Inštrukcie

Dostali ste tri body. Označme ich ako (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Predpokladá sa, že tieto body sú vrcholmi niektorých trojuholník. Úlohou je vytvoriť rovnice jej strán – presnejšie rovnice tých priamok, na ktorých tieto strany ležia. Tieto rovnice by mali vyzerať takto:
y = k1*x + bl;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3. Musíte teda nájsť uhlové hodnoty k1, k2, k3 a posunutia b1, b2, b3.

Nájdite priamku prechádzajúcu bodmi (x1, y1), (x2, y2). Ak x1 = x2, potom je požadovaná čiara vertikálna a jej rovnica je x = x1. Ak y1 = y2, potom je priamka vodorovná a jej rovnica je y = y1. Vo všeobecnosti si tieto súradnice nebudú navzájom zodpovedať.

Dosadením súradníc (x1, y1), (x2, y2) do všeobecnej rovnice priamky získate systém dvoch lineárnych rovníc: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Odčítajte jednu rovnicu od druhej a vyriešte výslednú rovnicu pre k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, teda k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Nahradením toho, čo ste našli, do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc, nájdite výraz pre b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Keďže už vieme, že x2 ≠ x1, výraz môžeme zjednodušiť tak, že y1 vynásobíme (x2 - x1)/(x2 - x1). Potom pre b1 dostanete nasledujúci výraz: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Skontrolujte, či je tretí z daných bodov na nájdenej čiare. Za týmto účelom dosaďte (x3, y3) do výslednej rovnice a zistite, či platí rovnosť. Ak je teda pozorovaný, všetky tri body ležia na tej istej priamke a trojuholník sa zvrhne na úsečku.

Rovnakým spôsobom, ako je opísané vyššie, odvodzujte rovnice pre priamky prechádzajúce bodmi (x2, y2), (x3, y3) a (x1, y1), (x3, y3).

Konečný tvar rovníc pre strany trojuholníka daný súradnicami vrcholov je: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Nájsť rovnice strany trojuholník, v prvom rade sa musíme pokúsiť vyriešiť otázku, ako nájsť rovnicu priamky v rovine, ak je známy jej smerový vektor s(m, n) a nejaký bod M0(x0, y0) patriaci priamke.

Inštrukcie

Vezmite ľubovoľnú (premennú, plávajúcu) bodku М(x, y) a zostrojte vektor М0M =(x-x0, y-y0) (napíšte aj М0M(x-x0, y-y0)), ktorý bude samozrejme kolineárny (paralelný ) podľa k s. Potom môžeme konštatovať, že súradnice týchto vektorov sú proporcionálne, takže môžeme vytvoriť kanonickú priamku: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Práve tento pomer sa použije pri riešení problému.

Všetky ďalšie akcie sa určujú na základe metódy .1. spôsob. Trojuholník je daný súradnicami jeho troch vrcholov, ktoré sú v školskej geometrii dané dĺžkami jeho troch strany(pozri obr. 1). To znamená, že podmienka obsahuje body M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Zodpovedajú svojim polomerovým vektorom) OM1, 0M2 a OM3 s rovnakými súradnicami ako body. Na získanie rovnice strany s M1M2 vyžaduje svoj smerový vektor M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) a ktorýkoľvek z bodov M1 alebo M2 (tu sa berie bod s nižším indexom).

Tak pre strany y M1M2 kanonická rovnica priamky (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Pôsobením čisto induktívne môžeme písať rovnice zvyšok strany.Pre strany s M2M3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Pre strany s M1M3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. spôsob. Trojuholník je definovaný dvoma bodmi (rovnakými ako predtým M1(x1, y1) a M2(x2, y2)), ako aj jednotkovými vektormi smerov ďalších dvoch strany. Pre strany s М2М3: p^0(m1, n1). Pre M1M3: q^0(m2, n2). Preto pre strany s M1M2 bude rovnaký ako v prvom spôsobe: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Pre strany s М2М3 ako bod (x0, y0) kanonického rovnice(x1, y1) a smerový vektor je p^0(m1, n1). Pre strany s M1M3, (x2, y2) sa berie ako bod (x0, y0), smerový vektor je q^0(m2, n2). Teda pre M2M3: rovnica (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Pre M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video k téme

Tip 3: Ako zistiť výšku trojuholníka, ak sú uvedené súradnice bodov

Výška je priamka spájajúca hornú časť postavy s opačnou stranou. Tento segment musí byť kolmý na stranu, takže z každého vrcholu je možné nakresliť iba jeden výška. Keďže na tomto obrázku sú tri vrcholy, existuje rovnaký počet výšok. Ak je trojuholník daný súradnicami jeho vrcholov, dĺžku každej z výšok možno vypočítať napríklad pomocou vzorca na zistenie plochy a výpočtu dĺžok strán.

Inštrukcie

Začnite výpočtom dĺžok strán trojuholník. Vymenovať súradnicečíslice ako toto: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) a C(X3,Y3,Z3). Potom môžete vypočítať dĺžku strany AB pomocou vzorca AB = √((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Pre ostatné dve strany budú vyzerať takto: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) a AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y3)2 + (Z1-Z3)2). Napríklad pre trojuholník so súradnicami A(3,5,7), B(16,14,19) a C(1,2,13) bude dĺžka strany AB √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Dĺžky strán BC a AC vypočítané rovnakým spôsobom budú √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 a √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Na výpočet plochy stačí poznať dĺžky troch strán získaných v predchádzajúcom kroku trojuholník(S) podľa Heronovho vzorca: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Napríklad dosadením hodnôt získaných zo súradníc do tohto vzorca trojuholník-vzorka z predchádzajúceho kroku, dostane hodnotu: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Na základe oblasti trojuholník, vypočítané v predchádzajúcom kroku a dĺžky strán získané v druhom kroku, vypočítajte výšky pre každú zo strán. Keďže plocha sa rovná polovici súčinu výšky a dĺžky strany, na ktorú je nakreslená, na zistenie výšky vydeľte zdvojnásobenú plochu dĺžkou požadovanej strany: H = 2*S/a. Vo vyššie uvedenom príklade bude výška znížená na stranu AB 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, výška na stranu BC bude mať dĺžku 2*68,815/20,12 ≈ 6,84 a pre stranu AC bude táto hodnota rovná 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Zdroje:

dané body nájdite plochu trojuholníka

Tip 4: Ako použiť súradnice vrcholov trojuholníka na nájdenie rovníc jeho strán

V analytickej geometrii môže byť trojuholník v rovine definovaný v karteziánskom súradnicovom systéme. Keď poznáte súradnice vrcholov, môžete vytvoriť rovnice pre strany trojuholníka. Budú to rovnice troch priamych čiar, ktoré sa pretínajú a vytvárajú obrazec.

Problém 1. Súradnice vrcholov trojuholníka ABC sú dané: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Nájdite: 1) dĺžku strany AB; 2) rovnice strán AB a BC a ich uhlové koeficienty; 3) uhol B v radiánoch s presnosťou na dve číslice; 4) rovnica výšky CD a jej dĺžky; 5) rovnica mediánu AE a súradnice bodu K priesečníka tohto mediánu s výškou CD; 6) rovnica priamky prechádzajúcej bodom K rovnobežne so stranou AB; 7) súradnice bodu M, umiestneného symetricky k bodu A vzhľadom na priamku CD.

Riešenie:

1. Vzdialenosť d medzi bodmi A(x 1 ,y 1) a B(x 2 ,y 2) je určená vzorcom

Použitím (1) nájdeme dĺžku strany AB:

2. Rovnica priamky prechádzajúcej bodmi A(x 1 ,y 1) a B(x 2 ,y 2) má tvar

(2)

Dosadením súradníc bodov A a B do (2) dostaneme rovnicu strany AB:

Po vyriešení poslednej rovnice pre y nájdeme rovnicu strany AB vo forme rovnej priamky s uhlovým koeficientom:

kde

Dosadením súradníc bodov B a C do (2) dostaneme rovnicu priamky BC:

Alebo

3. Je známe, že dotyčnica uhla medzi dvoma priamkami, ktorých uhlové koeficienty sú rovnaké, sa vypočíta podľa vzorca

(3)

Požadovaný uhol B tvoria priamky AB a BC, ktorých uhlové koeficienty nájdeme: Aplikovaním (3) získame

Alebo rád.

4. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere má tvar

(4)

Výška CD je kolmá na stranu AB. Na zistenie sklonu výšky CD použijeme podmienku kolmosti čiar. Odvtedy Dosadením do (4) súradníc bodu C a zisteného uhlového koeficientu výšky dostaneme

Pre zistenie dĺžky výšky CD najprv určíme súradnice bodu D - priesečníka priamok AB a CD. Spoločné riešenie systému:

nachádzame t.j. D(8;0).

