A különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályai nagyon egyszerűek.
Fontolja meg a különböző nevezőjű törtek lépésenkénti hozzáadásának szabályait:
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét). A kapott LCM lesz a törtek közös nevezője;
2. Törteket hozzanak közös nevezőre;
3. Adja hozzá a közös nevezőre csökkentett törteket.
A egyszerű példa Ismerje meg, hogyan adhat hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket.
Példa
Példa különböző nevezőjű törtek összeadására.
Különböző nevezőjű törtek hozzáadása:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Lépésről lépésre döntsük el.
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét).
A 12-es szám osztható 6-tal.
Ebből arra következtetünk, hogy a 12 a 6 és 12 számok legkisebb közös többszöröse.
Válasz: a 6-os és 12-es szám nok-ja 12:
LCM(6; 12) = 12
Az így kapott NOC lesz a két tört 1/6 és 5/12 közös nevezője.
2. Hozza a törteket közös nevezőre.
Példánkban csak az első törtet kell 12-es közös nevezőre redukálni, mert a második törtnek már 12-es a nevezője.
Osszuk el a 12 közös nevezőjét az első tört nevezőjével:
2-nek van egy további szorzója.
Szorozzuk meg az első tört (1/6) számlálóját és nevezőjét további 2-szeres tényezővel.
Tekintsük a $\frac63$ törtet. Értéke 2, mivel $\frac63 =6:3 = 2$. Mi történik, ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk 2-vel? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Nyilvánvalóan a tört értéke nem változott, így $\frac(12)(6)$ is egyenlő 2-vel, mint y. szorozza meg a számlálót és a nevezőt 3-mal $\frac(18)(9)$, vagy 27-tel $\frac(162)(81)$ vagy 101-el $\frac(606)(303)$. Mindegyik esetben annak a törtnek az értéke, amelyet a számlálónak a nevezővel való osztásával kapunk, 2. Ez azt jelenti, hogy nem változott.
Ugyanez a minta figyelhető meg más frakciók esetében is. Ha a $\frac(120)(60)$ (2-vel egyenlő) tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk 2-vel ($\frac(60)(30)$ eredménye), vagy 3-mal ($\ eredménye frac(40)(20) $), vagy 4-gyel ($\frac(30)(15)$ eredménye) és így tovább, akkor a tört értéke minden esetben változatlan és 2-vel egyenlő.
Ez a szabály azokra a törtekre is vonatkozik, amelyek nem egyenlőek. egész szám.
Ha a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 2-vel, akkor $\frac(2)(6)$-t kapunk, vagyis a tört értéke nem változott. És igazából, ha a tortát 3 részre osztod és abból veszed az egyiket, vagy 6 részre osztod és 2 részt veszel, akkor mindkét esetben ugyanannyi pitét kapsz. Ezért a $\frac(1)(3)$ és a $\frac(2)(6)$ számok azonosak. Fogalmazzuk meg az általános szabályt.
Bármely tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a számmal, és a tört értéke nem változik.
Ez a szabály nagyon hasznos. Például lehetővé teszi bizonyos esetekben, de nem mindig, a nagy számokkal végzett műveletek elkerülését.
Például eloszthatjuk a $\frac(126)(189)$ tört számlálóját és nevezőjét 63-mal, és megkapjuk a $\frac(2)(3)$ törtet, amely sokkal könnyebben kiszámítható. Még egy példa. A $\frac(155)(31)$ tört számlálóját és nevezőjét eloszthatjuk 31-gyel, és megkapjuk a $\frac(5)(1)$ vagy 5-öt, mivel 5:1=5.
Ebben a példában találkoztunk először olyan tört, amelynek nevezője 1. Az ilyen törtek fontos szerepet játszanak a számításokban. Emlékeztetni kell arra, hogy bármely szám osztható 1-gyel, és értéke nem változik. Azaz $\frac(273)(1)$ egyenlő 273-mal; $\frac(509993)(1)$ egyenlő: 509993 és így tovább. Ezért nem kell a számokat osztanunk -vel, hiszen minden egész szám 1-es nevezőjű törtként ábrázolható.
Az ilyen törtekkel, amelyeknek a nevezője 1, ugyanazokat a számtani műveleteket hajthatja végre, mint az összes többi törttel: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Megkérdezheti, hogy mi haszna egy egész szám törtként való ábrázolásának, amelynek a vonal alatt lesz egy egysége, mert kényelmesebb egész számmal dolgozni. De tény, hogy egy egész szám törtként való ábrázolása lehetőséget ad különböző műveletek hatékonyabb végrehajtására, ha egyszerre egész számokkal és törtszámokkal is foglalkozunk. Például tanulni adjunk hozzá különböző nevezőjű törteket. Tegyük fel, hogy hozzá kell adnunk $\frac(1)(3)$ és $\frac(1)(5)$.
Tudjuk, hogy csak olyan törteket adhat hozzá, amelyeknek a nevezője egyenlő. Tehát meg kell tanulnunk, hogyan hozhatjuk a törteket ilyen formára, ha a nevezőik egyenlők. Ebben az esetben ismét szükségünk van arra, hogy egy tört számlálóját és nevezőjét meg tudja szorozni ugyanazzal a számmal anélkül, hogy megváltoztatná az értékét.
Először a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 5-tel. $\frac(5)(15)$-t kapunk, a tört értéke nem változott. Ekkor a $\frac(1)(5)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 3-mal. Kapjuk a $\frac(3)(15)$, a tört értéke ismét nem változott. Ezért $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Most próbáljuk meg ezt a rendszert egész és tört részeket is tartalmazó számok összeadására alkalmazni.
Hozzá kell adnunk $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Először az összes kifejezést törtté alakítjuk, és megkapjuk: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Most az összes törtet közös nevezőre kell hoznunk, ehhez megszorozzuk az első tört számlálóját és nevezőjét 12-vel, a másodikat 4-gyel, a harmadikat pedig 3-mal. Ennek eredményeként $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, ami egyenlő a $\frac(55)(12)$ értékkel. Ha meg akarsz szabadulni helytelen tört, egy egész számból és egy tört részből álló számmá alakítható: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ vagy $4\frac( 7)( 12)$.
Minden szabályt, ami megengedi műveletek törtekkel, amelyeket most vizsgáltunk, negatív számok esetén is érvényesek. Tehát a -1: 3 felírható $\frac(-1)(3)$, az 1: (-3) pedig $\frac(1)(-3)$.
Mivel mind a negatív szám pozitív számmal való osztása, mind a pozitív szám negatív számmal való elosztása negatív számokat eredményez, mindkét esetben negatív szám formájában kapjuk meg a választ. Azaz
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ vagy $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. A mínusz jel így írva a teljes tört egészére vonatkozik, nem pedig külön a számlálóra vagy nevezőre.
Másrészt a (-1) : (-3) felírható $\frac(-1)(-3)$-ként, és mivel ha negatív számot osztunk negatív számmal, akkor azt kapjuk, hogy pozitív szám, akkor a $\frac(-1)(-3)$ $+\frac(1)(3)$-ként írható fel.
A negatív törtek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint a pozitív törtek összeadása és kivonása. Például mi az a $1-1\frac13$? Jelentsük meg mindkét számot törtként, és kapjuk a $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Csökkentsük a törteket közös nevezőre, és kapjuk a $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, azaz $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ vagy $-\frac(1)(3)$.
Műveletek törtekkel.
Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")
Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Foglalkozzunk a fő kérdéssel.
Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.
Mindezek a műveletek decimális a törtekkel végzett műveletek nem különböznek az egész számokkal végzett műveletektől. Tulajdonképpen erre jók, decimálisan. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.
vegyes számok, mint mondtam, a legtöbb művelethez kevés hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.
És itt vannak a műveletek közönséges törtek okosabb lesz. És még sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük ezt az egész aritmetikát.
Törtek összeadása és kivonása.
A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, hadd emlékeztesselek arra, hogy teljesen feledékeny vagyok: összeadáskor (kivonáskor) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:
Röviden, be Általános nézet:
Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört fő tulajdonságát felhasználva (itt megint jól jött!) A nevezőket azonosra tesszük! Például:
Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Megjegyzem minden esetre, hogy 2/5 és 4/10 az ugyanaz a tört! Csak a 2/5 kellemetlen számunkra, a 4/10 pedig még semmi.
Egyébként ez a lényege bármilyen matematikai feladat megoldásának. Amikor kint vagyunk kényelmetlen kifejezések igen ugyanaz, de kényelmesebben megoldható.
Egy másik példa:
Hasonló a helyzet. Itt 48-at csinálunk a 16-ból. Egyszerű szorzással 3. Ez minden világos. De itt valami ilyesmivel találkozunk:
Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt "közös nevezőre redukálásnak" hívják:
Hogyan! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyenlően osztható 7-tel és 9-cel egyszerre. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredményt biztosan elosztjuk 7-tel!
Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia azt a nevezőt, amely minden törtre közös, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell hoznia. Például:
És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal, ezért ezekből a számokból könnyen 16-ot kaphatunk, ez a szám lesz a közös nevező. Váltsunk 1/2-ből 8/16-ra, 3/4-ből 12/16-ra, és így tovább.
Egyébként ha az 1024-et vesszük közös nevezőnek, akkor is minden sikerül, a végén minden lecsökken. Csak nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...
Oldja meg a példát saját maga. Nem logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.
Szóval, a törtek összeadásával (kivonásával) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azok számára elérhető, akik becsületesen dolgoztak az alsóbb osztályokban ... És nem felejtettek el semmit.
És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt lesznek új gereblyék, igen...
Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:
A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Tehát a tört fő tulajdonsága azt mondja. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az x-hez a nevező első törtjében. (De jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:
És természetesen nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitunk zárójeleket! És most, a jobb oldal közös nevezőjét nézve, azt gondoljuk: ahhoz, hogy az x (x + 1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szoroznunk ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x + 1) . És a második törtben - x. Ezt kapod:
Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Természetesen nem zárójelben, hanem a hiányukban. A zárójelek azért jelennek meg, mert szaporodunk az egész számláló és az egész névadó! És nem az egyes darabjaik...
A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törteknél, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. mindent megszoroz, és hasonlót ad. Nem kell a nevezőkben a zárójeleket kinyitni, nem kell szorozni valamit! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:
Itt kaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Oldj meg példákat, szokj hozzá, minden egyszerű lesz. Aki a törteket a megadott idő alatt elsajátította, mindezeket a műveleteket egy kézzel, a gépen végezze el!
És még egy megjegyzés. Sokan híresen foglalkoznak a törtekkel, de ragaszkodnak a példákhoz egész számok. Típus: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a kettőt? Nem kell sehova rögzíteni, egy kettesből töredéket kell készíteni. Nem könnyű, nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.
Nos, összeadáskor - a törtek kivonásával a tudás felfrissült. A törtek átalakítása egyik típusból a másikba - ismételve. Azt is ellenőrizheti. leszámolunk egy kicsit?)
Kiszámítja:
Válaszok (rendetlenségben):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Törtek szorzása / osztása - a következő leckében. Minden törtekkel rendelkező művelethez vannak feladatok is.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
87. § Törtek összeadása.
A törtek összeadása sok hasonlóságot mutat az egész számok összeadásával. A törtek összeadása olyan művelet, amely abból áll, hogy több megadott számot (tagot) egyetlen számmá (összeggé) vonnak össze, amely a kifejezések egységeinek összes egységét és törtrészét tartalmazza.
Három esetet vizsgálunk meg egymás után:
1. Azonos nevezőjű törtek összeadása.
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
3. Vegyes számok összeadása.
1. Azonos nevezőjű törtek összeadása.
Vegyünk egy példát: 1 / 5 + 2 / 5 .
Vegyük az AB szakaszt (17. ábra), vegyük egységnek, és osszuk 5 egyenlő részre, ekkor ennek a szakasznak az AC része az AB szakasz 1/5-e, és ugyanennek a CD szakasznak a része lesz. egyenlő lesz 2/5 AB-vel.
A rajzon látható, hogy ha az AD szakaszt vesszük, akkor az egyenlő lesz 3/5 AB-vel; de az AD szegmens pontosan az AC és CD szegmensek összege. Tehát írhatjuk:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Figyelembe véve ezeket a kifejezéseket és az így kapott összeget, azt látjuk, hogy az összeg számlálóját a tagok számlálóinak összeadásával kaptuk, és a nevező változatlan maradt.
Ebből a következő szabályt kapjuk: Azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt.
Vegyünk egy példát:
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása.
Adjunk hozzá törteket: 3/4 + 3/8 Először le kell redukálni őket a legkisebb közös nevezőre:
A köztes linket 6/8 + 3/8 nem lehetett volna megírni; a nagyobb érthetőség kedvéért ide írtuk.
Így a különböző nevezőjű törtek összeadásához először a legkisebb közös nevezőre kell hozni őket, hozzá kell adni a számlálóikat, és alá kell írni a közös nevezőt.
Vegyünk egy példát (a megfelelő törtek fölé további tényezőket írunk):
3. Vegyes számok összeadása.
Adjuk össze a számokat: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Először hozzuk közös nevezőre a számaink tört részeit, és írjuk át újra:
Most adja hozzá az egész és a tört részeket egymás után:
88. § Törtek kivonása.
A törtek kivonása ugyanúgy definiálható, mint az egész számok kivonása. Ez egy olyan művelet, amellyel két tag és az egyik tag összege alapján egy másik tag található. Nézzünk meg három esetet egymás után:
1. Azonos nevezőjű törtek kivonása.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
3. Vegyes számok kivonása.
1. Azonos nevezőjű törtek kivonása.
Vegyünk egy példát:
13 / 15 - 4 / 15
Vegyük az AB szakaszt (18. ábra), vegyük egységnek, és osszuk fel 15 egyenlő részre; akkor ennek a szakasznak az AC része az AB 1/15-e, és ugyanennek a szakasznak az AD része az AB 13/15-ének felel meg. Tegyünk félre egy másik ED szakaszt, amely egyenlő 4/15 AB-vel.
13/15-ből ki kell vonnunk a 4/15-öt. A rajzon ez azt jelenti, hogy az ED szakaszt ki kell vonni az AD szakaszból. Ennek eredményeként az AE szegmens megmarad, ami az AB szegmens 9/15-e. Tehát írhatjuk:
Az általunk készített példa azt mutatja, hogy a különbség számlálóját a számlálók kivonásával kaptuk meg, és a nevező változatlan maradt.
Ezért az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a részrész számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagynia ugyanazt a nevezőt.
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása.
Példa. 3/4 - 5/8
Először is csökkentsük ezeket a törteket a legkisebb közös nevezőre:
A közbülső link 6 / 8 - 5 / 8 az érthetőség kedvéért ide van írva, de a jövőben kihagyható.
Így ahhoz, hogy törtből levonjunk egy törtet, először a legkisebb közös nevezőre kell hozni őket, majd ki kell vonni a rész számlálóját a minuend számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni.
Vegyünk egy példát:
3. Vegyes számok kivonása.
Példa. 10 3/4 - 7 2/3 .
Hozzuk a minuend és a részösszeg tört részeit a legkisebb közös nevezőre:
Az egészből kivontunk egy egészet, a töredékből pedig egy törtet. De vannak esetek, amikor a részösszeg tört része nagyobb, mint a minuend tört része. Ilyen esetekben a redukált egész részéből ki kell venni egy egységet, fel kell osztani azokra a részekre, amelyekben a törtrész kifejeződik, és hozzá kell adni a redukált tört részéhez. Ezután a kivonás ugyanúgy történik, mint az előző példában:
89. § Törtek szorzása.
A törtek szorzásának tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:
1. Tört szorzása egész számmal.
2. Adott szám törtrészének megkeresése.
3. Egész szám szorzása törttel.
4. Tört szorzása törttel.
5. Vegyes számok szorzása.
6. Az érdeklődés fogalma.
7. Adott szám százalékos arányának megállapítása. Tekintsük őket egymás után.
1. Tört szorzása egész számmal.
Egy tört egész számmal való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám egész számmal való szorzása. Egy tört (szorzó) egész számmal (szorzóval) való szorzása azt jelenti, hogy azonos tagok összegét állítjuk össze, amelyben minden tag egyenlő a szorzóval, a tagok száma pedig a szorzóval.
Tehát, ha meg kell szoroznia 1/9-et 7-tel, akkor ezt a következőképpen teheti meg:
Könnyen megkaptuk az eredményt, mivel a műveletet az azonos nevezőjű törtek összeadására csökkentettük. Következésképpen,
Ennek a műveletnek a figyelembevétele azt mutatja, hogy egy tört egész számmal való megszorzása megegyezik a tört annyiszoros növelésével, ahány egység van az egész számban. És mivel a tört növekedését vagy a számlálójának növelésével érjük el
vagy nevezőjének csökkentésével 
, akkor vagy megszorozhatjuk a számlálót az egész számmal, vagy eloszthatjuk vele a nevezőt, ha lehetséges az osztás.
Innen kapjuk a szabályt:
Egy tört egész számmal való szorzásához meg kell szorozni a számlálót ezzel az egész számmal, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt, vagy ha lehetséges, el kell osztani a nevezőt ezzel a számmal, a számlálót változatlanul hagyva.
Szorzáskor rövidítések is lehetségesek, például:
2. Adott szám törtrészének megkeresése. Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni vagy ki kell számítani egy adott szám egy részét. E feladatok és a többi között az a különbség, hogy bizonyos objektumok vagy mértékegységek számát adják meg, és ennek a számnak egy részét meg kell találni, amit itt is egy bizonyos tört jelzi. A megértés megkönnyítése érdekében először példákat adunk az ilyen problémákra, majd bemutatjuk a megoldási módot.
1. feladat. 60 rubelem volt; Ennek a pénznek az 1/3-át könyvvásárlásra költöttem. Mennyibe kerültek a könyvek?
2. feladat. A vonatnak A és B városok közötti távolságot, 300 km-t kell megtennie. Ennek a távnak a 2/3-át már megtette. Hány kilométer ez?
3. feladat. A faluban 400 ház található, 3/4-e tégla, a többi fa. Hány téglaház van?
Íme néhány probléma a sok közül, amelyekkel meg kell küzdenünk, hogy megtaláljuk egy adott szám töredékét. Ezeket általában egy adott szám törtrészének megtalálására vonatkozó feladatoknak nevezik.
Az 1. feladat megoldása. 60 rubeltől. 1/3-át költöttem könyvekre; Tehát a könyvek költségének megállapításához el kell osztania a 60-as számot 3-mal:
2. feladat megoldása. A probléma jelentése az, hogy meg kell találnia a 300 km 2/3-át. Számítsa ki a 300 első 1/3-át; ezt úgy érjük el, hogy 300 km-t elosztunk 3-mal:
300: 3 = 100 (ez a 300 1/3-a).
A 300 kétharmadának megtalálásához meg kell dupláznia a kapott hányadost, azaz meg kell szoroznia 2-vel:
100 x 2 = 200 (ez a 300 2/3-a).
A 3. feladat megoldása. Itt meg kell határoznia a téglaházak számát, amelyek a 400-nak a 3/4-e. Először keressük meg a 400 1/4-ét,
400: 4 = 100 (ez a 400 1/4-e).
A 400 háromnegyedének kiszámításához a kapott hányadost meg kell háromszorozni, azaz meg kell szorozni 3-mal:
100 x 3 = 300 (ez a 400 3/4-e).
A problémák megoldása alapján a következő szabályt vezethetjük le:
Egy adott szám törtrészének értékének meghatározásához ezt a számot el kell osztani a tört nevezőjével, és meg kell szorozni a kapott hányadost a számlálójával.
3. Egész szám szorzása törttel.
Korábban (26. §) megállapították, hogy az egész számok szorzását azonos tagok összeadásaként kell érteni (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Ebben a bekezdésben (1. bekezdés) megállapították, hogy egy tört egész számmal való szorzata azt jelenti, hogy megtaláljuk az azonos tagok összegét ezzel a törttel.
A szorzás mindkét esetben az azonos tagok összegének megállapításából állt.
Most továbblépünk egy egész szám törttel való szorzására. Itt találkozunk például ilyen szorzással: 9 2/3. Teljesen nyilvánvaló, hogy a szorzás előző definíciója erre az esetre nem vonatkozik. Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az ilyen szorzást nem helyettesíthetjük egyenlő számok összeadásával.
Emiatt új definíciót kell adnunk a szorzásnak, vagyis meg kell válaszolnunk azt a kérdést, hogy mit kell érteni törttel való szorzáson, hogyan kell érteni ezt a cselekvést.
Egy egész szám törttel való szorzásának jelentése világos a következő definícióból: egy egész számot (szorzót) megszorozni törttel (szorzóval) azt jelenti, hogy megtaláljuk a szorzónak ezt a törtrészét.
Ugyanis a 9-et 2/3-mal megszorozni azt jelenti, hogy a kilenc egység 2/3-át megtaláljuk. Az előző bekezdésben az ilyen problémákat megoldottuk; így könnyű kitalálni, hogy végül 6-ot kapunk.
De most egy érdekes és fontos kérdés merül fel: miért nevezik az aritmetikában ugyanazt a „szorzás” szót az olyan látszólag különböző tevékenységeket, mint az egyenlő számok összegének és egy szám törtrészének megtalálása?
Ez azért van így, mert az előző művelet (a szám többszöri megismétlése kifejezésekkel) és az új művelet (a szám törtrészének megkeresése) homogén kérdésekre ad választ. Ez azt jelenti, hogy itt abból a megfontolásból indulunk ki, hogy a homogén kérdéseket vagy feladatokat egy és ugyanazon cselekvés oldja meg.
Ennek megértéséhez vegye figyelembe a következő problémát: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 4 m ilyen ruha?
Ezt a problémát úgy oldjuk meg, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (4), azaz 50 x 4 = 200 (rubel).
Vegyük ugyanezt a problémát, de benne a ruha mennyisége törtszámmal lesz kifejezve: „1 m ruha ára 50 rubel. Mennyibe kerül 3/4 m ilyen ruha?
Ezt a problémát úgy is meg kell oldani, hogy a rubelek számát (50) megszorozzuk a méterek számával (3/4).
A benne lévő számokat többször is megváltoztathatja anélkül, hogy a feladat jelentését megváltoztatná, például vegyen 9/10 m-t vagy 2 3/10 m-t stb.
Mivel ezek a feladatok azonos tartalmúak és csak számokban térnek el egymástól, a megoldásukhoz használt cselekvéseket ugyanazzal a szóval - szorzásnak nevezzük.
Hogyan szorozható meg egy egész szám törttel?
Vegyük az utolsó feladatban talált számokat:
A definíció szerint 50-ből 3/4-et kell találnunk. Először az 50-ből az 1/4-et, majd a 3/4-et találjuk meg.
50-ből 1/4 az 50/4;
50-ből 3/4 az.
Következésképpen.
Vegyünk egy másik példát: 12 5 / 8 = ?
12-ből 1/8 az 12/8,
A 12-es szám 5/8-a .
Következésképpen,
Innen kapjuk a szabályt:
Egy egész szám törttel való szorzásához meg kell szorozni az egész számot a tört számlálójával, és ezt a szorzatot kell számlálóvá tenni, nevezőként pedig az adott tört nevezőjét kell aláírni.
Ezt a szabályt betűkkel írjuk:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való szorzásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek.
Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzás végrehajtása előtt meg kell tennie (ha lehetséges) vágások, például:
4. Tört szorzása törttel. A tört törttel való szorzása ugyanazt jelenti, mint egy egész szám törttel való szorzása, vagyis ha tört törttel szoroz, meg kell találnia a tört törtét a szorzóban az első törtből (szorzó).
Ugyanis a 3/4-et 1/2-vel (fele) megszorozni azt jelenti, hogy megtaláljuk a 3/4 felét.
Hogyan szorozunk meg egy törtet törttel?
Vegyünk egy példát: 3/4-szer 5/7. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnod az 5/7-et a 3/4-ből. Keresse meg először a 3/4 1/7-ét, majd az 5/7-et
A 3/4 1/7-e így lenne kifejezve:
Az 5/7 számok 3/4 a következőképpen lesznek kifejezve:
Ily módon
Egy másik példa: 5/8-szor 4/9.
5/8 1/9 része ,
4/9 számok 5/8 .
Ily módon 
Ezekből a példákból a következő szabályra lehet következtetni:
Egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot a szorzat számlálójává kell tenni, a második szorzatot pedig a szorzat nevezőjévé.
Ez a szabály általánosságban a következőképpen írható fel:
A szorzásnál (ha lehetséges) csökkentéseket kell végezni. Vegye figyelembe a példákat:
5. Vegyes számok szorzása. Mert vegyes számok könnyen pótolható helytelen törtekkel, ezt a körülményt általában vegyes számok szorzásakor alkalmazzák. Ez azt jelenti, hogy azokban az esetekben, amikor a szorzót, vagy a szorzót, vagy mindkét tényezőt vegyes számként fejezzük ki, akkor azokat helytelen törtekkel helyettesítjük. Szorozza meg például a vegyes számokat: 2 1/2 és 3 1/5. Mindegyiket nem megfelelő törtté alakítjuk, majd a kapott törteket megszorozzuk a tört törttel való szorzásának szabálya szerint:
Szabály. A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekre, majd a tört törttel való szorzásának szabálya szerint szorozni.
Jegyzet. Ha az egyik tényező egész szám, akkor a szorzás az eloszlási törvény alapján a következőképpen hajtható végre:
6. Az érdeklődés fogalma. A feladatok megoldásánál és a különféle gyakorlati számítások végzésekor mindenféle törtet használunk. De szem előtt kell tartani, hogy sok mennyiség nem bármilyen, hanem természetes felosztást enged meg számára. Például vehet egy századot (1/100) a rubelből, ez egy fillér lesz, két század 2 kopecka, három század 3 kopecka. Elveheti a rubel 1/10-ét, ez "10 kopecks, vagy egy fillér lesz. Elveheti a rubel negyedét, azaz 25 kopecket, fél rubelt, azaz 50 kopecket (ötven kopecket). De gyakorlatilag nem. ne vegyünk például 2/7 rubelt, mert a rubel nincs hetedrészekre osztva.
A súly mértékegysége, azaz a kilogramm, mindenekelőtt tizedes részeket tesz lehetővé, például 1/10 kg vagy 100 g. És a kilogramm olyan törtrészei, mint 1/6, 1/11, 1/ 13 nem gyakori.
A (metrikus) mértékeink általában decimálisak, és lehetővé teszik a decimális felosztást.
Meg kell azonban jegyezni, hogy rendkívül hasznos és kényelmes a legkülönbözőbb esetekben ugyanazt az (egységes) módszert alkalmazni a mennyiségek felosztására. Sok éves tapasztalat azt mutatja, hogy egy ilyen jól indokolt felosztás a „százados” felosztás. Nézzünk néhány példát az emberi gyakorlat legkülönfélébb területeihez.
1. A könyvek ára a korábbi ár 12/100-ával csökkent.
Példa. A könyv korábbi ára 10 rubel. 1 rubellel csökkent. 20 kop.
2. A takarékpénztárak év közben fizetik ki a betéteseknek a megtakarításokba helyezett összeg 2/100-át.
Példa. 500 rubelt tesznek a pénztárba, ebből az összegből az év bevétele 10 rubel.
3. Egy iskola végzettek száma az összes tanulólétszám 5/100-a volt.
PÉLDA Az iskolában mindössze 1200 diák tanult, közülük 60-an végezték el az iskolát.
A szám századrészét százaléknak nevezzük..
A "százalék" szó innen származik latin a "cent" gyöke pedig százat jelent. Az elöljárószóval (pro centum) együtt ez a szó azt jelenti, hogy „százért”. Ennek a kifejezésnek a jelentése abból a tényből következik, hogy kezdetben in az ókori Róma A kamat az a pénz volt, amelyet az adós "minden száz után" fizetett a hitelezőnek. A "cent" szót ilyen ismerős szavakkal hallják: centner (száz kilogramm), centiméter (centimétert mondanak).
Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az üzem az elmúlt hónapban az általa előállított összes termék 1/100-át állította elő, inkább ezt mondjuk: az üzem az elmúlt hónapban a selejt egy százalékát állította elő. Ahelyett, hogy azt mondanánk: az üzem 4/100-zal több terméket állított elő, mint a megállapított terv, azt mondjuk: az üzem 4 százalékkal haladta meg a tervet.
A fenti példák különbözőképpen fejezhetők ki:
1. A könyvek ára a korábbi árhoz képest 12 százalékkal csökkent.
2. A takarékpénztárak a betéteseknek évente 2 százalékot fizetnek a megtakarításba helyezett összegből.
3. Egy iskola végzőseinek száma az iskola összes tanulói létszámának 5 százaléka volt.
A betű rövidítéséhez a százalékos szó helyett a% jelet szokás írni.
Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a %-os jelet általában nem a számításokba írják, hanem a problémafelvetésbe és a végeredménybe írható. Számítások végzésekor az ikonnal egész szám helyett 100-as nevezőjű törtet kell írni.
Le kell tudnia cserélni egy egész számot a megadott ikonnal egy 100-as nevezőjű törtre:
Ezzel szemben meg kell szoknia, hogy a 100-as nevezőjű tört helyett egész számot írjon a jelzett ikonnal:
7. Adott szám százalékos arányának megállapítása.
1. feladat. Az iskola 200 köbmétert kapott. m tűzifa, 30%-a nyírfa tűzifa. Mennyi nyírfa volt benne?
Ennek a problémának az a jelentése, hogy a nyírfa tűzifa csak egy része volt az iskolába szállított tűzifának, és ez a rész 30/100 töredékében van kifejezve. Tehát azzal a feladattal állunk szemben, hogy megtaláljuk a szám törtrészét. Megoldásához 200-at meg kell szoroznunk 30 / 100-zal (a szám történek megtalálására szolgáló feladatokat a szám törttel való szorzásával oldjuk meg.).
Tehát 200 30%-a 60-nak felel meg.
Az ebben a problémában előforduló 30/100 tört 10-zel csökkenthető. Ezt a csökkentést már a kezdetektől végre lehetne hajtani; a probléma megoldása nem változna.
2. feladat. A táborban 300 különböző korú gyerek vett részt. A 11 évesek aránya 21%, a 12 évesek aránya 61%, végül a 13 évesek aránya 18%. Hány gyerek volt az egyes korosztályokból a táborban?
Ebben a feladatban három számítást kell végrehajtania, azaz egymás után meg kell keresnie a 11 éves, majd a 12 éves és végül a 13 éves gyermekek számát.
Tehát itt háromszor kell megtalálni egy szám töredékét. Csináljuk:
1) Hány gyerek volt 11 éves?
2) Hány gyerek volt 12 éves?
3) Hány gyerek volt 13 éves?
A feladat megoldása után célszerű összeadni a talált számokat; az összegük 300 legyen:
63 + 183 + 54 = 300
Arra is figyelni kell, hogy a probléma feltételében megadott százalékok összege 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ez arra utal teljes szám a táborban lévő gyerekeket 100%-nak vették.
3 és da cha 3. A munkás havi 1200 rubelt kapott. Ebből 65%-ot költött élelmiszerre, 6%-ot lakásra és fűtésre, 4%-ot gázra, villanyra és rádióra, 10%-ot kulturális szükségletekre és 15%-ot spórolt. Mennyi pénzt költöttek a feladatban megjelölt igényekre?
A feladat megoldásához 5-ször meg kell találni az 1200-as szám törtrészét.
1) Mennyi pénzt költenek élelmiszerre? A feladat szerint ez a kiadás az összes kereset 65%-a, azaz az 1200-as szám 65/100-a. Végezzük el a számítást:
2) Mennyi pénzt fizettek egy fűtéses lakásért? Az előzőhöz hasonlóan érvelve a következő számításhoz jutunk:
3) Mennyi pénzt fizetett a gázért, villanyért és rádióért?
4) Mennyi pénzt fordítanak kulturális szükségletekre?
5) Mennyi pénzt takarított meg a dolgozó?
Az ellenőrzéshez hasznos összeadni az ebben az 5 kérdésben található számokat. Az összegnek 1200 rubelnek kell lennie. Minden bevétel 100%-nak számít, ami könnyen ellenőrizhető, ha összeadja a problémanyilatkozatban megadott százalékokat.
Három problémát oldottunk meg. Annak ellenére, hogy ezek a feladatok különböző dolgokról szóltak (tűzifa szállítása az iskolába, különböző életkorú gyerekek száma, dolgozó költségei), ugyanúgy megoldották. Ez azért történt, mert minden feladatban meg kellett találni a megadott számok néhány százalékát.
90. § Törtosztás.
A törtek felosztásának tanulmányozásakor a következő kérdéseket vesszük figyelembe:
1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.
2. Tört osztása egész számmal
3. Egész szám osztása törttel.
4. Tört osztása törttel.
5. Vegyes számok felosztása.
6. Szám keresése a tört alapján.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Tekintsük őket egymás után.
1. Oszd el egy egész számot egy egész számmal.
Ahogy az egész számokról szóló részben jeleztük, az osztás az a művelet, amely abból áll, hogy két tényező (az osztalék) és ezek közül az egyik tényező (osztó) szorzata mellett egy másik tényezőt találunk.
