इस लेख में, आपको त्रिभुज के समद्विभाजक और माध्यिका के गुण मिलेंगे जो समस्याओं को हल करने में उपयोगी हो सकते हैं।

द्विभाजक।

1. त्रिभुज के द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र है।

सबूत।

वास्तव में, कोण के द्विभाजक पर स्थित बिंदु कोण के किनारों से समान दूरी पर होते हैं। इसलिए, द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के सभी पक्षों से समान दूरी पर है, अर्थात यह खुदा हुआ वृत्त का केंद्र है।

2. त्रिभुज का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है:

सबूत।

चलो अतिरिक्त निर्माण करते हैं। के समांतर बिंदु से एक रेखा खींचिए

रेखा और रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु:

∠1=∠2, क्योंकि ∠ का समद्विभाजक है

∠2=∠3 जैसा कि आड़े-तिरछे पड़ा है, जैसा निर्माण द्वारा।

इसलिए, ∠1=∠3 और त्रिभुज समद्विबाहु है, और .

फलस्वरूप,

3. द्विभाजक की लंबाई की गणना निम्न सूत्रों द्वारा की जाती है:

दूसरा सूत्र सिद्ध करते हैं।

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए भावों को समान करें:

4. O को उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होने दें, त्रिभुज का कोण द्विभाजक बनें:

तब रिश्ता पूरा होता है:

सबूत:

त्रिभुज पर विचार करें:

कोण द्विभाजक, इसलिए त्रिभुज द्विभाजक संपत्ति द्वारा

तो चलो

व्यक्त करते हैं। त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण के अनुसार:

यहां से

कुछ समस्याओं में त्रिभुज के द्विभाजक को परिबद्ध वृत्त के साथ चौराहे तक विस्तारित करना सुविधाजनक होता है।

शेमरॉक लेम्मा।

एक त्रिकोण दिया। बिंदु - त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के साथ कोण के द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। एक त्रिकोण में खुदा हुआ एक वृत्त का केंद्र होने दें। फिर

सबूत।

समान चापों को प्रतिच्छेद करने वाले कोण समान होते हैं। समान उत्कीर्ण कोणों पर ध्यान दें:

यहां से।

उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र, इसलिए कोण का द्विभाजक है।

त्रिभुज से

फिर त्रिकोण से

प्राप्त ।

अर्थात् त्रिभुज समद्विबाहु है।

यहां से।

सिद्ध किया

आइए आइटम 3 से सूत्र (1) सिद्ध करें:

सबूत:

हम द्विभाजक को परिबद्ध वृत्त के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं। त्रिभुज और पर विचार करें। समान कोणों पर ध्यान दें:

एक त्रिभुज दो कोणों में एक त्रिभुज के समरूप होता है। यहां से:

अन्तर्विभाजक जीवाओं के खंडों के गुण द्वारा

(3) को (2) में बदलें और (4) का प्रयोग करें:

हम उन खंडों की लंबाई को व्यक्त करते हैं जिनमें द्विभाजक त्रिभुज की भुजाओं को त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के संदर्भ में विभाजित करता है। आइए हम संकेतन का परिचय दें:

हमें सिस्टम मिलता है:

मेडियन।

1. एक त्रिभुज की माध्यिकाओं को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा 2:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, शीर्ष से गिनती करते हुए:

2. मान लीजिए त्रिभुज के अंदर एक बिंदु है जिससे संबंध पूरा होता है: , तब - त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु.

सबूत।

आइए हम एक सहायक प्रमेय सिद्ध करें।

लेम्मा।

त्रिकोण के अंदर एक मनमाना बिंदु के लिए, निम्नलिखित संबंध रखता है:

आइए हम बिंदुओं और लम्बों से नीचे जाएँ :

त्रिभुजों की समरूपता से हमें प्राप्त होता है:

यदि हम त्रिभुजों और एक उभयनिष्ठ आधार पर विचार करें , तो हमें अनुपात मिलता है:

इसी प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

इन समानताओं को जोड़ने पर, हम पाते हैं:

हम इस लेम्मा का प्रयोग अभिकथन 2 को सिद्ध करने के लिए करते हैं।

अगर समानता (1), फिर समानता (2) और लेम्मा से यह इस प्रकार है कि समानता में (2) प्रत्येक अंश के बराबर है।

आइए हम साबित करें कि इस मामले में खंड माध्यिकाएँ हैं।

यदि , तो हमें मिलता है . आइए हम बिंदु के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, के समानांतर और और समरूप त्रिभुजों के दो युग्मों पर विचार करें: और :

यहाँ से हमें मिलता है

त्रिभुजों की समानता से हमें मिलता है, अर्थात बिंदु खंड का मध्य है। यहां से।

इसलिए, त्रिभुज की माध्यिका है।

3. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे 6 बराबर त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।

सबूत।

आइए इसे साबित करें

चूंकि ,

चूंकि ,

फलस्वरूप,

हाइट्स।

1. त्रिभुज की ऊँचाई वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक तीव्र त्रिभुज के मामले में, ऊँचाइयाँ स्वयं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

2. त्रिभुज की ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु में निम्नलिखित गुण होते हैं: त्रिभुज के शीर्ष से दूरी के वर्ग का योग और विपरीत भुजा का वर्ग किसी भी शीर्ष के लिए समान होता है:

सबूत।

आइए समानता के पहले भाग को सिद्ध करें:

आइए इसे फॉर्म में फिर से लिखें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: (त्रिकोण और से)

(त्रिकोण से)

(त्रिकोण से)

इन भावों को (1) में प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

हमें एक पहचान मिली है। समानता का दूसरा भाग इसी तरह सिद्ध होता है।

3. यदि हम त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते हैं और इस वृत्त के साथ चौराहे तक त्रिभुज की ऊँचाइयों का विस्तार करते हैं,

फिर त्रिभुज की किसी भी ऊँचाई के लिए, ऊँचाई के आधार से वृत्त के साथ ऊँचाई की निरंतरता के चौराहे के बिंदु तक की दूरी ऊँचाई के आधार से ऊँचाई के चौराहे के बिंदु के बराबर होती है:

या इस तरह: त्रिभुज की भुजाओं के संबंध में त्रिभुज की ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु के सममित बिंदु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त पर स्थित होते हैं।

सबूत।

आइए साबित करते हैं।

ऐसा करने के लिए, त्रिभुजों और , पर विचार कीजिए और इसे सिद्ध कीजिए :

आइए पार्श्व और दो आसन्न कोणों पर त्रिभुजों की समानता के चिह्न का उपयोग करें। - सामान्य पक्ष। आइए हम दो कोणों की समानता सिद्ध करें।

आइए सिद्ध करें कि ∠ ∠

माना ∠, तो त्रिभुज से हमें वह प्राप्त होता है

∠. इसलिए, त्रिभुज से हमें वह प्राप्त होता है

लेकिन ∠ और ∠ एक ही चाप पर आधारित हैं, इसलिए ∠ ∠ ∠

इसी प्रकार, हम वह ∠ ∠ प्राप्त करते हैं

4. एक त्रिभुज में, बिंदु और शीर्षों से खींची गई ऊँचाइयों के आधार होते हैं और। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज त्रिभुज के समरूप है और समरूपता गुणांक है।

सबूत:

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है . बिंदु इस वृत्त पर स्थित है, चूंकि - एक समकोण त्रिभुज का कर्ण:

एक चाप पर आधारित खुदे हुए कोणों के रूप में।

त्रिकोण से:

यहां से। कोण - त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण और . इसलिए, एक त्रिभुज एक त्रिभुज के समरूप है। समानता गुणांक समान भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, अर्थात वे भुजाएँ जो समान कोणों के विपरीत स्थित होती हैं:

सेवा प्रमेय

एक त्रिकोण में चलो

खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि

सबूत।

आइए हम सिद्ध करें कि यदि वृत्तखंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो संबंध (1) संतुष्ट होता है।

यह जांचना आसान है कि अगर, तो

आइए इस अनुपात संपत्ति को लागू करें:

इसी तरह:

सेवा के प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो संबंध पूरा हो जाता है:

साबित करना साइन के रूप में सेवा का प्रमेय, यह त्रिभुजों के क्षेत्रों के बजाय समानता (2) के दूसरे भाग में प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है .

