, szaggatott vonal stb.:

Ha alaposan megnézi ezeket az ábrákat, kiválaszthat közülük kettőt, amelyeket zárt vonalak alkotnak (egy kör és egy háromszög). Ezeknek a figuráknak van egyfajta határa, amely elválasztja a bent lévőt a kívülről. Vagyis a határ két részre osztja a síkot: belső és külső terület az ábrával kapcsolatban, amelyre hivatkozik:

Kerület

A kerület egy sík zárt határa geometriai alakzat elválasztja belső régióját a külsőtől.

Minden zárt geometriai alaknak van kerülete:

Az ábrán a kerületek piros vonallal vannak jelölve. Vegye figyelembe, hogy a kör kerületét gyakran hossznak nevezik.

A kerületet hosszegységekben mérik: mm, cm, dm, m, km.

Minden sokszög esetén a kerület megállapítása az összes oldal hosszának összeadására csökken, azaz a sokszög kerülete mindig egyenlő az összeggel oldalainak hossza. A kerület kiszámításakor gyakran nagy latin P betűvel jelölik:

Négyzet

A terület a sík azon része, amelyet egy zárt lapos geometriai alak foglal el.

Minden lapos zárt geometriai alakzatnak van egy bizonyos területe. A rajzokon a geometriai formák területe a belső régió, vagyis a sík azon része, amely a kerületen belül van.

mérési terület figurák - azt jelenti, hogy megtudja, hányszor van elhelyezve egy másik ábra egy adott figurában, mértékegységnek tekintve. Általában egy négyzetet vesznek területmértékegységnek, amelyben az oldal egyenlő a hosszúság mértékegységével: milliméter, centiméter, méter stb.

Az ábrán egy négyzetcentiméter látható. - egy négyzet, amelynek mindkét oldala 1 cm hosszú:

A terület mértéke négyzetegységek ah hossz mérés. A területegységek a következők: mm 2, cm 2, m 2, km 2 stb.

Négyzetegységek átváltási táblázata

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (szövés)	hektár (ha)	km 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10-12 km 2
cm 2	100 mm 2	1 cm2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10-6 van	10 -8 ha	10-10 km 2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10-8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm2	100 dm 2	1 m 2	0,01 van	10 -4 ha	10-6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 dm 2	100 m2	1 van	0,01 ha	10-4 km 2
Ha	10 10 mm 2	10 8 cm2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 van	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

A kerület megkereséséhez szükséges ismereteket a hallgatók megkapják Általános Iskola. Ezután ezt az információt folyamatosan használják a matematika és a geometria során.

Az összes figuránál közös elmélet

A feleket általában latin betűkkel jelölik. Ezenkívül szegmensként is kijelölhetők. Ezután két betűre lesz szüksége mindkét oldalra, és nagy betűkkel írva. Vagy írja be a megnevezést egy betűvel, amely szükségszerűen kicsi lesz.
A betűk kiválasztása mindig ábécé sorrendben történik. Egy háromszög esetében ők lesznek az első három. A hatszögben 6 lesz - a-tól f-ig. Ez hasznos képletek beviteléhez.

Most arról, hogyan lehet megtalálni a kerületet. Ez az ábra minden oldalának hosszának összege. A kifejezések száma a típusától függ. A kerületet a latin P betű jelöli. A mértékegységek megegyeznek az oldalakra megadottakkal.

Kerületi képletek különböző alakzatokhoz

Háromszög esetén: P \u003d a + b + c. Ha egyenlő szárú, akkor a képletet át kell alakítani: P \u003d 2a + c. Hogyan találjuk meg a háromszög kerületét, ha egyenlő oldalú? Ez segít: P \u003d 3a.

Tetszőleges négyszögre: P=a+b+c+d. Speciális esete a négyzet, a kerületi képlet: P=4a. Van egy téglalap is, akkor a következő egyenlőség szükséges: P \u003d 2 (a + b).

Mi van, ha nem ismeri a háromszög egy vagy több oldalának hosszát?

Használja a koszinusz tételt, ha az adatok között van két oldal és a köztük lévő szög, amit A betűvel jelölünk. Ezután a kerület megtalálása előtt ki kell számítani a harmadik oldalt. Ehhez a következő képlet hasznos: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Ennek a tételnek egy speciális esete az, amelyet Pythagoras fogalmazott meg egy derékszögű háromszögre. Ez tartalmazza a koszinusz értékét derékszög válik nulla, ami azt jelenti, hogy az utolsó kifejezés egyszerűen eltűnik.

Vannak helyzetek, amikor megtudhatja, hogyan találja meg a háromszög kerületét az egyik oldalon. De ugyanakkor az ábra szögei is ismertek. Itt a szinusztétel jön segítségül, amikor az oldalak hosszának és a megfelelő szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő.

Abban a helyzetben, amikor egy ábra kerületét terület szerint kell megtalálni, más képletek is jól jöhetnek. Például, ha a beírt kör sugara ismert, akkor a háromszög kerületének megtalálásának kérdésében a következő képlet hasznos: S \u003d p * r, itt p a fél kerülete. Ebből a képletből kell származtatni, és meg kell szorozni kettővel.

Feladatpéldák

Első feltétel. Határozzuk meg egy háromszög kerületét, amelynek oldalai 3, 4 és 5 cm.
Megoldás. Használnia kell a fent jelzett egyenlőséget, és egyszerűen be kell cserélnie az értékfeladatban szereplő adatokat. A számítások egyszerűek, a 12 cm-es számhoz vezetnek.
Válasz. Egy háromszög kerülete 12 cm.

Második feltétel. A háromszög egyik oldala 10 cm. Ismeretes, hogy a második 2 cm-rel nagyobb, mint az első, a harmadik pedig másfélszer nagyobb, mint az első. Ki kell számítani a kerületét.
Megoldás. Ahhoz, hogy megtudd, két oldalt kell megszámolnod. A második 10 és 2 összege, a harmadik pedig 10 és 1,5 szorzata. Ezután már csak három érték összegét kell megszámolni: 10, 12 és 15. Az eredmény 37 cm lesz.
Válasz. A kerülete 37 cm.

Harmadik feltétel. Van egy téglalap és egy négyzet. A téglalap egyik oldala 4 cm, a másik 3 cm-rel hosszabb. Ki kell számítani a négyzet oldalának értékét, ha kerülete 6 cm-rel kisebb, mint a téglalapé.
Megoldás. A téglalap második oldala 7. Ennek ismeretében könnyen kiszámítható a kerülete. A számítás 22 cm-t ad.
A négyzet oldalának meghatározásához először le kell vonni a 6-ot a téglalap kerületéből, majd el kell osztani a kapott számot 4-gyel. Ennek eredményeként a 4-es számot kapjuk.
Válasz. A négyzet oldala 4 cm.

Bizonyára mindannyian megtanultuk az iskolában a geometria olyan fontos összetevőjét, mint a kerület. A kerület megtalálása egyszerűen szükséges számos probléma megoldásához. Cikkünk megmondja, hogyan találhatja meg a kerületet.

Érdemes megjegyezni, hogy bármely alak kerülete szinte mindig az oldalak összege. Nézzünk meg néhány különböző geometriai formát.

1. A téglalap olyan négyszög, amelynek párhuzamos oldalai páronként egyenlőek. Ha az egyik oldal X, a másik pedig Y, akkor a következő képletet kapjuk az ábra kerületének meghatározásához:

   P=2(X+Y)=X+Y+X+Y=2X+2Y.

   Egy példa a probléma megoldására:

   Tegyük fel, hogy X oldal = 5 cm, Y oldal = 10 cm. Tehát ezeket az értékeket behelyettesítve a képletünkbe, azt kapjuk, hogy - P = 2*5 cm + 2* 10cm = 30 cm.

2. A trapéz olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos, de nem egyenlő. A trapéz kerülete mind a négy oldalának összege:

   P = X+Y+Z+W, ahol X, Y, Z, W az ábra oldalai.

   Egy példa a probléma megoldására:

   Tegyük fel, hogy X oldal = 5 cm, Y oldal = 10 cm, Z oldal = 8 cm, W oldal = 20 cm. Tehát ezeket az értékeket a képletünkbe behelyettesítve - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. A kör kerülete (kerülete) a következő képlettel számítható ki:

   P = 2rπ = dπ, ahol r a kör sugara, d a kör átmérője.

   Egy példa a probléma megoldására:

   Tegyük fel, hogy körünk r sugara 5 cm, ekkor d átmérője 2 * 5 cm = 10 cm. Ismeretes, hogy π = 3,14. Tehát, ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a képletünkbe, azt kapjuk, hogy - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Ha meg kell találnia egy háromszög kerületét, akkor ennek során számos problémába ütközhet, mivel a háromszögek alakja nagyon eltérő lehet. Például vannak hegyes, tompa, egyenlő szárú, derékszögű vagy egyenlő oldalú háromszögek. Bár a képlet minden típusú háromszögre a következő:

   P = X+Y+Z, ahol X, Y, Z az ábra oldalai.

   A probléma az, hogy az ábra kerületének meghatározásával kapcsolatos számos probléma megoldása során nem mindig tudja az összes oldal hosszát. Például az egyik oldal hosszára vonatkozó információ helyett megadhatja egy adott háromszög szögének fokát vagy magasságának hosszát. Ez jelentősen megnehezíti a feladatot, de nem lesz irreális a megoldása. Hogyan lehet megtalálni a háromszög kerületét, függetlenül attól, hogy milyen alakú, elolvashatja a "".

5. Az ilyen alakzat kerülete rombuszként ugyanúgy megtalálható, mint egy négyzet kerülete, mivel a rombusz egy paralelogramma, amely egyenlő oldalak. Megtudhatja, hogyan találhatja meg a négyzet kerületét, ha elolvassa a "" weboldalunkon található cikket.

   Most már tudja, hogyan találja meg a szükséges geometriai alakzat kerületének oldalát!

A következőben tesztfeladatokat Keresse meg az ábrán látható ábra kerületét!

Az alakzat kerületének meghatározására számos módszer létezik. Az eredeti alakzatot úgy alakíthatja át, hogy az új alakzat kerülete könnyen kiszámítható legyen (például változtassa téglalapra).

Egy másik megoldás az, hogy közvetlenül az ábra kerületét keressük (az összes oldala hosszának összegeként). De ebben az esetben nem lehet csak a rajzra hagyatkozni, hanem a feladat adatai alapján keressük meg a szakaszok hosszát.

Figyelmeztetném: az egyik feladatban a javasolt válaszok között nem azt találtam, amelyik számomra bevált.

c) .

Mozgassuk a kis téglalapok oldalát a belső területről a külsőre. Ennek eredményeként a nagy téglalap bezárul. Képlet a téglalap kerületének meghatározásához

Ebben az esetben a=9a, b=3a+a=4a. Így P=2(9a+4a)=26a. A nagy téglalap kerületéhez hozzáadjuk négy szakasz hosszának összegét, amelyek mindegyike egyenlő 3a-val. Ennek eredményeként P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

A kis téglalapok belső oldalainak a külső területre való átvitele után egy nagy téglalapot kapunk, melynek kerülete P=2(10x+6x)=32x, és négy szegmens, kettő x hosszúságú, kettő 2x hosszúságú.

Összesen, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Mozogjunk 6 vízszintes „lépést” belülről kifelé. A kapott nagy téglalap kerülete P=2(6y+8y)=28y. Meg kell találni a 4y+6∙y=10y téglalapon belüli szakaszok hosszának összegét. Így az ábra kerülete P=28y+10y= 38 év .

D) .

Vigyük át a függőleges szegmenseket az ábra belső területéről balra, a külső területre. Ha nagy téglalapot szeretne kapni, mozgassa a 4-szeres hosszúságok egyikét a bal alsó sarokba.

Az eredeti ábra kerületét ennek a nagy téglalap kerületének és a maradék három szegmens hosszának összegeként találjuk meg P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

A kis téglalapok belső oldalait a külső területre mozgatva egy nagy négyzetet kapunk. Kerülete P=4∙10x=40x. Az eredeti ábra kerületének meghatározásához nyolc, egyenként 3x hosszú szakasz hosszának összegét kell hozzáadnia a négyzet kerületéhez. Összesen, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Vigyük át az összes vízszintes „lépést” és a függőleges felső szegmenst a külső területre. A kapott téglalap kerülete P=2(7y+4y)=22y. Az eredeti ábra kerületének meghatározásához hozzá kell adni a téglalap kerületéhez négy y hosszúságú szakasz hosszának összegét: P=22y+4∙y= 26 év .

D) .

Mozgassa az összes vízszintes vonalat a belső területről a külső területre, és mozgassa a két függőleges külső vonalat a bal és jobb sarokban, z balra és jobbra. Ennek eredményeként egy nagy téglalapot kapunk, amelynek kerülete P=2(11z+3z)=28z.

Az eredeti ábra kerülete egyenlő a nagy téglalap kerületének és hat z-beli szegmens hosszának összegével: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

A megoldás teljesen hasonló az előző példa megoldásához. Az ábra átalakítása után megtaláljuk a nagy téglalap kerületét:

P=2(5z+3z)=16z. A téglalap kerületéhez hozzáadjuk a fennmaradó hat szakasz hosszának összegét, amelyek mindegyike egyenlő z-vel: P=16z+6∙z= 22z .

A geometriát, ha nem tévedek, az én időmben ötödik osztálytól tanulták, és a kerület volt és az egyik kulcsfogalom. Így, kerülete az összes oldal hosszának összege (a latin P betűvel jelölve). Általában ezt a kifejezést többféleképpen értelmezik, pl.

• az ábra szegélyének teljes hossza,
• minden oldalának hossza,
• lapjai hosszának összege,
• a határoló vonal hossza,
• egy sokszög oldalai összes hosszának összege

A különböző alakzatoknak saját képletük van a kerület meghatározására. Magának a jelentésnek a megértéséhez azt javaslom, hogy önállóan levonjunk néhány egyszerű képletet:

1. egy négyzetre
2. egy téglalaphoz
3. paralelogrammához
4. kocka számára
5. egy dobozért

Egy négyzet kerülete

Például vegyük a legegyszerűbbet - egy négyzet kerületét.

A négyzet minden oldala egyenlő. Akkor nevezzük az egyik oldalt "a"-nak (és a másik hármat is).

P = a + a + a + a

vagy tömörebb jelöléssel

Egy téglalap kerülete

Bonyolítsuk a feladatot, és vegyünk egy téglalapot. Ebben az esetben már nem lehet azt mondani, hogy minden oldal egyenlő, ezért legyen a téglalap oldalainak hossza egyenlő a-val és b-vel.

Ekkor a képlet így fog kinézni:

P = a + b + a + b

Parallelogram kerülete

Hasonló helyzet lesz a paralelogrammával (lásd a téglalap kerületét)

kocka kerülete

Mit tegyünk, ha háromdimenziós figurával van dolgunk? Például vegyünk egy kockát. A kockának 12 oldala van, és mindegyik egyenlő. Ennek megfelelően a kocka kerülete a következőképpen számítható ki:

A doboz kerülete

Nos, az anyag rögzítéséhez kiszámítjuk a paralelepipedon kerületét. Itt kell egy kicsit gondolkodni. Csináljuk együtt. Mint tudjuk, a téglatest olyan alak, amelynek oldalai téglalap alakúak. Minden paralelepipedonnak két alapja van. Vegyük az egyik alapot, és nézzük meg az oldalát – a és b hosszúságuk van. Ennek megfelelően az alap kerülete P = 2a + 2b. Ekkor a két alap kerülete az

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

De van egy "c" oldalunk is. Tehát a paralelepipedon kerületének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni:

P = 4a + 4b + 4c

Amint a fenti példákból látható, az alakzat kerületének meghatározásához mindössze annyit kell tennie, hogy megkeresi az egyes oldalak hosszát, majd összeadja azokat.

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy nem minden alaknak van kerülete. Például, A gömbnek nincs kerülete.