Pomocou vzorca (1) zistíme dĺžku CD výšky:

5. Aby sme našli rovnicu mediánu AE, najprv určíme súradnice bodu E, ktorý je stredom strany BC, pomocou vzorcov na rozdelenie segmentu na dve rovnaké časti:

(5)

teda

Dosadením súradníc bodov A a E do (2) nájdeme rovnicu pre medián:

Aby sme našli súradnice priesečníka výšky CD a mediánu AE, riešime spoločne sústavu rovníc

nachádzame.

6. Keďže požadovaná priamka je rovnobežná so stranou AB, jej uhlový koeficient sa bude rovnať uhlovému koeficientu priamky AB. Dosadením do (4) súradníc nájdeného bodu K a uhlového koeficientu získame

3x + 4r – 49 = 0 (KF)

7. Keďže priamka AB je kolmá na priamku CD, požadovaný bod M, umiestnený symetricky k bodu A vzhľadom na priamku CD, leží na priamke AB. Okrem toho bod D je stredom segmentu AM. Pomocou vzorcov (5) nájdeme súradnice požadovaného bodu M:

Trojuholník ABC, výška CD, medián AE, priamka KF a bod M sú zostrojené v súradnicovom systéme xOy na obr. 1.

Úloha 2. Vytvorte rovnicu pre umiestnenie bodov, ktorých vzdialenosti k danému bodu A(4; 0) a k danej priamke x=1 sú rovné 2.

Riešenie:

V súradnicovom systéme xOy zostrojíme bod A(4;0) a priamku x = 1. Nech M(x;y) je ľubovoľný bod požadovaného geometrického umiestnenia bodov. Znížme kolmicu MB na danú priamku x = 1 a určme súradnice bodu B. Keďže bod B leží na danej priamke, jeho súradnica sa rovná 1. Súradnica bodu B sa rovná súradnici bodu M Preto B(1;y) (obr. 2).

Podľa podmienok problému |MA|: |MV| = 2. Vzdialenosti |MA| a |MB| zo vzorca (1) úlohy 1 zistíme:

Vyrovnaním ľavej a pravej strany dostaneme

Výsledná rovnica je hyperbola, v ktorej skutočná poloos je a = 2 a imaginárna poloos je

Definujme ohniská hyperboly. Pre hyperbolu je rovnosť splnená.Preto a – hyperbolické triky. Ako vidíte, daný bod A(4;0) je správnym ohniskom hyperboly.

Určme excentricitu výslednej hyperboly:

Rovnice asymptot hyperboly majú tvar a . Preto alebo a sú asymptoty hyperboly. Pred zostrojením hyperboly zostrojíme jej asymptoty.

Problém 3. Vytvorte rovnicu pre polohu bodov rovnako vzdialených od bodu A(4; 3) a priamky y = 1. Výslednú rovnicu zredukujte na najjednoduchší tvar.

Riešenie: Nech M(x; y) je jeden z bodov požadovaného geometrického miesta bodov. Položme kolmicu MB z bodu M na túto priamku y = 1 (obr. 3). Určme súradnice bodu B. Je zrejmé, že úsečka bodu B sa rovná súradnici bodu M a súradnica bodu B sa rovná 1, t. j. B(x; 1). Podľa podmienok problému |MA|=|MV|. V dôsledku toho pre každý bod M(x;y), ktorý patrí do požadovaného geometrického lokusu bodov, platí nasledujúca rovnosť:

Výsledná rovnica definuje parabolu s vrcholom v bode. Aby sme rovnicu paraboly dostali do jej najjednoduchšieho tvaru, dajme a y + 2 = Y, potom rovnica paraboly nadobudne tvar:

V úlohách 1 - 20 sú uvedené vrcholy trojuholníka ABC.
Nájdite: 1) dĺžku strany AB; 2) rovnice strán AB a AC a ich uhlové koeficienty; 3) Vnútorný uhol A v radiánoch s presnosťou 0,01; 4) rovnica pre výšku CD a jeho dĺžku; 5) rovnica kruhu, pre ktorý je výška CD priemerom; 6) sústava lineárnych nerovností definujúcich trojuholník ABC.