आगाखानोव नज़र खांगेल्डेयेविच और व्लादिमीर विक्टोरोविच ट्रुशकोव, सीपीसी एमआईपीटी के व्याख्यानों से।

गुण

• एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे केन्द्रक कहा जाता है, और इस बिंदु द्वारा 2: 1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाता है, ऊपर से गिनती की जाती है।
• एक त्रिभुज को तीन माध्यिकाओं द्वारा समान क्षेत्रफल वाले छह त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
• त्रिभुज की लंबी भुजा छोटी माध्यिका से मेल खाती है।
• माध्यिकाएँ बनाने वाले सदिशों से, आप एक त्रिभुज बना सकते हैं।
• एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के साथ, माध्यिका माध्यिका में जाती है।
• त्रिभुज की माध्यिका इसे दो समान भागों में विभाजित करती है।

सूत्रों

• पक्षों के माध्यम से माध्यिका के लिए सूत्र (स्टीवर्ट प्रमेय के माध्यम से या इसे एक समांतर चतुर्भुज में पूरा करके और पक्षों के वर्गों के योग के समांतर चतुर्भुज में समानता का उपयोग करके और विकर्णों के वर्गों के योग का उपयोग करके):

, जहाँ m c भुजा c की माध्यिका है; a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, इसलिए एक स्वेच्छिक त्रिभुज की माध्यिकाओं के वर्गों का योग हमेशा इसकी भुजाओं के वर्गों के योग से 4/3 गुना कम होता है।

• माध्यिका के संदर्भ में पार्श्व सूत्र:

, जहाँ त्रिभुज की संगत भुजाओं की माध्यिकाएँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

यदि दो माध्यिकाएँ लम्बवत् हैं, तो जिन भुजाओं पर उन्हें गिराया गया है, उनके वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग का 5 गुना है।

स्मरणीय नियम

मंझला बंदर,
जिसकी पैनी नजर हो
ठीक बीच में कूदो
शीर्ष के खिलाफ पक्ष,
अब कहाँ है।

टिप्पणियाँ

यह सभी देखें

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

देखें कि "त्रिभुज की माध्यिका" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

मेडियन: प्लैनिमेट्री में एक त्रिभुज का माध्यिका, त्रिभुज के शीर्ष को आंकड़ों में विपरीत पक्ष के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला खंड, माध्य जनसंख्या मान है जो रैंक की गई डेटा श्रृंखला को आधा मेडियन (सांख्यिकी) में विभाजित करता है ...। .. विकिपीडिया

मेडियन: प्लैनिमेट्री में एक त्रिभुज का माध्यिका, त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला खंड मेडियन (सांख्यिकी) क्वांटाइल 0.5 मेडियन (ट्रेस) दाएं और बाएं के बीच खींची गई ट्रेस की मध्य रेखा ... विकिपीडिया

त्रिभुज और उसकी माध्यिकाएँ। त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज के अंदर का एक खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है, साथ ही इस खंड को समाहित करने वाली एक सीधी रेखा भी है। सामग्री 1 गुण 2 सूत्र ... विकिपीडिया

एक रेखा जो किसी त्रिभुज के शीर्ष को उसके आधार के मध्य बिंदु से जोड़ती है। रूसी भाषा में उपयोग में आने वाले विदेशी शब्दों का एक पूरा शब्दकोश। पोपोव एम।, 1907. मेडियन (अव्य। मेडियाना मीडियम) 1) जियोल। एक खंड जो एक त्रिकोण के शीर्ष को ... के साथ जोड़ता है रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

मेडियन (लैटिन मेडियाना मध्य से) ज्यामिति में, एक खंड जो त्रिकोण के किसी एक कोने को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। तीन एम. त्रिकोण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे कभी-कभी त्रिभुज का "गुरुत्व केंद्र" कहा जाता है, इसलिए ... महान सोवियत विश्वकोश

त्रिभुज एक सीधी रेखा (या त्रिकोण के अंदर इसका खंड) है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। तीन एम। त्रिकोण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, स्वर्ग को त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कहा जाता है, केन्द्रक, या ... ... गणितीय विश्वकोश

- (अक्षांश से। मेडियाना मध्य) एक त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य से जोड़ने वाला एक खंड ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

मेडियन, मेडियन, महिलाएं। (अव्य। मेडियाना, जलाया। मध्य)। 1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा (चटाई) के मध्य तक खींची गई एक सीधी रेखा। 2. सांख्यिकी में, अनेक आँकड़ों की श्रृंखला के लिए, एक मात्रा जिसमें वह गुण होता है जो आँकड़ों की संख्या, ... ... उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

मेडियन, एस, महिला गणित में: एक सीधी रेखा का खंड जो त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। एस.आई. ओज़ेगोव, एन.यू. श्वेदोवा। 1949 1992 ... ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

मेडियन (अव्य। मेडियाना मध्य से), एक त्रिकोण के शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य से जोड़ने वाला खंड ... विश्वकोश शब्दकोश

तार गुण

1. व्यास (त्रिज्या), जीवा के लंबवत, इस जीवा को विभाजित करता है और दोनों चाप इसके द्वारा आधे में सिकुड़ते हैं। विलोम प्रमेय भी सत्य है: यदि व्यास (त्रिज्या) जीवा को द्विभाजित करता है, तो यह जीवा के लंबवत है।

2. समान्तर जीवाओं के बीच परिबद्ध चाप बराबर होते हैं।

3. यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ, अबऔर सीडीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एम, तब एक जीवा के खंडों का गुणन दूसरे जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है: एएम एमबी = सीएम एमडी।

सर्किल गुण

1. एक सीधी रेखा में एक वृत्त के साथ उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते हैं; वृत्त के साथ एक सामान्य बिंदु है ( स्पर्शरेखा); इसके साथ दो सामान्य बिंदु हैं ( काटनेवाला).

2. तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं, एक वृत्त खींचना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक।

3. दो वृत्तों का स्पर्श बिंदु उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।

स्पर्शरेखा और छेदक प्रमेय

यदि वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से एक स्पर्शरेखा और छेदक रेखा खींची जाती है, तो स्पर्शरेखा की लंबाई का वर्ग छेदक रेखा के बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है: एमसी 2 = एमए एमबी.

सिकेंट प्रमेय

यदि वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से दो छेदक रेखाएँ खींची जाती हैं, तो एक छेदक रेखा का उसके बाहरी भाग से गुणनफल दूसरी छेदक रेखा के बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है। एमए एमबी = एमसी एमडी।

एक वृत्त में कोण

केंद्रीयएक वृत्त में एक कोण एक समतल कोण होता है जिसके केंद्र में एक शीर्ष होता है।

वह कोण जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को काटती हैं, कहलाता है अंकित कोण।

वृत्त पर कोई दो बिंदु इसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग को कहा जाता है आर्कहलकों। किसी चाप का माप उसके संगत केंद्रीय कोण का माप हो सकता है।

चाप कहा जाता है अर्धवृत्त,यदि इसके सिरों को जोड़ने वाला खंड एक व्यास है।

एक वृत्त से जुड़े कोनों के गुण

1. एक खुदा हुआ कोण या तो उसके संगत केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है, या इस कोण के आधे हिस्से को 180° का पूरक बनाता है।

2. एक वृत्त में खुदे हुए और उसी चाप पर आधारित कोण बराबर होते हैं।

3. व्यास पर आधारित खुदा कोण 90° है।

5. वृत्त की स्पर्श रेखा द्वारा बनाया गया कोण और स्पर्श बिंदु से खींची गई छेदक रेखा इसकी भुजाओं के बीच परिबद्ध चाप के आधे के बराबर होती है।

लंबाई और क्षेत्र

1. परिधि सी RADIUS आरसूत्र द्वारा गणना: सी = 2 आर.

2. क्षेत्र एसवृत्त त्रिज्या आरसूत्र द्वारा गणना: एस = आर 2.

3. वृत्त के चाप की लंबाई एल RADIUS आररेडियन में मापा गया एक केंद्रीय कोण के साथ सूत्र द्वारा गणना की जाती है: एल = आर .

4. वर्ग एसत्रिज्या क्षेत्रों आररेडियंस में केंद्रीय कोण के साथ सूत्र द्वारा गणना की जाती है: एस = आर 2 .

खुदा और परिचालित हलकों

वृत्त और त्रिकोण

उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र त्रिभुज के द्विभाजक, उसकी त्रिज्या का प्रतिच्छेदन बिंदु है आरसूत्र द्वारा गणना:

आर =, कहां एसत्रिभुज का क्षेत्रफल है, और - अर्ध-परिधि;

परिधि वाले वृत्त का केंद्र औसत दर्जे के लंबों के चौराहे का बिंदु है, इसकी त्रिज्या R की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

आर = , आर =;

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य में स्थित होता है;

किसी त्रिभुज के परिबद्ध और अंतर्वृत्त वृत्तों का केंद्र तभी संपाती होता है जब यह त्रिभुज नियमित हो।

वृत्त और चतुर्भुज

एक वृत्त को एक उत्तल चतुर्भुज के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है यदि और केवल यदि इसके आंतरिक विपरीत कोणों का योग 180° हो:

180°;

एक वृत्त को एक चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि विपरीत भुजाओं का योग बराबर हो ए + सी = बी + डी;

एक वृत्त को समांतर चतुर्भुज के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है यदि और केवल यदि यह एक आयत है;

· किसी समलंब के बारे में एक वृत्त का वर्णन करना संभव है यदि और केवल यदि यह समलंब समद्विबाहु है; सर्कल का केंद्र ट्रेपेज़ियम की समरूपता के अक्ष के चौराहे पर स्थित है, जो पार्श्व पक्ष के मध्य लंबवत के साथ है;

एक वृत्त को समांतर चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि यह एक समचतुर्भुज है।

त्रिभुज

त्रिभुज माध्य गुण

1. माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो ऊपर से गिनती करते हुए उनमें से प्रत्येक को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण।

3. संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छः बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

त्रिभुज द्विभाजक गुण

1. किसी कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ होता है।

2. त्रिभुज के आंतरिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है: .

3. त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस त्रिभुज में अंकित एक वृत्त का केंद्र है।

त्रिभुज ऊंचाई गुण

1. एक समकोण त्रिभुज में समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई उसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. एक तीव्र त्रिभुज में, इसकी दो ऊँचाइयाँ समान त्रिभुजों को काटती हैं।

एक सिद्धांत है कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और वह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहां 2 उस शीर्ष से उस खंड से मेल खाता है जहां से माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु पर माध्यिका खींची जाती है, और 1 माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु से उस खंड के संगत है जिस ओर माध्यिका है अनिर्णित।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, एक त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसकी माध्यिकाएँ AE, BF, CD हैं। अर्थात्, बिंदु D, E, F भुजाओं AB, BC, CA को क्रमशः समद्विभाजित करते हैं।
हम नहीं जानते कि क्या सभी माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (यह अभी भी सिद्ध करने की आवश्यकता है)। हालाँकि, कोई भी दो माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि वे समानांतर नहीं हो सकती हैं। माना माध्यिकाएँ AE और BF बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

माध्यिका BF माध्यिका AE को दो खंडों AO और EO में विभाजित करती है। आइए बिंदु E से होकर BF के समांतर एक रेखा खींचें। यह रेखा किसी बिंदु L पर भुजा AC को काटेगी। हम खंड AB (बिंदु D) के मध्य बिंदु से BF के समानांतर एक और रेखा भी खींचते हैं। यह AC को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करेगी।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, यदि क्रमिक रूप से समान खंडों को कोण के एक तरफ इसके शीर्ष से अलग रखा जाता है और इन खंडों के सिरों के माध्यम से समांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, जो कोण के दूसरी ओर को पार करती हैं, तो ये समानांतर रेखाएँ खंडों को काट देंगी कोण के दूसरी ओर एक दूसरे के बराबर।

आइए इस त्रिभुज के कोण BCA को देखें। खंड BE और EC एक दूसरे के बराबर हैं, रेखाएँ BF और EL एक दूसरे के समानांतर हैं। तब, थेल्स प्रमेय के अनुसार, CL = LF.
लेकिन अगर हम कोण BAC को देखें, चूँकि AD = BD और DK || बीएफ, तो एके = केएफ।

चूँकि खंड AF और CF एक दूसरे के बराबर हैं (क्योंकि वे माध्यिका द्वारा बनते हैं) और उनमें से प्रत्येक को दो समान खंडों में विभाजित किया गया है, तो भुजा AC के सभी चार खंड एक दूसरे के बराबर हैं: AK = KF = FL = एल.सी.

कोण EAC पर विचार करें। भुजा AC के तीन समान खंडों के सिरों से समानांतर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं। नतीजतन, वे साइड एई पर एक दूसरे के बराबर खंडों को काटते हैं। सेगमेंट AO में ऐसे दो सेगमेंट होते हैं, और EO में केवल एक। इस प्रकार, हमने यह साबित कर दिया है कि एक त्रिभुज की कम से कम एक माध्यिका को दूसरे माध्यिका के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा दो खंडों में विभाजित किया जाता है, जिनकी लंबाई 2: 1 के रूप में संबंधित होती है।

अब माध्यिका AE और माध्यिका CD के प्रतिच्छेदन पर विचार करें। माना वे बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।

पिछले एक के समान, यह साबित हो गया है कि समानांतर रेखाएँ FM, CD, EN भुजा AB को समान खंडों में विभाजित करती हैं। बदले में, वे AE को भी तीन समान खंडों में विभाजित करते हैं। इसके अलावा, शीर्ष A से माध्यिका के चौराहे तक दो ऐसे खंड हैं, और उसके बाद - एक।

एक और एक ही खंड को तीन समान भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है ताकि विभाजन के एक विकल्प के साथ वे समान आकार के हों, और दूसरे के साथ। इसलिए, बिंदुओं O और P को अवश्य ही संपाती होना चाहिए। इसका अर्थ है कि त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यह साबित करने के लिए कि अन्य दो माध्यिकाएँ प्रतिच्छेदन बिंदु को 2: 1 के अनुपात में साझा करती हैं, हम भुजाओं AB और BC पर उसी तरह समानांतर रेखाएँ खींच सकते हैं जैसे पिछली एक।

माध्यिका त्रिभुज की मुख्य रेखाओं में से एक है। यह खंड और वह रेखा जिस पर यह स्थित है, त्रिभुज के कोने के शीर्ष पर बिंदु को उसी आकृति के विपरीत पक्ष के मध्य बिंदु से जोड़ता है। एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका भी द्विभाजक और ऊँचाई होती है।

माध्यिका की संपत्ति, जो कई समस्याओं को हल करने में बहुत मदद करेगी, इस प्रकार है: यदि आप एक त्रिभुज में प्रत्येक कोने से माध्यिकाएँ खींचते हैं, तो उन सभी को, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हुए, 2 के अनुपात में विभाजित किया जाएगा: 1. अनुपात को कोने के ऊपर से गिना जाना चाहिए।

माध्यिका में प्रत्येक वस्तु को समान रूप से विभाजित करने का गुण होता है। उदाहरण के लिए, कोई भी माध्यिका एक त्रिभुज को क्षेत्रफल में समान दो अन्य त्रिभुजों में विभाजित करती है। और यदि आप तीनों माध्यिकाएँ बनाते हैं, तो एक बड़े त्रिभुज में आपको 6 छोटी माध्यिकाएँ मिलती हैं, जो क्षेत्रफल में भी बराबर होती हैं। ऐसी आकृतियाँ (समान क्षेत्रफल वाली) समान कहलाती हैं।

द्विभाजक

एक समद्विभाजक एक किरण है जो एक कोण के शीर्ष पर शुरू होती है और उसी कोण को समद्विभाजित करती है। दी गई किरण पर स्थित बिंदु कोण की भुजाओं से समदूरस्थ होते हैं। समद्विभाजक के गुण त्रिभुजों से संबंधित समस्याओं को हल करने में अच्छी मदद करते हैं।

एक त्रिकोण में, एक द्विभाजक एक खंड होता है जो कोण द्विभाजक की किरण पर स्थित होता है और शीर्ष को विपरीत दिशा में जोड़ता है। पक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु इसे खंडों में विभाजित करता है, जिसका अनुपात उनसे सटे पक्षों के अनुपात के बराबर होता है।

यदि एक त्रिभुज में एक वृत्त अंकित है, तो इसका केंद्र इस त्रिभुज के सभी द्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाएगा। यह गुण रूढ़िवादिता में भी परिलक्षित होता है - वहाँ पिरामिड एक त्रिभुज की भूमिका निभाता है, और गेंद एक वृत्त की भूमिका निभाती है।

ऊंचाई

माध्यिका और द्विभाजक की तरह, त्रिभुज में ऊँचाई मुख्य रूप से कोण के शीर्ष और विपरीत भुजा को जोड़ती है। इस कनेक्शन का परिणाम निम्न होता है: ऊँचाई एक शीर्ष से एक रेखा पर खींचा गया लम्ब है जिसमें विपरीत दिशा होती है।

यदि ऊँचाई को एक समकोण त्रिभुज में खींचा जाता है, तो विपरीत दिशा को स्पर्श करते हुए, यह पूरे त्रिभुज को दो अन्य में विभाजित करता है, जो बदले में पहले के समान होते हैं।

विभिन्न विमानों में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति और उनके बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए अक्सर लंब की अवधारणा का उपयोग स्टीरियोमेट्री में किया जाता है। इस स्थिति में, जो खंड लंब का कार्य करता है, उसका दोनों रेखाओं के साथ एक समकोण होना चाहिए। तब इस खंड का संख्यात्मक मान दो आंकड़ों के बीच की दूरी दिखाएगा।