गणित में परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होता है। मैं सभी ज्ञात सूचनाओं को जोड़ना चाहता हूं, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्र की गणना कैसे करें। इसके अलावा, बेस और साइड फेस से शुरू होकर पूरे सतह क्षेत्र तक। यदि भुजाओं के फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय क्या करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से n-gon तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अलावा, एक नियमित आंकड़ा या गलत हो सकता है। स्कूली बच्चों के हित के यूएसई असाइनमेंट में, आधार पर सही आंकड़ों के साथ केवल असाइनमेंट होते हैं। इसलिए, हम केवल उनके बारे में बात करेंगे।

सही त्रिकोण

वह समबाहु है। वह जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और "a" अक्षर से निरूपित हों। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4।

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "a" फिर से भुजा है:

मनमाना नियमित n-gon

बहुभुज के किनारे का एक ही पदनाम है। कोनों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का उपयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय कैसे आगे बढ़ें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होती है। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणनफल को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। सामान्य सूत्रपार्श्व सतह क्षेत्र के लिए इस तरह दिखता है:

एस \u003d ½ पी * ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन भुजाएँ (c) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए इस तरह के सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

एस = एन/2 * 2 पाप में α .

कार्य 1

स्थि‍ति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका आधार 4 सेमी की भुजा के साथ स्थित है, और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरू करने की आवश्यकता है। चूंकि यह एक नियमित त्रिकोण है, तो पी \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी। चूंकि एपोथेम ज्ञात है, आप तुरंत पूरे पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: ½ * 12 * 3 = 6 3 सेमी 2.

आधार पर एक त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित क्षेत्रफल मान प्राप्त होगा: (4 2 * 3) / 4 \u003d 4√3 सेमी 2.

पूरे क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने होंगे: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी2।

कार्य #2

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार के किनारे की लंबाई 7 मिमी है, किनारे का किनारा 16 मिमी है। आपको इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल जानना होगा।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुर्भुज और नियमित है, तो इसका आधार एक वर्ग है। आधार और पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को जानने के बाद, पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना संभव होगा। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और भुजाओं के फलकों पर त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात होती हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और इस संख्या की ओर ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करनी होगी: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2. ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय, आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह पता चला है: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 मिमी 2.

उत्तर. वांछित मूल्य 267.576 मिमी 2 है।

कार्य #3

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। इसमें वर्ग की भुजा 6 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है।

समाधान।परिधि और एपोथेम के उत्पाद के साथ सूत्र का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। पहला मूल्य खोजना आसान है। दूसरा थोड़ा और कठिन है।

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम से बना है, जो कर्ण है। दूसरा पैर वर्ग के आधे हिस्से के बराबर है, क्योंकि पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई इसके बीच में आती है।

वांछित एपोथेम (कर्ण) सही त्रिकोण) (3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी2.

टास्क #4

स्थि‍ति।इसके आधार का दाहिना भाग 22 मिमी, पार्श्व पसली 61 मिमी है। इस बहुफलक के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल क्या है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो समस्या संख्या 2 में वर्णित है। केवल आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार के क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 सेमी 2.

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना है, जो एक पार्श्व फलक है। (22 + 61 * 2): 2 = 72 सेमी। यह बगुला सूत्र का उपयोग करके ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए रहता है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे उस एक में जोड़ दें जो इसके लिए निकला था आधार।

बगुला सूत्र का उपयोग करके गणना: (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 सेमी 2। गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 \u003d 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2.

उत्तर।आधार - 726√3 सेमी 2, पार्श्व सतह - 3960 सेमी 2, संपूर्ण क्षेत्र - 5217 सेमी 2।

त्रिकोणीय पिरामिडएक बहुफलक एक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक नियमित त्रिभुज होता है।

ऐसे पिरामिड में आधार के फलक और भुजाओं के किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं। तदनुसार, भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल तीन समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग से ज्ञात होता है। पार्श्व सतह क्षेत्र खोजें सही पिरामिडआप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। और आप गणना कई गुना तेज कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करें:

जहाँ p आधार का परिमाप है, जिसकी सभी भुजाएँ b के बराबर हैं, a शीर्ष से इस आधार तक नीचा है। त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य: मान लीजिए कि सही पिरामिड दिया गया है। आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजा b = 4 सेमी है। पिरामिड का एपोथेम a = 7 सेमी है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चूंकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम सभी की लंबाई जानते हैं आवश्यक तत्व, परिधि का पता लगाएं। याद रखें कि एक नियमित त्रिभुज में, सभी भुजाएँ समान होती हैं, और इसलिए, परिमाप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

