Čitateľ a menovateľ zlomku sú veľmi často algebraické výrazy, ktoré sa musia najskôr rozložiť na faktory, a potom, keď sa medzi nimi nájde to isté, rozdeliť na ne čitateľa aj menovateľa, to znamená znížiť zlomok. Úlohám na rozklad polynómu je venovaná celá kapitola učebnice algebry pre 7. ročník. Faktoring sa dá urobiť 3 spôsoby, ako aj kombináciou týchto metód.
1. Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie
Ako je známe vynásobte polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu a sčítať výsledné produkty. Existuje najmenej 7 (sedem) bežných prípadov násobenia polynómov, ktoré sú zahrnuté v koncepte. Napríklad,
Tabuľka 1. Faktorizácia 1. spôsobom
2. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvorky
Táto metóda je založená na aplikácii distributívneho zákona násobenia. Napríklad,
Každý člen pôvodného výrazu vydelíme činiteľom, ktorý vytiahneme, a zároveň dostaneme výraz v zátvorkách (čiže výsledok vydelenia toho, čo bolo, tým, čo vytiahneme, zostane v zátvorke). V prvom rade potrebujete správne určiť násobiteľ, ktorý musí byť v zátvorke.
Polynóm v zátvorkách môže byť tiež spoločným faktorom:
Pri vykonávaní úlohy „faktorizovať“ treba byť obzvlášť opatrný na znamienka pri vyňatí spoločného faktora zo zátvoriek. Ak chcete zmeniť znamienko každého výrazu v zátvorke (b - a), vyberieme spoločný faktor -1 , pričom každý výraz v zátvorke je delený -1: (b - a) = - (a - b) .
V prípade, že výraz v zátvorkách je na druhú mocninu (alebo na akúkoľvek párnu mocninu), potom čísla v zátvorkách je možné zameniť úplne zadarmo, pretože mínusy zo zátvoriek sa po vynásobení zmenia na plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 a tak ďalej…
3. Metóda zoskupovania
Niekedy nie všetky výrazy vo výraze majú spoločný činiteľ, ale len niektoré. Potom môžete skúsiť skupinové podmienky v zátvorkách, aby bolo možné z každého vyňať nejaký faktor. Metóda zoskupovania je dvojitý bracketing spoločných faktorov.
4. Použitie viacerých metód naraz
Niekedy je potrebné použiť nie jeden, ale niekoľko spôsobov, ako rozdeliť polynóm na faktory naraz.
Toto je súhrn k téme. "faktorizácia". Vyberte ďalšie kroky:
- Prejdite na nasledujúci abstrakt:
- 1. Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek a metódy zoskupovania. V niektorých prípadoch je vhodné nahradiť niektoré podmienky súčtom (rozdielom) podobných podmienok alebo zaviesť vzájomne sa vylučujúce podmienky.
- 2. Používanie skrátených vzorcov na násobenie. Niekedy musíte faktory vyňať zo zátvoriek, zoskupiť pojmy, vybrať celý štvorec a až potom reprezentovať súčet kociek, rozdiel štvorcov alebo rozdiel kociek ako súčin.
- 3. Použitie Bezoutovej vety a metódy neurčitých koeficientov.
Príklad . Násobiť:
P3 (x) = x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2;
Keďže P 3 (-1)=0, potom je polynóm P 3 (x) deliteľný x+1. Pomocou metódy neurčitých koeficientov nájdeme podiel delenia polynómu
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 dvojčlenkou x+1.
Nech je kvocient polynóm x 2 +. Pretože x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1) (x 2 +)=
X 3 +(+1) x 2 +() x+, dostaneme systém:
Kde. Preto P3(x)=(x+1)·(x2 +3x+2).
Pretože x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x (x+1)+2 (x+1)=(x+1) (x+2), potom P 3 (x )=( x+1) 2 (x+2).
4. Použitie Bezoutovej vety a delenia podľa "stĺpca".
Príklad . Faktorizovať
P 4 (x) \u003d 5 x 4 +9 x 3 -2 x 2 -4 x -8.
Riešenie . Pretože P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, potom P 4 (x) je deliteľné (x-1). Delením podľa "stĺpca" nájdeme kvocient
teda
P 4 (x) \u003d (x-) (5 x 3 +14x 2 +12x + 8) \u003d
= (x-1) P3 (x).
Keďže P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, potom je polynóm P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 deliteľný x+2.
Nájdite kvocient vydelením "stĺpca":
teda
P 3 (x) \u003d (x + 2) (5 x 2 + 4x + 4).
Keďže diskriminant štvorcového trinomu 5 x 2 +4x+4 je D = -24<0, то этот
štvorcová trojčlenka sa nerozkladá na lineárne faktory.
Takže, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)
5. Použitie Bezoutovej vety a Hornerovej schémy. Kvocient získaný týmito metódami môže byť faktorizovaný akýmkoľvek iným spôsobom alebo rovnakým spôsobom.
Príklad . Násobiť:
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99;
Riešenie .
Ak má tento polynóm racionálne korene, potom môžu byť iba medzi číslami 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.
Na nájdenie koreňa tohto polynómu použijeme nasledujúci výrok:
Ak na koncoch určitého segmentu majú hodnoty polynómu rôzne znamienka, potom na intervale (a; b) existuje aspoň jeden koreň tohto polynómu.
Pre daný polynóm P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Na intervale (0; 1) je teda aspoň jeden koreň tohto polynómu. Preto medzi 24 vyššie napísanými číslami je vhodné najskôr skontrolovať tie čísla, ktoré patria do intervalu
(0; 1). Z týchto čísel len jedno patrí do tohto intervalu.
Hodnotu P 3 (x) pri x=1/2 je možné zistiť nielen priamou substitúciou, ale aj inými spôsobmi, napríklad podľa Hornerovej schémy, keďže P () sa rovná zvyšku delenia polynóm P (x) podľa x-. Navyše, v mnohých príkladoch je táto metóda výhodnejšia, pretože koeficienty kvocientu sa tiež nachádzajú v rovnakom čase.
Podľa Hornerovej schémy pre tento príklad dostaneme:
Keďže P 3 (1/2) = 0, potom x =1/2 je koreňom polynómu P 3 (x), a polynóm P 3 (x) je deliteľný x-1/2, t.j. 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d (x-1/2) (2 x 2 -4 x-198).
Pretože 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) ( x-11), potom
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d 2 (x-1/2) (x + 9) (x-11).
Koncept polynomického kruhu
Nechaj TO A L komutatívne krúžky
Definícia 1 : Prsteň TO sa nazýva jednoduché rozšírenie prstenca K pomocou prvkov X a napíš:
L=K[x] ak sú splnené tieto podmienky:
subring prsteňa
Hlavná sada K[x] označené symbolmi L, K[x].
Definícia 2 : Jednoduché predĺženie L=K[x] krúžky K používaním X- jednoduché transcendentálne predĺženie prsteňa K používaním X ak sú splnené tieto podmienky:
subring prsteňa
Ak potom
Definícia 3 : Element X sa nazýva transcendentálny nad prsteňom K, ak je splnená podmienka: , ak, potom
Ponuka. Nechaj K[x] jednoduché transcendentálne rozšírenie. Ak a kde potom
Dôkaz . Podmienkou, odčítaním druhého od prvého výrazu, dostaneme: keďže prvok X transcendentný nad K, potom z (3) dostaneme:.
Záver. Akýkoľvek prvok jednoduchého transcendentálneho nenulového rozšírenia komutatívneho kruhu K pomocou prvku X pripúšťa jedinečnú reprezentáciu ako lineárnu kombináciu celočíselných nezáporných mocnín prvku X
Definícia: Polynomiálny kruh z neznáma X cez nenulový kruh K sa nazýva jednoduché transcendentálne rozšírenie nenulového komutatívneho kruhu K pomocou prvku X.
Veta . Pre akýkoľvek nenulový komutačný kruh K, existuje jej jednoduché transcendentálne rozšírenie o prvok x, k[x]
Operácie na polynómoch
Nech k[x] je polynomický kruh nenulového komutatívneho kruhu K
Definícia 1: Polynómy f a g patriace do k[x] sa nazývajú rovné a píšu f = g, ak sú všetky koeficienty polynómov f a g navzájom rovnaké a majú rovnaké mocniny neznámej X.
Dôsledok . Pri písaní polynómu nie je podstatné poradie členov. Priradenie a vylúčenie členov s nulovým koeficientom zo záznamu polynómu nezmení polynóm.
Definícia 2. Súčet polynómov f a g je polynóm f + g definovaný rovnosťou:
Definícia 3 : - súčin polynómov, označovaný, ktorý je určený pravidlom:
Stupeň polynómov
Nech zazvoní komutatívne. k[x] polynómový kruh nad poľom K : ,
Definícia : Nech je ľubovoľný polynóm. Ak, potom nezáporné celé číslo n je stupeň polynómov f. Zároveň píšu n=deg f.
Čísla sú koeficienty polynómu, kde je vedúci koeficient.
ak, f- normalizovaný. Stupeň nulového polynómu je neurčitý.
Vlastnosti polynomického stupňa
K- oblasť integrity
Dôkaz :
Od a. TO- oblasť integrity.
Dôsledok 1 : k[x] nad poľom TO(oblasť integrity) je zasa oblasť integrity. Pre každú oblasť integrity existuje oblasť osobitosti.
Dôsledok 2 : Pre ľubovoľné k[x] v doméne integrity TO existuje súkromné ihrisko.
Delenie dvojčlenom a koreňmi mnohočlenu.
Nech sa prvok nazýva hodnota polynómu f z argumentu.
Bezoutova veta : Pre každý polynóm a prvok existuje prvok: .
Dôkaz : Nech je ľubovoľný polynóm
Dôsledok : Zvyšok delenia polynómu číslom sa rovná.
Definícia : Prvok sa nazýva koreň polynómu f, Ak.
Veta : Nech, element je koreň f vtedy a len vtedy, ak sa delí f
dôkaz:
Nevyhnutnosti. Nech z Bezoutovej vety vyplýva, že z vlastností deliteľnosti vyplýva, že
Dostatočnosť. Nechaj to. h.t.d.
Maximálny počet koreňov polynómov v oblasti integrity.
Veta : Nech k je oblasť integrity. Počet koreňov polynómu f v oblasti integrity k už žiadny titul n polynóm f.
Dôkaz :
Indukciou na stupni polynómu. Nech je polynóm f má nulové korene a ich počet nepresahuje.
Nech je veta dokázaná pre ľubovoľnú.
Ukážme, že položka 2 implikuje pravdivosť tvrdenia vety o polynómoch.
Nech a existujú dva možné prípady:
- A) polynóm f nemá korene, preto je tvrdenie vety pravdivé.
- B) Polynóm f má aspoň koreň, podľa Bezoutovej vety, od r k- oblasť celistvosti potom vlastnosťou 3 (stupne polynómu), z toho vyplýva
pretože k- oblasť integrity.
Všetky korene polynómu sú teda koreňom polynómu g keďže podľa indukčnej hypotézy počet všetkých koreňov polynómu g nie viac n, teda, f viac nemá ( n+ 1) koreň.
Dôsledok : Nechaj k- oblasť celistvosti, ak je počet koreňov polynómu fďalšie číslo n, kde teda f je nulový polynóm.
Algebraická a funkčná rovnosť polynómov
Nech - nejaký polynóm, definuje nejakú funkciu
vo všeobecnosti môže každý polynóm definovať jednu funkciu.
Veta : Nechaj k- oblasť integrity, teda pre rovnosť polynómov a rovnosť (identická rovnosť ()) definovaná a.
Dôkaz :
Nevyhnutnosti. Nechajte a buďte doménou integrity, .
Nechaj, teda
Dostatočnosť. Predstierajme to. Zvážte, pretože k doména integrity, potom polynóm h má množstvo koreňov, vyplýva z toho, že h nulový polynóm. Takže h.t.d.
Veta o deliteľnosti so zvyškom
Definícia : Euklidovský prsteň K takáto oblasť integrity sa nazýva k,že funkcia je definovaná na množine h, preberá nezáporné celočíselné hodnoty a spĺňa podmienku
V procese hľadania prvkov pre tieto prvky sa nazýva delenie so zvyškom, - neúplný kvocient, - zvyšok delenia.
Nech je polynómový kruh nad poľom.
Veta (o delení zvyškom) : Nech je kruh polynómov nad poľom a polynóm existuje jedinečná dvojica polynómov taká, že a podmienka alebo je splnená. alebo
Dôkaz : Existencia polynómu. Nechaj, teda. Veta je samozrejme pravdivá, ak - nula alebo, pretože alebo. Dokážme vetu kedy. Dôkaz vykonáme indukciou stupňa polynómu, predpokladajme, že veta je dokázaná (okrem jednoznačnosti) pre polynóm. Ukážme, že v tomto prípade tvrdenie vety platí pre . Vskutku, nech je vodiaci koeficient polynómu, preto bude mať polynóm rovnaký vodiaci koeficient a rovnaký stupeň ako polynóm, preto polynóm bude mať alebo je nulový polynóm. Ak teda pre a dostaneme. Ak teda indukčným predpokladom teda, teda pre dostaneme resp. Existencia polynómu je dokázaná.
Ukážme, že takáto dvojica polynómov je jedinečná.
Nechajte existovať alebo odčítajte: . Ide o dva prípady resp.
Na druhej strane. Podmienkou stupňa alebo, príp.
Ak. Takto sa získa rozpor. Jedinečnosť je dokázaná.
Dôsledok 1 : Prstenec polynómov nad poľom je euklidovský priestor.
Dôsledok 2 : Okruh polynómov je kruhom hlavných ideálov (každý ideál má jedinečný generátor)
Akýkoľvek euklidovský kruh je faktoriálny: Polynomický kruh nad sa nazýva faktoriálny kruh.
Euklidov algoritmus. GCD dvoch polynómov
Nech je kruh polynómov u konca.
Definícia 1 : Nech a, ak existuje polynóm, potom zvyšok delenia je nula, potom sa nazýva deliteľ polynómu a označuje sa: ().
Definícia 2 : Najväčší spoločný deliteľ polynómov sa nazýva polynóm:
a (- spoločný deliteľ a).
(na ľubovoľného spoločného deliteľa a).
Najväčší spoločný deliteľ polynómov je označený gcd(;). Spoločnými deliteľmi akýchkoľvek polynómov sú všetky polynómy s nulovým stupňom z, teda nenulového poľa. Môže sa ukázať, že dva dané polynómy a nemajú spoločných deliteľov, ktorí nie sú nulovými polynómami.
Definícia : Ak polynómy a nemajú spoločných deliteľov, ktorí nie sú polynómami nultého stupňa, potom sa nazývajú koprimé.
Lemma : Ak platí polynómy z poľa, potom najväčší spoločný deliteľ polynómov a je spojený s gcd. ~
Záznam ( a~b) znamená, že (a) podľa definície.
Dôkaz : Nechajte a
a z toho vyplýva, že učíme, že je spoločným deliteľom polynómu a.
spoločný deliteľ a, dostaneme
Euklidov algoritmus
Zvážte na konkrétnych príkladoch, ako rozdeliť polynóm na faktor.
Budeme rozširovať polynómy v súlade s .
Faktorizácia polynómov:
Skontrolujte, či existuje spoločný faktor. áno, rovná sa 7 cd. Vyberme to zo zátvoriek:
Výraz v zátvorkách pozostáva z dvoch pojmov. Už neexistuje spoločný činiteľ, výraz nie je vzorcom pre súčet kociek, čo znamená, že rozklad je dokončený.
Skontrolujte, či existuje spoločný faktor. Nie Polynóm pozostáva z troch členov, takže skontrolujeme, či existuje úplný štvorcový vzorec. Dva členy sú druhé mocniny výrazov: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², tretí člen sa rovná dvojnásobku súčinu týchto výrazov: 2∙5x∙3y=30xy. Takže tento polynóm je dokonalý štvorec. Keďže dvojitý súčin je so znamienkom mínus, potom je to:
Skontrolujeme, či je možné vyňať spoločný faktor zo zátvoriek. Existuje spoločný faktor, rovná sa a. Vyberme to zo zátvoriek:
V zátvorkách sú dva pojmy. Skontrolujeme, či existuje vzorec na rozdiel štvorcov alebo rozdielu kociek. a² je druhá mocnina a, 1=1². Takže výraz v zátvorkách možno napísať podľa vzorca rozdielu štvorcov:
Existuje spoločný faktor, rovná sa 5. Vyberieme ho zo zátvoriek:
v zátvorkách sú tri pojmy. Skontrolujte, či je výraz dokonalý štvorec. Dva členy sú druhé mocniny: 16=4² a a² je druhá mocnina a, tretí člen sa rovná dvojnásobku súčinu 4 a a: 2∙4∙a=8a. Preto je to dokonalé námestie. Keďže všetky výrazy sú označené znamienkom „+“, výraz v zátvorkách predstavuje celú druhú mocninu súčtu:
Spoločný faktor -2x je vyňatý zo zátvoriek:
V zátvorkách je súčet dvoch výrazov. Skontrolujeme, či daný výraz je súčtom kociek. 64 = 4³, x³-kocka x. Takže binomický prvok možno rozšíriť podľa vzorca:
Existuje spoločný faktor. Ale keďže polynóm pozostáva zo 4 členov, najprv a až potom vytiahneme spoločný faktor zo zátvoriek. Prvý výraz zoskupujeme so štvrtým, v druhom - s tretím:
Z prvých zátvoriek vyberieme spoločný faktor 4a, z druhej - 8b:
Spoločný násobiteľ zatiaľ neexistuje. Aby sme to dosiahli, z druhých zátvoriek vyberieme zátvorky „-“, pričom každý znak v zátvorkách sa zmení na opačný:
Teraz vyberieme spoločný faktor (1-3a) zo zátvoriek:
V druhých zátvorkách je spoločný faktor 4 (to je ten istý faktor, ktorý sme nevyňali zo zátvoriek na začiatku príkladu):
Keďže polynóm pozostáva zo štyroch členov, vykonáme zoskupovanie. Prvý člen zoskupujeme s druhým, tretí so štvrtým:
V prvých zátvorkách nie je spoločný faktor, ale existuje vzorec pre rozdiel druhých mocnín, v druhých zátvorkách je spoločný faktor -5:
Objavil sa spoločný faktor (4m-3n). Vyberieme to zo zátvoriek.
Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné na to, aby bolo možné ďalej znižovať. Rozklad polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako druhý. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.
Článok odhalí všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.
teória
Veta 1Keď ľubovoľný polynóm so stupňom n má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1). . . · (x - x 1) , kde x i , i = 1 , 2 , … , n - toto sú korene polynómu.
Veta je určená pre korene komplexného typu x i , i = 1 , 2 , … , n a pre komplexné koeficienty a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To je základ každého rozkladu.
Keď koeficienty tvaru a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, a preto dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Komentujte
Korene polynómu sa môžu opakovať. Uvažujme o dôkaze vety algebry, o dôsledkoch Bezoutovej vety.
Základná veta algebry
Veta 2Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.
Bezoutova veta
Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s , potom dostaneme
Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1 .
Dôsledok Bezoutovej vety
Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s , potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Qn - 1 (x). Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.
Faktorizácia štvorcového trojčlenu
Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť do lineárnych faktorov. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).
To ukazuje, že samotný rozklad sa redukuje na neskoršie riešenie kvadratickej rovnice.
Príklad 1
Faktorizujte štvorcovú trojčlenku.
Riešenie
Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu diskriminantu podľa vzorca, potom dostaneme D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Preto to máme
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Odtiaľ dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po overení sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozšírenie je správne.
Príklad 2
Rozlož štvorcovú trojčlenku v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .
Riešenie
Dostaneme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Odtiaľ dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Príklad 3
Rozlož polynóm na faktor 2 x 2 + 1.
Riešenie
Teraz musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotný rozklad môže byť vyjadrený ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Príklad 4
Rozviňte štvorcovú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .
Riešenie
Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Po získaní koreňov píšeme
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentujte
Ak je hodnota diskriminantu záporná, potom polynómy zostanú polynómy druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozkladať na lineárne faktory.
Metódy faktorizácie polynómu vyššieho stupňa ako druhého
Rozklad predpokladá univerzálnu metódu. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu odmocniny x 1 a znížiť jej stupeň delením polynómom číslom 1 delením číslom (x - x 1) . Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplný rozklad.
Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma predpokladá riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.
Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek
Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 \u003d 0, potom môžete polynóm reprezentovať vo forme výrazu P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)
Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.
Príklad 5
Rozlož polynóm tretieho stupňa na faktor 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Riešenie
Vidíme, že x 1 \u003d 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme x z celého výrazu uzavrieť. Dostaneme:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Potom z toho vyplýva
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kde koeficient najvyššej moci je 1 .
Ak má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.
Príklad 6
Rozviňte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Riešenie
Zvážte, či existujú celé čísla. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete skontrolovať podľa Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:
Z toho vyplýva, že x \u003d 2 a x \u003d - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Prejdeme k rozkladu štvorcového trojčlenu v tvare x 2 + 2 x + 3 .
Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.
odpoveď: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentujte
Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Pristúpme k úvahe o rozvoji polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pričom najvyššia z nich sa nerovná jednej.
Tento prípad sa odohráva pre zlomkové racionálne zlomky.
Príklad 7
Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Riešenie
Je potrebné zmeniť premennú y = 2 x , treba prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé čísla, potom ich nájdenie patrí medzi deliteľov voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Pristúpme k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme dostali nulu. Chápeme to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Dostaneme, že y \u003d - 5 je koreň rovnice tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x \u003d y 2 \u003d - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.
Príklad 8
Je potrebné deliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.
Riešenie
Napíšeme a dostaneme:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie použiť faktorizáciu výsledného štvorcového trinómu tvaru x 2 + 7 x + 3. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Z toho teda vyplýva
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umelé triky pri faktorizácii polynómu
Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy sa dajú rozložiť alebo reprezentovať ako súčin.
Metóda zoskupovania
Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a vyňali ho zo zátvoriek.
Príklad 9
Rozložte polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Riešenie
Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Na kontrolu vezmeme hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby sme vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozkladu a riešenia.
Vyžaduje sa zoskupenie:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po zoskupení pôvodného polynómu je potrebné ho znázorniť ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentujte
Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje jednoznačný spôsob, ako to vyriešiť, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.
Príklad 10
Rozložte polynóm na faktor x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Riešenie
Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktoringu to dostaneme
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Použitie skráteného násobenia a Newtonových binomických vzorcov na rozklad polynómu
Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, aký spôsob pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť priamku pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.
Príklad 11
Rozlož polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Je potrebné previesť výraz do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .
Takže máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadne kone, takže by sa mal znova použiť vzorec pre rozdiel štvorcov. Dostávame výraz ako
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Príklad 12
Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Riešenie
Zmeňme výraz. Chápeme to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu
Pri zmene premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozkladá na faktor.
Príklad 13
Rozlož polynóm v tvare x 6 + 5 x 3 + 6 .
Riešenie
Z podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3 . Dostaneme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To znamená, že sme dosiahli požadované rozšírenie.
Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
V tejto lekcii si pripomenieme všetky predtým študované metódy faktorizácie polynómu a zvážime príklady ich aplikácie, okrem toho budeme študovať novú metódu - metódu úplného štvorca a naučíme sa, ako ju aplikovať pri riešení rôznych problémov.
Predmet:Faktorizácia polynómov
lekcia:Faktorizácia polynómov. Metóda výberu plného štvorca. Kombinácia metód
Pripomeňme si hlavné metódy faktorizácie polynómu, ktoré boli študované skôr:
Metóda vyňatia spoločného činiteľa zo zátvoriek, teda činiteľa, ktorý je prítomný vo všetkých členoch polynómu. Zvážte príklad:
Pripomeňme si, že jednočlen je súčinom mocnín a čísel. V našom príklade majú oba členy niektoré spoločné, identické prvky.
Vyberme teda spoločný faktor zo zátvoriek:
;
Pripomeňme, že vynásobením vykresleného násobiteľa zátvorkou môžete skontrolovať správnosť vykreslenia.
metóda zoskupovania. Nie vždy je možné z polynómu vyňať spoločný faktor. V tomto prípade je potrebné rozdeliť jeho členov do skupín tak, že v každej skupine môžete vybrať spoločný faktor a pokúsiť sa ho rozdeliť tak, aby sa po vyňatí faktorov v skupinách objavil spoločný faktor pre celý výraz a expanzia by mohla pokračovať. Zvážte príklad:
Zoskupte prvý výraz so štvrtým, druhý s piatym a tretí so šiestym:
Vyberme si spoločné faktory v skupinách:
Výraz má spoločný faktor. Poďme to von:
Aplikácia skrátených vzorcov násobenia. Zvážte príklad:
;
Napíšme výraz podrobne:
Očividne máme pred sebou vzorec na druhú mocninu rozdielu, keďže existuje súčet druhých mocnín dvoch výrazov a od toho sa odčíta ich dvojitý súčin. Prejdime podľa vzorca:
Dnes sa naučíme iný spôsob - metódu výberu plného štvorca. Vychádza zo vzorcov druhej mocniny súčtu a druhej mocniny rozdielu. Pripomeňte si ich:
Vzorec pre druhú mocninu súčtu (rozdielu);
Zvláštnosťou týchto vzorcov je, že obsahujú druhé mocniny dvoch výrazov a ich dvojitý súčin. Zvážte príklad:
Napíšeme výraz:
Takže prvý výraz je a druhý.
Na vytvorenie vzorca pre druhú mocninu súčtu alebo rozdielu nestačí dvojitý súčin výrazov. Je potrebné pridať a odčítať:
Poďme zbaliť celú druhú mocninu súčtu:
Transformujme výsledný výraz:
Aplikujeme vzorec rozdielu štvorcov, pripomeňme si, že rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov je súčinom a súčtom ich rozdielom:
Táto metóda teda spočíva predovšetkým v tom, že je potrebné identifikovať výrazy a a b, ktoré sú na druhú, teda určiť, ktoré výrazy sú v tomto príklade odmocnené. Potom musíte skontrolovať prítomnosť dvojitého súčinu a ak tam nie je, pridajte ho a odčítajte, význam príkladu sa tým nezmení, ale polynóm môže byť faktorizovaný pomocou vzorcov pre druhú mocninu súčet alebo rozdiel a rozdiel druhých mocnín, ak je to možné.
Prejdime k riešeniu príkladov.
Príklad 1 – faktorizácia:
Nájdite výrazy na druhú:
Napíšme si, aký by mal byť ich dvojitý súčin:
Pridajme a odčítame dvojitý súčin:
Zbalíme celú druhú mocninu súčtu a dáme podobné:
Budeme písať podľa vzorca rozdielu štvorcov:
Príklad 2 - vyriešte rovnicu:
;
Na ľavej strane rovnice je trojčlenka. Treba si to odrátať. Používame vzorec druhej mocniny rozdielu:
Máme druhú mocninu prvého výrazu a dvojitý súčin, druhá mocnina druhého výrazu chýba, sčítajme a odčítajme:
Zbalíme celý štvorec a dáme podobné výrazy:
Použime vzorec rozdielu štvorcov:
Takže máme rovnicu 
Vieme, že súčin sa rovná nule iba vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Na základe toho napíšeme rovnice:
Poďme vyriešiť prvú rovnicu:
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
Odpoveď: alebo
;
Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade - vyberieme druhú mocninu rozdielu.
