Трапеція – чотирикутник із двома паралельними основамиі не паралельними бічними сторонами. Прямокутна трапеція має прямий кут з одного боку.

Інструкція

1. Периметрпрямокутної трапеції дорівнює сумідовжин сторін 2-х основ та 2-х бічних сторін. Завдання 1. Виявіть периметр прямокутної трапеції, якщо відомі довжини всіх його сторін. Для цього складіть всі чотири значення: P (периметр) = a + b + c + d. Розглянемо варіанти.

2. Завдання 2. Виявіть периметр прямокутної трапеціїякщо знаменита нижня основа AD = a, не перпендикулярна йому бічна сторона CD = d, а кут при цій бічній стороні ADC дорівнює Альфа.Рішення.Проведіть висоту трапеціїз вершини C на більшу основу отримаємо відрізок CE, трапеція розділилася на дві фігури - прямокутник ABCE і прямокутний трикутник ECD. Гіпотенуза трикутника – це вести нам бічний бік трапеції CD, один з катетів дорівнює перпендикулярній бічній стороні трапеції(за правилом прямокутника дві паралельні сторони рівні – AB = CE), а інший – відрізок, довжина якого дорівнює різниці основ трапеції ED = AD - BC.

3. Виявіть катети трикутника: за присутніми формулами CE = CD*sin(ADC) і ED = CD*cos(ADC). (Альфа). Дізнайтеся довжину перпендикулярної бічної сторони – AB = CE = d*sin (Альфа). Виходить, ви отримали довжини всіх сторін прямокутної сторони трапеції .

4. Складіть отримані значення, це і буде прямокутний периметр трапеції😛 = AB + BC + CD + AD = d * sin (Альфа) + (a - d * cos (Альфа)) + d + a = 2 * a + d * (sin (Альфа) - cos (Альфа) + 1 ).

5. Завдання 3. Виявіть периметр прямокутної трапеціїякщо вестими довжини його основ AD = a, BC = c, довжина перпендикулярної бічної сторони AB = b і гострий кутз іншого боку ADC = Альфа.Рішення.Проведіть перпендикуляр CE, отримайте прямокутник ABCE і трикутник CED.Зараз виявіть довжину гіпотенузи трикутника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Виходить, ви отримали довжини всіх сторін.

6. Складіть отримані значення: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

Про те, що таке периметр, кожен із нас дізнався ще у молодших класах. Знаходженням сторін квадрата при вестимом периметрі завдань зазвичай не виникає навіть у тих, хто завершив школу давно і встиг забути курс математики. Втім вирішити аналогічне завдання щодо прямокутника чи прямокутного трикутника виходить без підказки не кожному.

Інструкція

1. Як розв'язати задачу з геометрії, за умови якої наведено лише периметр та кути? Безперечно, якщо йдеться про гострокутному трикутнику або багатокутнику, то таке завдання без уміння довжини однієї зі сторін вирішити неможливо. Втім, якщо йдеться про прямокутний трикутник або прямокутник, то по заданому периметру можна виявити його сторони. Прямокутник має довжинуі ширину. Якщо провести діагональ прямокутника, можна визначити, що вона розбиває прямокутник на два прямокутний трикутник. Діагональ є гіпотенузою, а довжина та ширина – катетами цих трикутників. У квадрата, що є окремим випадком прямокутника, діагональ є гіпотенузою прямокутного рівнобедреного трикутника.

2. Уявимо, що є прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c, у якого один із кутів дорівнює 30 , а 2-й 60. На малюнку видно, що a = c * sin?, а b = c * cos?. Знаючи, що периметр будь-якої фігури, в тому числі і трикутника, дорівнює сумі всіх його сторін, отримуємо: a + b + c = c * sin? + c * cos + c = p З цього виразу можна виявити незнайому сторону c, яка є гіпотенузою для трикутника. Бо кут? = 30, пізніше реформування отримаємо: c * sin ? + c * cos ? p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Як вже сказано вище, діагональ прямокутника ділить його на два прямокутні трикутники з кутами 30 і 60 градусів. Від того, що периметр прямокутника дорівнює p=2(a + b), ширину a і довжину b прямокутника можна виявити, виходячи з того, що діагональ є гіпотенузою прямокутних трикутників: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Ці два рівняння виражені через периметр прямокутника. За ними обчислюються довжина і ширина цього прямокутника з урахуванням кутів при проведенні його діагоналі.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Як виявити довжину прямокутника, якщо відомий периметр і ширина? Відняти з периметра подвоєну ширину, тоді отримаємо подвоєну довжину. Потім поділяємо її навпіл, щоб знайти довжину.

Корисна порада
Ще з початкової школи багато хто пам'ятає, як виявити периметр будь-якої геометричної фігури: досить дізнатися довжину всіх її сторін і виявити їхню суму. Відомо, що у такій фігурі, як прямокутник, довжини сторін рівні попарно. Якщо ширина і висота прямокутника мають ідентичну довжину, він називається квадратом. Зазвичай довжиною прямокутника називають найбільшу зі сторін, а завширшки – найменшу.

Периметр(Р) - сума довжин всіх сторін фігури, а у чотирикутника їх чотири. Отже, щоб знайти периметр чотирикутника, потрібно просто скласти довжини всіх його сторін. Але вести такі фігури, як прямокутник, квадрат, ромб, тобто позитивні чотирикутники. Їхні периметри визначаються спеціальними методами.

Інструкція

1. Якщо ця фігура – ​​прямокутник (чи паралелограм) АВСД, він має такі характеристики: паралельні боку попарно рівні (див. рисунок). АВ = ЦД та АС = ВД. Знаючи таке ставлення сторін у цій фігурі, можна вивести периметр прямокутника(і паралелограма): Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Нехай одні сторони дорівнюють числу а, інші – числу в, тоді Р = а + а + в + в = 2 * а = 2 * в = 2 * (а + в). Приклад 1. У прямокутнику АВСР сторони дорівнюють АВ = СД = 7 см і АС = ВД = 3 см. Виявити периметр такого прямокутника. Рішення: Р = 2 * (а + в). Р = 2 * (7 +3) = 20 см.

2. Вирішуючи завдання у сумі довжин сторін із фігурою, званої квадрат чи ромб, слід використовувати кілька видозмінену формулу периметра. Квадрат і ромб - фігури, що мають ідентичні чотири сторони. Виходячи з визначення периметра, Р = АВ + ЦД + АС + ВД і допускаючи позначення довжини буквою а, то Р = а + а + а + а = 4 * а. Приклад 2. Ромб має довжину сторони 2 см. Виявити його периметр. Рішення: 4*2 см = 8 см.

3. Якщо цей чотирикутник є трапецією, то в цьому випадку легко необхідно скласти довжини чотирьох сторін. Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Приклад 3. Виявити периметр трапеції АВСД, якщо її сторони дорівнюють: АВ = 1 см, ЦД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Рішення: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Може статися таке, що трапеція виявиться рівнобокою (у неї дві бічні сторони рівні), тоді її периметр може звестися до формули: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = а + в + а + с = 2 * а + + с. Приклад 4. Виявити периметр рівнобічної трапеції, якщо її бічні грані дорівнюють 4 см, а основи – 2 см і 6 см. Рішення: Р = 2*а + + с = 2 * 4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Відео на тему

Корисна порада
Ніхто не заважає знаходити периметр чотирикутника (і всякої іншої фігури), як суму довжин сторін, не застосовуючи виведені формули. Вони дано для комфорту та полегшення обчислення. Не є помилкою спосіб вирішення, значимий правильний результат та вміння математичної термінології.

Порада 4: Як виявити основи прямокутної трапеції

Математична постать із чотирма кутами називається трапецією, якщо пара протилежних її сторін паралельна, інша пара – ні. Паралельні сторони називають підставами трапеції, дві інші – бічними. У прямокутній трапеціїодин із кутів при бічній стороні – прямий.

Інструкція

1. Завдання 1. Виявіть основи BC і AD прямокутної трапеціїякщо вестима довжина діагоналі AC = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = ?.Рішення: Розгляньте прямокутний трикутник CED. Відомі гіпотенуза c та кут між гіпотенузою та катетом EDC. Виявіть довжини сторін CE та ED: за формулою кута CE = CD*sin(ADC); ED = CD * cos (ADC). Виходить: CE = c * sin?; ED = c * cos?

2. Розгляньте прямокутний трикутник ACE. Гіпотенуза AC і катет CE вам відомі, виявіть сторону AE за правилом прямокутного трикутника: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Виходить: AE (2) = AC (2) - CE (2) = f (2) - c * sin?. Обчисліть квадратний коріньіз правої частини рівності. Ви виявили верхню основу прямокутної трапеції .

3. Довжина основи AD є сумою довжин 2-х відрізків AE та ED. AE = квадратний корінь (f (2) - c * sin?); ED = c*cos?). Виходить: AD = квадратний корінь(f(2) – c*sin?) + c*cos?. Ви виявили нижню основу прямокутної трапеції .

4. Завдання 2. Виявіть основи BC і AD прямокутної трапеціїякщо вестима довжина діагоналі BD = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = ?.Рішення: Розгляньте прямокутний трикутник CED. Виявіть довжини сторін CE та ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD * cos (ADC) = c * cos?

5. Розгляньте прямокутник ABCE. За властивістю прямокутника AB = CE = c * sin? Розгляньте прямокутний трикутник ABD. За якістю прямокутного трикутника квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Отже AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?. Ви виявили нижню основу прямокутної трапеції AD = квадратний корінь (f (2) - c * sin?).

6. За правилом прямокутника BC = AE = AD – ED = квадратний корінь (f(2) – c*sin?) – с*cos?. Ви виявили верхню основу прямокутної трапеції .

Трапеція є чотирикутником з двома паралельними і двома не паралельними сторонами. Щоб визначити її периметр, треба знати розміри всіх сторін трапеції. При цьому дані завдання можуть бути різними.

Вам знадобиться

• - Калькулятор;
• – таблиці синусів, косінусів та тангенсів;
• - Папір;
• - креслярське приладдя.

Інструкція

1. Найпримітивніший варіант завдання – коли дано всі сторони трапеції. В цьому випадку їх потрібно легко скласти. Дозволено скористатися подальшою формулою: p=a+b+c+d, де p – периметр, а літерами a, b, c і d позначені сторони, що протилежні кутам, позначеним відповідними великими літерами.

2. Є дана рівнобедрена трапеція, досить скласти дві її основи і додати до них подвоєний розмір боку. Тобто периметр у разі обчислюється за такою формулою: p=a+c+2b, де b – сторона трапеції, і з – підстави.

3. Розрахунки будуть дещо більшими, якщо якусь із сторін потрібно обчислити. Скажімо, ведемо довгу основу, прилеглі до нього кути та висота. Вам потрібно обчислити коротку основу та бік. Для цього накресліть трапецію ABCD, із верхнього кута B проведіть висоту BE. У вас вийде трикутник АВЕ. Вам ведемо кут А, відповідно, ви знаєте його синус. У цих задачах вказана також висота BE, яка одночасно є катетом прямокутного трикутника, що протилежить знаменитому вам кутку. Щоб виявити гіпотенузу АВ яка одночасно є стороною трапеції, досить BE поділити на sinA. Так само виявіть довжину 2-ї сторони. Для цього необхідно провести висоту з іншого верхнього кута, тобто CF. Зараз вам вести більшу підставу і сторони. Для обчислення периметра цього небагато, потрібен ще розмір меншої основи. Відповідно, в 2-х трикутниках, що утворилися всередині трапеції, потрібно виявити розміри відрізків AE і DF. Це можна зробити, скажімо, через косинуси ведених вам кутів А і D. Косинус - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Щоб знайти катет, потрібно гіпотенузу помножити на косинус. Далі периметр обчисліть за тією самою формулою, що й у першому кроці, тобто склавши всі сторони.

4. Ще один варіант: дано дві підстави, висота та одна зі сторін, необхідно виявити другу сторону. Це також краще робити із застосуванням тригонометричних функцій. Для цього накресліть трапецію. Можливо, вам вестимуться підстави АD і ВС, а також сторона АВ і висота BF. За цими даними ви можете виявити кут A (через синус, тобто відношення висоти до знаменитої стороні), відрізок АF (через косинус або тангенс, від того що кут вам вже відомий. Пригадайте також характеристики кутів трапеції - сума кутів, що прилягають до однієї сторони , складає 180 °.Проведіть висоту CF.У вас вийшов ще один прямокутний трикутник, в якому вам потрібно виявити гіпотенузу CD і катет DF. А F. Тепер у прямокутному трикутнику СFD вам відомі два катети, тобто ви можете виявити тангенс кута D, а по ньому – і сам кут.

Відео на тему

Яких тільки завдань нам не доводиться вирішувати, фантазія укладачів підручників з математики воістину невичерпна. Наприклад, як знайти периметр трапеції? Для початку розберемося, що таке трапеція. Не варто боятися цієї постаті. Це всього лише прямокутник, у якого дві сторони завжди паралельні один одному і називаються основами, а інші називаються бічними, і вони можуть бути різними. Якщо бічні сторони трапеції рівні, вона називається равнобедренной. Також є поняття прямокутної трапеції, яка має одну з бічних сторін з'єднана з основою трапеції під прямим кутом.

Як знаходити периметр трапеції

Що таке периметр? Периметр - це сума довжин всіх сторін прямокутника, до яких трапеція також має безпосереднє відношення. Решта завдань, де невідомі деякі величини, зводяться також до підсумовування сторін після того, як всі невідомі будуть знайдені.

А якщо всі сторони рівні? Якщо вам дано для вирішення завдання, де дано всю сторону трапеції a b c d, їх просто потрібно скласти все разом, отриманий результат і буде периметром. Периметр прямокутної трапеції. Припустимо, що нам дана прямокутна трапеція, де відома нижня основа AD=a, неперпендикулярна сторона CD=d, а також кут Альфа.

Як вирішувати? Проводимо з вершини З висоту, яка одразу поділяє нашу трапецію на прямокутник ABCE та трикутник ECD. Цей трикутник у нас прямий, ми знаємо його гіпотенузу CD, яка дорівнює d. Тепер знаходимо катети трикутника за формулою CE = CD * sin (ADC) і ED = CD * cos (ADC). Тепер ми знаємо майже все. ВС = АD-ЕD, а сторона АВ відповідно дорівнює знайденому раніше катету РЄ. Тепер залишилося лише скласти всі знайдені сторони, і відповідь готова.

Периметр рівнобедреної трапеції

1. Відомі бічні сторони та середня лінія. Як знайти периметр рівнобедреної трапеції, якщо вам відомі лише бічні рівні сторони AB та CD та середня лінія EF? Середня лінія трапеції, як відомо, паралельна основам, і до того ж дорівнює напівсумі цих основ. І щоб знайти довжину основ, нам потрібно лише подвоїти довжину середньої лінії. Виходячи з цих даних, рішення таке: Р=2EF+2AB
2. Відомі підстави та висота. У задачі можуть бути відомі лише довжини основ та висота трапеції. Висота утворює прямокутний трикутник, причому їх виходить два рівні. Нижній катет дуже просто: (АD-ВС)/2. Тепер нам відомі обидва катеты, залишається лише знайти гіпотенузу, застосувавши теорему Піфагора. Гіпотенуза у нас дорівнює кореню із суми квадратів катетів.
3. Отже, ми знайшли бічну сторону трапеції, їх у нас дві і вони рівні, підстави нам відомі спочатку, тому нам тепер залишається все тільки скласти, і ми отримаємо периметр, що шукається. Таким чином, знаходити периметр трапеції зовсім нескладно. Головне і першорядне в цій справі, знати її властивості, і тоді у вас ніколи не буде проблем із вирішенням завдань із трапецій. Тому, перш ніж братися за обчислення, не завадить трохи теорії.

Інструкція

Якщо відомі довжини обох основ (a та b) і довжина бічної сторони (c), то периметр (P) цієї геометричної фігури розраховується дуже просто. Так як трапеція рівнобедрена, то її бічні сторони мають однакову довжину, а що вам відомі довжини всіх сторін - просто складіть їх: P = a + b + 2 * c.

Якщо довжини обох підстав невідомі, але дана довжина лінії (l) і збоку (c), то цих даних достатньо для обчислення периметра (P). Середня лінія паралельна обом підставам і за довжиною дорівнює їх напівсумі. Подвайте це і додайте до нього теж подвоєну довжину бокової сторони - це і буде периметром рівнобедреної трапеції: P = 2 * l + 2 * c.

Якщо з умов завдання відомі довжини обох основ (a і b) і висота (h) рівнобедреної трапеції, то з цих даних можна відновити довжину сторони, що бракує. Зробити це можна розглянувши трикутник, у якому гіпотенузою буде невідома сторона, а катетами – висота та короткий відрізок, який вона відсікає від довгої основи трапеції. Довжину цього відрізка можна обчислити, поділивши навпіл різниця між довжинами більшої та меншої підстав: (a-b)/2. Довжина гіпотенузи (бічної сторони трапеції), згідно з теоремою Піфагора, дорівнюватиме квадратному кореню із суми зведених у довжин обох відомих катетів. Замініть у формулі з першого кроку довжину збоку отриманим виразом, і ви отримаєте таку формулу периметра: P = a+b+2*√(h²+(a-b)²/4).

Якщо завдання дано довжини меншої основи (b) і збоку (c), і навіть висота равнобедренной трапеції (h), то розглядаючи той самий допоміжний трикутник, що у попередньому кроці, вам доведеться обчислювати довжину катета. Знову скористайтеся теоремою Піфагора - шукана величина дорівнюватиме кореню з різниці між зведеною в квадрат довжиною бічної сторони (гіпотенузи) і висотою (): √(c²-h²). З цієї невідомої основи трапеції можна відновити його довжину - подвайте цей вираз і додайте до результату довжину короткої основи: b+2*√(c²-h²). Підставте цей вираз у формулу з першого кроку і знайдіть периметр рівнобедреної трапеції: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+c).

Джерела:

• периметр трапеції

Порада 2: Як знайти бічні сторони рівнобедреної трапеції

Трапеція є чотирикутником з двома паралельними сторонами. Ці сторони називаються основами. Їхні кінцеві точки з'єднані відрізками, які називаються бічними сторонами. У рівнобедреної трапеції бічні сторони рівні.

Вам знадобиться

• - рівнобедрена трапеція;
• - Довжини підстав трапеції;
• - Висота трапеції;
• - аркуш паперу;
• - олівець;
• - Лінійка.

Інструкція

Побудуйте відповідно до умов завдання. Вам має бути дано кілька параметрів. Як це обидва і висота. Але можливі й інші умови - одна з підстав, його нахилу до нього збоку та висота. Позначте трапецію як АBCD, підстави нехай будуть a та b, висоту позначте як h, а бічні сторони – х. Оскільки трапеція рівнобедрена, бічні сторони у неї рівні.

З вершин B та C проведіть висоти до нижньої основи. Точки позначте як M та N. До вас вийшло два прямокутні трикутники - AМВ та СND. Вони рівні, оскільки за умовами завдання їх гіпотенузи АВ і CD, а також катети ВМ і СN. Відповідно, відрізки АМ та DN також рівні між собою. Позначте їхню довжину як y.

Для того, щоб знайти довжину суми цих відрізків, необхідно від довжини основи a відняти довжину основи b. 2у = a-b. Відповідно, один такий відрізок буде підстав, поділеної на 2. y=(a-b)/2.

Знайдіть довжину збоку трапеції, яка одночасно є і гіпотенузою трикутника з відомими вам катетами. Обчисліть її за теоремою Піфагора. Вона буде квадратного кореня із суми квадратів висоти та різниці підстав, поділеної на 2. Тобто x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

Знаючи висоту і кут нахилу збоку до основи, зробіть ті ж самі побудови. Різницю підстав у разі обчислювати не потрібно. Скористайтеся теоремою синусів. Гіпотенуза дорівнює довжині катета, помноженої на синус протилежного йому кута. У цьому випадку x=h*sinCDN або x=h*sinBAM.

Якщо вам дано кут нахилу збоку трапеції не до нижньої, а до верхньої основи, знайдіть потрібний кут, виходячи з паралельних прямих. Згадайте одну з властивостей трапеції, згідно з якою кути між однією з основ та бічними сторонами рівні.

Зверніть увагу

Повторіть властивості рівнобедреної трапеції. Якщо розділити обидві її підстави навпіл і повести через ці точки лінію, вона буде віссю цієї геометричної фігури.

Якщо опустити висоту з однієї вершини верхньої основи на нижню, то на цьому останньому вийдуть два відрізки. Наприклад, у разі це відрізки АМ і DМ. Один з них дорівнює напівсумі підстав а і b, а інший - половині їхньої різниці.

Джерела:

• в рівнобедреній трапеції основи знайти бічні сторони

Порада 3: Як знайти середню лінію рівнобедреної трапеції

Трапецією вважають чотирикутник, що має лише дві паралельні сторони – вони називаються основами цієї фігури. Якщо при цьому довжини двох інших – бічних – сторін однакові, трапеція називається рівнобедреною або рівнобокою. Лінія, яка з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції та може бути розрахована кількома способами.

Інструкція

Якщо відомі довжини обох основ (А і В), для обчислення довжини (L) використовуйте властивість цього елемента трапеції - вона дорівнює напівсумі довжин основ: L = ½*(А+В). Наприклад, з , що мають довжини 10см і 20см, середня лінія повинна дорівнювати ½*(10+20) = 15см.

Середня лінія (L) разом з висотою (h) рівнобічної трапеції є помножувачем у формулі обчислення площі (S) цієї фігури. Якщо ці два параметри дано у вихідні задачі, для обчислення довжини середньої лінії діліть площу на висоту: L = S/h. Наприклад, при площі 75 см² рівнобедрена трапеція заввишки 15см повинна мати середню довжиною 75/15 = 5см.

При відомих периметрі (Р) та довжині бічної сторони (С) рівнобедреної трапеції розрахувати середню лінію (L) фігури теж нескладно. Відніміть від периметра дві довжини бічних сторін, а величина, що залишилася, буде сумою довжин основ - поділіть її навпіл, і завдання буде вирішено: L = (P-2*С)/2. Наприклад, при периметрі, що дорівнює 150см, і бічний довжиною в 25см довжина середньої лінії повинна (150-2 * 25) / 2 = 50см.

Знаючи довжини периметра (P) та висоти (h), а також величину одного з гострих кутів (α) рівнобедреної трапеції, також можна обчислити довжину її середньої лінії (L). У трикутнику, складеному висотою, бічною стороною і частиною основи, один із кутів є прямим, а величина іншого відома. Це дозволить обчислити довжину збоку за теореми синусів - розділіть висоту на синус відомого кута: h/sin(α). Потім підставте цей вираз у формулу з попереднього кроку і ви отримаєте рівність: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Наприклад, якщо відомий кут має величину 30°, висота дорівнює 10см, а периметр становить 150см, довжина середньої лінії повинна бути розрахована так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Порада 4: Як знайти периметр рівнобедреного трикутника

Периметр – це сума всіх сторін багатокутника. У правильних багатокутниках певна залежність між сторонами дозволяє спростити знаходження периметра.

Інструкція

У довільній фігурі, обмеженій різними відрізками ламаної лінії, периметр визначається послідовним виміром сторін та підсумовуванням результатів виміру. Для правильних багатокутників можливе обчисленням за формулами, які враховують зв'язки між сторонами фігури.

У довільному трикутнику зі сторонами а, b з периметр Р обчислюється за формулою: Р=а+b+с. У рівнобедреного трикутника дві сторони рівні між собою: а=b, та знаходження периметра спрощується до Р=2*а+с.

Якщо в рівнобедреному трикутнику за умовою дано розміри не всіх сторін, то для знаходження периметра можна використовувати інші відомі параметри, наприклад, площа трикутника, його кути, висоти, бісектриси та медіани. Наприклад, якщо відомі тільки дві рівні сторони рівнобедреного трикутника і будь-який з його кутів, то третю сторону знайдіть по теоремі синусів, з якої випливає, що відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є постійна величина для даного трикутника. Тоді невідома сторона може бути виражена через відому: a = b * SinА / SinВ, де А - кут проти невідомої сторони а, - кут проти відомої сторони b.

Якщо відома площа S рівнобедреного трикутника та його основа b, то з формули для визначення площі трикутника S=b*h/2 знайдіть висоту h: h=2*S/b. Ця висота, опущена на основу b, ділить заданий рівнобедрений трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Бічні сторони вихідного рівнобедреного гіпотенузами прямокутних трикутників. По теоремі Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів b і h. Тоді периметр P рівнобедреного трикутника обчислюється за такою формулою:
P=b+2*√(b²/4) +4*S²/b²).

Трапецією називають чотирикутник, основи якого лежать на двох паралельних прямих, при цьому дві інші сторони паралельними не є. Знаходження основи рівнобедреної трапеції потрібно як при здачі теорії та вирішенні завдань у навчальних закладах, і в ряді професій (інженерних, архітектурних, дизайнерських).

Інструкція

У рівнобедреної (або рівнобічної) трапеції непаралельні сторони як і кути, які утворюються при перетині нижньої основи, рівні.

Трапеція має дві підстави, і щоб їх знайти, потрібно спочатку позначити фігуру. Нехай дана рівнобедрена ABCD з основами AD та BC. При цьому відомі всі параметри, крім підстав. Бічна сторона AB=CD=a, висота BH=h та площа дорівнює S.

Для вирішення завдання про заснування трапеції найпростіше буде скласти систему рівнянь, щоб через взаємопов'язані величини знайти потрібні підстави.

Позначте відрізок BC за x, а AD за y, щоб було зручно поводитися з формулами і розуміти їх. Якщо не зробити цього одразу, можна заплутатися.

Випишіть , які стануть у нагоді при вирішенні поставленого завдання, використовуючи відомі дані. Формула площі рівнобедреної трапеції: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Піфагора: a * a = h * h + AH * AH.

Згадайте властивість рівнобедреної трапеції: висоти, що виходять із вершини трапеції, відтинають рівні відрізки на великій основі. Звідси випливає, що дві підстави можна пов'язати за формулою, яка з цієї властивості: AD=BC+2AH чи y=x+2AH

Основа, отримаємо відрізок CE, трапеція розділилася на дві - прямокутник ABCE та прямокутний трикутник ECD. Гіпотенуза – це відома нам бічна сторона трапеції CD, один з катетів дорівнює перпендикулярній бічній стороні трапеції(за правилом прямокутника дві паралельні сторони рівні - AB = CE), а інший - відрізок, довжина якого підстав трапеції ED = AD – BC.

Знайдіть катети трикутника: за існуючими формулами CE = CD * sin (ADC) і ED = CD * cos (ADC). (Альфа).Дізнайтеся довжину перпендикулярної бічної сторони - AB = CE = d*sin(Альфа).Отже, ви отримали довжини всіх сторін прямокутної сторони трапеції.

Складіть отримані значення, це і буде прямокутний периметр трапеції: P = AB + BC + CD + AD = d * sin (Альфа) + (a - d * cos (Альфа)) + d + a = 2 * a + d * (sin (Альфа) - cos (Альфа) + 1).

Завдання 3. Знайдіть периметр прямокутної трапеціїякщо відомі довжини його основ AD = a, BC = c, довжина перпендикулярної бічної сторони AB = b і гострий кут при іншій бічній стороні ADC = Альфа.Рішення. Проведіть перпендикуляр CE, отримайте прямокутник ABCE і трикутник CED. CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Отже, ви отримали довжини всіх сторін.

Складіть отримані значення: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

Про те, що таке периметр, кожен із нас дізнався ще у молодших класах. знаходженням сторін квадрата при відомому периметрі проблем зазвичай немає навіть у тих, хто закінчив школу давно і встиг забути курс математики. Однак вирішити аналогічне завдання щодо прямокутника або прямокутного трикутника вдається без підказки не всім.

Інструкція

Припустимо, що є прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c, у якого один із кутів дорівнює 30 , а другий 60. На малюнку видно, що a = c * sin?, а b = c * cos?. Знаючи, що периметр будь-якої фігури, в і трикутника, дорівнює сумі всіх його сторін, отримуємо: a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pЗ цього виразу можна знайти невідому сторону c, яка є гіпотенузою для трикутника . То як кут? = 30, після перетворення отримаємо: c * sin ? + c * cos? + c = c / 2 + c * sqrt (3) / 2 + c = p p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Як уже сказано вище, діагональ прямокутника ділить його на два прямокутні трикутники з кутами 30 і 60 градусів. Оскільки дорівнює p=2(a + b), ширину a і довжину b прямокутника можна знайти, виходячи з того, що діагональ є гіпотенузою прямокутних трикутників: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Ці два рівняння прямокутника. За ними обчислюються довжина і ширина цього прямокутника з урахуванням кутів при проведенні його діагоналі.

Відео на тему

Зверніть увагу

Як знайти довжину прямокутника, якщо відомий периметр і ширина? Відняти з периметра подвоєну ширину, тоді отримаємо подвоєну довжину. Потім ділимо її навпіл, щоб знайти довжину.

Корисна порада

Ще з початкової школибагато хто пам'ятає, як знайти периметр будь-якої геометричної фігури: достатньо дізнатися про довжину всіх її сторін і знайти їх суму. Відомо, що у такій фігурі, як прямокутник, довжини сторін дорівнюють попарно. Якщо ширина і висота прямокутника мають однакову довжину, він називається квадратом. Зазвичай довжиною прямокутника називають найбільшу зі сторін, а завширшки – найменшу.

Джерела:

• що таке ширина периметра в 2019

Периметр(Р) - сума довжин всіх сторін фігури, а у чотирикутника їх чотири. Отже, щоб знайти периметр чотирикутника, потрібно просто скласти довжини всіх сторін. Але відомі такі фігури, як прямокутник, квадрат, ромб, тобто правильні чотирикутники. Їхні периметри визначаються особливими способами.

Інструкція

Якщо дана - прямокутник (або паралелограм) АВСД, то він має наступні властивості: паралельні сторони попарно рівні (див. ). АВ = ЦД та АС = ВД. Знаючи ставлення сторін у цій фігурі, можна вивести прямокутника(і паралелограма): Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Нехай одні сторони дорівнюють числу а, інші – числу в, тоді Р = а + а + в + в = 2 * а = 2 * в = 2 * (а + в). Приклад 1. В АВСД сторони дорівнюють АВ = СД = 7 см і АС = ВД = 3 см. Знайти периметр такого прямокутника. Рішення: Р = 2 * (а + в). Р = 2 * (7 +3) = 20 см.

Розв'язуючи завдання у сумі довжин сторін із фігурою, званої квадрат чи ромб, слід застосовувати кілька видозмінену формулу периметра. Квадрат і ромб - фігури, що мають однакові чотири сторони. Виходячи з визначення периметра, Р = АВ + ЦД + АС + ВД і допускаючи довжини буквою а, то Р = а + а + а + а = 4 * а. Приклад 2. Ромб сторони 2 см. Знайти його периметр. Рішення: 4*2 см = 8 см.

Якщо цей чотирикутник є трапецією, то в цьому випадку просто потрібно скласти довжини чотирьох її сторін. Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Приклад 3. Знайти АВСД, якщо її сторони дорівнюють: АВ = 1 см, ЦД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Рішення: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Може статися таке, що виявиться рівнобокою (у неї дві бічні сторони рівні), тоді її периметр може звестися до формули: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = а + + а + с = 2*а+в+с. Приклад 4. Знайти периметр рівнобічної, якщо її бічні грані дорівнюють 4 см, а основи - 2 см і 6 см. Рішення: Р = 2*а + + с = 2 * 4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Відео на тему

Корисна порада

Ніхто не заважає знаходити периметр чотирикутника (і будь-якої іншої фігури) як суму довжин сторін, не використовуючи виведені формули. Вони дано для зручності та спрощення обчислення. Не є помилкою метод вирішення, важлива правильна відповідь та знання математичної термінології.

Джерела:

• як знаходити периметр прямокутника

Математична фігура з чотирма кутами називається трапецією, якщо пара протилежних її сторін паралельна, а інша пара – ні. Паралельні сторони називають підставами трапеції, дві інші – бічними. У прямокутній трапеціїодин із кутів при бічній стороні - прямий.

Інструкція

Завдання 1. Знайдіть основи BC і AD трапеціїякщо відома довжина AC = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = α.Рішення: Розгляньте прямокутний CED. Відомі гіпотенуза c та кут між гіпотенузою та катетом EDC. Знайдіть довжини CE та ED: за формулою кута CE = CD*sin(ADC); ED = CD * cos (ADC). Отже: CE = c * sinα; ED=c*cosα.

Розгляньте прямокутний трикутник ACE. Гіпотенуза AC і CE вам відомі, знайдіть сторону AE за правилом: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Отже: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sinα. Обчисліть квадратний корінь із правої частини рівності. Ви знайшли верхнє прямокутної трапеції.

Довжина основи AD сумою довжин двох відрізків AE та ED. AE = квадратний корінь (f(2) - c * sinα); ED = c * cosα). Отже: AD = квадратний корінь (f (2) - c * sinα) + c * cosα. Ви знайшли нижню основу прямокутної трапеції.

Задача 2. Знайдіть основи BC і AD прямокутної трапеціїякщо відома довжина діагоналі BD = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = α.Рішення: Розгляньте прямокутний трикутник CED. Знайдіть довжини сторін CE та ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD * cos (ADC) = c * cosα.

Розгляньте прямокутник ABCE. За властивістю AB = CE = c*sinα. Розгляньте прямокутний трикутник ABD. За якістю прямокутного трикутника квадрат гіпотенузи Розрахунки будуть дещо тривалішими, якщо якусь із сторін треба обчислити. Наприклад, відома довга основа, що прилягають до нього кути та висота. Вам потрібно обчислити коротку основу та бік. Для цього накресліть трапецію ABCD, із верхнього кута B проведіть висоту BE. У вас вийде трикутник АВЕ. Вам відомий кут А, відповідно, ви знаєте його синус. У даних завдання вказана також висота BE, яка одночасно є катетом прямокутного трикутника, що протилежить відомому вам кутку. Щоб знайти гіпотенузу АВ, яка одночасно є стороною трапеції, достатньо BE розділити на sinA. Так само знайдіть довжину другої сторони. Для цього необхідно провести висоту з іншого верхнього кута, тобто CF.

