समतल तरंग एक सपाट अग्रभाग वाली तरंग है। इस मामले में, किरणें समानांतर हैं।

एक समतल तरंग एक दोलनशील तल के आसपास के क्षेत्र में उत्तेजित होती है या यदि किसी बिंदु स्रोत के तरंगाग्र के एक छोटे से खंड पर विचार किया जाता है। इस क्षेत्र का क्षेत्रफल जितना बड़ा होगा, वह उत्सर्जक से उतना ही दूर होगा।

माना तरंग मोर्चे के विमान के खंड को कवर करने वाली किरणें एक "पाइप" बनाती हैं। एक समतल तरंग में ध्वनि दाब का आयाम स्रोत से दूरी के साथ कम नहीं होता है, क्योंकि इस पाइप की दीवारों के बाहर ऊर्जा का प्रसार नहीं होता है। व्यवहार में, यह अत्यधिक दिशात्मक विकिरण से मेल खाती है, जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक पैनलों से विकिरण। बड़ा क्षेत्र, सींग उत्सर्जक।

में संकेत विभिन्न बिंदुएक समतल तरंग के पुंज दोलनों के चरण में भिन्न होते हैं। यदि प्लेन वेव फ्रंट के एक निश्चित खंड में ध्वनि दबाव साइनसोइडल है, तो इसे एक घातीय रूप में दर्शाया जा सकता है पी जेडवी = पी टीवी-एक्सप (आइकोट)।दूरी पर जीबीम के साथ, यह दोलनों के स्रोत से पिछड़ जाएगा:

कहाँ पे जी/एस एसवीएक स्रोत से एक बिंदु तक की दूरी पर यात्रा करने के लिए तरंग को लगने वाला समय है जीबीम के साथ के \u003d (ओ / सी जेडबी \u003d 2g/D - तरंग संख्या, जो दूरी पर स्थित एक समतल तरंग के अग्रभाग में संकेतों के बीच चरण परिवर्तन को निर्धारित करती है जी।

वास्तविक ध्वनि तरंगेसाइनसॉइडल की तुलना में अधिक जटिल, हालांकि, साइनसॉइडल तरंगों के लिए की गई गणना गैर-साइनसॉइडल संकेतों के लिए भी मान्य है, यदि आवृत्ति को स्थिर नहीं माना जाता है, अर्थात। आवृत्ति डोमेन में एक जटिल संकेत पर विचार करें। यह तब तक संभव है जब तक तरंग प्रसार प्रक्रिया रैखिक रहती है।

वह तरंग जिसका अग्र भाग एक गोला होता है, गोलाकार तरंग कहलाती है। इस मामले में किरणें गोले की त्रिज्या के साथ मेल खाती हैं। एक गोलाकार तरंग दो स्थितियों में बनती है।

• 1. स्रोत के आयाम तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटे होते हैं, और स्रोत की दूरी हमें इसे एक बिंदु के रूप में मानने की अनुमति देती है। ऐसे स्रोत को बिंदु स्रोत कहा जाता है।
• 2. स्रोत एक स्पंदनशील गोला है।

दोनों ही मामलों में, यह माना जाता है कि लहर का कोई पुन: प्रतिबिंब नहीं है, अर्थात। केवल प्रत्यक्ष तरंग माना जाता है। इलेक्ट्रोकॉस्टिक्स के हित के क्षेत्र में विशुद्ध रूप से गोलाकार तरंगें नहीं हैं; यह एक समतल तरंग के समान ही अमूर्तता है। मध्यम-उच्च आवृत्तियों के क्षेत्र में, स्रोतों के विन्यास और आयाम हमें उन्हें एक बिंदु या एक क्षेत्र के रूप में मानने की अनुमति नहीं देते हैं। और कम आवृत्ति वाले क्षेत्र में, कम से कम फर्श का सीधा प्रभाव पड़ने लगता है। एकमात्र तरंग जो गोलाकार के करीब होती है, एक नम कक्ष में उत्सर्जक के छोटे आयामों के साथ बनती है। लेकिन इस अमूर्तता पर विचार करने से ध्वनि तरंगों के प्रसार के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को समझना संभव हो जाता है।

उत्सर्जक से बड़ी दूरी पर, गोलाकार तरंग एक समतल तरंग में बदल जाती है।

दूरी पर जीउत्सर्जक से, ध्वनि दबाव हो सकता है

रूप में प्रस्तुत किया गया है आर एसवी= -^-एक्सपी (/ (सह? टी - प्रति? जी)),कहाँ पे पी-जूनियर- आयाम

गोले के केंद्र से 1 मीटर की दूरी पर ध्वनि दाब। गोले के केंद्र से दूरी के साथ ध्वनि के दबाव में कमी एक बड़े क्षेत्र में शक्ति के प्रसार से जुड़ी है - 4 स्नातकोत्तर 2।वेवफ्रंट के पूरे क्षेत्र से बहने वाली कुल शक्ति नहीं बदलती है, इसलिए प्रति इकाई क्षेत्र की शक्ति दूरी के वर्ग के अनुपात में घट जाती है। और दबाव शक्ति के वर्गमूल के समानुपाती होता है, इसलिए यह वास्तविक दूरी के अनुपात में घटता है। कुछ निश्चित दूरी (1 mV .) पर दबाव को सामान्य करने की आवश्यकता ये मामला) इसी तथ्य से संबंधित है कि दबाव दूरी पर निर्भर करता है, केवल विपरीत दिशा में - एक बिंदु रेडिएटर के लिए असीमित दृष्टिकोण के साथ, ध्वनि दबाव (साथ ही कंपन वेग और अणुओं का विस्थापन) बिना सीमा के बढ़ता है।

एक गोलाकार तरंग में अणुओं का कंपन वेग माध्यम की गति के समीकरण से निर्धारित किया जा सकता है:

कुल दोलन गति वी एम = ^ एसवी ^ + से जी? अवस्था

/वी ई स्टार किलोग्राम

ध्वनि दबाव के सापेक्ष शिफ्ट एफ= -arctgf ---] (चित्र 9.1)।

इसे सीधे शब्दों में कहें, तो ध्वनि दबाव और कंपन वेग के बीच एक चरण बदलाव की उपस्थिति इस तथ्य के कारण है कि निकट क्षेत्र में, केंद्र से दूरी के साथ, ध्वनि दबाव बहुत तेजी से कम हो जाता है।

चावल। 9.1. चरण बदलाव की निर्भरता ध्वनि दबाव के बीच आरऔर कंपन गति v से एच/सी(बीम के साथ तरंग दैर्ध्य की दूरी)

अंजीर पर। 9.1 आप दो विशिष्ट क्षेत्र देख सकते हैं:

• 1) निकट जी/एच" 1.
• 2) दूर जी/एच" 1.

विकिरण प्रतिरोध क्षेत्र त्रिज्या जी

इसका मतलब है कि सारी शक्ति विकिरण पर खर्च नहीं होती है, कुछ किसी प्रतिक्रियाशील तत्व में जमा हो जाती है और फिर उत्सर्जक को वापस कर दी जाती है। भौतिक रूप से, इस तत्व को उत्सर्जक के साथ दोलन करने वाले माध्यम के संलग्न द्रव्यमान से जोड़ा जा सकता है:

यह देखना आसान है कि बढ़ती आवृत्ति के साथ माध्यम का जोड़ा द्रव्यमान घटता जाता है।

अंजीर पर। 9.2 विकिरण प्रतिरोध के वास्तविक और काल्पनिक घटकों के आयामहीन गुणांक की आवृत्ति निर्भरता को दर्शाता है। यदि Re(z(r)) > Im(z(r)). एक स्पंदनशील गोले के लिए, यह स्थिति संतुष्ट होती है किलो> 1.

एक तरंग के रूप में एक माध्यम में फैलने वाली एक दोलन प्रक्रिया, जिसका अग्र भाग है विमान, कहा जाता है विमान ध्वनि तरंग. व्यवहार में, एक समतल तरंग का निर्माण ऐसे स्रोत द्वारा किया जा सकता है जिसके रैखिक आयाम उसके द्वारा उत्सर्जित लंबी तरंगों की तुलना में बड़े हों, और यदि तरंग क्षेत्र क्षेत्र इससे पर्याप्त दूरी पर स्थित हो। लेकिन यह एक असीम वातावरण में मामला है। अगर स्रोत बाड़ लगी हुईकुछ बाधा, तो एक समतल तरंग का एक उत्कृष्ट उदाहरण कठोर दीवारों के साथ एक लंबे पाइप (वेवगाइड) में एक कठोर अनम्य पिस्टन द्वारा उत्तेजित दोलन है, यदि पिस्टन का व्यास विकिरणित तरंगों की लंबाई से बहुत कम है। पाइप में सामने की सतह, कठोर दीवारों के कारण नहीं बदलती है क्योंकि तरंग वेवगाइड के साथ फैलती है (चित्र 3.3 देखें)। हम हवा में अवशोषण और प्रकीर्णन के कारण ध्वनि ऊर्जा के नुकसान की उपेक्षा करते हैं।

यदि उत्सर्जक (पिस्टन) हार्मोनिक नियम के अनुसार आवृत्ति के साथ दोलन करता है
, और पिस्टन के आयाम (वेवगाइड व्यास) ध्वनि तरंग की लंबाई से बहुत छोटे हैं, तो इसकी सतह के पास बनाया गया दबाव है
. जाहिर है, कुछ ही दूरी पर एक्सदबाव होगा
, कहाँ पे
उत्सर्जक से बिंदु x तक तरंग का यात्रा समय है। इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखना अधिक सुविधाजनक है:
, कहाँ पे
- तरंग प्रसार की तरंग संख्या। काम
- एक दूरी पर दूरस्थ बिंदु पर दोलन प्रक्रिया का निर्धारित चरण घुसपैठ एक्सउत्सर्जक से।

परिणामी अभिव्यक्ति को गति के समीकरण (3.1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम बाद वाले को कंपन वेग के संबंध में एकीकृत करते हैं:

(3.8)

सामान्य तौर पर, समय के मनमाने क्षण के लिए यह पता चलता है कि:

. (3.9)

अभिव्यक्ति का दाहिना पक्ष (3.9) माध्यम (प्रतिबाधा) की विशेषता, तरंग या विशिष्ट ध्वनिक प्रतिरोध है। समीकरण (3.) को कभी-कभी ध्वनिक "ओम का नियम" कहा जाता है। समाधान से निम्नानुसार है, परिणामी समीकरण समतल तरंग के क्षेत्र में मान्य है। दबाव और कंपन गति चरणबद्ध, जो माध्यम के विशुद्ध रूप से सक्रिय प्रतिरोध का परिणाम है।

उदाहरण: समतल तरंग में अधिकतम दाब
पा. आवृत्ति में वायु कणों के विस्थापन का आयाम निर्धारित करें?

हल : तब से :

यह अभिव्यक्ति (3.10) से निकलता है कि ध्वनि तरंगों का आयाम बहुत छोटा है, कम से कम स्वयं ध्वनि स्रोतों के आयामों की तुलना में।

अदिश क्षमता, दबाव और कंपन वेग के अलावा, ध्वनि क्षेत्र को ऊर्जा विशेषताओं की भी विशेषता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण तीव्रता है - प्रति इकाई समय में तरंग द्वारा किए गए ऊर्जा प्रवाह घनत्व वेक्टर। परिभाषा से
ध्वनि दबाव और कंपन वेग के उत्पाद का परिणाम है।

माध्यम में हानियों की अनुपस्थिति में, एक समतल तरंग, सैद्धांतिक रूप से, बिना क्षीणन के मनमाने ढंग से बड़ी दूरी पर फैल सकती है, क्योंकि एक सपाट मोर्चे के आकार का संरक्षण लहर के "विचलन" की अनुपस्थिति को इंगित करता है, और इसलिए, क्षीणन की अनुपस्थिति। लहर के सामने घुमावदार होने पर स्थिति अलग होती है। ऐसी तरंगों में सबसे पहले, गोलाकार और बेलनाकार तरंगें शामिल हैं।

3.1.3. नॉन-प्लानर फ्रंट वाली तरंगों के मॉडल

एक गोलाकार तरंग के लिए, समान चरणों की सतह एक गोला है। ऐसी तरंग का स्रोत भी एक गोला है, जिसके सभी बिंदु समान आयामों और चरणों के साथ दोलन करते हैं, और केंद्र गतिहीन रहता है (चित्र 3.4, ए देखें)।

एक गोलाकार तरंग को एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है जो एक स्रोत से फैलने वाली तरंग की क्षमता के लिए एक गोलाकार समन्वय प्रणाली में तरंग समीकरण का समाधान होता है:

. (3.11)

एक समतल तरंग के साथ सादृश्य द्वारा कार्य करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि ध्वनि स्रोत से दूरी पर, अध्ययन के तहत तरंग दैर्ध्य बहुत अधिक हैं:
. इसका मतलब है कि इस मामले में ध्वनिक "ओम का नियम" भी पूरा होता है। व्यावहारिक परिस्थितियों में, गोलाकार तरंगें मुख्य रूप से मनमाना आकार के कॉम्पैक्ट स्रोतों से उत्साहित होती हैं, जिनके आयाम उत्तेजित ध्वनि या अल्ट्रासोनिक तरंगों की लंबाई से बहुत छोटे होते हैं। दूसरे शब्दों में, एक "बिंदु" स्रोत मुख्य रूप से गोलाकार तरंगों को विकीर्ण करता है। स्रोत से बड़ी दूरी पर या, जैसा कि वे कहते हैं, "दूर" क्षेत्र में, एक गोलाकार लहर लहर के मोर्चे के वर्गों के संबंध में एक विमान की लहर की तरह व्यवहार करती है जो आकार में सीमित होती है, या, जैसा कि वे कहते हैं: "पतित एक विमान की लहर में ”। क्षेत्र की लघुता की आवश्यकताएं न केवल आवृत्ति द्वारा निर्धारित की जाती हैं, बल्कि
- तुलना किए गए बिंदुओं के बीच की दूरी में अंतर। ध्यान दें कि यह फ़ंक्शन
विशेषता है:
पर
. यह ध्वनि के उत्सर्जन और प्रकीर्णन से जुड़ी विवर्तन समस्याओं के कठोर समाधान में कुछ कठिनाइयों का कारण बनता है।

बदले में, बेलनाकार तरंगें (लहर के सामने की सतह - एक सिलेंडर) एक असीम रूप से लंबे स्पंदित सिलेंडर द्वारा उत्सर्जित होती हैं (चित्र 3.4 देखें)।

सुदूर क्षेत्र में, इस तरह के स्रोत के संभावित कार्य के लिए व्यंजक अभिव्यक्ति के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से प्रवृत्त होता है:


. (3.12)

यह दिखाया जा सकता है कि इस मामले में भी, संबंध
. दूर क्षेत्र में बेलनाकार तरंगें, साथ ही गोलाकार तरंगें पतितसमतल तरंगों में।

प्रसार के दौरान लोचदार तरंगों का कमजोर होना न केवल वेव फ्रंट (लहर के "विचलन") की वक्रता में बदलाव के साथ जुड़ा हुआ है, बल्कि "क्षीणन" की उपस्थिति के साथ भी है, अर्थात। ध्वनि क्षीणन। औपचारिक रूप से, किसी माध्यम में अवमंदन की उपस्थिति को तरंग संख्या को एक सम्मिश्र के रूप में निरूपित करके वर्णित किया जा सकता है
. फिर, उदाहरण के लिए, एक समतल दबाव तरंग के लिए, कोई प्राप्त कर सकता है: आर(एक्स, टी) = पीमैक्स
=
.

यह देखा जा सकता है कि जटिल तरंग संख्या का वास्तविक भाग स्थानिक यात्रा तरंग का वर्णन करता है, और काल्पनिक भाग तरंग के आयाम में क्षीणन की विशेषता है। इसलिए,  के मान को क्षीणन (क्षीणन) का गुणांक कहा जाता है, आयामी मान (Neper/m) है। एक "नेपर" लहर के आयाम में "ई" समय में परिवर्तन से मेल खाता है जब तरंग मोर्चा प्रति इकाई लंबाई में चलता है। सामान्य स्थिति में, क्षीणन माध्यम में अवशोषण और बिखरने से निर्धारित होता है: =  abs + rass। ये प्रभाव विभिन्न कारणों से निर्धारित होते हैं और इन्हें अलग से माना जा सकता है।

सामान्य स्थिति में, अवशोषण ध्वनि ऊर्जा के अपरिवर्तनीय नुकसान से जुड़ा होता है जब इसे गर्मी में परिवर्तित किया जाता है।

प्रकीर्णन, आपतित तरंग की ऊर्जा के भाग को अन्य दिशाओं में पुन: उन्मुख करने से जुड़ा है जो आपतित तरंग से मेल नहीं खाते।

: ऐसी लहर प्रकृति में मौजूद नहीं है, क्योंकि एक समतल तरंग के सामने का भाग से शुरू होता है $-\backslash mathcal(1)$और समाप्त होता है $+\backslash mathcal(1)$जो स्पष्ट रूप से नहीं हो सकता। इसके अलावा, एक समतल तरंग में अनंत शक्ति होगी, और एक समतल तरंग बनाने में अनंत ऊर्जा लगेगी। एक जटिल (वास्तविक) मोर्चे के साथ एक लहर को स्थानिक चर में फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके समतल तरंगों के एक स्पेक्ट्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अर्ध-विमान तरंग- एक लहर जिसका अग्रभाग सीमित क्षेत्र में समतल के निकट हो। यदि विचाराधीन समस्या के लिए क्षेत्र के आयाम काफी बड़े हैं, तो अर्ध-समतल तरंग को लगभग समतल तरंग माना जा सकता है। एक जटिल मोर्चे के साथ एक लहर को स्थानीय अर्ध-समतल तरंगों के एक सेट द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिनके चरण वेग वैक्टर इसके प्रत्येक बिंदु पर वास्तविक मोर्चे के लिए सामान्य होते हैं। अर्ध-तल विद्युत चुम्बकीय तरंगों के स्रोतों के उदाहरण लेजर, परावर्तक और लेंस एंटेना हैं: चरण वितरण विद्युत चुम्बकीयएपर्चर (विकिरण छेद) के समानांतर एक विमान में, वर्दी के करीब। जैसे-जैसे एपर्चर से दूरी बढ़ती है, तरंग मोर्चा एक जटिल आकार लेता है।

परिभाषा

किसी भी तरंग का समीकरण एक अवकल समीकरण का हल होता है जिसे कहा जाता है हिलाना. फ़ंक्शन के लिए तरंग समीकरण $ए$रूप में लिखा है

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$कहाँ पे

• $\backslash डेल्टा$- लाप्लास ऑपरेटर;
• $ए\; (\backslash \; vec\; (आर),\; टी)$- वांछित समारोह;
• $आर$- वांछित बिंदु की त्रिज्या वेक्टर;
• $वी$- तरंग गति;
• $टी$- समय।

एक आयामी मामला

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; (E)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho\; v^2)\; (2)\; \backslash left\; (\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; ।$

कुल ऊर्जा है

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; ।$

ऊर्जा घनत्व, क्रमशः के बराबर है

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash बाएं(\backslash cfrac\; (\backslash आंशिक\; ए)\; (\backslash आंशिक\; (x))\; \backslash दाएं)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash सही)\; ।$

ध्रुवीकरण

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साहित्य

• सेवलिव आई.वी.[भाग 2. लहरें। लोचदार तरंगें।] // सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम / एल.आई. ग्लैडनेव, एन.ए. मिखलिन, डीए मिर्टोव द्वारा संपादित। - तीसरा संस्करण। - एम।: नौका, 1988। - टी। 2. - एस। 274-315। - 496 पी। - 220,000 प्रतियां।

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प्लेन वेव की विशेषता वाला एक अंश

- यह अफ़सोस की बात है, नौजवान के लिए अफ़सोस की बात है; मुझे एक पत्र दो।
जैसे ही रोस्तोव के पास पत्र सौंपने और डेनिसोव की पूरी कहानी बताने का समय था, सीढ़ियों से उछले हुए स्पर्स के साथ त्वरित कदम और सामान्य, उससे दूर जाकर, पोर्च में चले गए। संप्रभु के अनुचर के सज्जन सीढ़ियों से नीचे भागे और घोड़ों के पास गए। जमींदार एनी, वही जो ऑस्ट्रलिट्ज़ में था, संप्रभु का घोड़ा लाया, और सीढ़ियों पर कदमों की एक हल्की सी लकीर थी, जिसे रोस्तोव ने अब पहचान लिया था। पहचाने जाने के खतरे को भूलकर, रोस्तोव कई जिज्ञासु निवासियों के साथ बहुत ही बरामदे में चला गया और फिर, दो साल बाद, उसने वही विशेषताएं देखीं जो उसने पसंद कीं, वही चेहरा, वही रूप, वही चाल, महानता का एक ही संयोजन और नम्रता ... और उसी शक्ति के साथ संप्रभु के लिए खुशी और प्रेम की भावना रोस्तोव की आत्मा में पुनर्जीवित हो गई। प्रीओब्राज़ेंस्की वर्दी में संप्रभु, सफेद लेगिंग और उच्च जूते में, एक स्टार के साथ जो रोस्तोव को नहीं पता था (यह लीजन डी "होनूर था) [लीजन ऑफ ऑनर का सितारा] पोर्च पर बाहर चला गया, उसकी बांह के नीचे अपनी टोपी पकड़कर और दस्ताने पहने हुए। वह रुक गया, चारों ओर देख रहा था और यह सब उसकी टकटकी से अपने परिवेश को रोशन कर रहा था। उसने कुछ जनरलों से कुछ शब्द कहे। उन्होंने पूर्व डिवीजन प्रमुख रोस्तोव को भी पहचान लिया, उन्हें देखकर मुस्कुराया और उन्हें अपने पास बुलाया।
पूरा रेटिन्यू पीछे हट गया, और रोस्तोव ने देखा कि कैसे इस जनरल ने काफी समय तक संप्रभु से कुछ कहा।
सम्राट ने उससे कुछ शब्द कहे और घोड़े के पास जाने के लिए एक कदम उठाया। फिर से अनुचरों की भीड़ और गली की भीड़, जिसमें रोस्तोव था, संप्रभु के करीब चला गया। घोड़े को रोककर और अपने हाथ से काठी पकड़े हुए, सम्राट घुड़सवार सेनापति की ओर मुड़ा और जोर से बोला, जाहिर तौर पर इस इच्छा के साथ कि हर कोई उसे सुन सके।
"मैं नहीं कर सकता, जनरल, और इसलिए मैं नहीं कर सकता, क्योंकि कानून मुझसे अधिक मजबूत है," सम्राट ने कहा और अपना पैर रकाब में डाल दिया। जनरल ने सम्मानपूर्वक अपना सिर झुकाया, संप्रभु बैठ गए और सड़क पर सरपट दौड़ पड़े। रोस्तोव, खुशी के साथ खुद के पास, भीड़ के साथ उसके पीछे दौड़ा।

