Funkcija nule
Nula funkcije je vrijednost X, pri čemu funkcija postaje 0, odnosno f(x)=0.

Nule su tačke preseka grafa funkcije sa osom Oh.

Paritet funkcija
Funkcija se poziva čak i ako je za bilo koju X iz domena definicije, jednakost f(-x) = f(x)

Parna funkcija je simetrična u odnosu na os OU

Neparna funkcija
Funkcija se naziva neparna ako postoji X iz domena definicije, jednakost f(-x) = -f(x) je zadovoljena.

Neparna funkcija je simetrična u odnosu na ishodište.
Funkcija koja nije ni parna ni neparna naziva se opšta funkcija.

Funkcija Inkrement
Funkcija f(x) se naziva rastućom ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, tj. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Opadajuća funkcija
Funkcija f(x) se naziva opadajućom ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, tj. x 2 >x 1 → f(x 2)
Pozivaju se intervali u kojima se funkcija ili samo smanjuje ili samo povećava intervali monotonije. Funkcija f(x) ima 3 intervala monotonosti:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3 ; +∞)

Pronađite intervale monotonosti koristeći uslugu Intervali rastuće i opadajuće funkcije

Lokalni maksimum
Dot x 0 se zove lokalna tačka maksimuma ako postoji X iz susjedstva tačke x 0 vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) > f(x)

Lokalni minimum
Dot x 0 se zove lokalna minimalna točka ako postoji X iz susjedstva tačke x 0 vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0)< f(x).

Lokalne tačke maksimuma i lokalne minimalne tačke nazivaju se lokalnim tačkama ekstrema.

x 1 , x 2 - lokalne ekstremne tačke.

Funkcija Periodičnost
Funkcija f(x) se zove periodična, sa periodom T, ako postoji X f(x+T) = f(x) .

Intervali konstantnosti
Intervali na kojima je funkcija samo pozitivna ili samo negativna nazivaju se intervali konstantnog predznaka.

f(x)>0 za x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuitet funkcije
Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u tački x 0 ako je granica funkcije pri x → x 0 jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački, tj. .

tačke prekida
Tačke u kojima je narušen uslov kontinuiteta nazivaju se tačke diskontinuiteta funkcije.

x0- tačka preloma.

Opća shema za crtanje funkcija

1. Naći domenu funkcije D(y).
2. Naći presječne točke grafa funkcija sa koordinatnim osa.
3. Istražite funkciju za par ili nepar.
4. Istražite funkciju za periodičnost.
5. Naći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije.
6. Naći intervale konveksnosti i pregibnih tačaka funkcije.
7. Pronađite asimptote funkcije.
8. Na osnovu rezultata studije izgraditi graf.

primjer: Istražite funkciju i izgradite njen graf: y = x 3 - 3x
8) Na osnovu rezultata istraživanja konstruisaćemo graf funkcije:

U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letelica će na Mars isporučiti elektronski nosač sa imenima svih registrovanih članova ekspedicije.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: u kontrolnu ploču web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u svoje web stranice.

Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozoru... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Ovom prilikom postoji zanimljiv članak u kojem se nalaze primjeri dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo razmotriti složenije primjere trodimenzionalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, radi se o samosličnoj strukturi, s obzirom na detalje čije ćemo detalje, kada se uveća, vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju pravilne geometrijske figure (ne fraktala), kada se uveća, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od same originalne figure. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se sa svakim povećanjem ponavljati iznova i iznova.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, u svom članku Fraktali i umjetnost za nauku napisao je: "Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima koliko i u svom cjelokupnom obliku. To jest, ako dio fraktala hoće bude uvećan na veličinu cjeline, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda sa malom deformacijom.

- (Matematika.) Funkcija y = f (x) se poziva čak i ako se ne mijenja kada nezavisna varijabla mijenja samo predznak, odnosno ako je f (x) = f (x). Ako je f (x) = f (x), onda se funkcija f (x) naziva neparnom. Na primjer, y = cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcija koja zadovoljava jednakost f (x) = f (x). Pogledajte parne i neparne funkcije... Velika sovjetska enciklopedija

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Specijalne funkcije koje je uveo francuski matematičar E. Mathieu 1868. pri rješavanju zadataka o vibracijama eliptične membrane. M. f. se također koriste u proučavanju širenja elektromagnetnih valova u eliptičnom cilindru ... Velika sovjetska enciklopedija

Zahtjev za "grijeh" je preusmjeren ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Parne i neparne funkcije su jedno od njegovih glavnih svojstava, a parnost zauzima impresivan dio školskog predmeta matematike. U velikoj mjeri određuje prirodu ponašanja funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa.

Definirajmo parnost funkcije. Općenito govoreći, proučavana funkcija se smatra čak i ako su za suprotne vrijednosti nezavisne varijable (x) koja se nalazi u njenoj domeni, odgovarajuće vrijednosti y (funkcija) jednake.

Hajde da damo rigorozniju definiciju. Razmotrimo neku funkciju f (x), koja je definirana u domeni D. To će biti čak i ako za bilo koju tačku x koja se nalazi u domeni definicije:

• -x (suprotna tačka) takođe leži u datom opsegu,

• f(-x) = f(x).

Iz gornje definicije slijedi uslov neophodan za domenu definicije takve funkcije, naime, simetrija u odnosu na tačku O, koja je ishodište koordinata, jer ako je neka tačka b sadržana u domeni definicije neke parna funkcija, tada odgovarajuća tačka - b takođe leži u ovoj domeni. Iz prethodnog, dakle, slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik koji je simetričan u odnosu na ordinatnu os (Oy).

Kako odrediti paritet funkcije u praksi?

Neka se zada pomoću formule h(x)=11^x+11^(-x). Prateći algoritam koji direktno slijedi iz definicije, prije svega proučavamo njen domen definicije. Očigledno je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno, prvi uvjet je zadovoljen.

Sljedeći korak je zamjena argumenta (x) njegovom suprotnom vrijednošću (-x).
Dobijamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
S obzirom da sabiranje zadovoljava komutativni (pomaski) zakon, očigledno je da je h(-x) = h(x) i data funkcionalna zavisnost je parna.

Provjerimo ravnomjernost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Prateći isti algoritam, dobijamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Uzimajući minus, kao rezultat, imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stoga je h(x) neparan.

Usput, treba podsjetiti da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema ovim kriterijima, ne nazivaju se ni parnim ni neparnim.

Čak i funkcije imaju niz zanimljivih svojstava:

• kao rezultat dodavanja sličnih funkcija, dobiva se parna;
• kao rezultat oduzimanja takvih funkcija, dobiva se paran;
• čak, takođe čak;
• kao rezultat množenja dvije takve funkcije, dobiva se parna;
• kao rezultat množenja neparnih i parnih funkcija, dobiva se neparna;
• kao rezultat dijeljenja neparne i parne funkcije, dobiva se neparna;
• derivacija takve funkcije je neparna;
• Ako kvadriramo neparnu funkciju, dobićemo parnu funkciju.

Parnost funkcije može se koristiti u rješavanju jednačina.

Za rješavanje jednadžbe kao što je g(x) = 0, gdje je lijeva strana jednadžbe parna funkcija, bit će dovoljno pronaći njena rješenja za ne-negativne vrijednosti varijable. Dobijeni korijeni jednadžbe moraju se kombinirati sa suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe verifikaciji.

Isti se uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom.

Na primjer, postoji li neka vrijednost za parametar a koja bi učinila da jednačina 2x^6-x^4-ax^2=1 ima tri korijena?

Ako uzmemo u obzir da promenljiva ulazi u jednačinu u parnim stepenima, onda je jasno da zamena x sa -x neće promeniti datu jednačinu. Iz toga slijedi da ako je određeni broj njegov korijen, onda je i suprotan broj. Zaključak je očigledan: korijeni jednadžbe, osim nule, uključeni su u skup njenih rješenja u „parovima“.

Jasno je da sam broj 0 nije, odnosno da broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, prirodno, za bilo koju vrijednost parametra ne može imati tri korijena.

Ali broj korijena jednačine 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 može biti neparan i za bilo koju vrijednost parametra. Zaista, lako je provjeriti da skup korijena date jednadžbe sadrži rješenja u "parovima". Provjerimo da li je 0 korijen. Kada ga zamenimo u jednačinu, dobijamo 2=2. Dakle, pored "sparenog" 0 je i korijen, što dokazuje njihov neparni broj.

Koje su vam u ovom ili onom stepenu bile poznate. Tamo je također napomenuto da će se zaliha svojstava funkcije postepeno popunjavati. U ovom odjeljku će se raspravljati o dvije nove nekretnine.

Definicija 1.

Funkcija y = f (x), x ê X, poziva se čak i ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X tačna jednakost f (-x) = f (x).

Definicija 2.

Funkcija y = f (x), x ê X, naziva se neparnom ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X tačna jednakost f (-x) = -f (x).

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Rješenje. Imamo: f (x) = x 4, f (-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4 . Dakle, za bilo koje x, jednakost f (-x) = f (x), tj. funkcija je parna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 neparna funkcija.

Rješenje. Imamo: f (x) = x 3, f (-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3 . Dakle, za bilo koji x, jednakost f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.

Vi i ja smo se više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju „zemaljsko“ porijeklo, tj. mogu se na neki način objasniti. Ovo je slučaj i za parne i neparne funkcije. Vidite: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y \u003d x "(u nastavku ćemo posebno proučavati ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, onda je funkcija y \u003d x " je čudno; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn paran.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y = 2x + 3. Zaista, f (1) = 5, i f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje Dakle, ni identitet f (-x ) \u003d f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje pitanja da li je data funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanjem funkcije za paritet.

Definicije 1 i 2 bave se vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u tački x i u tački -x. To znači da tačka -x pripada domenu funkcije u isto vrijeme kada i točka x. Ako numerički skup X zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok )