az elliptikus membrán rezgésével kapcsolatos feladatok megoldása során. M. f. az eloszlás tanulmányozásában is használatosak elektromágneses hullámok elliptikus hengerben... Nagy szovjet enciklopédia

A „bűn” kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. A "sec" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. "Sine" átirányít ide; lásd még más jelentések ... Wikipédia

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg a páros vagy páratlan függvényeket

1)
; 2)
; 3)
.

Megoldás.

1) A függvény definíciója a
. Találjuk ki
.

Azok.
. Eszközök, adott funkciót egyenlő.

2) A függvény definiálva van

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. számára

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük általános függvénynek.

3. Egy függvény vizsgálata monotonitásra.

Funkció
növekedésnek (csökkenőnek) nevezzük bizonyos intervallumon, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Az egyes intervallumokon növekvő (csökkenő) funkciókat monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ebben az intervallumban.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Megoldás.

1) Ez a függvény a teljes számtengelyen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált nulla, ha
és
. Meghatározási tartomány - numerikus tengely, pontokkal osztva
,
intervallumokhoz. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a négyzetháromság előjelét.

Így a funkció hatóköre

Keressük a származékot
,
, ha
, azaz
, de
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény az intervallumon növekszik
.

4. Egy extrémum függvényének vizsgálata.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke hogy mindenkinek
ez a környék kielégíti az egyenlőtlenséget

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőpontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Azokat a pontokat, ahol a derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik, kritikusnak nevezzük.

5. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez.

1. szabály. Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet "+"-ról "-"-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha "-"-től "+"-ig, akkor a minimum; ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály. Hadd a ponton
a függvény első deriváltja
nulla
, és a második derivált létezik, és nem nulla. Ha egy
, akkor a maximum pont, ha
, akkor a függvény minimumpontja.

Példa 6.4 . Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Megoldás.

1) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.innen
kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
és
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
a minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
deriváltja megváltoztatja az előjelet "+"-ról "-"-ra, tehát
a maximális pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldásával
, megtalálja
és
kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
a harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontokon
és
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, tehát nem extrémum t. Tehát vizsgáljuk meg a kritikus pontokat
és
.

4) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
. A 2. szabályt használjuk. Keresse meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második származékot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

A pontokon
funkciónak van minimuma.

A pontokon
funkciónak van maximuma.

Az y változó függését az x változótól, amelyben x minden egyes értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelölés y=f(x). Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Tekintsük részletesebben a paritás tulajdonságot.

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény értékének a függvény hatókörébe tartozó x pontban meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a függvény tartományából az alábbi f (x) \u003d f (-x) egyenlőségnek igaznak kell lennie.

Páros függvény grafikonja

Ha egy páros függvény grafikonját készítjük, az szimmetrikus lesz az y tengelyre.

Például az y=x^2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=3-at. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Ezért f(x) = f(-x). Így számunkra mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y=x^2 függvény grafikonja látható.

Az ábrán látható, hogy a grafikon szimmetrikus az y tengelyre.

Egy páratlan függvény grafikonja

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Az adott függvény tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is az adott függvény tartományába kell tartoznia.

2. A függvény tartományából származó bármely x pontra teljesülnie kell az alábbi f (x) \u003d -f (x) egyenlőségnek.

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - az origóhoz. Például az y=x^3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=2-t. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Ezért f(x) = -f(x). Így számunkra mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y=x^3 függvény grafikonja látható.

Az ábrán jól látható, hogy az y=x^3 páratlan függvény szimmetrikus az origóhoz képest.

Meghatározás 1. A függvényt hívjuk még (páratlan ) ha a változó minden értékével együtt
jelentése - x is tartozik
és az egyenlőség

Így egy függvény csak akkor lehet páros vagy páratlan, ha definíciós tartománya szimmetrikus a valós egyenes origójához képest (számok xés - x egyszerre tartoznak
). Például a függvény
se nem páros, se nem páratlan, mivel a definíciós tartománya
nem szimmetrikus az eredetre.

Funkció
sőt, mert
szimmetrikus a koordináták origójára és.

Funkció
furcsa, mert
és
.

Funkció
se nem páros, se nem páratlan, hiszen bár
és szimmetrikus az origóhoz képest, a (11.1) egyenlőség nem teljesül. Például,.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre OU, hiszen ha a lényeg

szintén a grafikonhoz tartozik. Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra, mert ha
a gráfhoz tartozik, majd a ponthoz
szintén a grafikonhoz tartozik.

Egy függvény páros vagy páratlan bizonyításához a következő állítások hasznosak.

Tétel 1. a) Két páros (páratlan) függvény összege páros (páratlan) függvény.

b) Két páros (páratlan) függvény szorzata páros függvény.

c) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan függvény.

d) Ha f páros funkció a készüléken x, és a funkció g a készleten meghatározott
, majd a függvény
- még.

e) Ha f egy páratlan funkció a készüléken x, és a funkció g a készleten meghatározott
és páros (páratlan), akkor a függvény
- Páros Páratlan).

Bizonyíték. Bizonyítsuk be például a b) és d) pontokat.

b) Legyen
és
páros függvények. Akkor tehát. Hasonlóan értelmezzük a páratlan függvények esetét is
és
.

d) Hagyjuk f páros függvény. Akkor.

A tétel többi állítása is hasonlóképpen bizonyított. A tétel bizonyítást nyert.

Tétel 2. Bármilyen funkció
, meghatározva a készleten x, amely szimmetrikus az origóhoz képest, egy páros és egy páratlan függvény összegeként ábrázolható.

Bizonyíték. Funkció
formába írható

.

Funkció
egyenletes, hiszen
, és a funkció
furcsa, mert. Ily módon
, ahol
- még, és
egy páratlan függvény. A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás 2. Funkció
hívott időszakos ha van szám
, olyan, hogy bármely
számok
és
szintén a definíció tartományába tartoznak
és az egyenlőségeket

Ilyen szám T hívott időszak funkciókat
.

Az 1. definíció azt jelenti, hogy ha T– működési időszak
, majd a szám T is a függvény periódusa
(mert cserekor T a - T az egyenlőség megmarad). A matematikai indukció módszerével kimutatható, hogy ha T– működési időszak f, majd és
, szintén egy időszak. Ebből következik, hogy ha egy függvénynek van periódusa, akkor végtelen sok periódusa van.

Meghatározás 3. Egy függvény pozitív periódusai közül a legkisebbet nevezzük függvényének fő- időszak.

Tétel 3. Ha T a funkció fő időszaka f, akkor a fennmaradó időszakok ennek többszörösei.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis hogy van egy időszak funkciókat f (>0), nem többszörös T. Aztán felosztás a T a maradékkal azt kapjuk
, ahol
. Ezért

vagyis – működési időszak f, és
, ami ellentmond annak, hogy T a funkció fő időszaka f. A kapott ellentmondásból következik a tétel állítása. A tétel bizonyítást nyert.

Köztudott, hogy a trigonometrikus függvények periodikusak. Fő időszak
és
egyenlő
,
és
. Keresse meg a függvény periódusát!
. Hadd
ennek a függvénynek az időszaka. Akkor

(mert
.

ororor
.

Jelentése T, az első egyenlőségből meghatározott, nem lehet időszak, hiszen attól függ x, azaz függvénye x, nem állandó szám. Az időszakot a második egyenlőség határozza meg:
. Végtelenül sok időszak van
a legkisebb pozitív periódust akkor kapjuk, amikor
:
. Ez a funkció fő időszaka
.

Egy bonyolultabb periodikus függvényre példa a Dirichlet-függvény

Vegye figyelembe, hogy ha T akkor egy racionális szám
és
racionális számok a racionális alatt vannak xés irracionális, ha irracionális x. Ezért

bármilyen racionális számra T. Ezért bármilyen racionális szám T a Dirichlet-függvény periódusa. Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek nincs főperiódusa, mivel vannak pozitív racionális számok tetszőlegesen közel nullához (például racionális számok készíthetők a n tetszőlegesen közel nullához).

Tétel 4. Ha függvény f állítsa be a forgatáson xés van egy időszaka T, és a funkció g állítsa be a forgatáson
, majd a komplex függvény
időszaka is van T.

Bizonyíték. Ezért van

vagyis a tétel állítása bebizonyosodott.

Például azóta kötözősaláta x időszaka van
, majd a funkciókat
van egy időszaka
.

Meghatározás 4. A nem periodikus függvényeket hívjuk nem időszakos .

Megjelenítés elrejtése

A funkció beállításának módjai

Adjuk meg a függvényt a következő képlettel: y=2x^(2)-3 . Ha bármilyen értéket rendel az x független változóhoz, ezzel a képlettel kiszámíthatja az y függő változó megfelelő értékeit. Például, ha x=-0,5 , akkor a képlet segítségével azt kapjuk, hogy y megfelelő értéke y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Az y=2x^(2)-3 képletben az x argumentum által felvett bármely érték esetén csak egy függvényérték számítható ki, amely megfelel ennek. A függvény táblázatként ábrázolható:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

A táblázat segítségével kitalálhatja, hogy a -1 argumentum értékéhez a -3 függvény értéke fog megfelelni; és az x=2 érték y=0-nak felel meg, és így tovább. Azt is fontos tudni, hogy a táblázatban minden argumentumérték csak egy függvényértéknek felel meg.

Grafikonok segítségével több függvény is beállítható. A gráf segítségével megállapítható, hogy a függvény melyik értéke korrelál egy adott x értékkel. Leggyakrabban ez a függvény hozzávetőleges értéke.

Páros és páratlan függvény

A funkció az páros funkció, amikor f(-x)=f(x) bármely x esetén a tartományból. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

A funkció az páratlan függvény amikor f(-x)=-f(x) bármely x esetén a tartományban. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az O (0;0) origóra.

A funkció az nem is, sem páratlanés felhívott funkció Általános nézet amikor nincs szimmetriája a tengely vagy az origó körül.

A következő paritásfüggvényt vizsgáljuk:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) szimmetrikus definíciós tartománnyal az origóról. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ezért az f(x)=3x^(3)-7x^(7) függvény páratlan.

Periodikus funkció

Az y=f(x) függvényt, amelynek tartományában f(x+T)=f(x-T)=f(x) igaz bármely x-re, az ún. periodikus függvény T \neq 0 periódussal.

A függvény grafikonjának megismétlése az abszcissza tengely bármely szakaszán, amelynek T hosszúsága van.

Azok az intervallumok, ahol a függvény pozitív, azaz f (x) > 0 - az abszcissza tengely szakaszai, amelyek megfelelnek a függvény grafikonjának az abszcissza tengelye feletti pontjainak.

f(x) > 0 be (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Rések, ahol a függvény negatív, azaz f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funkció korlátozás

alulról határolt szokás hívni egy y=f(x), x \in X függvényt, ha létezik olyan A szám, amelyre az f(x) \geq A egyenlőtlenség fennáll bármely x \in X esetén.

Példa egy lent korlátos függvényre: y=\sqrt(1+x^(2)), mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bármely x esetén.

felülről határolt egy y=f(x), x \in X függvényt akkor hívjuk meg, ha létezik olyan B szám, amelyre az f(x) \neq B egyenlőtlenség teljesül bármely x \in X esetén.

Példa az alábbiakban behatárolt függvényre: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bármely x \in [-1;1] esetén.

Korlátozott szokás hívni egy y=f(x), x \in X függvényt, ha létezik olyan K > 0 szám, amelyre a \left | f(x) \jobbra | \neq K bármely x \az X-ben.

Példa korlátozott funkció: y=\sin x az egész számegyenesen korlátozott, mert \bal | \sin x \jobbra | \neq 1.

Növekvő és csökkentő funkció

Olyan függvényről szokás beszélni, amely a vizsgált intervallumon növekszik as funkció növelése amikor x nagyobb értéke az y=f(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Innen kiderül, hogy a figyelembe vett intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , akkor y(x_(1)) lesz. > y(x_(2)) .

A vizsgált intervallumon csökkenő függvényt nevezzük csökkenő funkció amikor x nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Innen kiderül, hogy a figyelembe vett intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , akkor y(x_(1)) lesz.< y(x_{2}) .

Funkciógyökerek szokás megnevezni azokat a pontokat, amelyekben az F=y(x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x)=0 egyenlet megoldása eredményeként kapjuk meg).

a) Ha egy páros függvény x > 0 esetén nő, akkor x esetén csökken< 0

b) Ha egy páros függvény csökken x > 0 esetén, akkor x esetén nő< 0

c) Ha egy páratlan függvény növekszik x > 0 esetén, akkor x esetén is nő< 0

d) Ha egy páratlan függvény x > 0 esetén csökken, akkor x esetén is csökken< 0

A funkció szélsőségei

Funkció minimum pontja y=f(x) szokás hívni egy olyan pontot x=x_(0) , amelyben a szomszédságában más pontok lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), majd az f(x) egyenlőtlenséget > f (x_(0)) . y_(min) - a függvény kijelölése a pontban min.

Funkció maximum pontja y=f(x) szokás hívni egy olyan pontot x=x_(0) , amelyben a szomszédságában más pontok lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), majd az f(x) egyenlőtlenséget elégedett lesz velük< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Szükséges állapot

Fermat tétele szerint: f"(x)=0, akkor amikor az x_(0) pontban differenciálható f(x) függvény, akkor ebben a pontban extrémum jelenik meg.

Elegendő állapot

1. Amikor a derivált előjele pluszról mínuszra változik, akkor x_(0) lesz a minimumpont;
2. x_(0) - csak akkor lesz maximális pont, ha a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, amikor áthalad az x_(0) stacionárius ponton.

A függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumon

A számítás lépései:

1. Az f derivált keresése"(x) ;
2. Megkeressük a függvény stacionárius és kritikus pontjait, és kiválasztjuk az intervallumhoz tartozókat;
3. Az f(x) függvény értékei a szakasz stacionárius és kritikus pontjain és végein találhatók. Az eredmények közül a legkisebb lesz a függvény legkisebb értéke, és több - legnagyobb.