Aritmetická operácia, ktorá sa vykonáva ako posledná pri výpočte hodnoty výrazu, je „hlavná“ operácia.
To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozkladá na faktor).
Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je rozkladaný na faktor (a preto ho nemožno zmenšiť).
Aby ste to potvrdili, sami vyriešte niekoľko príkladov:
Príklady:
Riešenia:
1. Dúfam, že ste sa hneď neponáhľali strihať a? Stále nestačilo „znížiť“ jednotky takto:
Prvým krokom by mala byť faktorizácia:
4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa.
Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa.
Pripomeňme si:
Odpovede:
1. Menovatelia a sú relatívne prvočísla, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:
2. Tu je spoločný menovateľ:
3. Tu najskôr prevedieme zmiešané zlomky na nesprávne a potom podľa obvyklej schémy:
Je to úplne iná vec, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:
Začnime niečím jednoduchým:
a) Menovatele neobsahujú písmená
Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame/odčítame čitateľa:
Teraz v čitateli môžete uviesť podobné, ak existujú, a rozpočítať ich:
Vyskúšajte sami:
Odpovede:
b) Menovateľ obsahuje písmená
Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:
· v prvom rade určíme spoločné faktory;
· potom vypíšeme všetky spoločné faktory jeden po druhom;
· a vynásobte ich všetkými ostatnými nie spoločnými faktormi.
Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozpočítame do hlavných faktorov:
Zdôraznime spoločné faktory:
Teraz napíšme spoločné faktory jeden po druhom a pridajte k nim všetky nebežné (nepodčiarknuté) faktory:
Toto je spoločný menovateľ.
Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:
· faktor menovateľov;
· určiť spoločné (identické) faktory;
· vypísať všetky spoločné faktory raz;
· vynásobte ich všetkými ostatnými nie spoločnými faktormi.
Takže v poradí:
1) zohľadnite menovateľov:
2) určiť spoločné (identické) faktory:
3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nezvýraznenými) faktormi:
Takže je tu spoločný menovateľ. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:
Mimochodom, existuje jeden trik:
Napríklad: .
V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky s inými ukazovateľmi. Spoločným menovateľom bude:
do istej miery
do istej miery
do istej miery
do istej miery.
Skomplikujme si úlohu:
Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?
Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:
Nikde sa nepíše, že rovnaké číslo možno odčítať (alebo pripočítať) od čitateľa a menovateľa zlomku. Pretože to nie je pravda!
Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo si sa naučil?
Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:
Keď zlomky zredukujete na spoločného menovateľa, použite iba operáciu násobenia!
Čím sa však musíte vynásobiť, aby ste získali?
Takže vynásobte. A vynásobte:
Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“.
Napríklad - toto je základný faktor. - To isté. Ale nie: dá sa to faktorizovať.
A čo výraz? Je to elementárne?
Nie, pretože to môže byť faktorizované:
(o faktorizácii ste už čítali v téme „“).
Takže základné faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A my sa s nimi vyrovnáme rovnakým spôsobom.
Vidíme, že oba menovatele majú násobiteľa. Pôjde do spoločného menovateľa do určitej miery (pamätáte prečo?).
Faktor je elementárny a nemajú spoločný faktor, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:
Ďalší príklad:
Riešenie:
Predtým, ako v panike vynásobíte tieto menovateľy, musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:
Skvelé! potom:
Ďalší príklad:
Riešenie:
Ako obvykle, rozložme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vyradíme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:
Zdá sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale ak sa pozriete pozorne, sú podobné... A je to pravda:
Tak si napíšme:
To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme si vymenili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.
Teraz to priveďme k spoločnému menovateľovi:
Mám to? Teraz to skontrolujeme.
Úlohy na samostatné riešenie:
Odpovede:
Tu si musíme zapamätať ešte jednu vec – rozdiel kociek:
Upozorňujeme, že menovateľ druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina súčtu“! Druhá mocnina súčtu by vyzerala takto: .
A je takzvaný neúplný štvorec súčtu: druhý člen v ňom je súčinom prvého a posledného, a nie ich dvojitým súčinom. Čiastočná druhá mocnina súčtu je jedným z faktorov pri rozširovaní rozdielu kociek:
Čo robiť, ak už existujú tri zlomky?
Áno, to isté! Najprv sa uistite, že maximálny počet faktorov v menovateľoch je rovnaký:
Upozornenie: ak zmeníte znamienka v jednej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa zmení na opačné. Keď zmeníme znamienka v druhej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa opäť zmení na opačné. V dôsledku toho sa (znak pred zlomkom) nezmenil.
Celý prvý menovateľ vypíšeme do spoločného menovateľa a potom k nemu pridáme všetky ešte nezapísané činitele z druhého a potom z tretieho (a tak ďalej, ak je zlomkov viac). To znamená, že to dopadne takto:
Hmm... Je jasné, čo robiť so zlomkami. Ale čo tí dvaja?
Je to jednoduché: viete, ako sčítať zlomky, však? Takže musíme urobiť z dvoch zlomok! Pripomeňme si: zlomok je operácia delenia (čitateľ sa delí menovateľom, ak ste zabudli). A nie je nič jednoduchšie ako vydeliť číslo. V tomto prípade sa samotné číslo nezmení, ale zmení sa na zlomok:
Presne to, čo je potrebné!
5. Násobenie a delenie zlomkov.
No to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:
Postup
Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Zapamätajte si pri výpočte významu tohto výrazu:
Počítal si?
Malo by to fungovať.
Dovoľte mi teda pripomenúť.
Prvým krokom je výpočet stupňa.
Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, možno ich vykonať v ľubovoľnom poradí.
A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.
Ale: výraz v zátvorke sa vyhodnocuje mimo poradia!
Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vypočítame výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.
Čo ak je vo vnútri zátvoriek viac zátvoriek? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo by ste mali urobiť ako prvé pri výpočte výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.
Postup pre vyššie uvedený výraz je teda nasledujúci (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):
Dobre, všetko je jednoduché.
Ale nie je to to isté ako výraz s písmenami?
Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií musíte robiť algebraické operácie, to znamená akcie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (toto často používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie na faktorizáciu potrebujete použiť I alebo jednoducho dať spoločný faktor zo zátvoriek.
Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.
Napríklad:
Zjednodušme výraz.
1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je prezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:
Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).
2) Dostávame:
Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.
3) Teraz môžete skrátiť:
Dobre, teraz je po všetkom. Nič zložité, však?
Ďalší príklad:
Zjednodušte výraz.
Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.
Riešenie:
Najprv si určme poradie akcií.
Najprv sčítajme zlomky v zátvorkách, takže namiesto dvoch zlomkov dostaneme jeden.
Potom urobíme delenie zlomkov. No a pripočítajme výsledok s posledným zlomkom.
Schematicky očíslujem kroky:
Teraz vám ukážem postup a aktuálnu akciu zafarbím červenou farbou:
1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. Kedykoľvek sa u nás podobné objavia, je vhodné ich okamžite vyvolať.
2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa objaví príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.
Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:
A čo bolo sľúbené na začiatku:
Odpovede:
Riešenia (stručne):
Ak ste zvládli aspoň prvé tri príklady, tak ste tému zvládli.
Teraz k učeniu!
PREVÁDZANIE VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Základné zjednodušujúce operácie:
- Prinášať podobné: na pridanie (redukciu) podobných výrazov je potrebné pridať ich koeficienty a priradiť písmenovú časť.
- Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, jeho použitie atď.
- Zníženie zlomku: Čitateľ a menovateľ zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, čím sa hodnota zlomku nemení.
1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
2) ak majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!
- Sčítanie a odčítanie zlomkov:
; - Násobenie a delenie zlomkov:
;
Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, pridávať podobné pojmy, pracovať so základmi a exponentmi a využívať vlastnosti mocnín.
Čo sú to mocenské prejavy?
V školských kurzoch len málo ľudí používa frázu „silné výrazy“, ale tento výraz sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme reflektovať v našej definícii.
Definícia 1
Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje stupne.
Uveďme niekoľko príkladov mocninných vyjadrení, počnúc mocninou s prirodzeným exponentom a končiac mocninou so skutočným exponentom.
Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. A tiež mocniny s nulovým exponentom: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indikátorom môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 · l g x − 5 · x l g x.
Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz ich začneme konvertovať.
Hlavné typy transformácií mocninných výrazov
V prvom rade sa pozrieme na základné transformácie identity výrazov, ktoré je možné vykonať pomocou mocenských výrazov.
Príklad 1
Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 (4 2 − 12).
Riešenie
Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel dvoch čísel. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Jediné, čo musíme urobiť, je nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 84 = 32. Tu je naša odpoveď.
odpoveď: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
Príklad 2
Zjednodušte výraz pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Riešenie
Výraz, ktorý sme dostali v probléme, obsahuje podobné výrazy, ktoré môžeme dať: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
odpoveď: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Príklad 3
Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.
Riešenie
Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
odpoveď: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Teraz prejdime k analýze transformácií identity, ktoré možno aplikovať konkrétne na mocenské výrazy.
Práca so základom a exponentom
Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 A . Práca s takýmito záznamami je náročná. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.
Transformácie stupňa a exponentu sa vykonávajú podľa nám známych pravidiel oddelene od seba. Najdôležitejšie je, aby výsledkom transformácie bol výraz identický s pôvodným.
Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 môžete podľa krokov prejsť na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné pojmy do základu mocniny (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) a získať mocenské vyjadrenie jednoduchšej formy a 2 (x + 1).
Používanie vlastností stupňa
Vlastnosti mocnin, zapísané vo forme rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov s mocninami. Tu uvádzame hlavné, berúc do úvahy to a A b sú nejaké kladné čísla a r A s- ľubovoľné reálne čísla:
Definícia 2
- a r · a s = a r + s;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = ar · br;
- (a: b) r = a r: br;
- (a r) s = a r · s .
V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m · a n = a m + n, Kde m A n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.
Vlastnosti mocnin možno použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy mocničiek kladné alebo obsahujú premenné, ktorých rozsah prípustných hodnôt je taký, že na nich základy nadobúdajú iba kladné hodnoty. V školských osnovách matematiky je v skutočnosti úlohou žiaka vybrať vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.
Pri príprave na vstup na vysoké školy sa môžete stretnúť s problémami, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu DL a iným ťažkostiam pri riešení. V tejto časti preskúmame iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme „Prevod výrazov pomocou vlastností mocnin“.
Príklad 4
Predstavte si ten výraz a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 vo forme moci so základom a.
Riešenie
Najprv použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) - 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.
odpoveď: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
Transformáciu mocenských prejavov podľa vlastnosti mocnin je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.
Príklad 5
Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Riešenie
Ak uplatníme rovnosť (a · b) r = a r · b r, sprava doľava, dostaneme súčin tvaru 3 · 7 1 3 · 21 2 3 a potom 21 1 3 · 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sčítajme exponenty: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Príklad 6
Daný mocenský výraz a 1, 5 − a 0, 5 − 6, zadajte novú premennú t = a 0,5.
Riešenie
Predstavme si stupeň a 1, 5 Ako a 0,5 3. Použitie vlastnosti stupňov na stupne (a r) s = a r · s sprava doľava a dostaneme (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Do výsledného výrazu môžete jednoducho vložiť novú premennú t = a 0,5: dostaneme t 3 − t − 6.
odpoveď: t 3 − t − 6 .
Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny
Bežne sa zaoberáme dvomi verziami mocninných výrazov so zlomkami: výraz predstavuje zlomok s mocninou alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky základné transformácie zlomkov sú pre takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa alebo pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.
Príklad 7
Zjednodušte vyjadrenie moci 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Riešenie
Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, umiestnite pred zlomok znamienko mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Je potrebné vybrať dodatočný faktor tak, aby neklesol na nulu pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.
Príklad 8
Zlomky zredukujte na nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 na menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 na menovateľ x + 8 · y 1 2 .
Riešenie
a) Vyberme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, preto budeme brať ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. Titul v tomto odbore a 0, 3 nejde na nulu.
Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Venujme pozornosť menovateľovi:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Vynásobme tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, na ktorý musíme zredukovať pôvodný zlomok.
Takto sme našli dodatočný faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rozsahu prípustných hodnôt premenných X A r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Príklad 9
Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Riešenie
a) Používame najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý môžeme čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15. Môžeme urobiť aj zníženie o x0,5+1 a na x + 2 x 113-53.
Dostaneme:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Medzi základné operácie so zlomkami patrí prevod zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa najprv zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú operácie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.
Príklad 10
Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Riešenie
Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Odčítajme čitateľov:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Teraz vynásobíme zlomky:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Znížime o mocninu x 12, dostaneme 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Okrem toho môžete zjednodušiť vyjadrenie mocniny v menovateli pomocou vzorca rozdielu štvorcov: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Príklad 11
Zjednodušte mocninné vyjadrenie x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Riešenie
Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Pokračujme v transformácii mocnín x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Prejdeme od posledného produktu k zlomku x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a späť, pričom sa zmení znamienko exponentu. Táto akcia vám umožní zjednodušiť ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 možno nahradiť x 3 · (x + 1) 0, 2.
Prevod výrazov s koreňmi a mocninami
V úlohách sa vyskytujú mocniny, ktoré obsahujú nielen mocniny so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Takéto výrazy je vhodné zredukovať len na odmocniny alebo len na mocniny. Ísť na tituly je vhodnejšie, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Tento prechod je obzvlášť výhodný, keď vám ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez potreby prístupu k modulu alebo rozdelenia ODZ do niekoľkých intervalov.
Príklad 12
Vyjadrite výraz x 1 9 · x · x 3 6 ako mocninu.
Riešenie
Rozsah prípustných premenných hodnôt X je definovaná dvomi nerovnosťami x ≥ 0 a x x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .
V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Pomocou vlastností mocnin výsledné mocninné vyjadrenie zjednodušíme.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
odpoveď: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Prevod mocnin s premennými v exponente
Tieto transformácie sa dajú celkom ľahko urobiť, ak správne použijete vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Môžeme nahradiť súčinom mocnín, ktorých exponenty sú súčtom nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom ľavej strany výrazu:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Teraz vydeľme obe strany rovnosti 7 2 x. Tento výraz pre premennú x nadobúda iba kladné hodnoty:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Zredukujeme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, výsledkom čoho je rovnica 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x -2 = 0.
Zaveďme novú premennú t = 5 7 x, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.
Prevod výrazov s mocninami a logaritmami
V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príkladom takýchto výrazov je: 1 4 1 - 5 · log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne rozobrali v téme „Transformácia logaritmických výrazov“.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Mestská štátna vzdelávacia inštitúcia
základná stredná škola č.25
Lekcia algebry
Predmet:
« Prevod výrazov obsahujúcich mocniny so zlomkovými exponentmi"
Vyvinutý:
,
učiteľ matematiky
vyššie dokvalifikačnej kategórii
Nodal
2013
Téma lekcie: Konverzia výrazov obsahujúcich exponenty na zlomkové exponenty
Účel lekcie:
1. Ďalší rozvoj zručností, vedomostí a zručností pri prevode výrazov obsahujúcich stupne so zlomkovými exponentmi
2. Rozvoj schopnosti nachádzať chyby, rozvoj myslenia, kreativity, reči, výpočtovej techniky
3. Podpora samostatnosti, záujmu o predmet, pozornosti, presnosti.
TCO: magnetická tabuľa, testovacie kartičky, tabuľky, jednotlivé kartičky, školáci majú na stole prázdne podpísané hárky na samostatnú prácu, krížovku, tabuľky na matematickú rozcvičku, multimediálny projektor.
Typ lekcie: zabezpečenie ZUN.
Plán lekcie v priebehu času
1. Organizačné aspekty (2 min)
2. Kontrola domácej úlohy (5 minút)
3. Krížovka (3 min.)
4. Matematická rozcvička (5 minút)
5. Riešenie frontálnych posilňovacích cvičení (7 min)
6. Samostatná práca (10 min.)
7. Riešenie opakovacích cvičení (5 min)
8. Zhrnutie lekcie (2 minúty)
9. domáca úloha (1 min)
Počas vyučovania
1) Kontrola domácich úloh formou vzájomného hodnotenia . Dobrí žiaci kontrolujú zošity slabých detí. A slabí chlapci kontrolujú so silnými pomocou vzorovej kontrolnej karty. Domáca úloha sa podáva v dvoch verziách.
ja možnosť úloha nie je náročná
II možnosť je úloha náročná
V dôsledku kontroly chlapci zvýraznia chyby jednoduchou ceruzkou a hodnotia. Prácu nakoniec skontrolujem po tom, čo deti po vyučovaní odovzdajú zošity. Pýtam sa chlapcov na výsledky ich testu a dávam známky za tento typ práce do mojej súhrnnej tabuľky.
2) Na testovanie teoretického materiálu sa ponúka krížovka.
Vertikálne:
1. Vlastnosť násobenia použitá pri násobení jednočlenu mnohočlenom?
2. Účinok exponentov pri zvyšovaní moci na mocninu?
3. Titul s nulovým indexom?
4. Produkt pozostávajúci z rovnakých faktorov?
Vodorovne:
5. Koreň č – oh stupeň nezáporného čísla?
6. Pôsobenie exponentov pri násobení mocnín?
7. Vplyv exponentov pri delení mocnín?
8. Počet všetkých rovnakých faktorov?
3) Matematická rozcvička
a) vykonajte výpočet a pomocou šifry prečítajte slovo skryté v úlohe.
Na doske pred vami je stôl. Tabuľka v stĺpci 1 obsahuje príklady, ktoré je potrebné vypočítať.
Kľúč k stolu
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
A odpoveď napíšte do kolónky II a v stĺpci III uveďte písmeno zodpovedajúce tejto odpovedi.
Učiteľ: Takže zašifrované slovo je „stupeň“. V ďalšej úlohe pracujeme s 2. a 3. stupňom
b) Hra „Uisti sa, že neurobíš chybu“
Namiesto bodiek zadajte číslo
a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(al/3)...; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3 = (34/9)...; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2 = (x...)2; h) y1/2=(y...)2
Poďme nájsť chybu:
А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/
Takže, chlapci, čo bolo potrebné použiť na dokončenie tejto úlohy:
Vlastnosť stupňov: pri zvýšení stupňa na mocninu sa exponenty násobia;
4) Teraz začnime s prednou písomnou prácou. s využitím výsledkov predchádzajúcej práce. Otvorte zošity a zapíšte si dátum a tému hodiny.
№ 000
a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)
b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)
č. 000 (a, c, d, e)
A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)
c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)
d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)
e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)
č. 000 (a, d, f)
a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)
d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)
f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)
stupňa
5) Pracujte na jednotlivých kartách pomocou štyroch možností na samostatných listoch
Úlohy s rôznym stupňom obtiažnosti sa plnia bez výzvy učiteľa.
Okamžite kontrolujem prácu a dávam známky do tabuľky a na hárky chlapcov.
č. 000 (a, c, d, h)
a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)
c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2
e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3
h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)
7) Práca na jednotlivých kartách s rôznym stupňom zložitosti. V niektorých cvičeniach sú odporúčania od učiteľa, pretože materiál je zložitý a pre slabé deti je ťažké zvládnuť prácu
K dispozícii sú tiež štyri možnosti. Hodnotenie prebieha okamžite. Všetky známky som dal do tabuľky.
Problém č zo zberu
Učiteľ kladie otázky:
1. Čo treba nájsť v probléme?
2. Čo na to potrebujete vedieť?
3. Ako vyjadriť čas 1 chodca a 2 chodcov?
4. Porovnajte časy chodcov 1 a 2 podľa podmienok úlohy a vytvorte rovnicu.
Riešenie problému:
Nech x (km/h) je rýchlosť 1 chodca
X +1 (km/h) – rýchlosť 2 chodci
4/х (h) – čas chodcov
4/(x +1) (h) – čas druhého chodca
Podľa podmienok úlohy 4/x >4/ (x +1) po dobu 12 minút
12 min = 12/60 h = 1/5 h
Urobme rovnicu
X/4 – 4/ (x +1) = 1/5
NOZ: 5x(x +1) ≠ 0
5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)
20x + 20 – 20x – x2 – x = 0
X2 +x –20 = 0
D = 1 – 4* (-20) = 81, 81 > 0, 2 k
x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – rýchlosť 1 chodca
x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – nezodpovedá významu problému, pretože x>0
Odpoveď: 5 km/h – rýchlosť 2 chodcov
9) Zhrnutie lekcie: Takže, chlapci, dnes sme si v lekcii upevnili vedomosti, zručnosti a zručnosti pri transformácii výrazov obsahujúcich stupne, použili sme skrátené vzorce násobenia, presunuli spoločný činiteľ zo zátvoriek a zopakovali preberané učivo. Poukazujem na výhody a nevýhody.
Zhrnutie lekcie do tabuľky.
Krížovka | Mat. rozcvička | Predné. Job | Ind. práca K-1 | Ind. práca K-2 | ||||
10) Vyhlasujem známky. Domáca úloha
Jednotlivé karty K – 1 a K – 2
mením B – 1 a B – 2; B – 3 a B – 4, keďže sú ekvivalentné
Prihlášky na lekciu.
1) Kartičky na domácu úlohu
1. zjednodušiť
a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2
b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2
2. prítomný ako súčet
a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)
b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)
3. vytiahnite celkový násobiteľ
c) 151/3 + 201/3
1. zjednodušiť
a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2
b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)
2. prítomný ako súčet
a) x0,5 y0,5* (x-0,5 – y1,5)
b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)
3. Vyberte spoločný faktor zo zátvoriek
b) c1\3 – c
c) (2a) 1/3 – (5a) 1\3
2) kontrolná karta pre B – 2
a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4
b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2
a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2
b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y
a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)
b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)
c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)
3) Kartičky k prvej samostatnej práci
a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0
b) a – a a ≥ 0
1. Faktorizujte ako rozdiel druhých mocnín
a) a1/2 – b1/2
2. Faktorizujte ako rozdiel alebo súčet kociek
a) c1/3 + d1/3
1. Faktorizujte ako rozdiel druhých mocnín
a) X1/2 + Y1/2
b) X1/4 – U1/4
2. Faktorizujte ako rozdiel alebo súčet kociek
4) karty pre druhú samostatnú prácu
a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)
Pokyn: x1/2, odstráňte čitateľov zo zátvoriek
b) (a – c)/(a1/2 – b1/2)
Poznámka: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2
Znížte zlomok
a) (21/4 – 2)/ 5*21/4
Návod: odstráňte 21/4 z držiakov
b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)
Poznámka: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2
Možnosť 3
1. Znížte zlomok
a) (x1/2 – x1/4)/x3/4
Pokyn: vysuňte x1/4 zo zátvoriek
b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)
Možnosť 4
Znížte zlomok
a) 10/ (10 – 101/2)
b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)
vyjadrenie tvaru a (m/n), kde n je nejaké prirodzené číslo, m je nejaké celé číslo a základňa stupňa a je väčšia ako nula, nazývaný stupeň so zlomkovým exponentom. Okrem toho platí nasledujúca rovnosť. n√(a m) = a (m/n) .
Ako už vieme, čísla v tvare m/n, kde n je nejaké prirodzené číslo a m je nejaké celé číslo, sa nazývajú zlomkové alebo racionálne čísla. Zo všetkého vyššie uvedeného získame, že stupeň je definovaný pre akýkoľvek racionálny exponent a akýkoľvek kladný základ stupňa.
Pre všetky racionálne čísla p,q a akékoľvek a>0 a b>0 platia nasledujúce rovnosti:
- 1. (a p)* (a q) = a (p+q)
- 2. (a p): (b q) = a (p-q)
- 3. (a p) q = a (p*q)
- 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (a p)/(b p)
Tieto vlastnosti sú široko používané pri prevode rôznych výrazov, ktoré obsahujú mocniny s zlomkovými exponentmi.
Príklady transformácií výrazov obsahujúcich mocniny s zlomkovým exponentom
Pozrime sa na niekoľko príkladov, ktoré demonštrujú, ako možno tieto vlastnosti použiť na transformáciu výrazov.
1. Vypočítajte 7 (1/4) * 7 (3/4) .
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. Vypočítajte 9 (2/3) : 9 (1/6) .
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. Vypočítajte (16 (1/3)) (9/4) .
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. Vypočítajte 24 (2/3) .
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. Vypočítajte (8/27) (1/3) .
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. Zjednodušte výraz ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.
7. Vypočítajte (25 (1/5))* (125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. Zjednodušte výraz
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 +a - (1-a) = 2*a.
Ako vidíte, pomocou týchto vlastností môžete výrazne zjednodušiť niektoré výrazy, ktoré obsahujú mocniny so zlomkovými exponentmi.
Výrazy, konverzia výrazov
Mocenské výrazy (výrazy s mocninami) a ich premena
V tomto článku budeme hovoriť o prevode výrazov s mocninami. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane mocninných výrazov, ako je otváranie zátvoriek a uvádzanie podobných výrazov. A potom budeme analyzovať transformácie obsiahnuté konkrétne vo výrazoch so stupňami: práca so základom a exponentom, pomocou vlastností stupňov atď.
Navigácia na stránke.
Čo sú to mocenské prejavy?
Pojem „mocenské výrazy“ sa v školských učebniciach matematiky prakticky nevyskytuje, ale pomerne často sa vyskytuje v zbierkach úloh, najmä tých, ktoré sú určené na prípravu napríklad na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku. Po analýze úloh, v ktorých je potrebné vykonať nejaké akcie s mocenskými výrazmi, je zrejmé, že mocenské výrazy sa chápu ako výrazy obsahujúce mocniny vo svojich záznamoch. Preto môžete pre seba prijať nasledujúcu definíciu:
Definícia.
Mocenské výrazy sú výrazy obsahujúce mocniny.
Dajme si príklady mocenských výrazov. Navyše ich predstavíme podľa toho, ako dochádza k vývoju názorov od stupňa s prirodzeným exponentom k stupňu s reálnym exponentom.
Ako je známe, najskôr sa v tejto fáze zoznámime s mocninou čísla s prirodzeným exponentom, prvými najjednoduchšími mocninnými výrazmi typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 sa objavujú −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atď.
O niečo neskôr sa študuje mocnina čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k objaveniu sa mocninných výrazov so zápornými celočíselnými mocninami, ako napríklad: 3 −2, 
a -2 +2 b -3 +c2.
Na strednej škole sa vracajú k titulom. Zavádza sa stupeň s racionálnym exponentom, ktorý zahŕňa výskyt zodpovedajúcich mocninných výrazov: 
, , 
a tak ďalej. Nakoniec sa uvažujú stupne s iracionálnymi exponentmi a výrazy, ktoré ich obsahujú: , .
Vec sa neobmedzuje len na uvedené mocninné výrazy: ďalej premenná preniká do exponentu a vznikajú napríklad tieto výrazy: 2 x 2 +1 resp. 
. A po oboznámení sa s , sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2·lgx −5·x lgx.
Takže sme sa zaoberali otázkou, čo predstavujú mocenské výrazy. Ďalej sa ich naučíme previesť.
Hlavné typy transformácií mocninných výrazov
Pomocou mocenských výrazov môžete vykonávať ktorúkoľvek zo základných transformácií identity výrazov. Môžete napríklad otvoriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, pridať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržať prijatý postup vykonávania úkonov. Uveďme príklady.
Príklad.
Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .
Riešenie.
Podľa poradia vykonávania akcií najskôr vykonajte akcie v zátvorkách. Tam po prvé nahradíme mocninu 4 2 jej hodnotou 16 (ak je to potrebné, pozri) a po druhé vypočítame rozdiel 16−12=4. Máme 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Vo výslednom výraze nahradíme mocninu 2 3 jej hodnotou 8, po ktorej vypočítame súčin 8·4=32. Toto je požadovaná hodnota.
takže, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
odpoveď:
2 3 · (4 2 -12) = 32.
Príklad.
Zjednodušte výrazy pomocou právomocí 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Riešenie.
Je zrejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3·a 4 ·b −7 a 2·a 4 ·b −7 , a môžeme ich uviesť: .
odpoveď:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Príklad.
Vyjadrite výraz so schopnosťami ako produkt.
Riešenie.
S úlohou sa môžete vyrovnať tak, že číslo 9 predstavíte ako mocninu 3 2 a potom použijete vzorec na skrátené násobenie - rozdiel štvorcov: 
odpoveď:
Existuje tiež množstvo identických transformácií, ktoré sú špecifické pre výrazy moci. Budeme ich ďalej analyzovať.
Práca so základom a exponentom
Existujú stupne, ktorých základ a/alebo exponent nie sú len čísla alebo premenné, ale niektoré výrazy. Ako príklad uvedieme položky (2+0,3·7) 5−3,7 a (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Pri práci s takýmito výrazmi môžete výraz v základe stupňa aj výraz v exponente nahradiť identicky rovnakým výrazom v ODZ jeho premenných. Inými slovami, podľa nám známych pravidiel môžeme samostatne transformovať základ stupňa a zvlášť exponent. Je jasné, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identicky rovnaký ako pôvodný.
Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť výrazy pomocou právomocí alebo dosiahnuť iné ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom mocnine (2+0,3 7) 5−3,7 môžete vykonávať operácie s číslami v základe a exponentom, čo vám umožní prejsť na mocninu 4,1 1,3. A po otvorení zátvoriek a privedení podobných členov k základu stupňa (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dostaneme mocninné vyjadrenie jednoduchšieho tvaru a 2·(x+ 1).
Používanie vlastností stupňa
Jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov pomocou právomocí sú rovnosti, ktoré odrážajú . Pripomeňme si tie hlavné. Pre všetky kladné čísla a a b a ľubovoľné reálne čísla r a s platia nasledujúce vlastnosti mocniny:
- a r ·a s =a r+s;
- a r:a s =a r−s ;
- (a-b) r = ar-br;
- (a:b) r = a r: br;
- (a r) s =a r·s .
Všimnite si, že pre prirodzené, celé čísla a kladné exponenty nemusia byť obmedzenia pre čísla a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n nielen pre kladné a, ale aj záporné a a pre a=0.
V škole sa pri transformácii mocenských výrazov zameriavame hlavne na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade bývajú základy stupňov kladné, čo umožňuje využívať vlastnosti stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch mocnin - rozsah prípustných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že základy na ňom nadobúdajú iba kladné hodnoty, čo umožňuje slobodne využívať vlastnosti mocnin . Vo všeobecnosti sa musíte neustále pýtať, či je možné v tomto prípade použiť nejakú vlastnosť stupňov, pretože nepresné použitie vlastností môže viesť k zúženiu vzdelávacej hodnoty a iným problémom. Tieto body sú podrobne a s príkladmi rozobraté v článku transformácia výrazov pomocou vlastností mocnín. Tu sa obmedzíme na zváženie niekoľkých jednoduchých príkladov.
Príklad.
Vyjadrite výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ako mocninu so základom a.
Riešenie.
Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 pomocou vlastnosti zvýšenia mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Pôvodné vyjadrenie mocniny bude mať tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5. Je zrejmé, že zostáva použiť vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5–6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.
odpoveď:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Vlastnosti mocnin pri transformácii mocninných výrazov sa používajú tak zľava doprava, ako aj sprava doľava.
Príklad.
Nájdite hodnotu mocninného výrazu.
Riešenie.
Rovnosť (a·b) r =a r ·b r, aplikovaná sprava doľava, nám umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu tvaru a ďalej. A pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú: 
.
Pôvodný výraz bolo možné transformovať iným spôsobom: 
odpoveď:
.
Príklad.
Vzhľadom na mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 zaveďte novú premennú t=a 0,5.
Riešenie.
Stupeň a 1,5 možno znázorniť ako a 0,5 3 a potom na základe vlastnosti stupňa k stupňu (a r) s = a r s, aplikovanej sprava doľava, transformovať do tvaru (a 0,5) 3. teda a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz je ľahké zaviesť novú premennú t=a 0,5, dostaneme t 3 −t−6.
odpoveď:
t3−t−6.
Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny
Mocninné výrazy môžu obsahovať alebo reprezentovať zlomky s mocninami. Akákoľvek zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, sú plne aplikovateľné na takéto zlomky. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú mocniny, možno zmenšiť, zredukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene s menovateľom atď. Na ilustráciu týchto slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.
Príklad.
Zjednodušte vyjadrenie sily 
.
Riešenie.
Tento výraz sily je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateli otvoríme zátvorky a pomocou vlastností mocnín zjednodušíme výsledný výraz a v menovateli uvádzame podobné pojmy: 
A zmeňme tiež znamienko menovateľa umiestnením mínus pred zlomok: 
.
odpoveď:
.
Redukcia zlomkov obsahujúcich mocniny na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia racionálnych zlomkov na nového menovateľa. V tomto prípade sa nájde aj ďalší faktor a vynásobí sa ním čitateľ a menovateľ zlomku. Pri vykonávaní tejto akcie je potrebné pripomenúť, že zníženie na nového menovateľa môže viesť k zúženiu ODZ. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor neklesol na nulu pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.
Príklad.
Zredukujte zlomky na nového menovateľa: a) na menovateľ a, b) 
na menovateľa.
Riešenie.
a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý dodatočný multiplikátor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je násobiteľ 0,3, pretože a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Všimnite si, že v rozsahu prípustných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) mocnina a 0,3 nezmizne, preto máme právo vynásobiť čitateľa a menovateľa daného zlomok týmto dodatočným faktorom: 
b) Pri bližšom pohľade na menovateľa to zistíte 
a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek a , teda . A toto je nový menovateľ, na ktorý musíme zredukovať pôvodný zlomok.
Takto sme našli dodatočný faktor. V rozsahu prípustných hodnôt premenných x a y výraz nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku: 
odpoveď:
A) 
, b) 
.
Nič nové nie je ani v redukcii zlomkov obsahujúcich mocniny: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako množstvo faktorov a rovnaké faktory čitateľa a menovateľa sú redukované.
Príklad.
Znížte zlomok: a) 
, b).
Riešenie.
a) Po prvé, čitateľa a menovateľa možno zmenšiť o čísla 30 a 45, čo sa rovná 15. Je tiež zrejmé, že je možné vykonať zníženie o x 0,5 +1 a o 
. Tu je to, čo máme: 
b) V tomto prípade identické faktory v čitateli a menovateli nie sú okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, budete musieť vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade spočívajú v faktorizácii menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov: 
odpoveď:
A) 
b) 
.
Prevod zlomkov na nového menovateľa a zmenšenie zlomkov sa používajú hlavne na prácu so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa zredukujú na spoločného menovateľa, po ktorom sa pripočítajú (odčítajú) čitatelia, no menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobenie jeho inverznou hodnotou.
Príklad.
Nasleduj kroky 
.
Riešenie.
Najprv odčítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je 
, po ktorom odčítame čitateľov: 
Teraz vynásobíme zlomky: 
Je zrejmé, že je možné znížiť o silu x 1/2, po ktorej máme 
.
Výraz mocniny v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: 
.
odpoveď:
Príklad.
Zjednodušte vyjadrenie sily 
.
Riešenie.
Je zrejmé, že tento zlomok môže byť znížený o (x 2,7 + 1) 2, čím sa získa zlomok 
. Je jasné, že so schopnosťami X je potrebné urobiť niečo iné. Aby sme to dosiahli, transformujeme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva možnosť využiť vlastnosť rozdelenia právomocí s rovnakými základmi: 
. A na konci procesu prechádzame od posledného produktu k frakcii.
odpoveď:
.
A ešte dodajme, že je možné a v mnohých prípadoch aj žiaduce prenášať faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa, pričom sa mení znamienko exponentu. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie činnosti. Napríklad mocninný výraz možno nahradiť výrazom .
Prevod výrazov s koreňmi a mocninami
Vo výrazoch, v ktorých sa vyžadujú určité transformácie, sú spolu s mocninami často prítomné aj korene s zlomkovými exponentmi. Na transformáciu takéhoto výrazu do požadovanej podoby vo väčšine prípadov stačí ísť len ku koreňom alebo len k mocninám. Ale keďže je pohodlnejšie pracovať s mocninami, väčšinou prechádzajú od koreňov k mocninám. Je však vhodné vykonať takýto prechod vtedy, keď ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez potreby odkazovania na modul alebo rozdelenia ODZ do viacerých intervalov (podrobne sme to rozobrali v člen prechod od koreňov k mocninám a späť Po oboznámení sa s stupňom s racionálnym exponentom sa uvádza stupeň s iracionálnym exponentom, čo nám umožňuje hovoriť o stupňoch s ľubovoľným reálnym exponentom študoval v škole. exponenciálna funkcia, ktorá je analyticky daná mocninou, ktorej základom je číslo a exponentom je premenná. Stretávame sa teda s mocninnými výrazmi, ktoré obsahujú čísla v mocnine a v exponente - výrazy s premennými a prirodzene vzniká potreba vykonávať transformácie takýchto výrazov.
Treba povedať, že transformáciu výrazov naznačeného typu treba väčšinou vykonať pri riešení exponenciálne rovnice A exponenciálne nerovnosti a tieto prevody sú celkom jednoduché. V drvivej väčšine prípadov vychádzajú z vlastností stupňa a sú zamerané väčšinou na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Rovnica nám ich umožní demonštrovať 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Po prvé, mocniny, v ktorých exponentoch je súčet určitej premennej (alebo výraz s premennými) a čísla, sú nahradené súčinmi. Platí to pre prvý a posledný výraz výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ďalej sú obe strany rovnosti rozdelené výrazom 7 2 x, ktorý na ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu nadobúda iba kladné hodnoty (toto je štandardná technika riešenia rovníc tohto typu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, tak sa zamerajte na následné transformácie výrazov s mocninami): 
Teraz môžeme zlomky zrušiť mocninami, čo dáva 
.
Nakoniec sa pomer mocnín s rovnakými exponentmi nahradí mocninami vzťahov, čím vznikne rovnica 
, čo je ekvivalentné 
. Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice.
