факт 1.
\(\bullet\) Візьмемо деяке не від'ємне число\(a\) (тобто \(a\geqslant 0\)). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа \(a\) називається таке невід'ємне число \(b\), при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ці обмеження є важливою умовою існування квадратного кореняі їх слід запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто \(100^2=10000\geqslant 0\) і \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чому дорівнює \(\sqrt(25)\)? Ми знаємо, що \(5^2=25\) і \((-5)^2=25\). Так як за визначенням повинні знайти невід'ємне число, то \(-5\) не підходить, отже, \(\sqrt(25)=5\) (бо \(25=5^2\) ).
Знаходження значення \(\sqrt a\) називається вилученням квадратного кореня з числа \(a\) , а число \(a\) називається підкореним виразом.
\(\bullet\) Виходячи з визначення, виразу \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно буде вивчити таблицю квадратів натуральних чиселвід \(1\) до \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline \end(array)\]

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
\(\bullet\) Сума чи різниця квадратного корінняНЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , то спочатку ви повинні знайти значення \(\sqrt(25)\) і \(\sqrt(49)\ ), а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення \(\sqrt a\) або \(\sqrt b\) при додаванні \(\sqrt a+\sqrt b\) знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) ми можемо знайти \(\sqrt(49)\) - це \(7\) , а от \(\sqrt 2\) ніяк перетворити не можна, тому \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Далі цей вислів, на жаль, спростити неможливо\(\bullet\) Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння з великих чиселшляхом розкладання їх на множники.
Розглянемо приклад. Знайдемо \(\sqrt(44100)\). Так як \ (44100: 100 = 441 \), то (44100 = 100 \ cdot 441 \). За ознакою ділимості число \(441\) ділиться на \(9\) (оскільки сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, \(441:9=49\) , тобто \(441=9\) cdot 49) .
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 = \ dfrac (56) 3 \]
\(\bullet\) Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу \(5\sqrt2\) (скорочений запис від виразу \(5\cdot \sqrt2\)). Оскільки \(5=\sqrt(25)\) , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) (sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Припустимо, що \(\sqrt2\) - це деяке число \(a\). Відповідно, вираз \(\sqrt2+3\sqrt2\) є не що інше, як \(a+3a\) (одне число \(a\) плюс ще три таких же числа \(a\) ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам \(a\), тобто \(4\sqrt2\).

факт 4.
\(\bullet\) Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака \(\sqrt() \ \) кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі \(16\) можна, тому що \(16=4^2\) , тому \(\sqrt(16)=4\) . А ось витягти корінь із числа \(3\), тобто знайти \(\sqrt3\), не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть \(3\).
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа \(\pi\) (число "пі", приблизно рівне \(3,14\) ), \(e\) (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює \(2,7\) ) і т.д.
\(\bullet\) Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числа утворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою \(\mathbb(R)\).
Отже, всі числа, які ми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль речового числа \(a\) – це невід'ємне число \(|a|\) , що дорівнює відстані від точки \(a\) до \(0\) на речовій прямій. Наприклад, \(|3|\) і \(|-3|\) дорівнюють 3, тому що відстані від точок \(3\) і \(-3\) до \(0\) однакові і рівні \(3 \).
\(\bullet\) Якщо \(a\) – невід'ємне число, то \(|a|=a\) .
Приклад: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Якщо \(a\) – від'ємне число, то \(|a|=-a\) .
Приклад: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Кажуть, що у негативних чисел модуль "з'їдає" мінус, а позитивні числа, а також число (0), модуль залишає без змін.
АЛЕтаке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома \(x\) (або якась інша невідома), наприклад, \(|x|\) , про яку ми не знаємо, позитивна вона дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: \(|x|\) . \(\bullet\) Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що \(sqrt(a^2)\) і \((sqrt a)^2\) - одне і те ж. Це вірно тільки в тому випадку, коли (a) - позитивне число або нуль. А ось якщо \(a\) - негативне число, то це не так. Достатньо розглянути такий приклад. Візьмемо замість \(a\) число \(-1\). Тоді \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , а ось вираз \((\sqrt(-1))^2\) взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!).
Тому звертаємо вашу увагу, що \(\sqrt(a^2)\) не дорівнює \((\sqrt a)^2\) !Приклад: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (вираз \(2n\) позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює \(-25\); але ми пам'ятаємо , Що за визначенням кореня такого бути не може: у нас завжди при вилученні кореня має виходити позитивне число або нуль)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)

Факт 6.
Як порівняти два квадратні корені?
\(\bullet\) Для квадратного коріння вірно: якщо \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПриклад:
1) порівняємо \(\sqrt(50)\) і \(6\sqrt2\) . Для початку перетворимо другий вираз у \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Таким чином, оскільки \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Між якими цілими числами знаходиться (sqrt (50))?
Оскільки \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Порівняємо \(\sqrt 2-1\) і \(0,5\). Припустимо, що \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було невірним і (sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності впливає з його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ \sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення цих чисел допоможе вам порівняти чисел! \(\bullet\) Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягується) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими “сотнями” воно знаходиться, потім – між якими “десятками”, а потім уже визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо \(\sqrt(28224)\). Ми знаємо, що \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) і т.д. Зауважимо, що \(28224\) знаходиться між \(10\,000\) та \(40\,000\) . Отже, \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(100\) і \(200\) .
Тепер визначимо, між якими “десятками” знаходиться наше число (тобто, наприклад, між (120) і (130)). Також із таблиці квадратів знаємо, що \(11^2=121\) , \(12^2=144\) і т.д., тоді \(110^2=12100\) , \(120^2=14400) \) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \). Таким чином, ми бачимо, що \(28224\) знаходиться між \(160^2\) і \(170^2\). Отже, число (sqrt (28224)) знаходиться між (160) і (170).
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці (4)? Це \(2^2\) і \(8^2\). Отже, \(\sqrt(28224)\) буде закінчуватися або на 2, або на 8. Перевіримо це. Знайдемо \(162^2\) і \(168^2\):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, (sqrt (28224) = 168) . Вуаль!

Щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, передусім необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить з численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. буд. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики непросто буває навіть в Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

1. Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто хоче отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відбивається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
2. Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та міркувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.

Розподіл коренів квітів просто необхідний, якщо ви вирішили відразу за один «захід» отримати пару сильних і дорослих рослин, які в майбутньому будуть готові до цвітіння. Але якщо розглядати це питання з іншого боку, то можна сказати, що розподіл коренів може негативно позначитися на стані рослин, особливо при неправильній роботі з корінням.

Перш ніж розбирати питання – як ділити коріння, необхідно визначитися із рослинами, які можна так розмножувати. Насамперед, це трав'янисті екземпляри з гарною кореневою системою. Ділити таким чином можна квіти та чагарники.

Алгоритм поділу коренів:

1. Квітку вийміть з ґрунту і струсіть великий ком землі.

2. Залишки ґрунту змийте водою, але не потрібно повністю очищати коріння, головне, щоб ґрунт не заважав вам при розподілі.

4. Здійсніть обрізку пагонів на висоту 10 см. Цей захід допоможе використати сили квітів для відновлення коренів, а не зростання пагонів.

5. Якщо кореневі відростки почали твердіти, і видно, що нічого хорошого з них не вийде, то це коріння зрізає.

6. Жовті та сухі пагони, листя відразу знищують.

7. Зверніть увагу на те, що центральна частина квітки не повинна ділитися. Ви відокремлюєте лише бічні корені.

8. Зрізи обробляють деревним вугіллям, а нові рослини висаджують у спеціальні горщики.

Що ви ще повинні знати про поділ коріння

Не виконуйте цей процес під час цвітіння рослини. Найкраще проводити його після цього періоду. Якщо дотриматися цієї рекомендації складно, то за пару днів перед процесом бутони і квіти знищують, інакше квітка прижитися не зможе.

Чагарник у відкритому ґрунті поділяють восени, а кімнатні квіти – навесні. Перед вилученням рослини із землі грунт добре поливають, щоб коренева система не пошкодилася. У жодному разі не тягніть рослину за наземну частину. Кореневу систему виймають разом із ґрунтом, стукаючи по горщику. Якщо квітка росте на клумбі, її обережно підкопують і дістають за допомогою садових інструментів. Для мінімального пошкодження кореневої системи використовують гострий ніж. Кореневу систему не ламайте руками! Це негативно позначиться на стані майбутньої квітки.

Зверніть увагу!Не діліть кущ на маленькі частини, так як це може негативно позначитися на їхньому зростанні та розвитку. Приживання буде мінімальним. Не забувайте, що на кожній частині повинні бути одна доросла втеча.

У відкритий ґрунт відразу висаджувати рослини не можна, тому що їм потрібен період відновлення, та й промені сонця на рослини вплинуть негативно.

Користь розмноження поділом куща

Крім того, що рослин стає більше, вони ще й омолоджуються. Адже сперечатися безглуздо про те, що біологічний вік всіх живих істот не вічний, і рослина не стала винятком. Отже, ви можете за допомогою поділу коренів оновити ваші багаторічники без додаткового вирощування розсади.

Розмноження рослин методом поділу кореня є одним із найзручніших способів, адже разова операція дозволяє отримати відразу кілька дорослих та сильних рослин, готових до цвітіння чи плодоношення. З іншого боку, цей метод підходить не для всіх культур, але і при неправильному виконанні може бути згубним для всієї рослини.

Поділом кореня розмножують чагарники і трав'янисті рослини, що мають розвинену кореневу систему з утворенням нирок. У цю категорію можна віднести ліщину, бузок, що є чагарником, орхідеї, хризантеми, дельфініуми та півонії, а також багато інших квітів.

Основні етапи процедури:

• Акуратно витягніть рослину з ґрунту і обтрусіть жорстким пензлем земляний ком.
• Залишки ґрунту змийте водою кімнатної температури, зануривши коріння в ємність із водою. Всю землю змивати не потрібно, головне щоб ґрунт не заважав поділу.
• Оцініть скільки рослин може вийти з даного куща, вибравши основні дорослі пагони та активні бруньки.
• Виконайте обрізання всіх пагонів рослини на висоту десять сантиметрів (необхідно для високих трав'янистих рослин та чагарників). Це дозволить рослині використати енергію на відновлення кореневої системи, не витрачаючи її на живлення надземної частини.
• Якщо є втечі, що одеревіли, наприклад, при розмноженні троянди, їх зрізають під самий корінь.
• Видаляються всі пошкоджені та пожовклі пагони та листя.
• Зробіть впевнені розрізи, відокремлюючи бічні частини куща. Центральна частина рослини повинна розділятися.
• Обробіть зрізи деревним вугіллям, висадіть нові рослини у підготовлені ємності та виконайте полив розчином стимулятора росту.

Що потрібно знати при розподілі куща

Розмноження даним способом не можна виконувати під час цвітіння. Найкраще розділити після закінчення цього періоду. Якщо це важко, за два дні перед поділом зрізають усі квіти та бутони. Інакше рослина може загинути.

Кімнатні квіти краще розділяти в березні після закінчення періоду спокою, а чагарники, що ростуть у відкритому ґрунті, - восени на початок заморозків.

Під час поділу коренева система повинна бути добре видна і легко відокремлювана від ґрунту. Щоб при витягуванні не пошкодити коріння, за день до виконання поділу ґрунт добре зволожують. Не можна тягнути надземну частину рослини. Коріння із земляною грудкою виймають, постукуючи по квітковому горщику. Якщо рослина знаходиться на клумбі, її акуратно відкопують використовуючи садову лопатку та жорстку малярську кисть.

Для поділу кореня використовують гострий ніж, щоб мінімально травмувати рослини. Садові ножиці краще не використовувати, оскільки вони можуть зім'яти зрізи кореня. Не можна ламати коріння руками!

Не варто розділяти рослину на занадто дрібні частини - це може бути згубним для всього куща, оскільки приживання буде значно нижчим. На кожній частині повинна обов'язково бути зріла втеча.

