Funkčné nuly
Nula funkcie je hodnota X, pri ktorej sa funkcia stane 0, teda f(x)=0.

Nuly sú priesečníky grafu funkcie s osou Oh.

Funkčná parita
Funkcia sa volá, aj keď pre akúkoľvek X z oblasti definície, rovnosť f(-x) = f(x)

Rovná funkcia je symetrická okolo osi OU

Neobyčajná funkcia
Funkcia sa nazýva nepárna, ak existuje X z oblasti definície je splnená rovnosť f(-x) = -f(x).

Nepárna funkcia je symetrická vzhľadom na pôvod.
Funkcia, ktorá nie je ani párna, ani nepárna, sa nazýva všeobecná funkcia.

Prírastok funkcie
Funkcia f(x) sa nazýva rastúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie, t.j. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funkcia klesania
Funkcia f(x) sa nazýva klesajúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie, t.j. x 2 > x 1 → f(x 2)
Zavolajú sa intervaly, v ktorých funkcia buď iba klesá, alebo iba rastie intervaly monotónnosti. Funkcia f(x) má 3 intervaly monotónnosti:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Nájdite intervaly monotónnosti pomocou služby Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií

Miestne maximum
Bodka x 0 sa nazýva miestny maximálny bod, ak existuje X z okolia bodu x 0 platí nasledujúca nerovnosť: f(x 0) > f(x)

Miestne minimum
Bodka x 0 sa nazýva miestny minimálny bod, ak existuje X z okolia bodu x 0 platí nasledujúca nerovnosť: f(x 0)< f(x).

Lokálne maximálne body a lokálne minimálne body sa nazývajú lokálne extrémne body.

x 1 , x 2 - lokálne extrémne body.

Periodicita funkcie
Funkcia f(x) sa nazýva periodická s bodkou T, ak k nejakému X f(x+T) = f(x) .

Intervaly stálosti
Intervaly, na ktorých je funkcia buď iba kladná alebo iba záporná, sa nazývajú intervaly konštantného znamienka.

f(x)>0 pre x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuita funkcie
Funkcia f(x) sa v bode x 0 nazýva spojitá, ak sa limita funkcie ako x → x 0 rovná hodnote funkcie v tomto bode, t.j. .

body zlomu
Body, v ktorých je podmienka spojitosti porušená, sa nazývajú body diskontinuity funkcie.

x0- bod zlomu.

Všeobecná schéma vykresľovania funkcií

1. Nájdite definičný obor funkcie D(y).
2. Nájdite priesečníky grafu funkcií so súradnicovými osami.
3. Preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne.
4. Preskúmajte periodicitu funkcie.
5. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémne body funkcie.
6. Nájdite intervaly konvexnosti a inflexné body funkcie.
7. Nájdite asymptoty funkcie.
8. Na základe výsledkov štúdie zostavte graf.

Príklad: Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf: y = x 3 - 3x
8) Na základe výsledkov štúdie zostrojíme graf funkcie:

V júli 2020 NASA spúšťa expedíciu na Mars. Kozmická loď doručí na Mars elektronický nosič s menami všetkých registrovaných členov expedície.

Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám len páčil, zdieľajte odkaz naň so svojimi priateľmi na sociálnych sieťach.

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Ďalší Silvester... mrazivé počasie a snehové vločky na okennej tabuli... Toto všetko ma podnietilo opäť napísať o... fraktáloch a o tom, čo o tom vie Wolfram Alpha. Pri tejto príležitosti je zaujímavý článok, v ktorom sú príklady dvojrozmerných fraktálových štruktúr. Tu zvážime zložitejšie príklady trojrozmerných fraktálov.

Fraktál možno vizuálne znázorniť (opísať) ako geometrický útvar alebo teleso (čo znamená, že oba sú súborom, v tomto prípade súborom bodov), ktorých detaily majú rovnaký tvar ako samotný pôvodný útvar. To znamená, že ide o samopodobnú štruktúru, ktorej detaily po zväčšení uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade pravidelného geometrického útvaru (nie fraktálu) pri priblížení uvidíme detaily, ktoré majú jednoduchší tvar ako samotný pôvodný útvar. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako priamka. To sa pri fraktáloch nedeje: pri akomkoľvek ich náraste opäť uvidíme rovnaký zložitý tvar, ktorý sa pri každom zvýšení bude znova a znova opakovať.

Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fractals and Art for Science napísal: "Fraktály sú geometrické tvary, ktoré sú rovnako zložité vo svojich detailoch ako vo svojej celkovej forme. To znamená, ak časť fraktálu bude zväčšiť na veľkosť celku, bude vyzerať ako celok, alebo presne, alebo možno s miernou deformáciou.

- (Math.) Funkcia y \u003d f (x) sa volá aj vtedy, ak sa nezmení, keď nezávislá premenná zmení iba znamienko, teda ak f (x) \u003d f (x). Ak f (x) = f (x), potom sa funkcia f (x) nazýva nepárna. Napríklad y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príklad párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcia, ktorá spĺňa rovnosť f (x) = f (x). Pozrite si párne a nepárne funkcie... Veľká sovietska encyklopédia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príklad párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príklad párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príklad párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príklad párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

Špeciálne funkcie zavedené francúzskym matematikom E. Mathieuom v roku 1868 pri riešení úloh o vibrácii eliptickej membrány. M. f. sa používajú aj pri štúdiu šírenia elektromagnetických vĺn v eliptickom valci ... Veľká sovietska encyklopédia

Požiadavka „hriech“ je presmerovaná sem; pozri aj iné významy. Požiadavka "sec" je presmerovaná sem; pozri aj iné významy. „Sine“ presmeruje tu; pozri aj iné významy ... Wikipedia

Párnosť a nepárnosť funkcie sú jednou z jej hlavných vlastností a párnosť zaberá pôsobivú časť školského kurzu matematiky. Do značnej miery určuje charakter správania funkcie a značne uľahčuje konštrukciu zodpovedajúceho grafu.

Definujme paritu funkcie. Všeobecne povedané, skúmaná funkcia sa berie do úvahy aj vtedy, ak pre opačné hodnoty nezávislej premennej (x) umiestnenej v jej doméne sú zodpovedajúce hodnoty y (funkcia) rovnaké.

Uveďme presnejšiu definíciu. Uvažujme nejakú funkciu f (x), ktorá je definovaná v oblasti D. Bude to aj vtedy, ak pre ľubovoľný bod x nachádzajúci sa v oblasti definície:

• -x (opačná bodka) tiež leží v danom rozsahu,

• f(-x) = f(x).

Z vyššie uvedenej definície vyplýva podmienka potrebná pre definičný obor takejto funkcie, a to symetria vzhľadom na bod O, ktorý je počiatkom súradníc, pretože ak je nejaký bod b obsiahnutý v definičnom obore funkcie párna funkcia, potom v tejto doméne leží aj príslušný bod - b. Z uvedeného teda vyplýva záver: párna funkcia má tvar, ktorý je symetrický vzhľadom na zvislú os (Oy).

Ako v praxi určiť paritu funkcie?

Nech je to dané pomocou vzorca h(x)=11^x+11^(-x). Podľa algoritmu, ktorý priamo vyplýva z definície, najprv študujeme jej doménu definície. Je zrejmé, že je definovaný pre všetky hodnoty argumentu, to znamená, že prvá podmienka je splnená.

Ďalším krokom je nahradiť argument (x) jeho opačnou hodnotou (-x).
Dostaneme:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Keďže sčítanie spĺňa komutatívny (posunovací) zákon, je zrejmé, že h(-x) = h(x) a daná funkčná závislosť je párna.

Skontrolujeme párnosť funkcie h(x)=11^x-11^(-x). Podľa rovnakého algoritmu dostaneme h(-x) = 11^(-x) -11^x. V dôsledku toho máme mínus
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Preto je h(x) nepárne.

Mimochodom, treba pripomenúť, že existujú funkcie, ktoré nemožno klasifikovať podľa týchto kritérií, nenazývajú sa ani párne, ani nepárne.

Dokonca aj funkcie majú množstvo zaujímavých vlastností:

• v dôsledku pridania podobných funkcií sa získa párna funkcia;
• ako výsledok odčítania takýchto funkcií sa získa párna;
• dokonca, aj dokonca;
• v dôsledku vynásobenia dvoch takýchto funkcií sa získa párna;
• v dôsledku násobenia nepárnych a párnych funkcií sa získa nepárna funkcia;
• v dôsledku rozdelenia nepárnych a párnych funkcií sa získa nepárna funkcia;
• derivácia takejto funkcie je nepárna;
• Ak odmocníme nepárnu funkciu, dostaneme párnu.

Paritu funkcie možno použiť pri riešení rovníc.

Na vyriešenie rovnice ako g(x) = 0, kde ľavá strana rovnice je párna funkcia, bude stačiť nájsť jej riešenie pre nezáporné hodnoty premennej. Získané korene rovnice musia byť kombinované s opačnými číslami. Jeden z nich podlieha overeniu.

To isté sa úspešne používa na riešenie neštandardných problémov s parametrom.

Existuje napríklad nejaká hodnota pre parameter a, vďaka ktorej by rovnica 2x^6-x^4-ax^2=1 mala tri korene?

Ak zoberieme do úvahy, že premenná vstupuje do rovnice v párnych mocninách, tak je jasné, že nahradenie x za -x nezmení danú rovnicu. Z toho vyplýva, že ak je určité číslo jeho koreňom, potom je jeho koreňom aj číslo opačné. Záver je zrejmý: korene rovnice, iné ako nula, sú zahrnuté v množine jej riešení v „pároch“.

Je jasné, že samotné číslo 0 nie je, to znamená, že počet koreňov takejto rovnice môže byť len párny a prirodzene pre žiadnu hodnotu parametra nemôže mať tri korene.

Ale počet koreňov rovnice 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 môže byť nepárny a pre akúkoľvek hodnotu parametra. V skutočnosti je ľahké skontrolovať, či množina koreňov danej rovnice obsahuje riešenia v „pároch“. Skontrolujeme, či 0 je koreň. Pri dosadení do rovnice dostaneme 2=2. Teda okrem „spárovanej“ 0 je aj koreň, ktorý dokazuje ich nepárny počet.

Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať dve nové vlastnosti.

Definícia 1.

Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa volá aj vtedy, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d f (x).

Definícia 2.

Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa nazýva nepárna, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x).

Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.

Riešenie. Máme: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4 . Pre ľubovoľné x teda platí rovnosť f (-x) = f (x), t.j. funkcia je párna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sú párne.

Dokážte, že y = x 3 je nepárna funkcia.

Riešenie. Máme: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3 . Preto pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x), t.j. funkcia je nepárna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne.

Vy aj ja sme sa viackrát presvedčili, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejakým spôsobom vysvetliť. To platí pre párne aj nepárne funkcie. Pozri: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti pre akúkoľvek funkciu tvaru y \u003d x "(nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y \u003d x “ je nepárne; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.

Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y \u003d 2x + 3. Skutočne, f (1) \u003d 5 a f (-1) \u003d 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f (-x ) \u003d f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).

Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.

Štúdium otázky, či je daná funkcia párna alebo nepárna, sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.

Definície 1 a 2 sa zaoberajú hodnotami funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo )