Grafy goniometrických funkcií viacerých uhlov. Graf funkcie y=sin x Graf funkcie y sin 2

Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcia y=sin(x). Definície a vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
Softvérové prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:

Vlastnosti funkcie Y=sin(X).
Funkčný graf.
Ako zostaviť graf a jeho mierku.
Príklady.

Vlastnosti sínusu. Y=sin(X)

Chlapci, už sme sa oboznámili s goniometrickými funkciami číselného argumentu. pamätáte si ich?

Pozrime sa bližšie na funkciu Y=sin(X)

Zapíšme si niektoré vlastnosti tejto funkcie:
1) Definičný obor je množina reálnych čísel.
2) Funkcia je nepárna. Spomeňme si na definíciu nepárnej funkcie. Funkcia sa nazýva nepárna, ak platí rovnosť: y(-x)=-y(x). Ako si pamätáme z duchovných vzorcov: sin(-x)=-sin(x). Definícia je splnená, čo znamená, že Y=sin(X) je nepárna funkcia.
3) Funkcia Y=sin(X) na segmente rastie a na segmente klesá [π/2; π]. Keď sa pohybujeme pozdĺž prvej štvrtiny (proti smeru hodinových ručičiek), ordináta sa zvyšuje a keď prechádzame druhou štvrtinou, klesá.

4) Funkcia Y=sin(X) je obmedzená zdola aj zhora. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmenšia hodnota funkcie je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najväčšia hodnota funkcie je 1 (pri x = π/2+ πk).

Použime vlastnosti 1-5 na vykreslenie funkcie Y=sin(X). Náš graf vytvoríme postupne, pričom použijeme naše vlastnosti. Začnime vytvárať graf na segmente.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať mierke. Na zvislej osi je vhodnejšie vziať jednotkový segment rovný 2 bunkám a na osi x je vhodnejšie vziať jednotkový segment (dve bunky) rovný π/3 (pozri obrázok).

Vykreslenie funkcie sínus x, y=sin(x)

Vypočítajme hodnoty funkcie v našom segmente:

Zostavme graf pomocou našich bodov, berúc do úvahy tretiu vlastnosť.

Konverzná tabuľka pre duchovné vzorce

Využime druhú vlastnosť, ktorá hovorí, že naša funkcia je nepárna, čo znamená, že sa môže prejaviť symetricky vzhľadom na pôvod:

Vieme, že sin(x+ 2π) = sin(x). To znamená, že na intervale [- π; π] graf vyzerá rovnako ako na segmente [π; 3π] alebo alebo [-3π; - π] a tak ďalej. Stačí nám pozorne prekresliť graf na predchádzajúcom obrázku pozdĺž celej osi x.

Graf funkcie Y=sin(X) sa nazýva sínusoida.

Napíšme ešte niekoľko vlastností podľa zostrojeného grafu:
6) Funkcia Y=sin(X) rastie na ľubovoľnom segmente tvaru: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je celé číslo a klesá na ľubovoľnom segmente tvaru: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – celé číslo.
7) Funkcia Y=sin(X) je spojitá funkcia. Pozrime sa na graf funkcie a presvedčíme sa, že naša funkcia nemá žiadne zlomy, to znamená spojitosť.
8) Rozsah hodnôt: segment [- 1; 1]. To je jasne viditeľné aj z grafu funkcie.
9) Funkcia Y=sin(X) - periodická funkcia. Pozrime sa znova na graf a uvidíme, že funkcia nadobúda rovnaké hodnoty v určitých intervaloch.

Príklady problémov so sínusom

1. Vyriešte rovnicu sin(x)= x-π

Riešenie: Zostavme 2 grafy funkcie: y=sin(x) a y=x-π (pozri obrázok).
Naše grafy sa pretínajú v jednom bode A(π;0), toto je odpoveď: x = π

2. Nakreslite graf funkcie y=sin(π/6+x)-1

Riešenie: Požadovaný graf získame posunutím grafu funkcie y=sin(x) π/6 jednotiek doľava a o 1 jednotku nadol.

Riešenie: Nakreslite funkciu a uvažujme náš segment [π/2; 5π/4].
Graf funkcie ukazuje, že najväčšie a najmenšie hodnoty sa dosahujú na koncoch segmentu, v bodoch π/2 a 5π/4.
Odpoveď: sin(π/2) = 1 – najväčšia hodnota, sin(5π/4) = najmenšia hodnota.

Sínusové problémy pre nezávislé riešenie

Vyriešte rovnicu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
Nakreslite graf funkcie y=sin(π/3+x)-2
Nakreslite graf funkcie y=sin(-2π/3+x)+1
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na segmente
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y=sin(x) na intervale [- π/3; 5π/6]

Teraz sa pozrieme na otázku, ako vykresliť trigonometrické funkcie viacerých uhlov ωx, Kde ω - nejaké kladné číslo.

Graf funkcie y = hriech ωx Porovnajme túto funkciu s funkciou, ktorú sme už študovali y = hriech x. Predpokladajme, že kedy x = x 0 funkciu y = hriech x nadobúda hodnotu rovnú 0. Potom

y 0 = hriech X 0 .

Transformujme tento vzťah takto:

Preto funkcia y = hriech ωx pri X = X 0 / ω nadobúda rovnakú hodnotu pri 0 , čo je rovnaké ako funkcia y = hriech x pri x = X 0 . To znamená, že funkcia y = hriech ωx opakuje svoj význam v ω krát častejšie ako funkcia y = hriech x. Preto graf funkcie y = hriech ωx získaná „stlačením“ grafu funkcie y = hriech x V ω krát pozdĺž osi x.

Napríklad graf funkcie y = hriech 2x získané „stláčaním“ sínusoidy y = hriech x dvakrát pozdĺž osi x.

Graf funkcie y = hriech x / 2 sa získa dvojitým „natiahnutím“ sínusoidy y = sin x (alebo jej „stlačením“ 1 / 2 krát) pozdĺž osi x.

Od funkcie y = hriech ωx opakuje svoj význam v ω krát častejšie ako funkcia
y = hriech x, potom je jeho obdobie ω krát menej ako obdobie funkcie y = hriech x. Napríklad obdobie funkcie y = hriech 2x rovná sa 2π/2 = π a obdobie funkcie y = hriech x / 2 rovná sa π / X/ 2 = 4π .

Je zaujímavé študovať správanie funkcie y = sekera hriechu na príklade animácie, ktorá sa dá v programe veľmi jednoducho vytvoriť Javor:

Grafy iných goniometrických funkcií viacerých uhlov sú konštruované podobným spôsobom. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = cos 2x, ktorý sa získa „stlačením“ kosínusovej vlny y = cos x dvakrát pozdĺž osi x.

Graf funkcie y = cos x / 2 získané „natiahnutím“ kosínusovej vlny y = cos x zdvojené pozdĺž osi x.

Na obrázku vidíte graf funkcie y = opálenie 2x, získané „stlačením“ tangensoidov y = tan x dvakrát pozdĺž osi x.

Graf funkcie y = tg X/ 2 , získané „natiahnutím“ tangensoidov y = tan x zdvojené pozdĺž osi x.

A nakoniec animácia vykonaná programom javor:

Cvičenia

1. Zostrojte grafy týchto funkcií a uveďte súradnice priesečníkov týchto grafov so súradnicovými osami. Určite periódy týchto funkcií.

A). y = hriech 4x/ 3 G). y = opálenie 5x/ 6 a). y = cos 2x/ 3

b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg X/ 3

V). y = opálenie 4x/ 3 e). y = hriech 2x/ 3

2. Určte periódy funkcií y = hriech (πх) A y = tg (πх/2).

3. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky hodnoty od -1 do +1 (vrátane týchto dvoch čísel) a pravidelne sa menia s bodkou 10.

4 *. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky hodnoty od 0 do 1 (vrátane týchto dvoch čísel) a pravidelne sa menia s bodkou π/2.

5. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky reálne hodnoty a pravidelne sa menia s periódou 1.

6 *. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré akceptujú všetky záporné hodnoty a nulu, ale neprijímajú kladné hodnoty a pravidelne sa menia s periódou 5.

Ako znázorniť graf funkcie y=sin x? Najprv sa pozrime na sínusový graf intervalu.

V notebooku vezmeme jeden segment dlhý 2 bunky. Na osi Oy označíme jeden.

Pre pohodlie zaokrúhľujeme číslo π/2 na 1,5 (a nie na 1,6, ako to vyžadujú pravidlá zaokrúhľovania). V tomto prípade segment s dĺžkou π/2 zodpovedá 3 bunkám.

Na osi Ox označujeme nie jednotlivé segmenty, ale segmenty dĺžky π/2 (každé 3 bunky). Podľa toho segment dĺžky π zodpovedá 6 bunkám a segment dĺžky π/6 zodpovedá 1 bunke.

Pri tomto výbere jednotkového segmentu sa graf zobrazený na hárku zošita v rámčeku najviac zhoduje s grafom funkcie y=sin x.

Urobme tabuľku sínusových hodnôt na intervale:

Výsledné body označíme na rovine súradníc:

Keďže y=sin x je nepárna funkcia, sínusový graf je symetrický vzhľadom na počiatok - bod O(0;0). Berúc do úvahy túto skutočnosť, pokračujme v kreslení grafu vľavo, potom body -π:

Funkcia y=sin x je periodická s periódou T=2π. Preto sa graf funkcie na intervale [-π;π] opakuje nekonečne veľakrát doprava a doľava.

"Yoshkar-Ola College of Service Technologies"

Zostrojenie a štúdium grafu goniometrickej funkcie y=sinx v tabuľkePANI Excel

/metodický vývoj/

Yoshkar – Ola

Predmet. Konštrukcia a štúdium grafu goniometrickej funkcier = sinx v tabuľke MS Excel

Typ lekcie- integrovaný (získavanie nových vedomostí)

Ciele:

Didaktický účel - preskúmať správanie grafov goniometrických funkciír= sinxv závislosti od kurzov pomocou počítača

Vzdelávacie:

1. Zistite zmenu v grafe goniometrickej funkcie r= hriech X v závislosti od kurzov

2. Ukázať zavedenie výpočtovej techniky do vyučovania matematiky, integráciu dvoch predmetov: algebra a informatika.

3. Rozvíjať zručnosti v používaní výpočtovej techniky na hodinách matematiky

4. Posilniť zručnosti pri štúdiu funkcií a zostavovaní ich grafov

Vzdelávacie:

1. Rozvíjať kognitívny záujem študentov o akademické disciplíny a schopnosť aplikovať svoje vedomosti v praktických situáciách

2. Rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, zvýrazniť to hlavné

3. Prispieť k zlepšeniu celkovej úrovne rozvoja žiakov

Vzdelávanie :

1. Podporujte nezávislosť, presnosť a tvrdú prácu

2. Podporovať kultúru dialógu

Formy práce na lekcii - kombinované

Didaktické vybavenie a vybavenie:

1. Počítače

2. Multimediálny projektor

4. Písomky

5. Prezentačné snímky

Počas vyučovania

ja. Organizácia začiatku hodiny

· Pozdrav študentov a hostí

· Nálada na lekciu

II. Stanovenie cieľa a aktualizácia témy

Štúdium funkcie a vytvorenie jej grafu si vyžaduje veľa času, musíte vykonať veľa ťažkopádnych výpočtov, nie je to pohodlné, na záchranu prichádza výpočtová technika.

Dnes sa naučíme vytvárať grafy goniometrických funkcií v prostredí tabuľkového procesora MS Excel 2007.

Témou našej hodiny je „Konštrukcia a štúdium grafu goniometrickej funkcie r= sinx v stolovom procesore"

Z kurzu algebry poznáme schému na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu. Pripomeňme si, ako to urobiť.

Snímka 2

Schéma štúdie funkcií

1. Doména funkcie (D(f))

2. Rozsah funkcie E(f)

3. Určenie parity

4. Frekvencia

5. Nuly funkcie (y=0)

6. Intervaly konštantného znamienka (y>0, y<0)

7. Obdobia monotónnosti

8. Extrémy funkcie

III. Primárna asimilácia nového vzdelávacieho materiálu

Otvorte MS Excel 2007.

Nakreslíme funkciu y=sin X

Vytváranie grafov v tabuľkovom procesorePANI Excel 2007

Graf tejto funkcie nakreslíme na segment XЄ [-2π; 2π]

Hodnoty argumentov budeme brať v prírastkoch , aby bol graf presnejší.

Keďže editor pracuje s číslami, preveďme radiány na čísla P ≈ 3,14 . (prekladová tabuľka v letáku).

1. Nájdite hodnotu funkcie v bode x = -2P. Vo zvyšku editor vypočíta zodpovedajúce hodnoty funkcií automaticky.

2. Teraz máme tabuľku s hodnotami argumentu a funkcie. S týmito údajmi musíme túto funkciu vykresliť pomocou Sprievodcu grafom.

3. Ak chcete zostaviť graf, musíte vybrať požadovaný rozsah údajov, riadky s hodnotami argumentov a funkcií

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Závery si zapíšeme do zošita (Snímka 5)

Záver. Graf funkcie v tvare y=sinx+k sa získa z grafu funkcie y=sinx pomocou paralelného posunu pozdĺž osi operačného zosilňovača o k jednotiek

Ak k >0, potom sa graf posunie nahor o k jednotiek

Ak k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konštrukcia a štúdium funkcie formyy=k*sinx,k- konšt

Úloha 2. V práci Hárok 2 kresliť grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme r= sinx r=2* sinx, r= * sinx, na intervale (-2π; 2π) a sledujte, ako sa mení vzhľad grafu.

(Aby nedošlo k opätovnému nastaveniu hodnoty argumentu, skopírujeme existujúce hodnoty. Teraz musíte nastaviť vzorec a zostaviť graf pomocou výslednej tabuľky.)

Výsledné grafy porovnáme. Spolu so študentmi analyzujeme správanie grafu goniometrickej funkcie v závislosti od koeficientov. (Snímka 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na intervale (-2π; 2π) a sledujte, ako sa mení vzhľad grafu.

Výsledné grafy porovnáme. Spolu so študentmi analyzujeme správanie grafu goniometrickej funkcie v závislosti od koeficientov. (Snímka 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Závery si zapíšeme do zošita (snímka 11)

Záver. Graf funkcie v tvare y=sin(x+k) získame z grafu funkcie y=sinx pomocou paralelného posunu pozdĺž osi OX o k jednotiek

Ak k >1, potom sa graf posunie doprava pozdĺž osi OX

Ak 0

IV. Primárne upevnenie získaných vedomostí

Diferencované karty s úlohou zostrojiť a naštudovať funkciu pomocou grafu


	Y = 6*hriech(x)	Y=1-2 hriechX	Y=- hriech(3x+)
1. doména
2. Rozsah hodnoty
3. Parita
4. Periodicita
5. Intervaly stálosti znamienka


6. Medzerymonotónnosť
Funkcia sa zvyšuje
Funkcia klesá
7. Extrémy funkcie
Minimum
Maximálne