Відразу висаджувати у відкритий ґрунт розділені рослини не бажано, оскільки їм необхідний період відновлення та прямі промені сонця, а також шкідники та хвороби будуть для них небезпечні, а тому краще витримати пару тижнів нові саджанці у захищеному ґрунті. Останній повинен бути стерильним і відповідати умовам росту рослини, що розділяється.

Для чого застосовується поділ куща

Крім збільшення кількості екземплярів, метод розподілу кореня застосовується для комплексного омолодження рослин, біологічний вік яких добігає кінця. Таким чином, ви зможете оновлювати багаторічники без вирощування розсади.

Дуже ефективний цей метод, якщо потрібно зберегти декоративні особливості материнської рослини, які при використанні інших методів розмноження можуть бути втрачені.

Приклади розмноження поділом кореня:

Відео 1. Розмноження орхідеї фаленопсис

Відео 3. Розмноження смородини розподілом куща

Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.

Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел із використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.

Нарешті розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж є ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, вона за допомогою вибору певного рядка і стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .

Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, лише вони у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратне коріння, кубічне коріння, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при витягуванні коріння. Однак їх часто не виявляється під руками, а їх складання потребує певного часу. Більше того, часто доводиться витягувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів коріння.

Розкладання підкореного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, p m у вигляді p 1 2 · ... · p m) n . Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 · p 2 · ... · p m) n , Що дає можливість обчислити значення кореня як .

Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ого ступеня з такого числа a націло не витягується.

Розберемося з цим під час вирішення прикладів.

приклад.

Вийміть квадратний корінь із 144 .

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то видно, що 144=12 2 , звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .

Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.

Розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, .

Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .

Відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

приклад.

Обчисліть значення кореня.

Рішення.

Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, .

Відповідь:

приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.

Відповідь:

Ні.

Вилучення коренів із дробових чисел

Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.

Розберемо приклад вилучення кореня з дробу.

приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь зі звичайного дробу 25/169?

Рішення.

За таблицею квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді . На цьому витяг кореня зі звичайного дробу 25/169 завершено.

Відповідь:

Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.

приклад.

Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552 .

Рішення.

Представимо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді . Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Так як 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1000=10 3 то і . Залишилося лише завершити обчислення .

Відповідь:

.

Вилучення кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коренів сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступного змісту: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо . Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: . Застосовуємо правило вилучення кореня зі звичайного дробу: . Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: .

Наведемо короткий запис рішення: .

Відповідь:

.

Поразрядне знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається подати у вигляді n-ого ступеня якого-небудь числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. В цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки отримаємо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому кроці виходить 2 , другому – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . При цьому паралельно обчислюються n -і ступені відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і здійснюється перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .

Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки отримаємо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5:

Оскільки 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо витяг кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Так як 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць.

Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десятої.

Оскільки навіть 12,9 3 менше підкореного числа 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що є безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Наприклад, нехай нам треба витягти квадратний корінь із дробу 25/144. 6. Наближене вилучення квадратних коренів. Якщо D

Щоб витягти квадратний корінь з цілого числа з точністю до 1, необхідно витягувати, як завжди, і відкинути залишок, що отримується в кінці дії. Для наближеного вилучення кореня з дробу, потрібно попередньо зробити знаменника повним квадратом.

У попередніх уроках ми усвідомили, що таке квадратне коріння. І розібралися як множити коріння. Формулу множення коріння ми розібрали по гвинтиках.

Формула така ж проста, як і множення. У формули розподілу коренів можливості негаразд великі, як в множення. У цьому прикладі поділ коренів допоміг нам отримати гарну відповідь. Бувають хитріші перетворення.

• Каталог завдань
• Питання та відповіді

Винятково для того, щоб формулу поділу коренів у справу вжити. Розглянемо формулу поділу коренів у зворотному напрямку. У нашому випадку таке формулювання поділу коренів чудово допомагає видобувати коріння з дробів!

Не питання! Якщо одразу корінь не можете витягти — переводіть десятковий дріб у звичайний, і вперед! Правильно! Перекладаємо змішане число в неправильний дріб — і за знайомою формулою поділу коріння!

Сподіваюся, що поділ коріння проблем не становить. Займемося останньою властивістю квадратного коріння. Тут уже будуть деякі тонкощі та підводні камені. Цю властивість коротко називають корінь із квадрата. А чому ні? Помножити корінь сам на себе — та й справи всі! І не лише у квадрат можна. У будь-який ступінь.

Це число, яке при зведенні квадрат має дати двійку. За правилами цих дій самі наведемо вихідний вираз до коріння у квадраті і все порахуємо. Так чинимо з будь-яким ступенем кореня з будь-якого виразу, і все в нас порахується, спроститься та вийде.

У всіх підручниках, довідниках та посібниках поряд з такою формулою завжди пишуть: «де а — більше, чи одно нулю». У цих словах, які багато хто просто пропускає, і криються головні складності коренів. Отже, звідки в корінні можуть з'явитися негативні числа та вирази?

Виймаємо корінь із чотирьох і отримуємо 2. Так як арифметичний квадратний корінь (а в школі ми працюємо тільки з такими!) - Завжди число невід'ємне! Це і є остання, третя властивість коренів.

• Алгебра
• 14 балів

Тут він означає лише те, що при будь-якому знаку, результат вилучення кореня з квадрата буде завжди невід'ємний. Якщо х Власне, це і є головна складність у роботі з корінням. На відміну від найпростіших розділів математики, тут правильна відповідь часто не випливає автоматично з формул.

Головна практична рада по роботі з квадратним корінням. Якщо під знаком кореня мінус, далі можна не вирішувати. Якщо під корінням все нормально, плюс, а в результаті вилучення виходить явний мінус - зробіть з нього плюс! Цього вимагають правила дій із квадратним корінням.

24 розділити на коріння з 7+1

Усі властивості коренів пов'язані з множенням-поділом. На складання-віднімання коренів — не існує спеціальних формул! Хоча однакове коріння можна, звичайно, складати-віднімати. Але ці дії до специфічних властивостей коріння не мають жодного відношення.

Чудово. Коріння – не ваша проблема. Немає проблем! Ідемо до Особливого розділу 555. Квадратне коріння. Там дано всі роз'яснення. У цьому розділі ви познайомитеся з практичною роботою з корінням. Дискримінант - це вираз, від якого залежить кількість коренів цього рівняння.

Понизимо ступінь косинуса за такою формулою: 1+cos2α=2cos2α. Отже, коріння немає. При цьому тричлен 4y2-2y+5 при будь-якому значенні у прийматиме тільки позитивні значення.

OFF: Число ПІ розділити на корінь з 3, або математика для 1С-ника

Адже якщо різницю двох радикалів помножити з їхньої суму, то вийде різницю квадратів коренів, тобто. вийде вираз без символів радикалів. 1) Уявимо підкорене вираз другого множника як квадрата суми двох виразів, тобто. у вигляді (a + b)2. Це дозволить нам отримати арифметичний квадратний корінь.

ЗВЕДЕННЯ В СТУПІНЬ. Нагадую: тут а — невід'ємне число (більше або нульове), b — позитивне (більше за нуль)! Інакше формули сенсу немає… Тепер у нашому арсеналі вже дві формули.

Але саме ці дії викликають безліч проблем... З цим треба розібратися ґрунтовно. Не питання! Якщо, звичайно, знаєте дії зі ступенями… Нехай у нас є хороше число 2. Зведемо його у квадрат. Наведемо нашу міру до квадрата.

А якщо ступінь непарний? Все просто. Але досі ми працювали тільки з невід'ємними числами та виразами. Тут все зрозуміло та просто. Чи не працює ця формула для негативних значень.

Ми ж уміємо корінь із твору витягувати. Корінь у квадраті - штука нехитра. Буває ще крутіше, коли корінь із змішаного числа треба витягти! А тепер попрактикуємося в корінні. Дуже просто. Прямо за змістом кореня. Що таке корінь квадратний із двох, наприклад?