Írja be azt a függvényt, amelyhez az integrált meg szeretné keresni

A számológép a határozott integrálok RÉSZLETES megoldását nyújtja.

Ez a számológép megoldja az f(x) függvény határozott integrálját a megadott felső és alsó határértékekkel.

Példák

A fokozat használatával
(négyzet és kocka) és törtek

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Négyzetgyök

Sqrt(x)/(x + 1)

köbgyök

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Szinusz és koszinusz használata

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Ív koszinusz

x*arccos(x)

A logaritmus alkalmazása

X*log(x, 10)

természetes logaritmus

Kiállító

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Irracionális törtek

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Ív érintő

X*arсctg(x)

Hiberbolikus szinusz és koszinusz

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolikus érintő és kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolikus arcszinusz és arkoszinusz

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolikus arctangens és arckotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Kifejezések és függvények bevitelének szabályai

A kifejezések függvényekből állhatnak (a jelöléseket ábécé sorrendben adjuk meg): abszolút (x) Abszolút érték x
(modul x vagy |x|) arccos(x) Funkció - ív koszinusza x arccosh(x)Ív koszinusz hiperbolikus innen x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic from x arctg(x) Funkció - ív érintő x arctgh(x) Az arctangens hiperbolikus -ból x e e egy szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel exp(x) Függvény - kitevő x(ami e^x) log(x) vagy log(x) természetes logaritmusa x
(Megszerezni log7(x), be kell írnia a log(x)/log(7) parancsot (vagy például a for log10(x)=log(x)/log(10)) pi A szám "Pi", ami körülbelül 3,14 bűn(x) Funkció - Sine of x cos(x) Funkció - koszinusza x sinh(x) Funkció - Hiperbolikus szinusz x készpénz(x) Funkció - Hiperbolikus koszinusza x sqrt(x) A függvény négyzetgyöke x sqr(x) vagy x^2 Funkció - Négyzet x tg(x) Funkció – Érintő innen x tgh(x) Funkció - Hiperbolikus tangense x cbrt(x) A függvény a kockagyöke x

A következő műveleteket használhatja kifejezésekben: Valós számokírja be az űrlapba 7.5 , nem 7,5 2*x- szorzás 3/x- osztály x^3- hatványozás x + 7- kiegészítés x - 6- kivonás
Más funkciók: emelet (x) Funkció - kerekítés x le (példa padló(4,5)==4,0) mennyezet (x) Funkció - kerekítés x felfelé (például mennyezet (4,5)==5,0) jel (x) Funkció - Jel x erf(x) Hibafüggvény (vagy valószínűségi integrál) lapla(x) Laplace függvény

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!.

Megoldás.

Megkeressük az adott egyenesek metszéspontjait. Ehhez megoldjuk az egyenletrendszert:

Az adott egyenesek metszéspontjainak abszcisszáinak megtalálásához az egyenletet oldjuk meg:

Találunk: x 1 = -2, x 2 = 4.

Tehát ezek az egyenesek, amelyek egy parabola és egy egyenes, pontokban metszik egymást A(-2; 0), B(4; 6).

Ezek a vonalak egy zárt ábrát alkotnak, amelynek területét a fenti képlettel számítjuk ki:

A Newton-Leibniz képlet szerint a következőket kapjuk:

Keresse meg egy ellipszis által határolt terület területét.

Megoldás.

Az I kvadráns ellipszis egyenletéből kapjuk. Innen a képlet szerint azt kapjuk

Alkalmazzuk a helyettesítést x = a bűn t, dx = a kötözősaláta t dt. Az integráció új korlátai t = α és t = β a 0 = egyenletekből határozzuk meg a bűn t, a = a bűn t. Feltehető α = 0 és β = π /2.

A szükséges terület negyedét megtaláljuk

Innen S = pab.

Keresse meg egy alakzat vonallal határolt területéty = - x 2 + x + 4 ésy = - x + 1.

Megoldás.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjait! y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, az egyenesek ordinátáinak egyenlítése: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 vagy x 2 - 2x- 3 = 0. Keresse meg a gyökereket x 1 = -1, x 2 = 3 és a hozzájuk tartozó ordináták y 1 = 2, y 2 = -2.

Az ábra területi képletével azt kapjuk

Keresse meg a parabola által bezárt területet!y = x 2 + 1 és közvetlenx + y = 3.

Megoldás.

Az egyenletrendszer megoldása

keresse meg a metszéspontok abszcisszáit x 1 = -2 és x 2 = 1.

Feltételezve y 2 = 3 - xés y 1 = x 2 + 1, a kapott képlet alapján

Számítsa ki a Bernoulli-lemniszkátuson belüli területet!r 2 = a 2 kötözősaláta 2 φ .

Megoldás.

A poláris koordináta-rendszerben az ábra területe, amelyet a görbe íve határol r = f(φ ) és két poláris sugár φ 1 = ʅ és φ 2 = ʆ , az integrál fejezi ki

A görbe szimmetriája miatt először meghatározzuk a kívánt terület egynegyedét

Ezért a teljes terület S = a 2 .

Számítsa ki egy astroid ívhosszát!x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Megoldás.

Az astroid egyenletét a formába írjuk

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Tegyük fel x 1/3 = a 1/3 költség t, y 1/3 = a 1/3 bűn t.

Innen megkapjuk az astroid paraméteres egyenleteit

x = a cos 3 t, y = a bűn 3 t, (*)

ahol 0 ≤ t ≤ 2π .

Tekintettel a görbe szimmetriájára (*), elegendő az ívhossz egynegyedét megtalálni L a paraméterváltozásnak megfelelően t 0-tól π /2.

Kapunk

dx = -3a cos 2 t bűn t dt, dy = 3a bűn 2 t kötözősaláta t dt.

Innen találjuk

Az eredményül kapott kifejezés integrálása a 0 és a tartományba π /2, kapjuk

Innen L = 6a.

Keresse meg az Arkhimédész spirálja által határolt területetr = aφ és két sugárvektor, amelyek poláris szögeknek felelnek megφ 1 ésφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Megoldás.

Görbével határolt terület r = f(φ ) képlettel számítható ki, ahol α és β - a polárszög változásának határai.

Így kapunk

(*)

A (*)-ból az következik, hogy a sarki tengely és az Archimedes-spirál első fordulója által határolt terület ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Hasonlóképpen megtaláljuk az Arkhimédész spirál sarki tengelye és második fordulata által határolt területet ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

A szükséges terület egyenlő ezen területek különbségével

Számítsa ki a tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát!Ökör parabolákkal határolt ábray = x 2 ésx = y 2 .

Megoldás.

Oldjuk meg az egyenletrendszert

és kap x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, innen a görbék metszéspontjai O(0; 0), B(tizenegy). Amint az ábrán látható, a forgástest kívánt térfogata megegyezik a tengely körüli elforgatással képzett két térfogat különbségével. Ökör görbe vonalú trapézok OCBAés ODBA:

Számítsa ki a tengely által határolt területet!Ökör és szinuszosy = bűnx szegmenseken: a); b) .

Megoldás.

a) A szakaszon a sin függvény x megőrzi a jelet, és ezért a képlet szerint, feltételezve y= bűn x, találunk

b) A szakaszon a sin függvény x jelét változtatja. A probléma helyes megoldásához a szegmenst két részre kell osztani és [ π , 2π ], amelyek mindegyikében a függvény megtartja előjelét.

A jelek szabálya szerint a szakaszon [ π , 2π ] területet mínuszjellel veszik.

Ennek eredményeként a kívánt terület egyenlő

Határozza meg az ellipszis forgásából kapott felület által határolt test térfogatát!a nagy tengely körüla .

Megoldás.

Tekintettel arra, hogy az ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, elegendő megtalálni a tengely körüli elforgatással képzett térfogatot Ökör terület OAB, egyenlő az ellipszis területének egynegyedével, és megduplázza az eredményt.

Jelöljük az átmenő forgástest térfogatát V x; akkor a képlet alapján van , ahol 0 és a- pontok abszcisszái Bés A. Az ellipszis egyenletéből azt kapjuk, hogy . Innen

Így a szükséges térfogat egyenlő . (Ha az ellipszis a melléktengely körül forog b, a test térfogata )

Keresse meg a parabolákkal határolt területet!y 2 = 2 px ésx 2 = 2 py .

Megoldás.

Először keressük meg a parabolák metszéspontjainak koordinátáit, hogy meghatározzuk az integrációs intervallumot. Az eredeti egyenleteket átalakítva megkapjuk és . Ezeket az értékeket egyenlővé téve azt kapjuk, hogy ill x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Megtaláljuk az egyenletek gyökereit:

Figyelembe véve azt a tényt, hogy a lényeg A a parabolák metszéspontja az első negyedben van, majd az integráció határai x= 0 és x = 2p.

A kívánt területet a képlet találja meg

Példa1 . Számítsd ki az ábra vonallal határolt területét: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 és x = 2

Építsünk egy ábrát (lásd az ábrát) Egy x + 2y - 4 \u003d 0 egyenest építünk két A (4; 0) és B (0; 2) pont mentén. Ha y-t x-szel fejezzük ki, azt kapjuk, hogy y \u003d -0,5x + 2. Az (1) képlet szerint, ahol f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2 megtalálja

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 négyzetméter egységek

2. példa Számítsd ki a vonalak által határolt ábra területét: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 és y \u003d 0.

Megoldás. Építsünk egy figurát.

Építsünk egyenest x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Készítsünk egy egyenest x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Keresse meg az egyenesek metszéspontját az egyenletrendszer megoldásával:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

A szükséges terület kiszámításához az AMC háromszöget két AMN és NMC háromszögre osztjuk, mivel amikor x A-ból N-be változik, akkor a területet egy egyenes korlátozza, ha pedig x N-ről C-re változik, akkor az egyenes.

Az AMN háromszöghez a következőkkel rendelkezünk: ; y = 0,5x + 2, azaz f (x) \u003d 0,5x + 2, a = 4, b = 2.

Az NMC háromszögre a következőt kapjuk: y = - x + 5, azaz f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Az egyes háromszögek területét kiszámítva és az eredményeket összeadva a következőket kapjuk:

négyzetméter egységek

négyzetméter egységek

9 + 4, 5 = 13,5 négyzetméter egységek Ellenőrzés: = 0,5 AC = 0,5 négyzetméter. egységek

3. példa Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Ebben az esetben ki kell számítani egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet y = x parabola határol. 2 , x \u003d 2 és x \u003d 3 egyenesek és az Ox tengely (lásd az ábrát) Az (1) képlet szerint megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét

= = 6kv. egységek

4. példa Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y \u003d - x 2 + 4 és y = 0

Építsünk egy figurát. A kívánt terület az y \u003d - x parabola közé van zárva 2 + 4 és tengely Oh.

Keresse meg a parabola és az x tengellyel való metszéspontokat! Feltéve, hogy y \u003d 0, azt találjuk, hogy x \u003d Mivel ez az ábra szimmetrikus az Oy tengelyre, kiszámítjuk az Oy tengelytől jobbra található ábra területét, és megduplázzuk az eredményt: \u003d + 4x] négyzet. egységek 2 = 2 négyzetméter egységek

5. példa Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Itt ki kell számítani a görbe vonalú trapéz területét, amelyet az y parabola felső ága határol. 2 \u003d x, az Ox tengely és egyenesek x \u003d 1x \u003d 4 (lásd az ábrát)

Az (1) képlet szerint, ahol f(x) = a = 1 és b = 4, van = (= négyzetméter egységünk)

6. példa . Számítsd ki az ábra vonallal határolt területét: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

A kívánt területet egy félhullámú szinusz és az Ox tengely korlátozza (lásd az ábrát).

Van - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 négyzetméter. egységek

7. példa Számítsa ki az ábra vonalakkal határolt területét: y \u003d - 6x, y \u003d 0 és x \u003d 4.

Az ábra az Ox tengely alatt található (lásd ábra).

Ezért a területét a (3) képlet határozza meg.

= =

8. példa Számítsa ki az ábra területét, amelyet a következő vonalak határolnak: y \u003d és x \u003d 2. Az y \u003d görbét pontokkal építjük fel (lásd az ábrát). Így az ábra területét a (4) képlet határozza meg.

9. példa .

x 2 + y 2 = r 2 .

Itt ki kell számítani az x kör által határolt területet 2 + y 2 = r 2 , azaz egy r sugarú kör területe, amelynek középpontja az origóban van. Keressük ennek a területnek a negyedik részét, az integráció határait 0-tól véve

rossz vicc; nekünk van: 1 = = [

Következésképpen, 1 =

10. példa Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét: y \u003d x 2 és y = 2x

Ezt a számot az y \u003d x parabola korlátozza 2 és y egyenes \u003d 2x (lásd ábra) Az adott egyenesek metszéspontjainak meghatározásához az egyenletrendszert oldjuk meg: x 2 – 2x = 0 x = 0 és x = 2

Az (5) képlet segítségével megtaláljuk a területet

= }