Тепер вам відомі більша підстава та сторони. Для обчислення периметра цього мало, потрібний ще розмір меншої основи. Відповідно, у двох трикутниках, що утворилися всередині трапеції, треба знайти розміри відрізків AE і DF. Це можна зробити, наприклад, через відомих вам кутів А і D. Косинус - це відношення катета, що прилягає до гіпотенузи. Щоб знайти катет, потрібно помножити гіпотенузу на косинус. Далі периметр обчисліть за тією самою формулою, що й у першому кроці, тобто склавши всі сторони.

Ще один варіант: дано дві підстави, висота та одна зі сторін, потрібно знайти другу сторону. Це також краще робити за допомогою тригонометричних функцій. Для цього накресліть трапецію. Допустимо, вам відомі підстави АD і ВС, а також сторона АВ та висота BF. За цими даними ви можете знайти кут A (через синус, тобто відношення висоти до відомому боці), відрізок АF (або тангенс, оскільки кут вам вже відомий. Згадайте також властивості – сума кутів, що прилягають до однієї сторони, становить 180°).

Проведіть висоту CF. У вас вийшов ще один прямокутний трикутник, в якому потрібно знайти гіпотенузу CD DF. Почніть із катета. Відніміть з довжини нижньої основи довжину верхнього, а з отриманого результату – довжину відомого вам відрізка АF. Тепер у прямокутному трикутнику СFD вам відомі два катети, тобто ви можете знайти тангенс кута D, а по ньому – і сам кут. Після цього залишиться через синус цього ж кута обчислити сторону CD, як було описано вище.

Відео на тему

Трапеція – чотирикутна геометрична фігурамає дві паралельні сторони, які називаються основами, і дві непаралельні бічні сторони. Якщо бічні сторони рівні, то постать називається рівнобедреною трапецією. Прямокутна трапеція – коли одна бічна сторона утворює із основою прямий кут. Для знаходження периметра трапеції можна скористатися одним із методів, залежно від вихідних даних.

Як знайти периметр трапеції, коли відома довжина бічних сторін та основ

У цьому випадку жодних труднощів немає. Скориставшись формулою P=a+b+c+d та підставивши всі відомі дані, легко знайдемо периметр трапеції. Наприклад: a=5, b=4, c=6, d=4. Використовуючи формулу, отримуємо P=5+4+6+4=19

Даний метод не можна використовувати, якщо не відома довжина хоча б однієї зі сторін.

Як знайти периметр трапеції, коли відома довжина бічних сторін, верхньої основи та висоти

Розбиваємо трапецію на два трикутники та прямокутник.

Для того, щоб можна було скористатися формулою P=a+b+c+d, необхідно знайти нижню основу. Його можна як вираз k+a+n.

Далі скористаємося теоремою Піфагора. Запишемо формулу першого трикутника c^2=h^2+k^2. Після перетворення отримуємо k=(c^2-h^2)^1/2. Для другого трикутника: b^2=h^2+n^2, разом n=(b^2-h^2)^1/2. Після всіх обчислень отримуємо P=a+b+(n+a+k)+c.

Як знайти периметр трапеції, коли відомі обидва основи та висота (для рівнобедреної трапеції)

Як і в попередньому методі, необхідно розділити трапецію на прямокутник і два трикутники. Гіпотенузи трикутників є бічними сторонами трапеції, які необхідно знайти. Менший катет знаходимо в такий спосіб.

Оскільки трапеція равнобедренная, від довжини більшого підстави віднімаємо довжину меншого і ділимо навпіл, тобто. d1=d2=(d-a)/2.

Скориставшись теоремою Піфагора, знаходимо бічні сторони c=(d(1)^2+h^2)^1/2. Далі за формулою P=a+2c+d обчислюємо периметр.

Як знайти периметр трапеції, коли відомі нижня основа, бічні сторони та нижні кути

Розглянемо приклад, коли відомі нижня основа AD, бічні сторони AB і CD, а також кути BAD та CDA.

З вершин B і C проводимо дві висоти, які утворюють прямокутник і два прямокутні трикутники. У трикутнику ABK сторона AB є гіпотенузою. Залишилося знайти катети за формулою BK=AB*sin(BAK) та AK=AB*cos(BAK). Оскільки BK і CN – висоти, всі вони рівні. За такою ж формулою знаходимо ND = CD * cos (CDN). Залишилося обчислити BC = AD-AK-ND. Тепер необхідно скласти всі сторони та відповідь готова.

Як знайти периметр трапеції, коли відома довжина бічних сторін та середньої лінії

Середня лінія трапеції дорівнює половині суми довжин її основ, тобто. f=(a+d)/2. Коли довжина підстав невідома, але дані розміри бічних сторін і середньої лінії, периметр знаходиться за формулою P=2*f+c+b.

Як видно, знайти периметр трапеції не так вже й складно. Приступаючи до розв'язання задачі, потрібно лише визначити, які величини відомі та яким методом можна скористатися. І тоді вирішити навіть складне завдання не складе труднощів.