उस चौक पर जहां संप्रभु गया था, प्रीओब्राज़ेनियन की बटालियन दाईं ओर आमने-सामने खड़ी थी, बाईं ओर भालू टोपी में फ्रांसीसी गार्ड की बटालियन।
जब संप्रभु बटालियनों के एक झुंड के पास आ रहा था, जिसने गार्ड ड्यूटी की थी, घुड़सवारों की एक और भीड़ विपरीत दिशा में कूद गई, और उनके आगे रोस्तोव ने नेपोलियन को पहचान लिया। यह कोई और नहीं हो सकता। वह एक छोटी टोपी में सरपट दौड़ा, उसके कंधे पर सेंट एंड्रयू का रिबन, एक सफेद अंगिया के ऊपर खुली नीली वर्दी में, एक असामान्य रूप से अच्छी तरह से अरब ग्रे घोड़े पर, एक लाल रंग की, सोने की कढ़ाई वाली काठी पर। सिकंदर के पास चढ़कर, उसने अपनी टोपी उठाई, और इस आंदोलन के साथ, रोस्तोव की घुड़सवार आंख यह नोटिस करने में असफल नहीं हो सका कि नेपोलियन बुरी तरह से अपने घोड़े पर नहीं बैठा था। बटालियन चिल्लाई: हुर्रे और विवे एल "सम्राट! [सम्राट जीवित रहें!] नेपोलियन ने सिकंदर से कुछ कहा। दोनों सम्राट अपने घोड़ों से उतर गए और एक-दूसरे का हाथ थाम लिया। नेपोलियन के चेहरे पर एक अप्रिय नकली मुस्कान थी। सिकंदर एक स्नेही के साथ अभिव्यक्ति ने उससे कुछ कहा।
रोस्तोव ने अपनी आँखें नहीं हटाईं, फ्रांसीसी जेंडर के घोड़ों द्वारा रौंदने के बावजूद, भीड़ को घेर लिया, सम्राट अलेक्जेंडर और बोनापार्ट के हर आंदोलन का पालन किया। एक आश्चर्य के रूप में, वह इस तथ्य से चकित था कि सिकंदर ने बोनापार्ट के साथ एक समान व्यवहार किया, और बोनापार्ट पूरी तरह से स्वतंत्र था, जैसे कि संप्रभु के साथ यह निकटता स्वाभाविक और परिचित थी, एक समान के रूप में, उसने रूसी ज़ार के साथ व्यवहार किया।
सिकंदर और नेपोलियन रेटिन्यू की एक लंबी पूंछ के साथ प्रीब्राज़ेंस्की बटालियन के दाहिने किनारे पर पहुंचे, ठीक उस भीड़ पर जो वहां खड़ी थी। भीड़ ने अप्रत्याशित रूप से खुद को सम्राटों के इतना करीब पाया कि रोस्तोव, जो उसके सामने खड़ा था, डर गया कि वे उसे पहचान नहीं पाएंगे।
- सर, जे वोस डिमांडे ला परमिशन डे डोनर ला लेगियन डी "होनूर औ प्लस ब्रेव डी वोस सोल्ड्स, [सर, मैं आपसे आपके सबसे बहादुर सैनिकों को ऑर्डर ऑफ द लीजन ऑफ ऑनर देने की अनुमति मांगता हूं,] - ए ने कहा तेज, सटीक आवाज, प्रत्येक अक्षर को समाप्त करना यह बोनापार्ट ने कहा था, कद में छोटा, नीचे से सीधे सिकंदर की आंखों में देख रहा था।
- ए सेलुई क्यूई एस "एस्ट ले प्लस वैलामेंट कंड्यूट डान्स सेटे डेरेनिएरे ग्युरे, [युद्ध के दौरान खुद को सबसे बहादुरी दिखाने वाले के लिए," नेपोलियन ने कहा, प्रत्येक शब्दांश को रैप करते हुए, रोस्तोव के लिए अपमानजनक शांति और आत्मविश्वास के साथ, चारों ओर देख रहे थे रूसियों के रैंक उसके सामने सैनिकों के सामने फैले हुए थे, सब कुछ पहरा दे रहे थे और अपने सम्राट के चेहरे पर गतिहीन रूप से देख रहे थे।
- Votre majeste me permettra t elle de deडिमांडर l "avis du कर्नल? [महामहिम मुझे कर्नल की राय पूछने की अनुमति देंगे?] - सिकंदर ने कहा और बटालियन कमांडर प्रिंस कोज़लोवस्की की ओर कुछ जल्दबाजी में कदम उठाए। इस बीच, बोनापार्ट ने शुरू किया अपना सफेद दस्ताना, छोटा हाथ और उसे फाड़ कर, उसने उसे अंदर फेंक दिया। सहायक ने जल्दबाजी में पीछे से आगे की ओर दौड़ते हुए उसे उठाया।
- किसे देना है? - जोर से नहीं, रूसी में, सम्राट अलेक्जेंडर ने कोज़लोवस्की से पूछा।
- आप किसे आदेश देते हैं, महामहिम? संप्रभु ने नाराजगी से मुंह मोड़ लिया और चारों ओर देखते हुए कहा:
"हां, आपको उसका जवाब देना होगा।
कोज़लोवस्की ने पीछे मुड़कर एक दृढ़ नज़र से देखा, और इस नज़र में रोस्तोव को भी पकड़ लिया।
"क्या यह मैं नहीं हूँ?" रोस्तोव ने सोचा।
- लाज़रेव! कर्नल ने आज्ञा दी, भ्रूभंग; और प्रथम श्रेणी के सैनिक लाज़रेव ने तेज़ी से आगे कदम बढ़ाया।
- आप कहाँ हैं? यहाँ रुको! - लाज़रेव को आवाज़ें फुसफुसाए, जो नहीं जानता था कि कहाँ जाना है। लाज़रेव रुक गया, कर्नल पर भयभीत दृष्टि से देखा, और उसका चेहरा कांप गया, जैसा कि सामने वाले सैनिकों के साथ होता है।
नेपोलियन ने अपना सिर थोड़ा पीछे घुमाया और अपना छोटा मोटा हाथ पीछे खींच लिया, मानो कुछ लेना चाहता हो। उसके रेटिन्यू के चेहरे, उसी क्षण अनुमान लगाते हुए कि मामला क्या था, उपद्रव किया, फुसफुसाया, एक दूसरे को कुछ दे रहा था, और पेज, वही जिसे रोस्तोव ने कल बोरिस में देखा था, आगे बढ़ा और सम्मानपूर्वक हाथ बढ़ाया और उसे एक पल के लिए रुकने नहीं दिया। एक सेकंड, उसमें एक लाल रिबन पर एक आदेश डाल दिया। नेपोलियन ने बिना देखे ही दो अंगुलियां निचोड़ लीं। आदेश ने खुद को उनके बीच पाया। नेपोलियन ने लाज़रेव से संपर्क किया, जिसने अपनी आँखें घुमाते हुए, हठपूर्वक केवल अपने संप्रभु को देखना जारी रखा, और सम्राट अलेक्जेंडर को पीछे मुड़कर देखा, यह दिखाते हुए कि वह अब जो कर रहा था, वह अपने सहयोगी के लिए कर रहा था। छोटा सफेद हाथआदेश के साथ सैनिक लाज़रेव के बटन को छुआ। यह ऐसा था जैसे नेपोलियन जानता था कि इस सैनिक को हमेशा के लिए दुनिया में हर किसी से खुश, पुरस्कृत और प्रतिष्ठित होने के लिए, केवल यह आवश्यक था कि नेपोलियन का हाथ सैनिक की छाती को छूने के लिए तैयार हो। नेपोलियन ने केवल लाज़रेव की छाती पर क्रॉस रखा और, अपना हाथ छोड़ते हुए, सिकंदर की ओर मुड़ गया, जैसे कि वह जानता था कि क्रॉस लाज़रेव की छाती से चिपकना चाहिए। क्रॉस वास्तव में अटक गया।

समतल लहरएक लहर है जिसका अग्र भाग समतल है। याद रखें कि सामने एक इक्विफ़ेज़ सतह है, अर्थात। समान चरणों की सतह।

हम स्वीकार करते हैं कि बिंदु 0 पर (आकृति 5.1) एक बिंदु स्रोत है, एक तल है आर Z अक्ष के लंबवत, अंक एमजम्मू और एम 2विमान में लेट जाओ आर।हम यह भी स्वीकार करते हैं कि स्रोत O समतल से बहुत दूर है आर,क्या ओमज | | ओम 2।इसका मतलब है कि विमान में सभी बिंदु आर,जो वेव फ्रंट है, बराबर हैं, यानी। विमान में चलते समय आरकोई प्रक्रिया राज्य परिवर्तन नहीं है:

चावल। 5.1.

आइए हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों को हल करें

क्षेत्र वैक्टर के संबंध में और परिणामी समाधानों का अध्ययन करें।

इस मामले में, छह समीकरणों में से केवल दो समीकरण शेष हैं:

निर्वात में समतल तरंगें

समाधान विभेदक समीकरण(5.1) का रूप है

अभिलक्षणिक समीकरण के मूल कहाँ हैं

जटिल सदिशों से उनके तात्क्षणिक मानों तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहला टर्म फॉरवर्ड वेव है, और दूसरा बैकवर्ड वेव है। समीकरण (5.2) में पहले पद पर विचार करें। अंजीर पर। 5.2 इस समीकरण के अनुसार तनाव के वितरण को दर्शाता है विद्युत क्षेत्रसमय पर t और At। अंक 1 और 2 विद्युत क्षेत्र की ताकत के मैक्सिमा के अनुरूप हैं। समय के साथ अधिकतम की स्थिति बदल गई है परकुछ दूरी पर अज़:

फ़ंक्शन मानों की समानता तर्कों की समानता से सुनिश्चित होती है: ooAt = केएज़इस मामले में, हम चरण वेग के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं

चित्र। 5.2.विद्युत क्षेत्र की ताकत में परिवर्तन का ग्राफ

वैक्यूम यूवी के लिए = - , सी ° = -j2== 3 10 8 मी/से.

डब्ल्यू 8 ओमो-ओ वी ई ओमो

इसका अर्थ है कि निर्वात में प्रसार वेग विद्युत चुम्बकीय तरंगप्रकाश की गति के बराबर। समीकरण (5.2) में दूसरे पद पर विचार करें:

यह यूवी = - देता है। यह स्रोत की ओर फैलने वाली तरंग से मेल खाती है।

आइए दूरी को परिभाषित करें एक्स 360° से भिन्न चरणों वाले क्षेत्र बिंदुओं के बीच। इस दूरी को तरंगदैर्घ्य कहते हैं। क्यों कि

कहाँ पे प्रतिवेवनंबर (प्रसार स्थिरांक) है, तो

वैक्यूम तरंग दैर्ध्य एक्स 0= c //, जहाँ c प्रकाश की गति है।

अन्य मीडिया में क्रमशः चरण वेग और तरंग दैर्ध्य

चरण वेग के सूत्र से निम्नानुसार है, यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की आवृत्ति पर निर्भर नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि एक दोषरहित माध्यम गैर-फैलाने वाला है।

आइए हम विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिशों की दिशाओं के बीच संबंध स्थापित करें। आइए मैक्सवेल के समीकरणों से शुरू करें:

हम सदिश समीकरणों को अदिश समीकरणों से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात्। पिछले समीकरणों में वैक्टर के अनुमानों की बराबरी करें:

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रणाली में (5.3)

तब हमें मिलता है

स्थिति (5.4) से यह स्पष्ट है कि समतल तरंगों में कोई अनुदैर्ध्य घटक नहीं होते हैं, क्योंकि ईज़ी= ओह, एच 2= 0. व्यक्त करते हुए अदिश गुणन (E, R) लिखिए भूतपूर्वतथा ई यूभाव से (5.4):

चूँकि सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य है, सदिश योऔर I समतल तरंग में एक दूसरे के लंबवत हैं। इस तथ्य के कारण कि उनके पास अनुदैर्ध्य घटक नहीं हैं, ? और I प्रसार की दिशा के लंबवत हैं। आइए हम विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिशों के आयामों का अनुपात निर्धारित करें।

स्वीकार करें कि एक वेक्टर? अक्ष के साथ निर्देशित एक्स,क्रमश: ई वाई - 0, एच एक्स - 0.

समीकरण से (5.4) भूतपूर्व=-मैं पर हूँ ~-ई एक्स।अत:=-=,/- -जेड,सो लिटर कुंआसोया वी ई

जहां Z मैक्रोस्कोपिक पैरामीटर ई और पी के साथ माध्यम का तरंग प्रतिरोध है;

जेड 0 - वैक्यूम प्रतिबाधा। उच्च सटीकता के साथ, इस मान को शुष्क हवा के तरंग प्रतिरोध के रूप में माना जा सकता है।

आइए के लिए भाव लिखें तात्कालिक मानमैं और? समीकरण (5.2) का उपयोग करते हुए आपतित तरंग। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

वैसे ही

जैसे-जैसे आपतित तरंग अक्ष के अनुदिश गति करती है जेडआयाम? और मैं अपरिवर्तित रहता हूं, अर्थात। तरंग का कोई अवमंदन नहीं होता है, क्योंकि ढांकता हुआ में ऊष्मा के रूप में कोई चालन धाराएं और ऊर्जा मुक्त नहीं होती है।

अंजीर पर। 5.3, एकस्थानिक वक्र दिखाए जाते हैं, जो R और? के तात्कालिक मूल्यों के रेखांकन हैं। ये ग्राफ समय के क्षण के लिए प्राप्त समीकरणों के अनुसार बनाए गए हैं खाट = 0. बाद के समय के लिए, उदाहरण के लिए cot + |/ n = पी/2,इसी तरह के वक्र अंजीर में दिखाए गए हैं। 5.3, बी।

चावल। 5.3.

एक- एक पर ) टी = 0; बल्ला यू>टी= एन/2

जैसा कि अंजीर में देखा गया है। 5.3, ए और बी, वेक्टर इजब तरंग चलती है, तो वह अक्ष के अनुदिश निर्देशित रहती है एक्स,और वेक्टर I - अक्ष के साथ वाई, I और के बीच चरण परिवर्तन? ना।

आपतित तरंग का पोयंटिंग सदिश अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है जेडइसका मापांक कानून के अनुसार बदलता है P = सी 2 जेडपाप 2 ^ खाट + --zj. क्यों कि

sin2a = (1 - cos2a)/2, से 1-cosf 2cot+-- जेड] , अर्थात। वेक्टर

2 एल वी वी)_

पॉइंटिंग का एक निरंतर घटक होता है सी 2 जेड / 2और एक समय-भिन्न चर कोणीय आवृत्ति से दोगुना है।

तरंग समीकरणों के समाधान के विश्लेषण के आधार पर, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

• 1. निर्वात में समतल तरंगें प्रकाश की गति से फैलती हैं, अन्य माध्यमों में गति ^/e, p r गुना कम होती है।
• 2. विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिशों में अनुदैर्ध्य घटक नहीं होते हैं और ये एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
• 3. विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के आयामों का अनुपात उस माध्यम के तरंग प्रतिरोध के बराबर होता है जिसमें विद्युत चुम्बकीय तरंगें फैलती हैं।

> गोलाकार और समतल तरंगें

अंतर करना सीखें गोलाकार और समतल तरंगें. पढ़ें क्या तरंग को सपाट या गोलाकार कहा जाता है, स्रोत, तरंग मोर्चे की भूमिका, विशेषता।

गोलाकार तरंगेंएक गोलाकार पैटर्न में एक बिंदु स्रोत से उत्पन्न होते हैं, और समतलअनंत समानांतर विमान हैं जो चरण वेग वेक्टर के लिए सामान्य हैं।

सीखने का कार्य

• गोलाकार और समतल तरंग पैटर्न के स्रोतों की गणना करें।

प्रमुख बिंदु

• लहरें रचनात्मक और विनाशकारी हस्तक्षेप पैदा करती हैं।
• गोलाकार एक एकल बिंदु स्रोत से गोलाकार आकार में उत्पन्न होते हैं।
• सपाट पानी आवृत्ति है, जिसके तरंग मोर्चे एक स्थिर आयाम के साथ अनंत समानांतर विमानों के रूप में कार्य करते हैं।
• वास्तव में, यह एक आदर्श विमान तरंग प्राप्त करने के लिए काम नहीं करेगा, लेकिन कई ऐसी स्थिति में आ रहे हैं।

शर्तें

• विनाशकारी हस्तक्षेप - तरंगें एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप करती हैं, और अंक मेल नहीं खाते हैं।
• रचनात्मक - तरंगें हस्तक्षेप करती हैं और बिंदु समान चरणों में स्थित होते हैं।
• एक तरंग मोर्चा एक काल्पनिक सतह है जो मध्यम चरण में दोलन बिंदुओं के माध्यम से फैली हुई है।

गोलाकार तरंगें

गोलाकार तरंग क्या है? क्रिश्चियन हाइजेंस तरंग प्रसार की विधि और स्थान निर्धारित करने के लिए एक विधि विकसित करने में सफल रहे। 1678 में, उन्होंने सुझाव दिया कि प्रत्येक बिंदु जो एक प्रकाश बाधा का सामना करता है, एक गोलाकार तरंग के स्रोत में बदल जाता है। द्वितीयक तरंगों का योग किसी भी समय दृश्य की गणना करता है। इस सिद्धांत ने दिखाया कि संपर्क करने पर, तरंगें विनाशकारी या रचनात्मक हस्तक्षेप करती हैं।

यदि तरंगें पूरी तरह से एक दूसरे के साथ चरण में हों, और अंतिम प्रवर्धित हो तो रचनात्मक बनते हैं। विनाशकारी तरंगों में, वे चरण में मेल नहीं खाते हैं और अंतिम बस कम हो जाती है। तरंगें एकल बिंदु स्रोत से उत्पन्न होती हैं, इसलिए वे एक गोलाकार पैटर्न में बनती हैं।

यदि तरंगें एक बिंदु स्रोत से उत्पन्न होती हैं, तो वे गोलाकार के रूप में कार्य करती हैं

यह सिद्धांत अपवर्तन के नियम को लागू करता है। लहर पर प्रत्येक बिंदु तरंगें बनाता है जो एक दूसरे के साथ रचनात्मक या विनाशकारी रूप से हस्तक्षेप करते हैं।

समतल तरंगें

आइए अब समझते हैं कि किस प्रकार की तरंग को समतल तरंग कहते हैं। विमान एक आवृत्ति तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके सामने एक स्थिर आयाम के साथ अनंत समानांतर विमान होते हैं, जो चरण वेग वेक्टर के लंबवत स्थित होते हैं। वास्तव में, एक वास्तविक समतल तरंग प्राप्त करना असंभव है। अनंत लंबाई वाला केवल एक फ्लैट इसका मिलान कर सकता है। सच है, इस अवस्था में कई लहरें आती हैं। उदाहरण के लिए, एक एंटीना एक ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करता है जो लगभग समतल होता है।

फ्लैट वाले अनंत संख्या में तरंगफ्रंट प्रदर्शित करते हैं जो प्रसार के पक्ष में सामान्य होते हैं