Egy egész szám osztása egész számmal, amelyet az egész számok osztályában vettünk figyelembe. Az osztásnak két esetével találkoztunk: a maradék nélkül, vagy "egészen" (150: 10 = 15) és maradékkal (100: 9 = 11 és 1 a maradékban). Azt mondhatjuk tehát, hogy az egész számok területén a pontos osztás nem mindig lehetséges, mert az osztó nem mindig az osztó és az egész szorzata. A törttel való szorzás bevezetése után az egész számok bármely osztási esetét lehetségesnek tekinthetjük (csak a nullával való osztás kizárt).
Például 7 elosztása 12-vel azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelynek szorzata 12-vel 7 lenne. Ez a szám a 7/12 tört, mert 7/12 12 = 7. Egy másik példa: 14: 25 = 14/25, mert 14/25 25 = 14.
Így egy egész szám egész számmal való osztásához törtet kell alkotnia, amelynek a számlálója egyenlő az osztással, a nevező pedig az osztó.
2. Tört osztása egész számmal.
A 6/7 törtet osszuk el 3-mal. Az osztás fenti definíciója szerint itt van a szorzat (6/7) és az egyik tényező (3); meg kell találni egy olyan második tényezőt, amely 3-mal való szorzásból adódik ez a munka 6/7. Nyilvánvalóan háromszor kisebbnek kell lennie, mint ez a termék. Ez azt jelenti, hogy az előttünk álló feladat a 6/7 tört 3-szoros csökkentése volt.
Azt már tudjuk, hogy egy tört csökkentése történhet a számlálójának csökkentésével vagy a nevezőjének növelésével. Ezért írhatod:
NÁL NÉL ez az eset a 6-os számláló osztható 3-mal, ezért a számlálót 3-szor kell csökkenteni.
Vegyünk egy másik példát: 5 / 8 osztva 2-vel. Itt az 5 számláló nem osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a nevezőt meg kell szorozni ezzel a számmal:
Ez alapján megállapíthatjuk a szabályt: Egy tört egész számmal való osztásához el kell osztani a tört számlálóját ezzel az egész számmal(ha lehetséges), ugyanazt a nevezőt hagyja meg, vagy szorozza meg a tört nevezőjét ezzel a számmal, és hagyja meg ugyanazt a számlálót.
3. Egész szám osztása törttel.
Legyen kötelező elosztani 5-öt 1/2-vel, azaz találni egy olyan számot, amelyet 1/2-vel megszorozva 5-öt kapunk. Nyilvánvalóan ennek a számnak nagyobbnak kell lennie 5-nél, mivel az 1/2 megfelelő tört, és ha egy számot megszorozunk egy megfelelő törttel, a szorzatnak kisebbnek kell lennie, mint a szorzó. Az érthetőség kedvéért írjuk le a cselekvéseinket a következőképpen: 5: 1 / 2 = x , tehát x 1/2 \u003d 5.
Meg kell találnunk egy ilyen számot x , ami 1/2-vel szorozva 5-öt adna. Mivel egy bizonyos szám 1/2-vel való szorzása azt jelenti, hogy ennek a számnak 1/2-ét megtaláljuk, ezért az ismeretlen szám 1/2-e x 5, és az egész szám x kétszer annyi, azaz 5 2 \u003d 10.
Tehát 5: 1/2 = 5 2 = 10
Nézzük meg: 
Nézzünk még egy példát. Legyen szükséges 6-ot 2/3-mal osztani. Először próbáljuk meg megtalálni a kívánt eredményt a rajz segítségével (19. ábra).
19. ábra
Rajzolj egy AB szakaszt, amely 6 egységnek felel meg, és ossz minden egységet 3 egyenlő részre. Mindegyik egységben a teljes AB szegmens háromharmada (3/3) hatszor nagyobb, azaz. e. 18/3. Kis zárójelek segítségével 18 kapott 2-es szegmenst kötünk össze; Csak 9 szegmens lesz. Ez azt jelenti, hogy a 2/3 tört 9-szer szerepel b egységben, vagy más szóval a 2/3 tört 9-szer kisebb, mint 6 egész szám. Következésképpen,
Hogyan lehet elérni ezt az eredményt rajz nélkül, csak számításokkal? A következőképpen érvelünk: el kell osztani a 6-ot 2/3-mal, azaz arra a kérdésre kell válaszolni, hogy a 6-ban hányszor van 2/3. Először nézzük meg: hányszor az 1/3 6-ban található? Egy egész egységben - 3 harmad, és 6 egységben - 6-szor több, azaz 18 harmad; ennek a számnak a megtalálásához meg kell szoroznunk a 6-ot 3-mal. Így az 1/3-at b egység 18-szor tartalmazza, a 2/3-ot pedig nem 18-szor, hanem feleannyiszor, azaz 18-at: 2 = 9 Ezért a 6-ot 2/3-mal osztva a következőket tettük:
Innen kapjuk meg az egész szám törttel való osztásának szabályát. Egy egész szám törttel való osztásához ezt az egész számot meg kell szorozni az adott tört nevezőjével, és ezt a szorzatot számlálóvá téve el kell osztani az adott tört számlálójával.
A szabályt betűkkel írjuk:
Ahhoz, hogy ez a szabály teljesen egyértelmű legyen, ne feledjük, hogy a tört hányadosnak tekinthető. Ezért célszerű a talált szabályt összehasonlítani a szám hányadossal való osztásának szabályával, amelyet a 38. §-ban rögzítettek. Vegye figyelembe, hogy ott is ugyanazt a képletet kapták.
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
4. Tört osztása törttel.
A 3/4-et el kell osztani 3/8-cal. Mi jelöli az osztás eredményeként kapott számot? Megválaszolja a kérdést, hogy a 3/8-as tört hányszor szerepel a 3/4-ben. A probléma megértéséhez készítsünk rajzot (20. ábra).
Vegyük az AB szakaszt, vegyük egységként, osszuk 4 egyenlő részre, és jelöljünk be 3 ilyen részt. Az AC szegmens az AB szegmens 3/4-e lesz. Osszuk most fel mind a négy kezdeti szakaszt, majd az AB szakaszt 8 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik ilyen rész egyenlő lesz az AB szakasz 1/8-ával. 3 ilyen szegmenst kötünk össze ívekkel, majd az AD és a DC szegmensek mindegyike egyenlő lesz az AB szegmens 3/8-ával. A rajz azt mutatja, hogy a 3/8-nak megfelelő szegmens pontosan 2-szer szerepel a 3/4-nek megfelelő szegmensben; Tehát az osztás eredménye így írható fel:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Nézzünk még egy példát. A 15/16-ot el kell osztani 3/32-vel:
Így érvelhetünk: meg kell találnunk egy számot, amelyet 3/32-vel megszorozva 15/16 szorzatot kapunk. Írjuk fel a számításokat így:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 ismeretlen szám x smink 15/16
1/32 ismeretlen szám x van,
32/32 számok x smink .
Következésképpen,
Így egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második számlálójával, és az első szorzatot kell számlálóvá és a második a nevező.
Írjuk fel a szabályt betűkkel:
Felosztáskor rövidítések is lehetségesek, például:
5. Vegyes számok felosztása.
Vegyes számok felosztásánál először át kell alakítani őket helytelen törtek, majd a kapott törteket osszuk el az osztási szabályok szerint törtszámok. Vegyünk egy példát:
Vegyes számok átalakítása helytelen törtekre:
Most osszuk el:
Így a vegyes számok felosztásához hibás törtekké kell alakítani őket, majd osztani kell a törtosztás szabálya szerint.
6. Szám keresése a tört alapján.
Között különféle feladatokat a törteken néha vannak olyanok, amelyekben egy ismeretlen szám valamelyik törtrészének értéke van megadva, és ezt a számot kell megtalálni. Ez a fajta probléma fordítottja lesz egy adott szám törtrészének megtalálásának problémájának; ott egy számot adtak, és meg kellett találni ennek a számnak a töredékét, itt egy szám törtrésze van megadva, és magának ezt a számot kell megtalálni. Ez a gondolat még világosabbá válik, ha az ilyen típusú problémák megoldása felé fordulunk.
1. feladat. Az első napon 50 ablakot üvegeztek be az üvegezők, ami az épített ház összes ablakának 1/3-a. Hány ablak van a házban?
Megoldás. A probléma azt mondja, hogy 50 üvegezett ablak teszi ki a ház összes ablakának 1/3-át, ami azt jelenti, hogy összesen 3-szor több ablak van, pl.
A háznak 150 ablaka volt.
2. feladat. Az üzletben 1500 kg lisztet értékesítettek, ami az üzlet teljes lisztkészletének 3/8-a. Mennyi volt a bolt kezdeti lisztkészlete?
Megoldás. A probléma feltételéből látható, hogy az eladott 1500 kg liszt a teljes készlet 3/8-át teszi ki; ez azt jelenti, hogy ennek az állománynak az 1/8-a 3-szor kisebb lesz, azaz a kiszámításához 1500-at kell háromszorosára csökkenteni:
1500: 3 = 500 (ez az állomány 1/8-a).
Nyilvánvalóan a teljes készlet 8-szor nagyobb lesz. Következésképpen,
500 8 \u003d 4000 (kg).
A kezdeti lisztkészlet a boltban 4000 kg volt.
A probléma mérlegeléséből a következő szabályra lehet következtetni.
Ahhoz, hogy egy számot a történek adott értékével találjunk meg, elegendő ezt az értéket elosztani a tört számlálójával, és az eredményt megszorozni a tört nevezőjével.
Két feladatot oldottunk meg a törtszám alapján. Az ilyen problémákat, amint az az utolsóból különösen jól látható, két művelettel oldjuk meg: osztással (amikor egy részt találunk) és szorzással (ha az egész számot megtaláljuk).
Azonban miután megvizsgáltuk a törtek felosztását, a fenti problémák egy művelettel megoldhatók, nevezetesen: törtosztással.
Például az utolsó feladat egy művelettel megoldható:
A jövőben meg fogjuk oldani azt a problémát, hogy egy szám törtrésze alapján találjunk egy műveletben - osztásban.
7. Szám keresése százalékos aránya alapján.
Ezekben a feladatokban meg kell találnia egy számot, ennek a számnak néhány százalékának ismeretében.
1. feladat. Ez év elején 60 rubelt kaptam a takarékpénztártól. bevétel abból az összegből, amit egy éve megtakarításba tettem. Mennyi pénzt tettem a takarékpénztárba? (A pénztárak a bevétel 2%-át adják a betéteseknek évente.)
A probléma jelentése az, hogy egy bizonyos összeget betettem egy takarékpénztárba, és ott feküdt egy évig. Egy év után 60 rubelt kaptam tőle. bevétel, ami a befektetett pénzem 2/100-a. Mennyi pénzt helyeztem el?
Ezért ennek a pénznek a kétféle (rubelben és töredékben) kifejezett részét ismerve meg kell találnunk a teljes, még ismeretlen összeget. Ez egy közönséges probléma egy szám megtalálásának törtrésze alapján. A következő feladatokat osztással oldjuk meg:
Tehát 3000 rubelt tettek a takarékpénztárba.
2. feladat. A horgászok két hét alatt 64%-kal teljesítették a havi tervet, 512 tonna halat készítettek elő. Mi volt a tervük?
A probléma állapotából ismert, hogy a halászok befejezték a terv egy részét. Ez a rész 512 tonnának felel meg, ami a terv 64%-a. Hogy a terv szerint hány tonna halat kell kitermelni, nem tudjuk. A feladat megoldása ennek a számnak a megtalálásából áll.
Az ilyen feladatokat felosztással oldják meg:
Tehát a terv szerint 800 tonna halat kell előkészíteni.
3. feladat. A vonat Rigából Moszkvába ment. Amikor áthaladt a 276. kilométeren, az egyik utas megkérdezte az arra haladó kalauzt, hogy az útból mennyit tettek meg már. A karmester erre azt válaszolta: „A teljes út 30%-át már megtettük.” Mi a távolság Riga és Moszkva között?
A probléma állapotából látható, hogy a Riga és Moszkva közötti út 30%-a 276 km. Meg kell találnunk a városok közötti teljes távolságot, azaz ehhez a részhez meg kell találnunk az egészet:
91. § Kölcsönös számok. Az osztás helyettesítése szorzással.
Vegyük a tört 2/3-ot, és rendezzük át a számlálót a nevező helyére, 3/2-t kapunk. Megkaptuk a töredékét, ennek a reciprokát.
Ahhoz, hogy egy adott törtreciprokát kapjuk, a nevező helyére a számlálót, a számláló helyére a nevezőt kell tenni. Ily módon olyan törtet kaphatunk, amely bármely tört reciproka. Például:
3/4, fordított 4/3; 5/6, fordított 6/5
Két olyan törtet, amelyeknek az a tulajdonsága, hogy az első számlálója a második nevezője, az elsőé pedig a második számlálója, ún. kölcsönösen inverz.
Most gondoljuk át, hogy melyik tört lesz az 1/2 reciprokja. Nyilván 2/1 lesz, vagy csak 2. Ennek reciprokát keresve egész számot kaptunk. És ez az eset nem elszigetelt; ellenkezőleg, minden 1 (egy) számlálóval rendelkező tört esetén a reciprok egész számok lesznek, például:
1/3, inverz 3; 1/5, fordított 5
Mivel a reciprok keresésekor egész számokkal is találkoztunk, a jövőben nem reciprokokról, hanem reciprokokról fogunk beszélni.
Találjuk ki, hogyan írjuk fel egy egész szám reciprokát. Törteknél ez egyszerűen megoldható: a nevezőt kell a számláló helyére tenni. Ugyanígy megkaphatja egy egész szám reciprokát, mivel bármely egész szám nevezője lehet 1. Tehát a 7 reciproka 1/7 lesz, mert 7 \u003d 7 / 1; a 10-es szám esetében fordítva 1/10, mivel 10 = 10/1
Ezt a gondolatot másképpen is kifejezhetjük: adott szám reciprokát úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk a megadott számmal. Ez az állítás nem csak egész számokra igaz, hanem törtekre is. Valóban, ha olyan számot akarunk írni, amely az 5/9 tört reciprokja, akkor vehetünk 1-et és oszthatjuk 5/9-cel, azaz.
Most emeljünk ki egyet ingatlan kölcsönösen reciprok számok, amelyek hasznosak lesznek számunkra: kölcsönösen reciprok számok szorzata eggyel egyenlő. Valóban:
Ezt a tulajdonságot felhasználva a következő módon találhatunk reciprokokat. Keressük meg a 8 reciprokát.
Jelöljük a betűvel x , majd 8 x = 1, tehát x = 1/8. Keressünk egy másik számot, a 7/12 inverzét, és jelöljük betűvel x , majd 7/12 x = 1, tehát x = 1:7 / 12 vagy x = 12 / 7 .
Itt vezettük be a reciprok számok fogalmát, hogy némileg kiegészítsük a törtek felosztásával kapcsolatos információkat.
Ha a 6-ot elosztjuk 3/5-tel, akkor a következőket tesszük:
Különös figyelmet fordítson a kifejezésre, és hasonlítsa össze az adott kifejezéssel: .
Ha a kifejezést külön vesszük, anélkül, hogy az előzőhöz kapcsolódnánk, akkor lehetetlen megoldani azt a kérdést, hogy honnan jött: a 6-ot 3/5-tel osztva, vagy a 6-ot 5/3-dal megszorozva. Az eredmény mindkét esetben ugyanaz. Tehát mondhatjuk hogy egy szám elosztása egy másikkal helyettesíthető az osztalék és az osztó reciproka szorzásával.
Az alábbiakban bemutatott példák teljes mértékben megerősítik ezt a következtetést.
A számláló, és az, amivel osztja, a nevező.
Tört írásához először írja be a számlálóját, majd húzzon egy vízszintes vonalat a szám alá, és írja be a nevezőt a sor alá. A számlálót és a nevezőt elválasztó vízszintes vonalat törtsávnak nevezzük. Néha ferde „/” vagy „∕”-ként ábrázolják. Ebben az esetben a számlálót a sor bal oldalára, a nevezőt a jobbra írjuk. Így például a „kétharmad” tört 2/3-nak lesz írva. Az érthetőség kedvéért a számlálót általában a sor tetejére írjuk, a nevezőt pedig az aljára, vagyis a 2/3 helyett a következőt találjuk: ⅔.
A törtek szorzatának kiszámításához először meg kell szorozni az egyes számlálóját törtek egy másik számlálóhoz. Írja az eredményt az új számlálójába törtek. Ezután szorozd meg a nevezőket is. Adja meg a végső értéket az újban törtek. Például 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Egy tört egy másikkal való osztásához először szorozza meg az első számlálóját a második nevezőjével. Tegye ugyanezt a második törttel (osztóval). Vagy az összes lépés végrehajtása előtt először „fordítsa meg” az osztót, ha ez kényelmesebb az Ön számára: a nevezőnek a számláló helyén kell lennie. Ezután szorozza meg az osztalék nevezőjét az osztó új nevezőjével, és szorozza meg a számlálókat. Például 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Források:
- Alapfeladatok törtekhez
A törtszámok lehetővé teszik egy mennyiség pontos értékének különböző módon történő kifejezését. A törtekkel ugyanazokat a matematikai műveleteket hajthatja végre, mint az egész számokkal: kivonás, összeadás, szorzás és osztás. Megtanulni dönteni törtek, meg kell emlékezni néhány jellemzőjükről. Típustól függenek törtek, egy egész rész jelenléte, egy közös nevező. Néhány aritmetikai művelet végrehajtása után az eredmény töredékének csökkentését igényli.
Szükséged lesz
- - számológép
Utasítás
Figyelmesen nézze meg a számokat. Ha a törtek között vannak tizedesek és szabálytalanok, akkor néha kényelmesebb először tizedesjegyekkel végrehajtani a műveleteket, majd rossz alakra konvertálni. Le tudod fordítani törtek ebben a formában kezdetben a tizedesvessző utáni értéket írva a számlálóba, és 10-et a nevezőbe. Ha szükséges, csökkentse a törtet úgy, hogy a fenti és alatti számokat elosztja egy osztóval. Azok a törtek, amelyekben az egész rész kiemelkedik, rossz formához vezet, ha megszorozza a nevezővel, és hozzáadja a számlálót az eredményhez. Ez az érték lesz az új számláló törtek. Kivonni az egész részt az eredetileg helytelenből törtek, oszd el a számlálót a nevezővel. Írd le a teljes eredményt innen törtek. És az osztás maradéka lesz az új számláló, nevező törtek miközben nem változik. Az egész résszel rendelkező törteknél lehetőség van külön-külön is végrehajtani a műveleteket, először az egész számra, majd a tört részekre. Például 1 2/3 és 2 ¾ összege kiszámítható:
- Törtek átalakítása rossz formára:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- A tagok egész és tört részeinek összegzése külön:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Írja át őket a ":" elválasztó segítségével, és folytassa a szokásos felosztást.
A végeredmény megszerzéséhez csökkentse a kapott törtet úgy, hogy a számlálót és a nevezőt elosztja egy egész számmal, amely ebben az esetben a lehető legnagyobb. Ebben az esetben a vonal felett és alatt egész számoknak kell lenniük.
jegyzet
Ne számoljon olyan törtekkel, amelyeknek különböző nevezője van. Válasszunk olyan számot, hogy ha minden tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele, akkor mindkét tört nevezője egyenlő legyen.
Törtszámok írásakor az osztalékot a sor fölé írjuk. Ezt a mennyiséget a tört számlálójának nevezik. A sor alá írjuk a tört osztóját vagy nevezőjét. Például másfél kilogramm rizs töredék formájában a következőképpen lesz írva: 1 ½ kg rizs. Ha egy tört nevezője 10, akkor tizedes törtnek nevezzük. Ebben az esetben a számlálót (osztalékot) a teljes rész jobb oldalára írjuk vesszővel elválasztva: 1,5 kg rizs. A számítások kényelme érdekében egy ilyen tört mindig rossz formában írható: 1 2/10 kg burgonya. Az egyszerűsítés kedvéért csökkentheti a számláló és a nevező értékeit egyetlen egész számmal osztva. Ebben a példában a 2-vel való osztás lehetséges, így 1 1/5 kg burgonya lesz. Győződjön meg arról, hogy a számok, amelyekkel számolni fog, azonos formában vannak.
