Факт 1.
\(\bullet\) Вземете малко не отрицателно число\(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), при повдигането му на квадрат получаваме числото \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От дефиницията следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условие за съществуването корен квадратенИ трябва да се помнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Какво е \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността \(\sqrt a\) се нарича извличане на квадратен корен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича коренен израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, изразите \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите естествени числаот \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
\(\bullet\) Сума или разлика квадратни корениНЕ Е РАВНО на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите \(\sqrt(25)\) и \(\sqrt (49)\ ) и след това ги съберете. Следователно, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се преобразува допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) - това е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да бъде преобразуван по всякакъв начин, ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Освен това, този израз, за ​​съжаление, не може да бъде опростен по никакъв начин.\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете части на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратния корен на големи числакато ги факторизираме.
Помислете за пример. Намерете \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от неговите цифри е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\) , т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (съкратено от израза \(5\cdot \sqrt2\) ). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да конвертираме числото \(\sqrt2\) . Представете си, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо друго освен \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\) ). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често се казва „не може да извлече корена“, когато не е възможно да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на дадено число. Например, можете да изкорените числото \(16\), защото \(16=4^2\) , така че \(\sqrt(16)=4\) . Но да се извлече корен от числото \(3\) , тоест да се намери \(\sqrt3\) , е невъзможно, защото няма такова число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и т.н. са ирационални.
Също така ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3,14\) ), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, приблизително равно на \(2 ,7\) ) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални (реални) числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) върху реалното линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателни числа модулът „изяжда“ минуса, а положителните числа, както и числото \(0\) , модулът оставя непроменени.
НОтова правило важи само за числа. Ако имате неизвестно \(x\) (или някакво друго неизвестно) под знака на модула, например \(|x|\), за което не знаем дали е положително, равно на нула или отрицателно, тогава да се отървем от модула не можем. В този случай този израз остава такъв: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също нещо. Това е вярно само когато \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото \(-1\) вместо \(a\). Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (защото е невъзможно под знака за корен да поставите отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест при извличане на корен от число, което е в някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (обърнете внимание, че ако модулът не е зададен, тогава се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25 \) ; но помним, което по дефиниция на корена това не може да бъде: когато извличаме корена, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) Вярно за квадратни корени: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между кои цели числа е \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравнете \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да предположим \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадрат и двете части))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше грешно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножението/делението на двете страни на неравенство с положително число също не променя знака му, но умножението/делението с отрицателно число обръща знака на неравенството!
И двете страни на уравнение/неравенство могат да бъдат повдигнати на квадрат САМО АКО и двете страни са неотрицателни. Например в неравенството от предишния пример можете да повдигнете на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Обърнете внимание на това \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ е, след това между кои „десетки“, и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ е нашето число (това е, например, между \(120\) и \(130\) ). От таблицата с квадрати също знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си припомним какви едноцифрени числа при повдигане на квадрат дават в края \ (4 \) ? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Намерете \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да се реши адекватно изпитът по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичният материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Но намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена лесно и разбираемо за ученици с всякакво ниво на обучение, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се учи теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за изпита по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли правилно и ясно. Той развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Разделянето на корените на цветята е просто необходимо, ако решите веднага да получите няколко силни и зрели растения, които ще бъдат готови за цъфтеж в бъдеще в едно „събитие“. Но ако разгледаме този въпрос от различен ъгъл, тогава можем да кажем, че разделянето на корените може да повлияе неблагоприятно на състоянието на растенията, особено ако корените не се обработват правилно.

Преди да анализирате въпроса - как да разделите корените, е необходимо да вземете решение за растенията, които могат да се размножават по този начин. На първо място, това са тревисти екземпляри с добра коренова система. По този начин могат да се разделят цветя и храсти.

Алгоритъм за разделяне на корен:

1. Отстранете цветето от земята и отърсете голяма буца пръст.

2. Изплакнете останалата почва с вода, но не е необходимо да почиствате напълно корените, основното е, че почвата не ви пречи при разделянето.

4. Подрежете издънките на височина 10 см. Това събитие ще помогне да се използват силите на цветята за възстановяване на корените, а не растежа на издънките.

5. Ако кореновите процеси започнаха да се втвърдяват и е ясно, че нищо добро няма да излезе от тях, тогава тези корени се отрязват.

6. Жълти и сухи издънки, листата се унищожават незабавно.

7. Обърнете внимание на факта, че централната част на цветето не трябва да се разделя. Отделяте само страничните корени.

8. Секциите се обработват с въглен, а новите растения се засаждат в специални саксии.

Какво друго трябва да знаете за разделянето на корените?

Не извършвайте тази процедура, докато растението цъфти. По-добре е да го изразходвате след този период. Ако е трудно да следвате тази препоръка, тогава няколко дни преди процеса пъпките и цветята се унищожават, в противен случай цветето няма да може да се вкорени.

Храстът в открита почва се разделя през есента, а стайните цветя през пролетта. Преди да извадите растението от земята, почвата се напоява добре, за да не се повреди кореновата система. В никакъв случай не дърпайте растението за земната част. Кореновата система се изважда заедно с почвата, като се начуква саксията. Ако цветето расте в цветна леха, то се изкопава внимателно и се изважда с помощта на градински инструменти. Използва се остър нож, за да се сведе до минимум увреждането на кореновата система. Не чупете кореновата система с ръцете си! Това ще се отрази негативно на състоянието на бъдещото цвете.

Забележка!Не разделяйте храста на малки части, тъй като това може да повлияе неблагоприятно на растежа и развитието им. Оцеляването ще бъде минимално. Не забравяйте, че на всяка част трябва да има по един издънка за възрастни.

Растенията не могат да бъдат засадени веднага в открита почва, тъй като се нуждаят от период на възстановяване, а слънчевите лъчи ще повлияят негативно на растенията.

Ползите от размножаването чрез разделяне на храста

Освен, че има повече растения, те са и подмладени. В крайна сметка е безсмислено да се спори с факта, че биологичната възраст на всички живи същества не е вечна и растението не е изключение. Така че можете да актуализирате вашите трайни насаждения, като разделите корените без допълнителни разсад.

Размножаването на растения чрез разделяне на корените е един от най-удобните методи, тъй като една операция ви позволява да получите няколко зрели и силни растения наведнъж, готови за цъфтеж или плод. От друга страна, този метод не е подходящ за всички култури и ако се извърши неправилно, може да бъде пагубно за цялото растение.

Чрез разделяне на корена се размножават храсти и тревисти растения с развита коренова система с образуване на пъпки. Тази категория включва леска, люляк, който е храст, орхидеи, хризантеми, делфиниуми и божури, както и много други цветя.

Основните етапи на процедурата:

• Внимателно извадете растението от почвата и отърсете земната топка с твърда четка.
• Изплакнете останалата почва с вода при стайна температура, като потопите корените в съд с вода. Не е необходимо да се отмива цялата земя, основното е, че почвата не пречи на разделянето.
• Преценете колко растения могат да бъдат получени от този храст, като изберете основните възрастни издънки и активните пъпки.
• Подрежете всички издънки на растението до височина от десет сантиметра (необходим за високи тревисти растения и храсти). Това ще позволи на растението да използва енергия за възстановяване на кореновата система, без да я изразходва за хранене на надземните части.
• Ако има вдървенели издънки, например при размножаване на рози, те се изрязват до самия корен.
• Отстраняват се всички повредени и пожълтели леторасти и листа.
• Направете сигурни разфасовки, отделяйки страничните части на храста. Централната част на растението не трябва да се разделя.
• Третирайте разфасовките с въглен, засадете нови растения в подготвени контейнери и напоете с разтвор на стимулатор на растежа.

Какво трябва да знаете, когато разделяте храст

Възпроизвеждането по този начин не може да се извърши по време на цъфтежа. Най-добре е да се разделите след края на този период. Ако това е трудно, два дни преди разделянето всички цветове и пъпки се отрязват. В противен случай растението може да умре.

Стайните цветя се разделят най-добре през март в края на периода на покой, а храстите, растящи на открито - през есента преди началото на слана.

По време на разделянето кореновата система трябва да е ясно видима и лесно отделена от земята. За да не се повредят корените при ваденето, почвата се овлажнява добре в деня преди разделянето. Не дърпайте надземната част на растението. Корените със земна буца се изваждат чрез почукване върху саксията. Ако растението е в цветна леха, внимателно го изкопайте с градинска шпатула и твърда четка за рисуване.

С остър нож се разделя корена, за да се наранят минимално растенията. По-добре е да не използвате градински ножици, тъй като те могат да смачкат кореновите части. Не можете да счупите корените с ръцете си!

Не разделяйте растението на твърде малки части - това може да бъде пагубно за целия храст, тъй като степента на оцеляване ще бъде много по-ниска. Всяка част трябва да има зряла издънка.

Не е препоръчително веднага да засадите разделени растения в открита земя, тъй като те се нуждаят от период на възстановяване и пряка слънчева светлина, както и вредители и болести ще бъдат опасни за тях и затова е по-добре да издържите нови разсад в защитена земя за двойка от седмици. Последните трябва да бъдат стерилни и подходящи за условията на растеж на растението, което ще се разделя.

За какво се използва разделянето на храста

В допълнение към увеличаването на броя на екземплярите, методът на разделяне на корените се използва за комплексно подмладяване на растения, чиято биологична възраст е към своя край. По този начин можете да актуализирате трайни насаждения, без да отглеждате разсад.

Този метод е много ефективен, ако е необходимо да се запазят декоративните характеристики на майчиното растение, които могат да бъдат загубени при използване на други методи за размножаване.

Примери за възпроизвеждане чрез разделяне на корена:

Видео 1. Размножаване на орхидея фаленопсис

Видео 3. Възпроизвеждане на касис чрез разделяне на храста

Време е за разглобяване методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.

По-долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.

Ако таблиците от квадрати, кубчета и др. не е под ръка, логично е да се използва методът за извличане на корена, който включва разлагане на коренното число на прости фактори.

Отделно, струва си да се спрем на това, което е възможно за корени с нечетни експоненти.

И накрая, помислете за метод, който ви позволява да намерите последователно цифрите на стойността на корена.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.

В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубове и т.н. позволяват извличане на корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, като изберете определен ред и определена колона, ви позволява да направите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка негова клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99 . В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единица има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.

Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да кажем, че трябва да извлечем корена на n-та степен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата на n-та степен. Според тази таблица намираме числото b такова, че a=b n . Тогава , следователно числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.

Като пример, нека покажем как се извлича кубичният корен от 19683 с помощта на кубичната таблица. Намираме числото 19 683 в таблицата на кубовете, от което намираме, че това число е куб на числото 27, следователно, .

Ясно е, че таблиците от n-та степен са много удобни при извличане на корени. Те обаче често не са под ръка, а съставянето им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да се прибегне до други методи за извличане на корените.

Разлагане на корена на прости множители

Доста удобен начин за извличане на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на коренното число на прости множители. Неговата същността е следната: след като е доста лесно да го представите като степен с желания индикатор, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека обясним тази точка.

Нека коренът на n-та степен е извлечен от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Числото b като всяко естествено число може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m във формата p 1 p 2 p m , а коренното число a в този случай е представено като (p 1 p 2 ... p m) n . Тъй като разлагането на числото на прости множители е уникално, разлагането на коренното число a на прости множители ще изглежда като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , което прави възможно изчисляването на стойността на корена като .

Обърнете внимание, че ако факторизацията на коренното число a не може да бъде представена във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , тогава коренът на n-та степен от такова число a не се извлича напълно.

Нека се справим с това, когато решаваме примери.

Пример.

Извадете корен квадратен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144=12 2 , от което става ясно, че квадратният корен от 144 е 12 .

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме как се извлича коренът чрез разлагане на корена номер 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.

Да се ​​разложим 144 на прости множители:

Тоест 144=2 2 2 2 3 3 . Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Следователно, .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .

Отговор:

За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете коренната стойност.

Решение.

Разлагането на прости множители на корена от числото 243 е 243=3 5 . По този начин, .

Отговор:

Пример.

Стойността на корена цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим коренното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768=2 3 3 6 7 2 . Полученото разлагане не е представено като куб на цяло число, тъй като степента на простия множител 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не се взема напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как се извлича коренът от дробно число. Нека дробният корен се запише като p/q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за дробен корен: Коренът на дроб е равен на частното от деленето на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

Колко е корен квадратен от обикновената дроб 25/169.

Решение.

Според таблицата на квадратите откриваме, че квадратният корен от числителя на оригиналната дроб е 5, а квадратният корен от знаменателя е 13. Тогава . Това завършва извличането на корена от обикновена фракция 25/169.

Отговор:

Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на коренните числа с обикновени дроби.

Пример.

Вземете кубичния корен от десетичната запетая 474,552.

Решение.

Нека представим оригиналния десетичен като обикновена дроб: 474.552=474552/1000. Тогава . Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената фракция. защото 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , тогава и . Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корен от отрицателно число

Отделно, струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато показателят на корена е нечетно число, тогава под знака на корена може да стои отрицателно число. Дадохме на тези обозначения следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, имаме . Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете коренната стойност.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз, така че под знака за корен да се появи положително число: . Сега заместваме смесеното число с обикновена дроб: . Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: . Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето обобщение на решението: .

Отговор:

.

Побитово намиране на коренната стойност

В общия случай под корена има число, което, използвайки техниките, разгледани по-горе, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в същото време е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получавате достатъчен брой стойности на цифрите на желаното число.

Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За целта числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n, докато се получи число, надвишаващо числото на корена. Тогава числото, което повдигнахме на степен n в предишната стъпка, ще посочи съответния висок ред.

Например, разгледайте тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратен от пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги повдигаме на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5 . Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно прецизиране на стойността на корена поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната стойност на корена, започвайки от най-високата и преминавайки към най-ниската . Например стойността на корена в първата стъпка е 2, във втората - 2,2, в третата - 2,23 и така нататък 2,236067977 ... . Нека опишем как се намират стойностите на битовете.

Намирането на битове се извършва чрез изброяване на техните възможни стойности 0, 1, 2, ..., 9 . В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с коренното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корен, ако това не се случи, тогава стойността на тази цифра е 9 .

Нека обясним всички тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.

Първо намерете стойността на цифрата на единиците. Ще повторим стойностите 0, 1, 2, …, 9, изчислявайки съответно 0 2 , 1 2 , …, 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5 . Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (защото 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с корена номер 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетото място е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотното място:

Следващата стойност на корен от пет се намира, тя е равна на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности по-нататък: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.

Първо, дефинираме старшата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2151.186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.

Нека да определим неговата стойност.

От 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, тогава стойността на десетицата е 1. Да преминем към единици.

Така стойността на мястото на единиците е 2 . Да преминем към десет.

Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Да предположим например, че трябва да извлечем корен квадратен от дробта 25/144. 6. Приблизително извличане на квадратни корени. Ако Д

За да извлечете корен квадратен от цяло число с точност до 1, трябва да извлечете, както обикновено, и да изхвърлите остатъка, получен в края на операцията. За да извлечете приблизително корена от дроб, първо трябва да направите знаменателя точен квадрат.

В предишните уроци разбрахме какво е квадратен корен. И измисли как да умножи корените. Разглобихме формулата за умножение на корените по зъбчета.

Формулата е проста като умножение. Формулата за разделяне на корените на възможностите не е толкова обширна, колкото тази на умножението. В този пример разделянето на корените ни помогна да получим добър отговор. Има и по-трудни трансформации.

• Каталог с работни места
• Въпроси и отговори

Само за да се използва формулата за разделяне на корените. Помислете за формулата за разделяне на корените в обратна посока. В нашия случай такава формулировка на разделянето на корените помага много за извличане на корени от дроби!

Няма проблем! Ако не можете да извлечете корена веднага, преведете десетичната дроб в обикновена и продължете! Правилно! Превеждаме смесеното число в неправилна дроб - и според познатата формула за разделяне на корените!

Надявам се, че разделянето на корените не е проблем. Нека разгледаме последното свойство на квадратните корени. Вече ще има някои тънкости и клопки. Това свойство накратко се нарича квадратен корен. Защо не? Умножете корена по себе си - да, това е всичко! И не само в каре е възможно. Във всяка степен.

Това е числото, което на квадрат трябва да даде двойка. Според правилата на тези действия ние сами привеждаме оригиналния израз към корените на квадрата и изчисляваме всичко. Правим това с произволна степен на корен от всеки израз и всичко ще бъде изчислено за нас, опростено и успешно.

Във всички учебници, справочници и ръководства до такава формула винаги пишат: "където a е по-голямо или равно на нула." В тези думи, които мнозина просто пропускат, се крият основните трудности на корените. И така, къде могат да се появят отрицателни числа и изрази в корените?

Изваждаме корен от четири и получаваме 2. Тъй като аритметичният корен квадратен (а в училище работим само с такъв!) винаги е неотрицателно число! Това е последното, трето свойство на корените.

• Алгебра
• 14 точки

Тук това означава само, че за всеки знак на а резултатът от извличането на корена от квадрата винаги ще бъде неотрицателен. Ако x Всъщност, това е основната трудност при работата с корени. За разлика от по-простите части на математиката, тук верният отговор често не следва автоматично от формулите.

Основните практически съвети за работа с квадратни корени. Ако има минус под знака на корена, тогава не можете да решите по-нататък. Ако всичко е наред под корена, плюс и в резултат на извличането се получава умишлен минус - направете плюс от това! Това се изисква от правилата за действие с квадратни корени.

24 делено на корен от 7+1

Всички свойства на корените са свързани с умножение-деление. Няма специални формули за събиране и изваждане на корен! Въпреки че едни и същи корени могат, разбира се, да се събират и изваждат. Но тези действия нямат нищо общо със специфичните свойства на корените.

Отлично. Корените не са твой проблем. Няма проблем! Отиваме на специален раздел 555. Квадратни корени. Там са дадени всички обяснения. В този раздел ще се запознаете с практическата работа с корените. Дискриминантът е израз, от който зависи броят на корените на дадено уравнение.

Нека намалим степента на косинус по формулата: 1+cos2α=2cos2α. Следователно няма корени. В този случай триномът 4y2-2y+5 ще приема само положителни стойности за всяка стойност на y.

ИЗКЛЮЧЕНО: Числото pi, разделено на корен от 3, или математика за 1C-ник

В крайна сметка, ако разликата на два радикала се умножи по тяхната сума, тогава ще се получи разликата на квадратите на корените, т.е. получавате израз без радикални знаци. 1) Представяме коренния израз на втория фактор като квадрат на сумата от два израза, т.е. във формата (a + b)2. Това ще ни позволи да извлечем аритметичния квадратен корен.

РАЗШИРЕНИЕ НА МОЩНОСТ. Напомням ви: тук a е неотрицателно число (по-голямо или равно на нула), b е положително (по-голямо от нула)! В противен случай формулата няма смисъл ... Сега имаме две формули в нашия арсенал.

Но точно тези действия създават много проблеми ... Това трябва да се реши задълбочено. Няма проблем! Освен ако, разбира се, не познавате действия със сила... Нека имаме добро число 2. Нека го повдигнем на квадрат. Нека изведем степента си на площада.

Ами ако степента е странна? Всичко е просто. Но досега сме работили само с неотрицателни числа и изрази. Тук всичко е ясно и просто. Тази формула не работи за отрицателни стойности.

Ние знаем как да извлечем корена от работата. Квадратният корен е просто нещо. Случва се още по-готино, когато трябва да вземете корен от смесено число! А сега нека практикуваме корените. Много просто. Директно в смисъла на корена. Колко е корен квадратен от две, например?