डेटा को प्रतिस्थापित करें और मान पाएं:

अब, परिधि जानने के बाद, हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं:

त्रिभुजाकार पिरामिड के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को लागू करने के लिए पूर्ण मान की गणना करने के लिए, आपको बहुफलक के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। इसके लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र भिन्न हो सकता है। किसी दिए गए आंकड़े के लिए मापदंडों की किसी भी गणना का उपयोग करने की अनुमति है, लेकिन अक्सर इसकी आवश्यकता नहीं होती है। एक त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य: एक नियमित पिरामिड में, आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजा = 6 सेमी है। आधार के क्षेत्रफल की गणना करें।
गणना करने के लिए, हमें केवल पिरामिड के आधार पर स्थित एक नियमित त्रिभुज की भुजा की लंबाई चाहिए। डेटा को सूत्र में बदलें:

बहुफलक का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, आपको पक्ष की सतह और आधार के क्षेत्र को जोड़ने की आवश्यकता है।

त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

प्रश्न: मान लीजिए कि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड दिया गया है। आधार की भुजा b = 4 सेमी है, एपोथेम a = 6 सेमी है। पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, पार्श्व सतह क्षेत्र का पता लगाएं प्रसिद्ध सूत्र. परिधि की गणना करें:

हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:
अब आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
आधार और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानने के बाद, हम पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

एक नियमित पिरामिड के क्षेत्र की गणना करते समय, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि आधार एक नियमित त्रिभुज है और इस बहुफलक के कई तत्व एक दूसरे के बराबर हैं।

पिरामिड, जिसके आधार पर स्थित है नियमित षट्भुज, और भुजाएँ बनती हैं नियमित त्रिभुज, कहा जाता है षट्कोणीय.

इस पॉलीहेड्रॉन में कई गुण हैं:

• आधार की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर हैं;
• सभी किनारों और डायहेड्रल कोयला पिरामिड भी एक दूसरे के बराबर हैं;
• भुजाओं को बनाने वाले त्रिभुज क्रमशः समान होते हैं, उनका क्षेत्रफल, भुजाएँ और ऊँचाईयाँ समान होती हैं।

एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, एक हेक्सागोनल पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए मानक सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहाँ P आधार की परिधि है, a पिरामिड के एपोथेम की लंबाई है। ज्यादातर मामलों में, आप इस सूत्र का उपयोग करके पार्श्व क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, लेकिन कभी-कभी आप किसी अन्य विधि का उपयोग कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड के पार्श्व फलक समान त्रिभुजों द्वारा बनते हैं, आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, और फिर इसे भुजाओं की संख्या से गुणा कर सकते हैं। हेक्सागोनल पिरामिड में उनमें से 6 हैं। लेकिन इस पद्धति का उपयोग गणना में भी किया जा सकता है। आइए एक हेक्सागोनल पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड दिया गया है, जिसमें एपोथेम a = 7 सेमी है, आधार की भुजा b = 3 सेमी है। पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।
सबसे पहले, आधार की परिधि पाएं। चूंकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक नियमित षट्भुज है। तो, इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, और परिमाप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:
अब हम पाए गए मान को मुख्य सूत्र में प्रतिस्थापित करके आसानी से पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

आधार के क्षेत्र की खोज भी एक महत्वपूर्ण बिंदु है। एक हेक्सागोनल पिरामिड के आधार के क्षेत्र के लिए सूत्र एक नियमित षट्भुज के गुणों से प्राप्त होता है:

आइए एक हेक्सागोनल पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें, पिछले उदाहरण से शर्तों को आधार के रूप में लेते हुए। उनसे हम जानते हैं कि आधार का पक्ष b = 3 सेमी है। आइए डेटा को इसमें स्थानापन्न करें सूत्र:

एक हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र के लिए सूत्र आधार के क्षेत्र और साइड स्कैन का योग है:

एक हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक नियमित षट्भुज है जिसकी भुजा b = 4 सेमी है। दिए गए बहुफलक का एपोथेम a = 6 सेमी है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि कुल क्षेत्रफल में आधार और पार्श्व झाडू के क्षेत्र होते हैं। तो चलिए पहले उन्हें ढूंढते हैं। परिधि की गणना करें:

अब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

अगला, हम उस आधार के क्षेत्र की गणना करते हैं जिसमें नियमित षट्भुज निहित है:

अब हम परिणाम जोड़ सकते हैं: