VYŠŠIA MATEMATIKA

Číselný rad

Prednáška.Číselný rad

1. Definícia číselného radu. Konvergencia

2. Základné vlastnosti číselného radu

3. Séria s kladnými výrazmi. Známky konvergencie

4. Striedanie riadkov. Leibnizov test konvergencie

5. Striedavé série

Samotestovacie otázky

Literatúra

Prednáška. ČÍSELNÁ SÉRIA

1. Definícia číselného radu. Konvergencia.

2. Základné vlastnosti číselného radu.

3. Séria s kladnými výrazmi. Známky konvergencie.

4. Striedanie riadkov. Leibnizov test konvergencie.

5. Striedavé série.

1. Definícia číselného radu. Konvergencia

V matematických aplikáciách, ako aj pri riešení niektorých problémov v ekonómii, štatistike a iných oblastiach sa uvažuje so súčtami s nekonečným počtom pojmov. Tu uvedieme definíciu toho, čo sa myslí pod takýmito sumami.

Nech je daný nekonečný číselný rad

, , …, , …

Definícia 1.1. Číselný rad alebo jednoducho blízko sa nazýva výraz (súčet) tvaru

. (1.1) sa nazývajú členov čísla, – všeobecný alebo n – mčlen série.

Na definovanie radu (1.1) stačí špecifikovať funkciu prirodzeného argumentu

výpočet tého člena radu jeho číslom

Príklad 1.1. Nechaj

. Riadok (1,2)

volal harmonický rad .

Príklad 1.2. Nechaj

, riadok (1.3)

volal zovšeobecnený harmonický rad. V špeciálnom prípade, keď

získa sa harmonický rad.

Príklad 1.3. Nechaj

= . Riadok (1,4)

volal takmer geometrický priebeh.

Z členov radu (1.1) vytvoríme číslovku postupnosť častísumy Kde

– súčet prvých členov radu, ktorý je tzv n-čiastkovú sumu, t.j. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Poradie čísel

s neobmedzeným nárastom počtu môže:

1) mať konečnú hranicu;

2) nemajú žiadnu konečnú limitu (limita neexistuje alebo sa rovná nekonečnu).

Definícia 1.2. Volá sa séria (1.1). konvergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov (1.5) má konečnú hranicu, t.j.

V tomto prípade číslo

volal čiastka séria (1.1) a je napísaná .

Definícia 1.3.Volá sa séria (1.1). divergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov nemá konečnú hranicu.

Divergentnému radu nie je priradený žiadny súčet.

Problém nájsť súčet konvergentného radu (1.1) je teda ekvivalentný výpočtu limity postupnosti jeho čiastkových súčtov.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1.4. Dokážte, že séria

konverguje a nájdite jeho súčet.

nájdeme n- čiastkový súčet tejto série

.

Generálny člen

Predstavme sériu vo forme .

Odtiaľto máme:

. Preto tento rad konverguje a jeho súčet sa rovná 1:

Príklad 1.5. Preskúmajte konvergenciu radu

(1.6)

Pre tento riadok

. Preto sa táto séria rozchádza.

Komentujte. O

rad (1.6) je súčtom nekonečného počtu núl a je evidentne konvergentný.

Príklad 1.6. Preskúmajte konvergenciu radu

(1.7)

Pre tento riadok

V tomto prípade je hranica postupnosti čiastkových súčtov

neexistuje a séria sa rozchádza.

Príklad 1.7. Preskúmajte sériu geometrickej progresie (1.4) na konvergenciu:

Je ľahké to ukázať n-tý čiastkový súčet geometrického progresívneho radu at

je daný vzorcom.

Uvažujme o prípadoch:

Potom a.

Preto rad konverguje a jeho súčet sa rovná

1 nehnuteľnosť.

Vypustenie konečného počtu členov neovplyvní konvergenciu rovnice.

Zvážte Let

Ak existuje konečná limita napravo v (29.1), potom je limita aj naľavo a rad konverguje

2 majetok.

Ak rad konverguje a má súčet S, potom rad

c = const, konverguje a má súčet cS.

Nechaj potom

3 majetok.

Ak rad konverguje a má súčty, potom rad konverguje a má súčet

1. Séria s pozitívnymi podmienkami. Znaky na porovnanie konvergencie kladných radov. Pozitívna séria

Ak a n ≥ 0 (n= 1, 2, 3, ...), potom séria a 1 +a 2 +a 3 + ... sa volá pozitívne. V prípade, keď pred všetkými n ukazuje sa a n> 0, budeme volať sériu prísne pozitívne.

Kladné rady majú mnoho vlastností, vďaka ktorým sú podobné bežným súčtom konečného počtu členov.

Je ľahké vidieť, že čiastočná suma S n =a 1 +a 2 + ... +a n pozitívna séria zvyšuje(možno nie striktne) so zvyšovaním n. Pretože každá postupnosť rastúcich čísel má konečnú alebo nekonečnú hranicu (a členy postupnosti túto hranicu neprekračujú), potom pre každý kladný rad existuje limit

Táto hranica bude konečná alebo nekonečná v závislosti od toho, či je množina čiastkových súčtov ohraničená vyššie alebo nie ( S n). Existuje teda

Veta 1. Kladný rad konverguje práve vtedy, ak je množina jeho čiastkových súčtov ohraničená vyššie.

Samozrejme, pre nekladný rad, ohraničenosť množiny čiastkových súčtov nezabezpečuje konvergenciu, ako je vidieť na príklade radu 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

Poznamenávame tiež, že čiastkové súčty konvergentného kladného radu nepresahujú jeho súčet.

Dokázaná veta redukuje otázku konvergencie kladného radu na jednoduchšiu otázku ohraničenosti množiny jeho parciálnych súčtov.

Zoberme si napríklad sériu (24)

v ktorom α > 1. Súčet tohto radu možno zapísať takto:

Keďže súčet obsahuje 2 k výrazy a najväčší z nich je prvý, potom tento súčet nepresahuje počet

Preto

Súčet vpravo je čiastočný súčet geometrickej postupnosti

Ako bolo dokázané skôr, tento vývoj konverguje (od r α > 1) a jeho súčet sa rovná

Keďže progresia (25) je tiež kladná séria, jej čiastkové súčty neprevyšujú jej súčet (26). Predovšetkým

Táto nerovnosť je stanovená pre každého m. Ale pre všetkých n môžete nájsť niečo také mže 2 m - 1 >n.

Preto v každom prípade n Ukazuje sa, že rad (24) konverguje.

Treba však poznamenať, že priama aplikácia 1. vety je pomerne zriedkavá.

Zvyčajne sa na jeho základe používajú, ale pohodlnejšie testy na konvergenciu radov. Najjednoduchším z nich je tzv znak porovnávania sérií

Ak každý člen kladného radu nie je väčší ako člen iného radu s rovnakým číslom, potom sa volá druhý rad majorant vo vzťahu k prvému.

Inými slovami, séria b 1 +b 2 +b 3 + ... je vzhľadom na sériu hlavný a 1 +a 2 +a 3 + ..., ak pre všetkých n bude a n ≤b n .

Je ľahké pochopiť, že čiastočný súčet daného radu nie je väčší ako (s rovnakým číslom) čiastočný súčet majorantného radu. To znamená, že ak sú čiastkové súčty hlavného radu ohraničené zhora, potom to platí ešte viac pre pôvodný rad. Z toho vyplýva

Veta 2. Ak pre kladný rad existuje konvergentný hlavný rad, potom tento rad sám konverguje. Ak sa daná séria rozchádza, potom sa rozchádza každá jej hlavná séria.

Zoberme si napríklad sériu (27)

za predpokladu α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Prvý znak porovnávania sérií. Dovoliť a byť dva kladné číselné rady a nerovnosť platí pre všetkých k = 1, 2, 3, ... Potom konvergencia radu implikuje konvergenciu a divergencia radu implikuje divergenciu. Prvé porovnávacie kritérium sa používa veľmi často a je veľmi silným nástrojom na štúdium číselných radov pre konvergenciu. Hlavným problémom je výber vhodnej série na porovnanie. Rad na porovnanie sa zvyčajne (nie vždy) volí tak, aby jeho exponent kthčlen sa rovná rozdielu medzi exponentmi čitateľa a menovateľa kthčlen skúmaného číselného radu. Nech je napríklad rozdiel medzi exponentmi čitateľa a menovateľa rovný 2 – 3 = -1 , preto na porovnanie vyberieme riadok s kthčlen, teda harmonický rad. Pozrime sa na niekoľko príkladov. Príklad. Určte konvergenciu alebo divergenciu radu. Riešenie. Keďže limita všeobecného člena radu je nulová, podmienka konvergencie radu je splnená. Je ľahké vidieť, že nerovnosť platí pre všetko prirodzené k. Vieme, že harmonický rad diverguje, preto podľa prvého porovnávacieho kritéria je divergentný aj pôvodný rad. Príklad. Preskúmajte konvergenciu číselných radov. Riešenie. Nevyhnutná podmienka pre konvergenciu číselného radu je splnená, keďže . Nerovnosť je zjavná pre akúkoľvek prírodnú hodnotu k. Rad konverguje, pretože zovšeobecnený harmonický rad je konvergentný pre s > 1. Prvý znak porovnania radov nám teda umožňuje konštatovať konvergenciu pôvodného číselného radu. Príklad. Určte konvergenciu alebo divergenciu číselného radu. Riešenie., je teda splnená nevyhnutná podmienka konvergencie číselného radu. Ktorý riadok si mám vybrať na porovnanie? Číselný rad sa navrhuje sám, ale na to, aby sa rozhodol s, pozorne si preštudujte poradie čísel. Členy číselnej postupnosti sa zvyšujú smerom k nekonečnu. Takže počnúc od nejakého čísla N(konkrétne s N=1619), členy tejto postupnosti budú väčšie 2 . Počnúc týmto číslom N, nerovnosť je pravdivá. Číselný rad konverguje vďaka prvej vlastnosti konvergentného radu, pretože sa získa z konvergentného radu vyradením prvého N – 1členom. Prvou vlastnosťou porovnávania je teda rad konvergentný a na základe prvej vlastnosti konvergentného číselného radu bude rad tiež konvergovať. Druhý znak porovnávania. Nech sú to číselné rady s kladným znamienkom. Ak, potom konvergencia radu implikuje konvergenciu. Ak, potom divergencia vyplýva z divergencie číselného radu. Dôsledok. Ak a, potom z konvergencie jedného radu vyplýva konvergencia druhého a z divergencie nasleduje divergencia. Študujeme konvergenciu radov pomocou druhého porovnávacieho kritéria. Zoberme si konvergentný rad ako rad. Nájdite hranicu pomeru kčlenovia číselného radu: Podľa druhého porovnávacieho kritéria teda z konvergencie číselného radu vyplýva konvergencia pôvodného radu.

Príklad. Preskúmajte konvergenciu číselného radu. Riešenie. Skontrolujme nevyhnutnú podmienku pre konvergenciu radu . Podmienka je splnená. Aby sme použili druhé porovnávacie kritérium, zoberme si harmonický rad. Nájdite hranicu pomeru kčlenovia: Z divergencie harmonického radu teda vyplýva divergencia pôvodného radu podľa druhého porovnávacieho kritéria. Pre informáciu uvádzame tretie kritérium na porovnávanie sérií. Tretí znak porovnávania. Nech sú to číselné rady s kladným znamienkom. Ak od určitého počtu N podmienka je splnená, potom konvergencia radu implikuje konvergenciu a divergencia radu implikuje divergenciu.

1. Číselný rad: základné pojmy, nevyhnutné podmienky pre konvergenciu radu. Zvyšok radu.

2. Séria s kladnými členmi a testy ich konvergencie: testy porovnávania, D'Alembert, Cauchy.

3. Striedavé série, Leibnizov test.

1. Definícia číselného radu. Konvergencia

V matematických aplikáciách, ako aj pri riešení niektorých problémov v ekonómii, štatistike a iných oblastiach sa uvažuje so súčtami s nekonečným počtom pojmov. Tu uvedieme definíciu toho, čo sa myslí pod takýmito sumami.

Nech je daný nekonečný číselný rad

Definícia 1.1. Číselný rad alebo jednoducho blízko sa nazýva výraz (súčet) formy

. (1.1)

čísla sa volajú členov čísla, –všeobecný alebo n–mčlen série.

Na definovanie radu (1.1) stačí špecifikovať funkciu prirodzeného argumentu výpočtu tého člena radu jeho číslom

Príklad 1.1. Nechaj . riadok

(1.2)

volal harmonický rad.

Príklad 1.2. Nechajte, riadok

(1.3)

volal zovšeobecnený harmonický rad. V konkrétnom prípade sa získa harmonický rad.

Príklad 1.3. Nechajte =. riadok

volal takmer geometrický priebeh.

Z členov radu (1.1) vytvoríme číslovku postupnosť častí sumy Kde – súčet prvých členov radu, ktorý je tzv n-čiastkovú sumu, t.j.

…………………………….

…………………………….

Poradie čísel s neobmedzeným nárastom počtu môže:

1) mať konečnú hranicu;

2) nemajú žiadnu konečnú limitu (limita neexistuje alebo sa rovná nekonečnu).

Definícia 1.2. Volá sa séria (1.1). konvergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov (1.5) má konečnú hranicu, t.j.

V tomto prípade sa volá číslo čiastka séria (1.1) a je napísaná

Definícia 1.3. Volá sa séria (1.1). divergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov nemá konečnú hranicu.

Divergentnému radu nie je priradený žiadny súčet.

Problém nájsť súčet konvergentného radu (1.1) je teda ekvivalentný výpočtu limity postupnosti jeho čiastkových súčtov.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1.4. Dokážte, že séria

konverguje a nájdite jeho súčet.

Nájdite n-tý čiastkový súčet tohto radu.

Generálny člen predstavujú sériu vo forme .

Odtiaľto máme: . Preto tento rad konverguje a jeho súčet sa rovná 1:

Príklad 1.5. Preskúmajte konvergenciu radu

Pre tento riadok

. Preto sa táto séria rozchádza.

Komentujte. Pre rad (1.6) je súčet nekonečného počtu núl a je evidentne konvergentný.

2. Základné vlastnosti číselného radu

Vlastnosti súčtu konečného počtu členov sa líšia od vlastností radu, teda súčtu nekonečného počtu členov. Takže v prípade konečného počtu členov môžu byť zoskupené v ľubovoľnom poradí, súčet sa tým nezmení. Existujú konvergentné rady (podmienečne konvergentné, o ktorých budeme uvažovať v časti 5), pre ktoré, ako ukázal Riemann * , vhodnou zmenou poradia ich členov môžete dosiahnuť, aby sa súčet radu rovnal ľubovoľnému číslu a dokonca aj divergentnému radu.

Príklad 2.1. Zvážte divergentný rad formulára (1.7)

Zoskupením jeho členov do párov dostaneme konvergentný číselný rad so súčtom rovným nule:

Na druhej strane, zoskupením jeho členov do párov, počnúc druhým členom, získame tiež konvergentný rad, ale so súčtom rovným jednej:

Konvergentné rady majú určité vlastnosti, ktoré umožňujú zaobchádzať s nimi ako s konečnými súčtami. Takže ich možno násobiť číslami, sčítať a odčítať člen po člene. Môžu kombinovať ľubovoľné susedné výrazy do skupín.

Veta 2.1.(Nevyhnutný znak konvergencie radu).

Ak rad (1.1) konverguje, potom jeho spoločný člen má tendenciu k nule, pretože n rastie donekonečna, t.j.

Dôkaz vety vyplýva z toho, že , A keď

S je teda súčet radov (1.1).

Podmienka (2.1) je nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou konvergencie radu. To znamená, že ak má spoločný člen radu tendenciu k nule v , neznamená to, že rad konverguje. Napríklad pre harmonický rad (1.2) avšak, ako bude ukázané nižšie, rozchádza sa.

Dôsledok(Dostatočný znak divergencie série).

Ak spoločný člen radu nemá tendenciu k nule, potom tento rad diverguje.

Príklad 2.2. Preskúmajte konvergenciu radu

.

Pre tento riadok

Preto sa táto séria rozchádza.

Vyššie uvažované divergentné rady (1.6), (1.7) sú také preto, že pre ne nie je splnené potrebné konvergenčné kritérium. Pre rady (1.6) limit pre sériu (1.7) limit neexistuje.

Nehnuteľnosť 2.1. Konvergencia alebo divergencia radu sa nezmení, ak sa z neho ľubovoľne odoberie konečný počet členov, pridá sa k nemu alebo sa v ňom preusporiada (v tomto prípade sa pri konvergentnom rade môže zmeniť jeho súčet).

Dôkaz o vlastnosti vyplýva zo skutočnosti, že séria (1.1) a akékoľvek jej zvyšky súčasne konvergovať alebo divergovať.

Nehnuteľnosť 2.2. Konvergentný rad možno vynásobiť číslom, t.j. ak rad (1.1) konverguje, má súčet S a c je určité číslo, potom

Dôkaz vyplýva zo skutočnosti, že pre konečné sumy platia nasledujúce rovnosti:

Nehnuteľnosť 2.3. Konvergentné rady možno sčítať a odčítať člen po člene, t. j. ak rad,

konvergovať,

konverguje a jej súčet sa rovná t.j.

.

Dôkaz vyplýva z vlastností limity konečných súčtov, t.j.

1. Ak a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= konverguje, potom rad a m+1 +a m+2 +a m+3 +…, získaný z tohto radu vyradením prvých m členov, tiež konverguje. Tento výsledný rad sa nazýva m-tý zvyšok radu. A naopak: z konvergencie m-tého zvyšku radu nasleduje konvergencia tohto radu. Tie. Konvergencia a divergencia radu nie je narušená, ak sa pridá alebo vypustí konečný počet jeho členov.

2 . Ak rad a 1 + a 2 + a 3 +... konverguje a jeho súčet je rovný S, potom rad Ca 1 + Ca 2 +..., kde aj C = konverguje a jeho súčet je rovný CS.

3. Ak rad a 1 +a 2 +... a b 1 +b 2 +... konverguje a ich súčty sa rovnajú S1 a S2, potom rad (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+… a (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+… tiež konvergujú. Ich súčty sa rovnajú S1+S2 a S1-S2.

4. A). Ak séria konverguje, potom jej n-tý člen má tendenciu k 0, pretože n rastie donekonečna (opačne to nie je pravda).

- nevyhnutné znamenie (podmienka)konvergencie riadok.

b). Ak
potom je séria divergentná - dostatočné staverozdiely riadok.

-série tohto typu sa študujú len podľa vlastnosti 4. Toto divergentný riadkov.

Znamenkovo-pozitívny rad.

Znaky konvergencie a divergencie radov kladných znamienok.

Pozitívne série sú série, v ktorých sú všetky pojmy kladné. Tieto znaky konvergencie a divergencie zvážime pre rady s kladnými znamienkami.

1. Prvý znak porovnávania.

Nech sú dané dve rady s kladným znamienkom a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

Ak členovia série (1) nie viacb n a rad (2) konverguje, potom rad (1) tiež konverguje.

Ak členovia série (1) nie menej zodpovedajúce členy radu (2), t.j. a n b n a rad (2) sa rozchádza, potom sa séria (1) tiež rozchádza.

Toto porovnávacie kritérium je platné, ak nerovnosť nie je splnená pre všetky n, ale iba od niektorých.

2. Druhý znak porovnania.

Ak existuje konečná a nenulová hranica
, potom oba rady konvergujú alebo divergujú súčasne.

- riadky tohto typu rozchádzať sa podľa druhého porovnávacieho kritéria. Treba ich porovnať s harmonickým radom.

3. D'Alembertov znak.

Ak pre kladný rad (a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= ) existuje
(1), potom rad konverguje, ak q<1, расходится, если q>

4. Cauchyho znamenie je radikálne.

Ak existuje limit pre kladnú sériu
(2), potom rad konverguje ifq<1, расходится, если q>1. Ak q=1, otázka zostáva otvorená.

5. Cauchyho test je integrálny.

Pripomeňme si nesprávne integrály.

Ak existuje limit
. Toto je nesprávny integrál a označuje sa
.

Ak je táto limita konečná, potom sa hovorí, že nevlastný integrál konverguje. Séria, v tomto poradí, konverguje alebo diverguje.

Nech rad a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= - pozitívna séria.

Označme a n =f(x) a uvažujme funkciu f(x). Ak je f(x) kladná, monotónne klesajúca a spojitá funkcia, potom ak nevlastný integrál konverguje, potom daný rad konverguje. A naopak: ak sa nevlastný integrál diverguje, potom sa séria diverguje.

Ak je rad konečný, potom konverguje.

Riadky sú veľmi bežné
-Séria Derichlet. Konverguje, ak p>1, diverguje p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

1. Základné pojmy. Dostaneme nekonečnú postupnosť čísel

Definícia. Výraz

kde je spoločný termín série.

Príklad 7.1

Zoberme si sériu. Tu je spoločný termín série.

Uvažujme súčty zložené z konečného počtu členov radu (7.1): , , , ..., , . . . Takéto sumy sú tzv čiastkové sumy riadok. sa nazýva tý čiastkový súčet radu. Čiastočný súčet je teda súčtom (konečného počtu) členov:

.

(7.3)

Nasledujúce , , , ..., , ... alebo .sa nazýva postupnosť čiastkových súčtov série (7.1).

Definícia. Ak existuje konečný limit , potom sa volá séria (1.1). konvergentný, a číslo je súčtom tohto radu. V tomto prípade píšu

Ak postupnosť nemá limit, potom sa volá séria (7.1). divergentný. Divergujúca séria nemá súčet.

Príklad 7.2

Riešenie

Všeobecný pojem série môže byť reprezentovaný ako

, (n= 1, 2, 3, . . .).

Preto tento rad konverguje a jeho súčet je 1.

Príklad 7.3(geometrická progresia)

Uvažujme o postupnosti, ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa vynásobením predchádzajúceho členu rovnakým číslom:

Niekedy sa samotný rad (7.5) nazýva geometrická progresia.

Čiastočný súčet radu (7.5) je súčtom členov geometrickej postupnosti a

vypočítané podľa vzorca

.

(7.6)

Ak potom. Následne, keď rad (7.5) konverguje. Ak potom. Následne, keď sa séria (7.5) rozchádza. Ak , potom (7.5) sa zmení na sériu 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Pre takúto sériu a

Následne, keď sa séria (7.5) rozchádza.

Pri zvažovaní radov je dôležitá otázka konvergencie (divergencie). Na vyriešenie tohto problému použili príklady 7.1 a 7.2 definíciu konvergencie. Častejšie sa na to využívajú určité vlastnosti radu, ktoré sa nazývajú znaky konvergencie radu.

Veta 7.1(nevyhnutný znak konvergencie). Ak rad (7.1) konverguje, potom jeho spoločný člen smeruje k nule s neobmedzeným nárastom v , t.j.

Séria (7.8) sa volá harmonický blízko.

Pre tento riadok. O konvergencii radov (7.8) však zatiaľ nie je možné urobiť žiadny záver, pretože tvrdenie zhodné s vetou 7.1 nie je pravdivé.

Ukážme, že rad (7.8) diverguje. Dá sa to dokázať protichodnými úvahami. Predpokladajme, že rad (7.8) konverguje a jeho súčet sa rovná S.Potom = –

– , čo odporuje nerovnosti

V dôsledku toho sa harmonický rad rozchádza.

Potrebná vlastnosť sa môže použiť na zistenie skutočnosti divergencie série. Z vety 7.1 skutočne vyplýva, že ak spoločný člen radu nemá tendenciu k nule, potom rad diverguje.

Príklad 7.5

Zoberme si sériu.

Tu , . Limit sa nerovná nule, preto sa rad rozchádza.

Ak je teda splnená podmienka (7.7), otázka konvergencie radu (7.1) zostáva otvorená. Séria sa môže rozchádzať alebo sa môže zbližovať. Na vyriešenie tohto problému môžu

treba využiť vlastnosti radu, z čoho vyplýva konvergencia tohto radu. Takéto vlastnosti sú tzv dostatočné známky konvergencie riadkov.

Séria s pozitívnymi podmienkami. Zvážte dostatočné znaky konvergencie radov s kladnými členmi.

Veta 7.2.(D'Alembertov znak).

sú pozitívne:

1) if , rad (7.1) konverguje;

2) if , rad (7.1) konverguje;

Poznámka. Séria (7.1) sa bude líšiť aj v prípade, že odvtedy začína od nejakého čísla N, bude, a preto nemá tendenciu nulovať sa pri .

Príklad 7.6

Preskúmajte konvergenciu radu.

Riešenie. potom =

Nájdená hranica je menšia ako jednota. Preto tento rad konverguje.

Príklad 7.7

Preskúmajte konvergenciu radu.

Riešenie. potom =

= = = = = = = .

Nájdená hranica je väčšia ako jednota. Preto sa táto séria rozchádza.

Veta 7.3.(Radikálny Cauchyov znak).

Nech je daný rad (7.1), ktorého všetky členy sú pozitívne:

a je tam limit

,

(7.11)

(kde je označenie zistenej hranice). potom:

1) if , rad (7.1) konverguje;

2) if , rad (7.1) konverguje;

3) ak , posudzované kritérium neodpovedá na otázku o konvergencii radu.

Doklad o označení nájdete v.

Príklad 7.8

Preskúmajte konvergenciu radu.

Riešenie.

Poďme nájsť limit (7.11):

Nájdená hranica je väčšia ako jednota. V dôsledku toho sa tento rad rozchádza (veta 7.3).

Zovšeobecnený harmonický rad.Zovšeobecnený harmonický rad sa nazýva séria formulára

Veta 7.3. (Leibnizova veta). Ak pre sériu(7.13) sú splnené dve podmienky:

1) členy radu klesajú monotónne v absolútnej hodnote:

2)spoločný člen radu má tendenciu k nule:

potom séria(7.13) konverguje.

Doklad o označení nájdete napríklad v.

Príklad 7.9.

Zvážte znamenie striedavého radu

(7.14)

Pre tento rad sú splnené podmienky vety (7.13):

V dôsledku toho rad (7.12) konverguje.

Dôsledok vety 7.3. Zvyšok striedavého radu (7.13), ktorý spĺňa podmienky Leibnizovej vety, má znamienko prvého člena a v absolútnej hodnote je menší ako on.

Príklad 7.10. Vypočítajte súčet konvergentných radov s presnosťou na 0,1

Ako približnú hodnotu súčtu radu musíme vziať čiastkový súčet, pre ktorý . Podľa vyšetrovania, . Preto stačí dať , t.j

Preto s presnosťou 0,1.

Absolútna a podmienená konvergencia. Uvažujme sériu, ktorej výrazy majú ľubovoľné znamienka

Všimnite si, že séria (7.16) je séria s kladnými členmi a vzťahujú sa na ňu príslušné vety uvedené vyššie.

Veta 7.4(Znak absolútnej konvergencie). Ak rad (7.16) konverguje, potom konverguje aj rad (7.15).

(Dôkaz vety nájdete napr. v).

Definícia.

Ak rad (7.16) konverguje, potom sa príslušný rad (7.15) nazýva absolútne konvergentný absolútne klesajúci Xia.

Môže sa ukázať, že rad (7.16) diverguje, ale rad (7.15) konverguje. V tomto prípade sa volá séria (7.15). podmienene konvergentné.

Všimnite si, že striedavý rad (7.13) je špeciálny prípad radu, ktorého členy majú ľubovoľné znamienka. Preto na štúdium striedavého radu môžeme použiť aj vetu 7.5.

Príklad 7.11

Riešenie

Uvažujme rad zložený z absolútnych hodnôt členov daného radu. Tento rad konverguje, pretože ide o zovšeobecnený harmonický rad (7.12) s hodnotou Preto podľa kritéria absolútnej konvergencie (Veta 7.5) pôvodný rad konverguje absolútne.

Príklad 7.12

Séria sa skúma z hľadiska konvergencie.

Riešenie

podľa Leibnizovej vety konverguje, ale rad zložený z absolútnych hodnôt členov pôvodného radu diverguje (ide o harmonický rad). V dôsledku toho pôvodný rad podmienene konverguje.