Dĺžka strán trojuholníka:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Vzdialenosť d od bodu M: d = 10
Súradnice vrcholov trojuholníka sú dané: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Dĺžka strán trojuholníka
Vzdialenosť d medzi bodmi M 1 (x 1 ; y 1) a M 2 (x 2 ; y 2) je určená vzorcom:

8) Rovnica priamky
Priamku prechádzajúcu bodmi A 1 (x 1 ; y 1) a A 2 (x 2 ; y 2) predstavujú rovnice:

Rovnica priamky AB

alebo

alebo
y = -3/4 x -7/4 alebo 4y + 3x +7 = 0
Rovnica priamky AC
Kanonická rovnica priamky:

alebo

alebo
y = 1/2 x + 9/2 alebo 2y-x-9 = 0
Rovnica priamky BC
Kanonická rovnica priamky:

alebo

alebo
y = -7x + 42 alebo y + 7x - 42 = 0
3) Uhol medzi rovnými čiarami
Rovnica priamky AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Rovnica priamky AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Uhol φ medzi dvoma priamkami daný rovnicami s uhlovými koeficientmi y = k 1 x + b 1 a y 2 = k 2 x + b 2 sa vypočíta podľa vzorca:

Sklony týchto čiar sú -3/4 a 1/2. Použime vzorec a zoberme jeho modul na pravej strane:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 alebo 1,107 rad.
9) Rovnica výšky cez vrchol C
Priamka prechádzajúca bodom N 0 (x 0 ;y 0) a kolmá na priamku Ax + By + C = 0 má smerový vektor (A;B), a preto je reprezentovaná rovnicami:

Túto rovnicu možno nájsť aj iným spôsobom. Aby sme to urobili, nájdime sklon k 1 priamky AB.
AB rovnica: y = -3 / 4 x -7 / 4, t.j. k1 = -3/4
Z podmienky kolmosti dvoch priamok nájdime uhlový koeficient k kolmici: k 1 *k = -1.
Nahradením sklonu tejto priamky namiesto k 1 dostaneme:
-3/4 k = -1, odkiaľ k = 4/3
Keďže kolmica prechádza bodom C(5,7) a má k = 4 / 3, budeme hľadať jej rovnicu v tvare: y-y 0 = k(x-x 0).
Dosadením x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 dostaneme:
y-7 = 4/3 (x-5)
alebo
y = 4 / 3 x + 1 / 3 alebo 3 roky -4x - 1 = 0
Nájdite priesečník s čiarou AB:
Máme systém dvoch rovníc:
4r + 3x +7 = 0
3r -4x -1 = 0
Z prvej rovnice vyjadríme y a dosadíme ho do druhej rovnice.
Dostaneme:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Dĺžka nadmorskej výšky trojuholníka nakresleného z vrcholu C
Vzdialenosť d od bodu M 1 (x 1 ;y 1) k priamke Ax + By + C = 0 sa rovná absolútnej hodnote veličiny:

Nájdite vzdialenosť medzi bodom C(5;7) a priamkou AB (4y + 3x +7 = 0)

Dĺžku výšky možno vypočítať pomocou iného vzorca, ako vzdialenosť medzi bodom C(5;7) a bodom D(-1;-1).
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je vyjadrená súradnicami podľa vzorca:

5) rovnica kruhu, pre ktorý je výška CD priemerom;
Rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode E(a;b) má tvar:
(x-a)2+ (y-b)2 = R2
Pretože CD je priemer požadovaného kruhu, jeho stred E je stredom segmentu CD. Pomocou vzorcov na rozdelenie segmentu na polovicu dostaneme:

Preto E(2;3) a R = CD / 2 = 5. Pomocou vzorca získame rovnicu požadovaného kruhu: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) sústava lineárnych nerovností definujúcich trojuholník ABC.
Rovnica priamky AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Rovnica priamky AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Rovnica priamky BC: y = -7x + 42

Príklad riešenia niektorých úloh zo štandardnej práce „Analytická geometria v rovine“

Vrcholy sú dané,
,
trojuholník ABC. Nájsť:

Rovnice všetkých strán trojuholníka;

Sústava lineárnych nerovníc definujúcich trojuholník ABC;

Rovnice nadmorskej výšky, mediánu a osi trojuholníka nakresleného z vrcholu A;

Priesečník výšok trojuholníka;

Priesečník stredov trojuholníka;

Dĺžka výšky znížená na stranu AB;

Rohový A;

Urobte si kresbu.

Nech majú vrcholy trojuholníka súradnice: A (1; 4), IN (5; 3), S(3; 6). Hneď nakreslíme kresbu:

1. Na zapísanie rovníc všetkých strán trojuholníka použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body so súradnicami ( X 0 , r 0 ) A ( X 1 , r 1 ):

Teda nahradenie namiesto ( X 0 , r 0 ) súradnice bodu A a namiesto ( X 1 , r 1 ) súradnice bodu IN, dostaneme rovnicu priamky AB:

Výsledná rovnica bude rovnicou priamky AB, písaný vo všeobecnej forme. Podobne nájdeme rovnicu priamky AC:

A tiež rovnica priamky slnko:

2. Všimnite si, že množina bodov trojuholníka ABC predstavuje priesečník troch polrovín a každá polrovina môže byť definovaná pomocou lineárnej nerovnosti. Ak vezmeme rovnicu ktorejkoľvek strany ∆ ABC, Napríklad AB, potom nerovnosti

definujte body ležiace na opačných stranách priamky AB. Musíme si vybrať polrovinu, kde leží bod C. Dosadme jeho súradnice do oboch nerovností:

Druhá nerovnosť bude správna, čo znamená, že požadované body sú určené nerovnosťou

To isté urobíme s priamkou BC, jej rovnicou
. Ako testovací bod používame bod A (1, 1):

To znamená, že požadovaná nerovnosť má tvar:

Ak skontrolujeme priamku AC (testovací bod B), dostaneme:

To znamená, že požadovaná nerovnosť bude mať tvar

Nakoniec dostaneme systém nerovností:

Značky „≤“, „≥“ znamenajú, že body ležiace na stranách trojuholníka sú tiež zahrnuté v množine bodov, ktoré tvoria trojuholník ABC.

3. a) Aby sme našli rovnicu pre výšku spadnutú z vrcholu A na stranu slnko, zvážte rovnicu strany slnko:
. Vektor so súradnicami
kolmo na stranu slnko a teda rovnobežne s výškou. Zapíšme si rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A paralelne s vektorom
:

Toto je rovnica pre výšku vynechanú z t. A na stranu slnko.

b) Nájdite súradnice stredu strany slnko podľa vzorcov:

Tu
– sú to súradnice t. IN, A
– súradnice t. S. Nahradíme a získame:

Priamka prechádzajúca týmto bodom a bodom A je požadovaný medián:

c) Rovnicu osi budeme hľadať na základe skutočnosti, že v rovnoramennom trojuholníku sú výška, stred a osi zostupne od jedného vrcholu k základni trojuholníka rovnaké. Nájdite dva vektory
A
a ich dĺžky:

Potom vektor
má rovnaký smer ako vektor
a jeho dĺžka
Rovnako aj jednotkový vektor
sa zhoduje v smere s vektorom
Vektorový súčet

existuje vektor, ktorý sa zhoduje v smere s osou uhla A. Rovnicu požadovanej stredovej osi teda možno zapísať ako:

4) Rovnicu pre jednu z výšok sme už zostrojili. Zostrojme rovnicu pre inú výšku, napríklad z vrcholu IN. Side AC daný rovnicou
Takže vektor
kolmý AC a teda rovnobežne s požadovanou výškou. Potom rovnica priamky prechádzajúcej vrcholom IN v smere vektora
(t.j. kolmo AC), má tvar:

Je známe, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Najmä tento bod je priesečníkom zistených výšok, t.j. riešenie sústavy rovníc:

- súradnice tohto bodu.

5. Stred AB má súradnice
. Napíšme rovnicu mediánu na stranu AB. Táto čiara prechádza bodmi so súradnicami (3, 2) a (3, 6), čo znamená, že jej rovnica má tvar:

Všimnite si, že nula v menovateli zlomku v rovnici priamky znamená, že táto priamka prebieha rovnobežne so zvislou osou.

Na nájdenie priesečníka mediánov stačí vyriešiť sústavu rovníc:

Priesečník stredov trojuholníka má súradnice
.

6. Dĺžka výšky znížená na stranu AB, rovná vzdialenosti od bodu S na priamku AB s rovnicou
a nachádza sa podľa vzorca:

7. Kosínus uhla A možno nájsť pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi A , čo sa rovná pomeru skalárneho súčinu týchto vektorov k súčinu ich dĺžok:

Ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii?
Typický problém s trojuholníkom v rovine

Táto lekcia je vytvorená o priblížení sa k rovníku medzi geometriou roviny a geometriou priestoru. V súčasnosti je potrebné systematizovať nahromadené informácie a odpovedať na veľmi dôležitú otázku: ako sa naučiť riešiť problémy v analytickej geometrii? Problém je v tom, že v geometrii môžete prísť s nekonečným množstvom problémov a žiadna učebnica nebude obsahovať množstvo a rozmanitosť príkladov. Nie je derivácia funkcie s piatimi pravidlami diferenciácie, tabuľkou a niekoľkými technikami...

Existuje riešenie! Nebudem nahlas hovoriť o tom, že som vyvinul nejakú grandióznu techniku, ale podľa môjho názoru existuje efektívny prístup k uvažovanému problému, ktorý umožňuje aj úplnej figuríne dosiahnuť dobré a vynikajúce výsledky. Prinajmenšom sa v mojej hlave veľmi jasne formoval všeobecný algoritmus na riešenie geometrických problémov.

ČO POTREBUJETE VEDIEŤ A BYŤ SCHOPNÝ
za úspešné riešenie problémov s geometriou?

Z toho nie je úniku - aby ste si náhodne nestrkali gombíky nosom, musíte zvládnuť základy analytickej geometrie. Preto, ak ste práve začali študovať geometriu alebo ste ju úplne zabudli, začnite s lekciou Vektory pre figuríny. Okrem vektorov a akcií s nimi musíte poznať základné pojmy rovinnej geometrie, najmä rovnica priamky v rovine A . Geometria priestoru je prezentovaná v článkoch Rovinná rovnica, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine a niektoré ďalšie lekcie. Zakrivené línie a priestorové plochy druhého rádu stoja trochu od seba a nie je s nimi toľko špecifických problémov.

Predpokladajme, že študent už má základné vedomosti a zručnosti pri riešení najjednoduchších úloh analytickej geometrie. Ale stane sa to takto: prečítate si vyhlásenie o probléme a... chcete celú vec úplne uzavrieť, hodiť ju do vzdialeného kúta a zabudnúť na ňu ako na zlý sen. Navyše to zásadne nezávisí od úrovne vašej kvalifikácie, aj ja sám sa z času na čas stretávam s úlohami, ktorých riešenie nie je zrejmé. Čo robiť v takýchto prípadoch? Nemusíte sa báť úlohy, ktorej nerozumiete!

Po prvé, treba nainštalovať - Je to „plochý“ alebo priestorový problém? Napríklad, ak podmienka obsahuje vektory s dvoma súradnicami, potom je to samozrejme geometria roviny. A ak učiteľ naložil vďačnému poslucháčovi pyramídu, tak je tu jednoznačne geometria priestoru. Výsledky prvého kroku sú už celkom dobré, pretože sa nám podarilo odrezať obrovské množstvo informácií nepotrebných pre túto úlohu!

Po druhé. Podmienka sa vás zvyčajne týka nejakého geometrického útvaru. Naozaj, prejdite sa po chodbách svojej rodnej univerzity a uvidíte veľa ustaraných tvárí.

V „plochých“ problémoch, nehovoriac o zjavných bodoch a líniách, je najobľúbenejšou postavou trojuholník. Budeme to analyzovať veľmi podrobne. Nasleduje rovnobežník a oveľa menej bežné sú obdĺžniky, štvorce, kosoštvorce, kruhy a iné tvary.

V priestorových úlohách môžu lietať rovnaké ploché postavy + samotné lietadlá a bežné trojuholníkové pyramídy s rovnobežnostenmi.

Otázka druhá - Viete všetko o tejto postave? Predpokladajme, že podmienka hovorí o rovnoramennom trojuholníku a vy si veľmi matne pamätáte, o aký trojuholník ide. Otvárame školskú učebnicu a čítame o rovnoramennom trojuholníku. Čo robiť... lekár povedal kosoštvorec, to znamená kosoštvorec. Analytická geometria je analytická geometria, ale problém vyriešia samotné geometrické vlastnosti obrazcov, nám známy zo školských osnov. Ak neviete, aký je súčet uhlov trojuholníka, môžete dlho trpieť.

Po tretie. VŽDY sa snažte postupovať podľa výkresu(na koncepte/dokončenej kópii/mentálne), aj keď si to podmienka nevyžaduje. V „plochých“ problémoch sám Euclid nariadil vziať pravítko a ceruzku - a to nielen kvôli pochopeniu stavu, ale aj na účely vlastného testu. V tomto prípade je najvhodnejšia mierka 1 jednotka = 1 cm (2 bunky notebooku). Nehovorme o neopatrných študentoch a matematikoch, ktorí sa točia v hroboch – pomýliť sa v takýchto problémoch je takmer nemožné. Pre priestorové úlohy vykonávame schematický výkres, ktorý tiež pomôže analyzovať stav.

Výkres alebo schematický výkres vám často umožňuje okamžite vidieť spôsob riešenia problému. Samozrejme, na to potrebujete poznať základy geometrie a pochopiť vlastnosti geometrických tvarov (pozri predchádzajúci odsek).

Po štvrté. Vývoj algoritmu riešenia. Mnohé geometrické problémy sú viacstupňové, takže riešenie a jeho návrh je veľmi vhodné rozdeliť do bodov. Algoritmus vám často príde na myseľ po prečítaní podmienky alebo dokončení výkresu. V prípade ťažkostí začíname OTÁZKOU úlohy. Napríklad podľa podmienky „potrebujete postaviť priamku...“. Tu je najlogickejšia otázka: „Čo stačí vedieť na vytvorenie tejto priamky? Predpokladajme, že „poznáme bod, potrebujeme poznať smerový vektor“. Kladieme si nasledujúcu otázku: „Ako nájsť tento smerový vektor? Kde?" atď.

Niekedy sa vyskytne „chyba“ - problém sa nevyrieši a to je všetko. Dôvody zastavenia môžu byť nasledovné:

– Vážna medzera v základných vedomostiach. Inými slovami, neviete a/alebo nevidíte nejakú veľmi jednoduchú vec.

– Neznalosť vlastností geometrických útvarov.

– Úloha bola náročná. Áno, stáva sa. Nemá zmysel celé hodiny naparovať a zbierať slzy do vreckovky. Požiadajte o radu svojho učiteľa, spolužiakov alebo položte otázku na fóre. Okrem toho je lepšie uviesť svoje vyhlásenie konkrétne - o tej časti riešenia, ktorej nerozumiete. Výkrik v podobe "Ako vyriešiť problém?" nevyzerá veľmi dobre... a predovšetkým pre svoju vlastnú povesť.

Piata etapa. Rozhodneme-preveríme, rozhodneme-preveríme, rozhodneme-preveríme-dám odpoveď. Je užitočné skontrolovať každý bod úlohy ihneď po jeho dokončení. To vám pomôže okamžite zistiť chybu. Prirodzene, nikto nezakazuje rýchlo vyriešiť celý problém, ale existuje riziko prepisovania všetkého znova (často aj niekoľkých strán).

To sú snáď všetky hlavné hľadiská, ktoré treba pri riešení problémov dodržiavať.

Praktická časť hodiny je prezentovaná v rovinnej geometrii. Budú len dva príklady, ale nebude to stačiť =)

Poďme si prejsť vláknom algoritmu, na ktorý som sa práve pozrel vo svojej malej vedeckej práci:

Príklad 1

Sú uvedené tri vrcholy rovnobežníka. Nájdite vrchol.

Začnime rozumieť:

Krok jedna: Je zrejmé, že hovoríme o „plochom“ probléme.

Krok dva: Problém sa týka rovnobežníka. Pamätá si každý tento rovnobežník? Netreba sa usmievať, veľa ľudí sa vzdeláva vo veku 30-40-50 a viac rokov, takže aj jednoduché fakty sa dajú vymazať z pamäte. Definícia rovnobežníka sa nachádza v príklade č. 3 lekcie Lineárna (ne)závislosť vektorov. Základy vektorov.

Krok tri: Urobme si kresbu, na ktorej si označíme tri známe vrcholy. Je zábavné, že nie je ťažké okamžite vytvoriť požadovaný bod:

Jeho skonštruovanie je, samozrejme, dobré, ale riešenie musí byť formulované analyticky.

Krok štyri: Vývoj algoritmu riešenia. Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je, že bod možno nájsť ako priesečník čiar. Nepoznáme ich rovnice, takže sa budeme musieť zaoberať týmto problémom:

1) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Podľa bodov Nájdite smerový vektor týchto strán. Toto je najjednoduchší problém, o ktorom sa v triede hovorilo. Vektory pre figuríny.

Poznámka: správnejšie je povedať „rovnica priamky obsahujúcej stranu“, ale tu a ďalej pre stručnosť budem používať frázy „rovnica strany“, „smerový vektor strany“ atď.

3) Protiľahlé strany sú rovnobežné. Pomocou bodov nájdeme smerový vektor týchto strán.

4) Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

V odstavcoch 1-2 a 3-4 sme ten istý problém riešili vlastne dvakrát, mimochodom bol rozoberaný v príklade č.3 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Dalo sa ísť aj dlhšou cestou - najprv nájsť rovnice čiar a až potom z nich „vytiahnuť“ smerové vektory.

5) Teraz sú známe rovnice priamok. Zostáva už len poskladať a vyriešiť zodpovedajúcu sústavu lineárnych rovníc (pozri príklady č. 4, 5 tej istej lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine).

Pointa sa našla.

Úloha je celkom jednoduchá a jej riešenie je zrejmé, existuje však aj kratšia cesta!

Druhé riešenie:

Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu ich priesečníka. Bod som označil, ale aby som kresbu neprepchal, nekreslil som samotné uhlopriečky.

Zostavme rovnicu strany bod po bode :

Ak chcete skontrolovať, mali by ste v duchu alebo na návrhu nahradiť súradnice každého bodu do výslednej rovnice. Teraz nájdime svah. Aby sme to dosiahli, prepíšeme všeobecnú rovnicu vo forme rovnice s koeficientom sklonu:

Sklon je teda:

Podobne nájdeme rovnice strán. Nevidím veľký zmysel opisovať to isté, takže hneď uvediem hotový výsledok:

2) Nájdite dĺžku strany. Toto je najjednoduchší problém v triede. Vektory pre figuríny. Na body použijeme vzorec:

Pomocou rovnakého vzorca je ľahké nájsť dĺžky ostatných strán. Kontrola môže byť vykonaná veľmi rýchlo pomocou bežného pravítka.

Používame vzorec .

Poďme nájsť vektory:

Takto:

Mimochodom, po ceste sme našli dĺžky strán.

Ako výsledok:

Zdá sa, že je to pravda, aby ste boli presvedčiví, môžete do rohu pripevniť uhlomer.

Pozor! Nezamieňajte si uhol trojuholníka s uhlom medzi rovnými čiarami. Uhol trojuholníka môže byť tupý, ale uhol medzi priamymi čiarami nie (pozri posledný odsek článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine). Na nájdenie uhla trojuholníka však môžete použiť aj vzorce z predchádzajúcej lekcie, ale drsné je, že tieto vzorce vždy dávajú ostrý uhol. S ich pomocou som tento problém vyriešil v návrhu a dostal som výsledok. A na posledný výtlačok by som musel napísať ďalšie výhovorky, že .

4) Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou.

Štandardná úloha, podrobne rozobratá v príklade č. 2 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Zo všeobecnej rovnice priamky Vyberme vodiaci vektor. Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Ako zistiť výšku trojuholníka?

5) Vytvorme rovnicu pre výšku a nájdime jej dĺžku.

Pred prísnymi definíciami niet úniku, takže budete musieť kradnúť zo školskej učebnice:

Výška trojuholníka sa nazýva kolmica vedená z vrcholu trojuholníka na priamku obsahujúcu opačnú stranu.

To znamená, že je potrebné vytvoriť rovnicu pre kolmicu vedenú z vrcholu na stranu. Táto úloha je diskutovaná v príkladoch č. 6, 7 lekcie Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Z rov. odstráňte normálny vektor. Zostavme výškovú rovnicu pomocou bodového a smerového vektora:

Upozorňujeme, že nepoznáme súradnice bodu.

Niekedy sa výšková rovnica zistí z pomeru uhlových koeficientov kolmých čiar: . V tomto prípade potom: . Zostavme výškovú rovnicu pomocou bodu a uhlového koeficientu (pozri začiatok lekcie Rovnica priamky na rovine):

Výšku dĺžky je možné zistiť dvoma spôsobmi.

Existuje kruhový objazd:

a) nájsť – priesečník výšky a strany;
b) nájdite dĺžku úsečky pomocou dvoch známych bodov.

Ale v triede Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine zvažoval sa vhodný vzorec pre vzdialenosť od bodu k priamke. Bod je známy: , rovnica priamky je tiež známa: , teda:

6) Vypočítajte obsah trojuholníka. Vo vesmíre sa plocha trojuholníka tradične počíta pomocou vektorový súčin vektorov, ale tu je nám daný trojuholník v rovine. Používame školský vzorec:
- Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho základne a jeho výšky.

V tomto prípade: