Mocnina s racionálnym exponentom

Množina racionálnych čísel zahŕňa celé a zlomkové čísla.

Definícia 1

Mocnina čísla $a$ s celočíselným exponentom $n$ je výsledkom vynásobenia čísla $a$ samým sebou $n$ krát a: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, pre $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, pre $n

Definícia 2

Mocnina čísla $a$ s exponentom v tvare zlomku $\frac(m)(n)$ sa nazýva $n$-tá odmocnina $a$ do stupňa $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, kde $a>0$, $ n$ je prirodzené číslo, $m$ je celé číslo.

Definícia 3

Mocnina nuly s exponentom ako zlomkom $\frac(m)(n)$ je definovaný takto: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, kde $m$ je celé číslo, $m>0$, $n$ je prirodzené číslo číslo.

Existuje iný prístup k určovaniu mocniny čísla so zlomkovým exponentom, ktorý ukazuje možnosť existencie mocniny záporného čísla alebo záporného zlomkového exponentu.

Napríklad výrazy $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ alebo $\sqrt((-7)^(-10))$ dávajú zmysel, takže a výrazy $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ a $(-7)^\frac(-10)(6) $ by malo dávať zmysel, zatiaľ čo podľa definície mocniny s exponentom v tvare zlomku so záporným základom neexistujú.

Dajme inú definíciu:

Mocnina čísla $a$ s zlomkovým exponentom $\frac(m)(n)$ sa nazýva $\sqrt[n](a^m)$ v nasledujúcich prípadoch:

Pre ľubovoľné reálne číslo $a$, celé číslo $m>0$ a nepárne prirodzené číslo $n$.

Napríklad $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8)$.

Pre akékoľvek nenulové reálne číslo $a$, záporné celé číslo $m$ a nepárne $n$.

Napríklad $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt((-11) ^(-8))$.

Pre akékoľvek nezáporné číslo $a$, kladné celé číslo $m$ a dokonca $n$.

Napríklad $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

Pre akékoľvek kladné $a$, záporné celé číslo $m$ a dokonca $n$.

Napríklad $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3))$ .

Za iných podmienok nie je možné určiť stupeň zlomkovým ukazovateľom.

Napríklad $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt( (-11)^5)$.

Okrem toho pri aplikácii tejto definície je dôležité, aby zlomkový exponent $\frac(m)(n)$ bol neredukovateľný zlomok.

Závažnosť tejto poznámky spočíva v tom, že mocnina záporného čísla so zlomkovým redukovateľným exponentom, napríklad $\frac(10)(14)$, bude kladné číslo a mocnina toho istého čísla s už redukovaným exponentom $\frac(5)(7)$ bude záporné číslo.

Napríklad $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ a $(-1) ^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

Pri znížení zlomku $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$ teda rovnosť $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac (5) (7) $.

Poznámka 1

Treba poznamenať, že často sa používa vhodnejšia a jednoduchšia prvá definícia stupňa s exponentom vo forme zlomku.

Ak je zlomkový exponent zapísaný ako zmiešaný zlomok alebo desatinné číslo, je potrebné previesť exponent do tvaru obyčajného zlomku.

Napríklad $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Stupeň s iracionálnym a skutočným exponentom

TO platnéčísla zahŕňajú racionálne a iracionálne čísla.

Analyzujme pojem titul s iracionálnym exponentom, keďže stupňa s racionálnym exponentom, ktorý sme uvažovali.

Uvažujme postupnosť aproximácií k číslu $\alpha$, čo sú racionálne čísla. Tie. máme postupnosť racionálnych čísel $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, ktoré definujú číslo $\alpha$ s ľubovoľným stupňom presnosti. Ak vypočítame mocniny s týmito exponentmi $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, potom sa ukáže, že tieto čísla sú aproximáciou nejaké číslo $ b$.

Definícia 4

Číslo stupeň $a>0$ s iracionálnym exponentom $\alpha$ je výraz $a^\alpha$, ktorý má hodnotu rovnajúcu sa limite postupnosti $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, kde $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … sú postupné desatinné aproximácie iracionálneho čísla $\alpha$.

V tomto článku zistíme, čo to je stupeň. Tu uvedieme definície mocniny čísla, pričom podrobne zvážime všetky možné exponenty, počnúc prirodzeným exponentom a končiac iracionálnym. V materiáli nájdete veľa príkladov stupňov, ktoré pokrývajú všetky jemnosti, ktoré vznikajú.

Navigácia na stránke.

Mocnina s prirodzeným exponentom, druhá mocnina čísla, kocka čísla

Začnime s . Pri pohľade dopredu povedzme, že pre a je daná definícia mocniny čísla a s prirodzeným exponentom n, ktorú budeme nazývať stupňa, a n, ktoré budeme nazývať exponent. Upozorňujeme tiež, že stupeň s prirodzeným exponentom sa určuje prostredníctvom súčinu, takže na pochopenie nižšie uvedeného materiálu musíte rozumieť násobeniu čísel.

Definícia.

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom n je vyjadrením tvaru a n, ktorého hodnota sa rovná súčinu n faktorov, z ktorých každý sa rovná a, teda .
Konkrétne, mocnina čísla a s exponentom 1 je samotné číslo a, teda a 1 =a.

Okamžite stojí za zmienku o pravidlách čítania diplomov. Univerzálny spôsob čítania zápisu a n je: „a na mocninu n“. V niektorých prípadoch sú prijateľné aj tieto možnosti: „a až n-tá mocnina“ a „n-tá mocnina a“. Napríklad, zoberme si mocninu 8 12, to je „osem na dvanásť“ alebo „osem na dvanástu mocninu“ alebo „dvanásta mocnina na osem“.

Druhá mocnina čísla, ako aj tretia mocnina čísla majú svoje vlastné mená. Druhá mocnina čísla sa volá odmocni číslo, napríklad 7 2 sa číta ako „sedem na druhú“ alebo „druhá mocnina čísla sedem“. Tretia mocnina čísla sa nazýva kockové čísla, napríklad 5 3 možno čítať ako „päť kociek“ alebo môžete povedať „kocka s číslom 5“.

Je čas priniesť príklady stupňov s prirodzenými exponentmi. Začnime stupňom 5 7, tu je 5 základom stupňa a 7 je exponent. Uveďme ďalší príklad: 4,32 je základ a prirodzené číslo 9 je exponent (4,32) 9 .

Upozorňujeme, že v poslednom príklade je v zátvorke napísaný základ mocniny 4.32: aby sme sa vyhli nezrovnalostiam, dáme do zátvoriek všetky základy mocniny, ktoré sa líšia od prirodzených čísel. Ako príklad uvádzame nasledujúce stupne s prirodzenými exponentmi , ich základy nie sú prirodzené čísla, preto sa píšu v zátvorkách. Pre úplnú prehľadnosť si na tomto mieste ukážeme rozdiel obsiahnutý v záznamoch v tvare (−2) 3 a −2 3. Výraz (−2) 3 je mocnina −2 s prirodzeným exponentom 3 a výraz −2 3 (možno napísať ako −(2 3) ) zodpovedá číslu, hodnote mocniny 2 3 .

Všimnite si, že existuje zápis pre mocninu čísla a s exponentom n v tvare a^n. Navyše, ak n je viachodnotové prirodzené číslo, potom je exponent uvedený v zátvorkách. Napríklad 4^9 je ďalší zápis mocniny 4 9 . A tu je niekoľko ďalších príkladov zápisu stupňov pomocou symbolu „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . V nasledujúcom budeme primárne používať zápis stupňov tvaru a n .

Jedným z inverzných problémov k umocneniu s prirodzeným exponentom je problém nájsť základ mocniny zo známej hodnoty mocniny a známeho exponentu. Táto úloha vedie k .

Je známe, že množina racionálnych čísel pozostáva z celých čísel a zlomkov a každý zlomok môže byť reprezentovaný ako kladný alebo záporný obyčajný zlomok. V predchádzajúcom odseku sme definovali stupeň s celočíselným exponentom, preto, aby sme dokončili definíciu stupňa s racionálnym exponentom, musíme dať význam stupňu čísla a so zlomkovým exponentom m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Poďme na to.

Uvažujme stupeň so zlomkovým exponentom tvaru . Aby vlastnosť power-to-power zostala platná, musí platiť rovnosť . Ak vezmeme do úvahy výslednú rovnosť a to, ako sme určili , potom je logické ju akceptovať za predpokladu, že pre dané m, n a a dáva výraz zmysel.

Je jednoduché skontrolovať, či sú platné pre všetky vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom (toto bolo urobené v sekcii vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom).

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje urobiť nasledovné záver: ak je daný výraz m, n a a zmysluplný, potom mocnina a so zlomkovým exponentom m/n sa nazýva n-tá odmocnina z a k mocnine m.

Toto tvrdenie nás približuje k definícii stupňa so zlomkovým exponentom. Zostáva len popísať, pri čom m, n a a má výraz zmysel. V závislosti od obmedzení m, n a a existujú dva hlavné prístupy.

Najjednoduchším spôsobom je zaviesť obmedzenie na a tak, že pre kladné m vezmeme a≥0 a pre záporné m a>0 (keďže pre m≤0 stupeň 0 m nie je definovaný). Potom dostaneme nasledujúcu definíciu stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Mocnina kladného čísla a so zlomkovým exponentom m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo, sa nazýva n-tá odmocnina čísla a na mocninu m, teda .

Zlomková mocnina nuly sa tiež určuje s jedinou výhradou, že indikátor musí byť kladný.

Definícia.

Mocnina nuly so zlomkovým kladným exponentom m/n, kde m je kladné celé číslo a n je prirodzené číslo, je definovaný ako .
Keď stupeň nie je určený, to znamená, že stupeň čísla nula so zlomkovým záporným exponentom nedáva zmysel.

Je potrebné poznamenať, že s touto definíciou stupňa so zlomkovým exponentom existuje jedna výhrada: pre niektoré záporné a a niektoré m a n výraz dáva zmysel a tieto prípady sme zavrhli zavedením podmienky a≥0. Napríklad záznamy dávajú zmysel alebo , a definícia uvedená vyššie nás núti povedať, že mocniny so zlomkovým exponentom tvaru nedávajú zmysel, pretože základ by nemal byť záporný.

Ďalším prístupom k určovaniu stupňa s čiastkovým exponentom m/n je oddelené uvažovanie párnych a nepárnych exponentov odmocniny. Tento prístup si vyžaduje dodatočnú podmienku: za mocninu čísla a, ktorého exponent je , sa považuje mocnina čísla a, ktorého exponentom je príslušný neredukovateľný zlomok (dôležitosť tejto podmienky vysvetlíme nižšie ). To znamená, že ak m/n je neredukovateľný zlomok, potom pre akékoľvek prirodzené číslo k je stupeň najskôr nahradený .

Pre párne n a kladné m má výraz zmysel pre ľubovoľné nezáporné a (párna odmocnina zo záporného čísla nedáva zmysel); pre záporné m musí byť číslo a stále iné ako nula (inak dôjde k deleniu nulou). A pre nepárne n a kladné m môže byť číslo a ľubovoľné (koreň nepárneho stupňa je definovaný pre ľubovoľné reálne číslo) a pre záporné m musí byť číslo a iné ako nula (aby nedošlo k deleniu nula).

Vyššie uvedená úvaha nás vedie k tejto definícii stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Nech m/n je neredukovateľný zlomok, m celé číslo a n prirodzené číslo. Pre akýkoľvek redukovateľný zlomok je stupeň nahradený znakom . Mocnina čísla s neredukovateľným zlomkovým exponentom m/n je pre



Vysvetlime si, prečo je stupeň s redukovateľným zlomkovým exponentom najskôr nahradený stupňom s neredukovateľným exponentom. Ak by sme jednoducho definovali stupeň ako , a neurobili by sme výhradu k neredukovateľnosti zlomku m/n, potom by sme sa dostali do situácií podobných týmto: keďže 6/10 = 3/5, potom musí platiť rovnosť , Ale , A.

Od celočíselných exponentov čísla a sa naznačuje prechod k racionálnym exponentom. Nižšie zadefinujeme stupeň s racionálnym exponentom a urobíme to tak, aby boli zachované všetky vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom. Je to potrebné, pretože celé čísla sú súčasťou racionálnych čísel.

Je známe, že množina racionálnych čísel pozostáva z celých čísel a zlomkov a každý zlomok môže byť reprezentovaný ako kladný alebo záporný obyčajný zlomok. V predchádzajúcom odseku sme definovali stupeň s exponentom celého čísla, preto, aby sme dokončili definíciu stupňa s racionálnym exponentom, musíme dať význam stupňu čísla a s zlomkovým ukazovateľom m/n, Kde m je celé číslo a n- prirodzený. Poďme na to.

Uvažujme stupeň so zlomkovým exponentom tvaru . Aby vlastnosť power-to-power zostala platná, musí platiť rovnosť . Ak vezmeme do úvahy výslednú rovnosť a to, ako sme určili n-tu odmocninu stupňa, potom je logické akceptovať za predpokladu, že vzhľadom na danú m, n A a výraz dáva zmysel.

Je jednoduché skontrolovať, či sú platné pre všetky vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom (toto bolo urobené v sekcii vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom).

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje urobiť nasledovné záver: ak sú uvedené údaje m, n A a výraz dáva zmysel, potom sila čísla a s zlomkovým ukazovateľom m/n nazývaný koreň n tý stupeň a do istej miery m.

Toto tvrdenie nás približuje k definícii stupňa so zlomkovým exponentom. Ostáva už len popísať pri čom m, n A a výraz dáva zmysel. V závislosti od uložených obmedzení m, n A a Existujú dva hlavné prístupy.

1. Najjednoduchším spôsobom je zaviesť obmedzenie a, po prijatí a≥0 za pozitívne m A a>0 za negatívne m(odkedy m≤0 stupňa 0 m nie je určené). Potom dostaneme nasledujúcu definíciu stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Mocnina kladného čísla a s zlomkovým ukazovateľom m/n , Kde m- celé a n– prirodzené číslo, nazývané koreň n-té číslo a do istej miery m, teda .

Zlomková mocnina nuly sa tiež určuje s jedinou výhradou, že indikátor musí byť kladný.

Definícia.

Mocnina nuly so zlomkovým kladným exponentom m/n , Kde m je kladné celé číslo a n– prirodzené číslo, definované ako .
Keď stupeň nie je určený, to znamená, že stupeň čísla nula so zlomkovým záporným exponentom nedáva zmysel.

Je potrebné poznamenať, že s touto definíciou stupňa so zlomkovým exponentom existuje jedna výhrada: pre niektoré negatívne a a nejaké m A n výraz dáva zmysel, ale tieto prípady sme zavrhli zavedením podmienky a≥0. Napríklad záznamy dávajú zmysel alebo , a definícia uvedená vyššie nás núti povedať, že mocniny so zlomkovým exponentom tvaru nedávajú zmysel, pretože základ by nemal byť záporný.

2. Iný prístup k určeniu stupňa pomocou zlomkového exponentu m/n spočíva v oddelenom uvažovaní párnych a nepárnych exponentov odmocniny. Tento prístup si vyžaduje ďalšiu podmienku: silu čísla a, ktorého exponentom je redukovateľný obyčajný zlomok, sa považuje za mocninu čísla a, ktorého indikátorom je zodpovedajúci neredukovateľný zlomok (dôležitosť tejto podmienky bude vysvetlená nižšie). Teda ak m/n je neredukovateľný zlomok, potom pre akékoľvek prirodzené číslo k stupňa sa predbežne nahrádza .

Pre dokonca n a pozitívne m výraz má zmysel pre akýkoľvek nezápor a(párny koreň záporného čísla nemá význam), pre zápor mčíslo a sa musí stále líšiť od nuly (inak dôjde k deleniu nulou). A pre nepárny n a pozitívne mčíslo a môže byť ľubovoľný (pre akékoľvek reálne číslo je definovaný nepárny koreň) a pre záporný mčíslo a musí byť nenulové (aby nedošlo k deleniu nulou).

Vyššie uvedená úvaha nás vedie k tejto definícii stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Nechaj m/n- neredukovateľný podiel, m- celé a n- prirodzené číslo. Pre akýkoľvek redukovateľný zlomok je stupeň nahradený znakom . Stupeň a s neredukovateľným zlomkovým exponentom m/n- je pre

o akékoľvek reálne číslo a, cele pozitivne m a zvláštne prirodzené n, Napríklad, ;

o akékoľvek nenulové reálne číslo a, záporné celé číslo m a nepárne n, Napríklad, ;

o akékoľvek nezáporné číslo a, cele pozitivne m a dokonca n, Napríklad, ;

o akékoľvek pozitívne a, záporné celé číslo m a dokonca n, Napríklad, ;

o v ostatných prípadoch sa stupeň s zlomkovým ukazovateľom neurčuje, keďže napríklad stupne nie sú definované .a položke nepripisujeme žiadny význam, pre kladné zlomkové exponenty definujeme mocninu čísla nula m/n Ako , pre záporné zlomkové exponenty mocnosť čísla nula nie je určená.

Na záver tohto bodu upozorníme na skutočnosť, že zlomkový exponent možno zapísať ako desatinný zlomok alebo ako zmiešané číslo, napr. . Ak chcete vypočítať hodnoty výrazov tohto typu, musíte napísať exponent vo forme obyčajného zlomku a potom použiť definíciu exponentu so zlomkovým exponentom. Pre vyššie uvedené príklady máme A

Mocnina s racionálnym exponentom

Khasyanova T.G.,

učiteľ matematiky

Predložený materiál bude užitočný pre učiteľov matematiky pri štúdiu témy „Exponent s racionálnym exponentom“.

Účel prezentovaného materiálu: odhaliť moje skúsenosti s vedením lekcie na tému „Stupeň s racionálnym exponentom“ pracovného programu disciplíny „Matematika“.

Metodika vedenia lekcie zodpovedá jej typu - lekcia pri štúdiu a počiatočnom upevňovaní nových vedomostí. Základné vedomosti a zručnosti boli aktualizované na základe predtým získaných skúseností; primárne zapamätanie, konsolidácia a aplikácia nových informácií. Upevnenie a aplikácia nového materiálu prebiehala formou riešenia problémov, ktoré som testoval rôznej zložitosti, s pozitívnym výsledkom pri zvládnutí témy.

Na začiatku hodiny som žiakom stanovila tieto ciele: vzdelávacie, rozvojové, vzdelávacie. Počas hodiny som využíval rôzne spôsoby činnosti: frontálny, individuálny, párový, nezávislý, test. Úlohy boli diferencované a umožnili v každej fáze vyučovacej hodiny identifikovať stupeň nadobudnutia vedomostí. Objem a náročnosť úloh zodpovedá vekovým charakteristikám žiakov. Z mojich skúseností domáce úlohy, podobne ako problémy riešené na vyučovacích hodinách, umožňujú spoľahlivo upevniť nadobudnuté vedomosti a zručnosti. Na konci vyučovacej hodiny sa uskutočnila reflexia a zhodnotili sa práce jednotlivých žiakov.

Ciele boli dosiahnuté. Študenti študovali pojem a vlastnosti titulu s racionálnym exponentom a naučili sa tieto vlastnosti využívať pri riešení praktických problémov. Za samostatnú prácu sa známky vyhlasujú na nasledujúcej hodine.

Verím, že metodiku, ktorú používam pri vyučovaní matematiky, môžu učitelia matematiky využívať.

Téma hodiny: Mocnina s racionálnym exponentom

Účel lekcie:

Identifikovať úroveň zvládnutia komplexu vedomostí a zručností žiakmi a na jeho základe aplikovať určité riešenia na zlepšenie vzdelávacieho procesu.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: formovať u študentov nové poznatky o základných pojmoch, pravidlách, zákonitostiach pre určovanie stupňov s racionálnym ukazovateľom, schopnosť samostatne aplikovať poznatky v štandardných podmienkach, v modifikovaných a neštandardných podmienkach;

vyvíja: myslieť logicky a realizovať tvorivé schopnosti;

zvýšenie: rozvíjať záujem o matematiku, dopĺňať si slovnú zásobu novými výrazmi a získavať ďalšie informácie o svete okolo seba. Pestujte si trpezlivosť, vytrvalosť a schopnosť prekonávať ťažkosti.

Organizovanie času

Aktualizácia referenčných znalostí

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú, ale základ zostáva rovnaký:

Napríklad,

2. Pri delení stupňov s rovnakými základmi sa exponenty stupňov odčítajú, ale základ zostáva rovnaký:

Napríklad,

3. Pri zvýšení stupňa na mocninu sa exponenty násobia, ale základ zostáva rovnaký:

Napríklad,

4. Stupeň súčinu sa rovná súčinu stupňov faktorov:

Napríklad,

5. Stupeň podielu sa rovná podielu stupňov dividendy a deliteľa:

Napríklad,

Cvičenia s riešeniami

Nájdite význam výrazu:

Riešenie:

V tomto prípade nie je možné explicitne použiť žiadnu z vlastností stupňa s prirodzeným exponentom, pretože všetky stupne majú rôzne základy. Napíšme niektoré právomoci v inej forme:

(stupeň súčinu sa rovná súčinu stupňov faktorov);

(pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú, ale základ zostáva rovnaký; pri zvýšení stupňa na mocninu sa exponenty násobia, ale základ zostáva rovnaký).

Potom dostaneme:

V tomto príklade boli použité prvé štyri vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom.

Aritmetická druhá odmocnina
je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovnáa,
. O
- výraz
nie je definovaný, pretože neexistuje reálne číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná zápornému číslua.

Matematický diktát(8-10 min.)

Možnosť

II. Možnosť

1.Nájdite hodnotu výrazu

A)

b)

1.Nájdite hodnotu výrazu

A)

b)

2.Vypočítajte

A)

b)

IN)

2.Vypočítajte

A)

b)

V)

Osobný test(na klopovej tabuli):

Matica odozvy:

№ možnosť/úloha

Problém 1

Problém 2

možnosť 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Možnosť 2

a) 1.5

b)

A)

b)

o 4

II.Tvorba nových poznatkov

Uvažujme, aký význam má výraz, kde - kladné číslo– zlomkové číslo a m-celé číslo, n-prirodzené (n›1)

Definícia: mocnina a›0 s racionálnym exponentomr = , m- celé, n- prirodzené ( n›1) číslo sa volá.

Takže:

Napríklad:

Poznámky:

1. Pre každé kladné a a každé racionálne r číslo pozitívne.

2. Kedy
racionálna sila číslaaneurčené.

Výrazy ako
nedávajú zmysel.

3.Ak zlomkové kladné číslo je
.

Ak zlomkové záporné číslo teda -nedáva zmysel.

Napríklad: - nedáva zmysel.

Uvažujme o vlastnostiach stupňa s racionálnym exponentom.

Nech a >0, b>0; r, s - ľubovoľné racionálne čísla. Potom má stupeň s akýmkoľvek racionálnym exponentom nasledujúce vlastnosti:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidácia. Formovanie nových zručností a schopností.

Karty úloh fungujú v malých skupinách formou testu.

Po určení sily čísla je logické o tom hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti mocniny čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu poskytneme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňov a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti používajú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Na základe tejto definície a tiež pomocou vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

1. hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n, jej zovšeobecnenie;
2. vlastnosť kvocientových mocnín so zhodnými základmi a m:a n =a m−n ;
3. výkonová vlastnosť produktu (a·b) n =a n ·b n , jeho rozšírenie;
4. vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu (a:b) n =a n:b n ;
5. zvýšenie stupňa na mocninu (a m) n =a m·n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·…·n k;
6. porovnanie stupňa s nulou:
   • ak a>0, potom a n>0 pre ľubovoľné prirodzené číslo n;
   • ak a=0, potom an=0;
   • Ak<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ak a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ak a a b sú kladné čísla a a
8. ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pri 0 0 nerovnosť a m >a n je pravdivá.

Hneď si všimnime, že všetky písané rovnosti sú identické za stanovených podmienok je možné zameniť ich pravú a ľavú časť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m ·a n =a m+n s zjednodušujúce výrazyčasto používané v tvare a m+n =a m ·a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Definíciou mocniny s prirodzeným exponentom možno súčin mocniny s rovnakými základmi tvaru a m ·a n zapísať ako súčin. Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou čísla a s prirodzeným exponentom m+n, teda a m+n. Tým je dôkaz hotový.

Uveďme príklad potvrdzujúci hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, pomocou základnej vlastnosti stupňov môžeme zapísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Overme si jeho platnosť výpočtom hodnôt výrazov 2 2 · 2 3 a 2 5 . Vykonávame umocňovanie, máme 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 a 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 = 32, pretože sa získajú rovnaké hodnoty, potom je rovnosť 2 2 · 2 3 = 2 5 správna a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Základnú vlastnosť stupňa, založenú na vlastnostiach násobenia, možno zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1, n 2, …, n k platí nasledujúca rovnosť: a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 + n 2 +…+n k.

Napríklad, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Môžeme prejsť na ďalšiu vlastnosť mocniny s prirodzeným exponentom – vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

Pred predložením dôkazu tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou deliť nemôžeme. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. V skutočnosti pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo platí pre m−n ) alebo záporné číslo (čo platí pre m

Dôkaz. Hlavná vlastnosť zlomku nám umožňuje zapísať rovnosť a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z výslednej rovnosti a m−n ·a n =a m a vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a a n . To dokazuje vlastnosť kvocientových mocnín s identickými základmi.

Uveďme si príklad. Zoberme si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, rovnosť π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 zodpovedá uvažovanej vlastnosti stupňa.

Teraz uvažujme výkonová vlastnosť produktu: prirodzená mocnina n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu mocnín a n a b n , teda (a·b) n =a n ·b n .

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Na základe vlastností násobenia možno posledný súčin prepísať ako , čo sa rovná a n · b n .

Tu je príklad: .

Táto vlastnosť sa rozširuje na silu súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·...·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n.

Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov na mocninu 7 máme .

Nasledujúca vlastnosť je vlastnosť naturálneho kvocientu: podiel reálnych čísel a a b, b≠0 k prirodzenému mocninu n sa rovná podielu mocnín a n a b n, teda (a:b) n =a n:b n.

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) nb n = ((a:b) b) n = a n a z rovnosti (a:b) n ·b n =a n vyplýva, že (a:b) n je podiel a n delený b n .

Napíšme túto vlastnosť pomocou konkrétnych čísel ako príklad: .

Teraz to vyjadrime vlastnosť povýšiť moc na moc: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine čísla a s exponentom m·n, teda (a m) n =a m·n.

Napríklad (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

Dôkazom vlastnosti power-to-degree je nasledujúci reťazec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená zo stupňa na stupeň atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je rovnosť . Pre lepšiu prehľadnosť uvádzame príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

Začnime dôkazom vlastnosti porovnávania nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

Najprv dokážme, že a n >0 pre ľubovoľné a>0.

Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia naznačujú, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina čísla a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Vzhľadom na preukázanú vlastnosť 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 a .

Je celkom zrejmé, že pre akékoľvek prirodzené číslo n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0.

Prejdime k záporným základom stupňa.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2·m, kde m je prirodzené číslo. Potom . Pre každý zo súčinov tvaru a·a sa rovná súčinu modulov čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny a stupeň a 2·m. Uveďme príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .

Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Prejdime k vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými prirodzenými exponentmi, ktorá má nasledujúcu formuláciu: z dvoch mocnín s rovnakými prirodzenými exponentmi je n menšie ako tá, ktorej základ je menší a väčší je ten, ktorého základ je väčší. . Poďme to dokázať.

Nerovnosť a n vlastnosti nerovností pravdivá je aj dokázateľná nerovnosť tvaru a n (2.2) 7 a .

Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými kladnými základmi menšími ako jedna je tá, ktorej exponent je menší, väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia. Prejdime k dôkazu tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m>n a 0 0 kvôli počiatočnej podmienke m>n, čo znamená, že pri 0

Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 je výsledkom počiatočnej podmienky a pre a>1 je stupeň a m−n je väčšie ako jedna . V dôsledku toho a m −a n > 0 a a m > a n , čo bolo potrebné dokázať. Táto vlastnosť je znázornená nerovnosťou 3 7 > 3 2.

Vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi

Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi, vyjadrené rovnosťami, zostali v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia pre nulové aj záporné exponenty, pričom základ mocnin sa samozrejme líši od nuly.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné: vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi:

1. a m · a n = a m+n;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b)n=an·bn;
4. (a:b)n=an:bn;
5. (a m) n = a m. n;
6. ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a b-n;
7. ak m a n sú celé čísla a m>n , potom pri 0 1 platí nerovnosť a m >a n.

Keď a=0, mocniny a m a a n dávajú zmysel iba vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Dokázanie každej z týchto vlastností nie je ťažké, na to stačí použiť definície stupňov s prirodzenými a celočíselnými exponentmi, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že vlastnosť mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby ste to dosiahli, musíte ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) a (a −p) −q =a (−p)·(−q). Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcom odseku dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0, potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0·q =a 0 =1, odkiaľ (a 0) q =a 0·q. Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p·0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p·0. Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0,0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0,0.

Teraz dokážeme, že (a −p) q =a (−p)·q . Podľa definície mocniny so záporným exponentom celého čísla . Vlastnosťou podielov k mocninám, ktoré máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p·q), ktorú možno vzhľadom na pravidlá násobenia zapísať ako (−p)·q.

Podobne .

A .

Pomocou rovnakého princípu môžete dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej zo zaznamenaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n, ktorý platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré je splnená podmienka a . Keďže podľa podmienky a 0 Súčin a n · b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n −a n a a n ·b n . Preto a −n >b −n , čo bolo potrebné dokázať.

Posledná vlastnosť mocnín s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnako ako podobná vlastnosť mocnín s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň s zlomkovým exponentom sme definovali rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, mocniny so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako mocniny s celočíselnými exponentmi. menovite:

Dôkaz vlastností stupňov so zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa so zlomkovým exponentom a na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Poskytnime dôkazy.

Podľa definície mocniny so zlomkovým exponentom a , potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme , a ukazovateľ získaného stupňa možno transformovať takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje úplne podobným spôsobom:

Zostávajúce rovnosti sú dokázané pomocou podobných princípov:

Prejdime k dokazovaniu ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b, a b p . Napíšme racionálne číslo p ako m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p<0 и p>0 v tomto prípade podmienky m<0 и m>0 podľa toho. Pre m>0 a a

Podobne pre m<0 имеем a m >b m , odkiaľ, teda a p >b p.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q je p>q v 0 0 – nerovnosť a p >a q . Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, aj keď dostaneme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienka p>q zodpovedať podmienke m 1 >m 2, ktorá vyplýva z. Potom pomocou vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pri 0 1 – nerovnosť a m 1 >a m 2 . Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno podľa toho prepísať ako A . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam a podľa toho. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi

Zo spôsobu, akým je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre akékoľvek a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi:

1. ap·aq=ap+q;
2. a p:a q =a p-q;
3. (a.b)p=ap.bp;
4. (a:b)p=ap:bp;
5. (ap)q=ap-q;
6. pre všetky kladné čísla a a b, a 0 nerovnosť a p bp;
7. pre iracionálne čísla p a q platí p>q pri 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky pre 5. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).