Integrarea nu este greu de învățat. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înveți un anumit set, destul de mic de reguli și să dezvolți un fel de instinct. Este, desigur, ușor de învățat regulile și formulele, dar este destul de greu de înțeles unde și când să aplici cutare sau cutare regulă de integrare sau diferențiere. Aceasta este, de fapt, capacitatea de integrare.

1. Antiderivat. Integrală nedefinită.

Se presupune că, în momentul citirii acestui articol, cititorul are deja unele abilități de diferențiere (adică, găsirea derivatelor).

Definiția 1.1: O funcție se numește antiderivată a unei funcții dacă egalitatea este valabilă:

Comentarii:> Accentul din cuvântul „primordial” poate fi pus în două moduri: în primul rând O figurativ sau prototip Aștiind.

Proprietatea 1: Dacă o funcție este o antiderivată a unei funcții, atunci funcția este și o antiderivată a unei funcții.

Dovada: Să demonstrăm acest lucru din definiția unui antiderivat. Să găsim derivata funcției:

Primul termen în definiție 1.1 este egal cu , iar al doilea termen este derivata constantei, care este egală cu 0.

.

Rezuma. Să notăm începutul și sfârșitul lanțului de egalități:

Astfel, derivata unei funcții este egală cu , și de aceea, prin definiție, este antiderivată. Proprietatea a fost dovedită.

Definiția 1.2: Integrala nedefinită a unei funcții este întregul set de antiderivate ale acestei funcții. Aceasta este indicată după cum urmează:

.

Să ne uităm la numele fiecărei părți a înregistrării în detaliu:

— denumirea generală a integralei;

— expresie integrand (integrală), funcție integrabilă.

este o diferenţială, iar expresia de după litera , în acest caz este , se va numi variabila de integrare.

Comentarii: Cuvintele cheie din această definiție sunt „întregul set”. Acestea. Dacă în viitor acest „plus C” nu este notat în răspuns, atunci examinatorul are tot dreptul să nu numere această sarcină, deoarece este necesar să se găsească întregul set de antiderivate, iar dacă C lipsește, atunci se găsește doar unul.

Concluzie: Pentru a verifica dacă integrala este calculată corect, este necesar să găsim derivata rezultatului. Trebuie să coincidă cu integrantul.
Exemplu:
Exercițiu: Calculați integrala nedefinită și verificați.

Soluţie:

Modul în care se calculează această integrală nu contează în acest caz. Să presupunem că aceasta este o revelație de sus. Sarcina noastră este să arătăm că revelația nu ne-a înșelat, iar acest lucru se poate face prin verificare.

Examinare:

La diferențierea rezultatului am obținut un integrand, ceea ce înseamnă că integrala a fost calculată corect.

2. Început. Tabelul integralelor.

Pentru a integra, nu trebuie să vă amintiți de fiecare dată funcția a cărei derivată este egală cu integrandul dat (adică, utilizați direct definiția integralei). Fiecare colecție de probleme sau manual de analiză matematică conține o listă de proprietăți ale integralelor și un tabel cu cele mai simple integrale.

Să enumeram proprietățile.

Proprietăți:
1.
Integrala diferenţialului este egală cu variabila de integrare.
2. , unde este o constantă.
Multiplicatorul constant poate fi scos din semnul integral.

3.
Integrala unei sume este egală cu suma integralelor (dacă numărul de termeni este finit).
Tabelul integralelor:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Cel mai adesea, sarcina este de a reduce integrala studiată la una tabelară folosind proprietăți și formule.

Exemplu:

[Să folosim a treia proprietate a integralelor și să o scriem ca sumă a trei integrale.]

[Să folosim a doua proprietate și să mutam constantele dincolo de semnul de integrare.]

[ În prima integrală vom folosi integrala de tabel nr. 1 (n=2), în a doua vom folosi aceeași formulă, dar n=1, iar pentru a treia integrală putem fie folosi aceeași integrală de tabel, dar cu n=0, sau prima proprietate.]
.
Să verificăm prin diferențiere:

Integrandul original a fost obținut, prin urmare, integrarea a fost efectuată fără erori (și nici măcar nu a fost uitată adăugarea unei constante arbitrare C).

Integralele tabelului trebuie învățate pe de rost dintr-un motiv simplu - pentru a ști pentru ce să lupți, de exemplu. cunoaşte scopul transformării unei expresii date.

Iată încă câteva exemple:
1)
2)
3)

Sarcini pentru soluție independentă:

Exercitiul 1. Calculați integrala nedefinită:

+ Afișați/ascundeți indiciu #1.

1) Folosiți a treia proprietate și reprezentați această integrală ca sumă a trei integrale.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 2.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 3.

3) Pentru primii doi termeni, utilizați prima integrală tabelară, iar pentru a treia, utilizați a doua integrală tabelară.

+ Afișați/ascundeți soluția și răspunsul.

4) Soluție:

Răspuns:

În materialul anterior, a fost luată în considerare problema găsirii derivatei și au fost prezentate diferitele aplicații ale acesteia: calcularea pantei unei tangente la un grafic, rezolvarea problemelor de optimizare, studierea funcțiilor pentru monotonitate și extreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Poza 1.

S-a luat în considerare și problema găsirii vitezei instantanee $v(t)$ folosind derivata de-a lungul unui drum cunoscut anterior, exprimată prin funcția $s(t)$.

Figura 2.

Problema inversă este de asemenea foarte comună, atunci când trebuie să găsiți calea $s(t)$ parcursă de un punct în timp $t$, cunoscând viteza punctului $v(t)$. Dacă ne amintim, viteza instantanee $v(t)$ se găsește ca derivată a funcției de cale $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema inversă, adică pentru a calcula calea, trebuie să găsiți o funcție a cărei derivată va fi egală cu funcția viteză. Dar știm că derivata traseului este viteza, adică: $s’(t) = v(t)$. Viteza este egală cu accelerația în timp: $v=at$. Este ușor de determinat că funcția de cale dorită va avea forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Dar aceasta nu este o soluție completă. Soluția completă va avea forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, unde $C$ este o constantă. De ce este așa, vom discuta în continuare. Deocamdată, să verificăm corectitudinea soluției găsite: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Este de remarcat faptul că găsirea unei căi bazate pe viteză este semnificația fizică a unui antiderivat.

Funcția rezultată $s(t)$ se numește antiderivată a funcției $v(t)$. Un nume destul de interesant și neobișnuit, nu-i așa. Conține o semnificație grozavă care explică esența acestui concept și duce la înțelegerea lui. Veți observa că conține două cuvinte „primul” și „imagine”. Ei vorbesc de la sine. Adică aceasta este funcția care este cea inițială pentru derivata pe care o avem. Și folosind această derivată căutăm funcția care a fost la început, a fost „prima”, „prima imagine”, adică antiderivată. Uneori este numită și funcție primitivă sau antiderivată.

După cum știm deja, procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. Iar procesul de găsire a antiderivatei se numește integrare. Operația de integrare este inversa operației de diferențiere. Este adevărat și invers.

Definiție. O antiderivată pentru o funcție $f(x)$ pe un anumit interval este o funcție $F(x)$ a cărei derivată este egală cu această funcție $f(x)$ pentru toți $x$ din intervalul specificat: $F' (x)=f (x)$.

Cineva poate avea o întrebare: de unde au venit $F(x)$ și $f(x)$ în definiție, dacă inițial am vorbit despre $s(t)$ și $v(t)$. Cert este că $s(t)$ și $v(t)$ sunt cazuri speciale de desemnare a funcției care au o semnificație specifică în acest caz, adică sunt o funcție de timp și, respectiv, o funcție de viteză. La fel este și cu variabila $t$ - denotă timpul. Și $f$ și $x$ sunt varianta tradițională a denumirii generale a unei funcții și, respectiv, a unei variabile. Merită să acordați o atenție deosebită notării antiderivatei $F(x)$. În primul rând, $F$ este capital. Antiderivatele sunt indicate cu majuscule. În al doilea rând, literele sunt aceleași: $F$ și $f$. Adica pentru functia $g(x)$ antiderivata va fi notata cu $G(x)$, pentru $z(x)$ – cu $Z(x)$. Indiferent de notație, regulile pentru găsirea unei funcții antiderivate sunt întotdeauna aceleași.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1. Demonstrați că funcția $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ este o antiderivată a funcției $f(x)=\cos5x$.

Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi definiția, sau mai degrabă faptul că $F'(x)=f(x)$, și vom găsi derivata funcției $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Aceasta înseamnă că $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ este antiderivată a lui $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Exemplul 2. Aflați care funcții corespund următoarelor antiderivate: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Pentru a găsi funcțiile necesare, să calculăm derivatele lor:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Exemplul 3. Care va fi antiderivată pentru $f(x)=0$?
Să folosim definiția. Să ne gândim ce funcție poate avea o derivată egală cu $0$. Reamintind tabelul derivatelor, aflăm că orice constantă va avea o astfel de derivată. Constatăm că antiderivată pe care o căutăm este: $F(x)= C$.

Soluția rezultată poate fi explicată geometric și fizic. Geometric, înseamnă că tangenta la graficul $y=F(x)$ este orizontală în fiecare punct al acestui grafic și, prin urmare, coincide cu axa $Ox$. Fizic se explică prin faptul că un punct cu o viteză egală cu zero rămâne pe loc, adică drumul pe care l-a parcurs rămâne neschimbat. Pe baza acestui fapt, putem formula următoarea teoremă.

Teorema. (Semn de constanță a funcțiilor). Dacă pe un interval $F’(x) = 0$, atunci funcția $F(x)$ pe acest interval este constantă.

Exemplul 4. Determinați care funcții sunt antiderivate ale a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, unde $a$ este un număr.
Folosind definiția unei antiderivate, ajungem la concluzia că pentru a rezolva această problemă trebuie să calculăm derivatele funcțiilor antiderivate care ne sunt date. Când calculați, amintiți-vă că derivata unei constante, adică a oricărui număr, este egală cu zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Ce vedem? Mai multe funcții diferite sunt primitive ale aceleiași funcții. Acest lucru sugerează că orice funcție are infinit de antiderivate și au forma $F(x) + C$, unde $C$ este o constantă arbitrară. Adică operația de integrare este multivalorică, spre deosebire de operația de diferențiere. Pe baza acesteia, să formulăm o teoremă care descrie proprietatea principală a antiderivatelor.

Teorema. (Principala proprietate a antiderivatelor). Fie funcțiile $F_1$ și $F_2$ să fie antiderivate ale funcției $f(x)$ pe un anumit interval. Atunci pentru toate valorile din acest interval este adevărată următoarea egalitate: $F_2=F_1+C$, unde $C$ este o constantă.

Faptul prezenței unui număr infinit de antiderivate poate fi interpretat geometric. Folosind translația paralelă de-a lungul axei $Oy$, se pot obține unul de la celălalt graficele oricăror două antiderivate pentru $f(x)$. Acesta este sensul geometric al antiderivatei.

Este foarte important să acordați atenție faptului că prin alegerea constantei $C$ vă puteți asigura că graficul antiderivatei trece printr-un anumit punct.

Figura 3.

Exemplul 5. Găsiți antiderivată pentru funcția $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, al cărei grafic trece prin punctul $(3; 1)$.
Să găsim mai întâi toate antiderivatele pentru $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
În continuare, vom găsi un număr C pentru care graficul $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ va trece prin punctul $(3; 1)$. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele punctului în ecuația grafică și o rezolvăm pentru $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Am obținut un grafic $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, care corespunde antiderivatei $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabel cu antiderivate

Un tabel de formule pentru găsirea antiderivate poate fi compilat folosind formule pentru găsirea derivatelor.

Tabel cu antiderivate

Funcții	Antiderivate
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\în R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Puteți verifica corectitudinea tabelului în felul următor: pentru fiecare set de antiderivate situat în coloana din dreapta, găsiți derivata, care va avea ca rezultat funcțiile corespunzătoare în coloana din stânga.

Câteva reguli pentru găsirea antiderivatelor

După cum se știe, multe funcții au o formă mai complexă decât cele indicate în tabelul de antiderivate și pot fi orice combinație arbitrară de sume și produse ale funcțiilor din acest tabel. Și aici apare întrebarea: cum se calculează antiderivatele unor astfel de funcții. De exemplu, din tabel știm cum să calculăm antiderivatele $x^3$, $\sin x$ și $10$. Cum, de exemplu, se poate calcula antiderivata $x^3-10\sin x$? Privind în viitor, este de remarcat faptul că va fi egal cu $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Dacă $F(x)$ este antiderivată pentru $f(x)$, $G(x)$ pentru $g(x)$, atunci pentru $f(x)+g(x)$ antiderivată va fi egal cu $ F(x)+G(x)$.
2. Dacă $F(x)$ este o antiderivată pentru $f(x)$ și $a$ este o constantă, atunci pentru $af(x)$ antiderivată este $aF(x)$.
3. Dacă pentru $f(x)$ antiderivată este $F(x)$, $a$ și $b$ sunt constante, atunci $\frac(1)(a) F(ax+b)$ este antiderivată pentru $f (ax+b)$.
Folosind regulile obținute putem extinde tabelul de antiderivate.

Funcții	Antiderivate
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Exemplul 5. Găsiți antiderivate pentru:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Antiderivat

Definiția unei funcții antiderivative

• Funcţie y=F(x) se numește antiderivată a funcției y=f(x) la un interval dat X, dacă pentru toată lumea X ∈X egalitatea este valabilă: F′(x) = f(x)

Poate fi citit în două moduri:

1. f derivata unei functii F
2. F antiderivată a unei funcții f

Proprietatea antiderivatelor

• Dacă F(x)- antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, atunci funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.

Interpretare geometrică

• Grafice ale tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) sunt obținute din graficul oricărei antiderivate prin translații paralele de-a lungul axei O la.

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Antiderivată a sumei este egală cu suma antiderivatelor. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), iar G(x) este o antiderivată pentru g(x), Acea F(x) + G(x)- antiderivat pentru f(x) + g(x).
2. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k- constantă, atunci k·F(x)- antiderivat pentru k f(x).
3. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k, b- constantă și k ≠ 0, Acea 1/k F(kx + b)- antiderivat pentru f(kx + b).

Tine minte!

Orice funcție F(x) = x 2 + C , unde C este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată pentru funcție f(x) = 2x.

• De exemplu:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relația dintre graficele unei funcții și antiderivată:

1. Dacă graficul unei funcţii f(x)>0 F(x) crește în acest interval.
2. Dacă graficul unei funcţii f(x)<0 pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) scade în acest interval.
3. Dacă f(x)=0, apoi graficul antiderivatei sale F(x)în acest moment se schimbă de la crescător la descrescător (sau invers).

Pentru a desemna antiderivată se folosește semnul integralei nedefinite, adică integrala fără a indica limitele integrării.

Integrală nedefinită

Definiție:

• Integrala nedefinită a funcției f(x) este expresia F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x). Integrala nedefinită se notează astfel: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- numita functie integrand;
• f(x)dx- numit integrand;
• X- numită variabila de integrare;
• F(x)- una dintre antiderivatele funcţiei f(x);
• CU- constantă arbitrară.

Proprietățile integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Dacă k, b sunt constante și k ≠ 0, atunci \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

Funcţie f(x)	Antiderivat F(x) + C	Integrale nedefinite \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nu =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

formula Newton-Leibniz

Lăsa f(x) această funcție F antiderivatul său arbitrar.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Unde F(x)- antiderivat pentru f(x)

Adică integrala funcției f(x) pe un interval este egală cu diferența de antiderivate la puncte bȘi A.

Aria unui trapez curbat

Trapez curbiliniu este o cifră mărginită de graficul unei funcții care este nenegativă și continuă pe un interval f, Axa boului și linii drepte x = aȘi x = b.

Aria unui trapez curbat se găsește folosind formula Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Această lecție este prima dintr-o serie de videoclipuri despre integrare. În ea vom analiza ce este o antiderivată a unei funcții și, de asemenea, vom studia metodele elementare de calcul a acestor antiderivate.

De fapt, nu este nimic complicat aici: în esență totul se reduce la conceptul de derivat, cu care ar trebui să fii deja familiarizat. :)

Voi observa imediat că, deoarece aceasta este prima lecție din noul nostru subiect, astăzi nu vor exista calcule și formule complexe, dar ceea ce vom învăța astăzi va constitui baza pentru calcule și construcții mult mai complexe atunci când calculăm integrale și zone complexe. .

În plus, atunci când începem să studiem integrarea și integralele în special, presupunem implicit că studentul este deja cel puțin familiarizat cu conceptele de derivate și are cel puțin abilități de bază în calcularea acestora. Fără o înțelegere clară a acestui lucru, nu există absolut nimic de făcut în integrare.

Cu toate acestea, aici se află una dintre cele mai frecvente și insidioase probleme. Cert este că, atunci când încep să calculeze primele lor antiderivate, mulți studenți le confundă cu derivate. Drept urmare, în timpul examenelor și a muncii independente sunt făcute greșeli stupide și ofensatoare.

Prin urmare, acum nu voi da o definiție clară a unui antiderivat. În schimb, vă sugerez să vedeți cum se calculează folosind un exemplu concret simplu.

Ce este un antiderivat și cum se calculează?

Cunoaștem această formulă:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Această derivată se calculează simplu:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Să ne uităm cu atenție la expresia rezultată și să exprimăm $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Dar îl putem scrie astfel, conform definiției unei derivate:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Și acum atenție: ceea ce tocmai am notat este definiția unui antiderivat. Dar pentru a o scrie corect, trebuie să scrieți următoarele:

Să scriem următoarea expresie în același mod:

Dacă generalizăm această regulă, putem deriva următoarea formulă:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum putem formula o definiție clară.

O antiderivată a unei funcții este o funcție a cărei derivată este egală cu funcția inițială.

Întrebări despre funcția antiderivată

Ar părea o definiție destul de simplă și de înțeles. Cu toate acestea, după ce o aude, elevul atent va avea imediat câteva întrebări:

1. Să spunem, bine, această formulă este corectă. Totuși, în acest caz, cu $n=1$, avem probleme: „zero” apare la numitor și nu putem împărți la „zero”.
2. Formula este limitată doar la grade. Cum se calculează antiderivată, de exemplu, a sinusului, cosinusului și a oricărei alte trigonometrie, precum și a constantelor.
3. Întrebare existențială: este întotdeauna posibil să găsești un antiderivat? Dacă da, atunci cum rămâne cu antiderivatul sumei, diferenței, produsului etc.?

Voi răspunde imediat la ultima întrebare. Din păcate, antiderivatul, spre deosebire de derivat, nu este întotdeauna luat în considerare. Nu există o formulă universală prin care din orice construcție inițială să obținem o funcție care să fie egală cu această construcție similară. În ceea ce privește puterile și constantele, vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor cu funcțiile de putere

\[((x)^(-1))\la \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

După cum puteți vedea, această formulă pentru $((x)^(-1))$ nu funcționează. Apare întrebarea: ce funcționează atunci? Nu putem număra $((x)^(-1))$? Bineînțeles că putem. Să ne amintim mai întâi de asta:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Acum să ne gândim: a cărei funcție derivată este egală cu $\frac(1)(x)$. Evident, orice student care a studiat măcar puțin acest subiect își va aminti că această expresie este egală cu derivata logaritmului natural:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Prin urmare, putem scrie cu încredere următoarele:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\la \ln x\]

Trebuie să cunoașteți această formulă, la fel ca derivata unei funcții de putere.

Deci, ceea ce știm până acum:

• Pentru o funcție de putere - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Pentru o constantă - $=const\to \cdot x$
• Un caz special al unei funcții de putere este $\frac(1)(x)\to \ln x$

Și dacă începem să înmulțim și să împărțim cele mai simple funcții, atunci cum putem calcula antiderivată a unui produs sau coeficient. Din păcate, analogiile cu derivatul unui produs sau coeficient nu funcționează aici. Nu există o formulă standard. Pentru unele cazuri, există formule speciale complicate - ne vom familiariza cu ele în lecțiile video viitoare.

Cu toate acestea, rețineți: nu există o formulă generală similară cu formula de calcul a derivatei unui coeficient și a unui produs.

Rezolvarea problemelor reale

Sarcina nr. 1

Să calculăm fiecare dintre funcțiile de putere separat:

\[((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)\]

Revenind la expresia noastră, scriem construcția generală:

Problema nr. 2

După cum am spus deja, prototipurile de lucrări și detaliile „la obiect” nu sunt luate în considerare. Totuși, aici puteți face următoarele:

Am împărțit fracția în suma a două fracții.

Hai să facem calculul:

Vestea bună este că, cunoscând formulele de calcul al antiderivatelor, puteți calcula deja structuri mai complexe. Cu toate acestea, să mergem mai departe și să ne extindem puțin mai mult cunoștințele. Cert este că multe construcții și expresii, care, la prima vedere, nu au nicio legătură cu $((x)^(n))$, pot fi reprezentate ca o putere cu exponent rațional și anume:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Toate aceste tehnici pot și ar trebui să fie combinate. Expresiile de putere pot fi

• înmulțire (se adună grade);
• împărțire (se scad grade);
• înmulțiți cu o constantă;
• etc.

Rezolvarea expresiilor de putere cu exponent rațional

Exemplul #1

Să calculăm fiecare rădăcină separat:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\la \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\la \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

În total, întreaga noastră construcție poate fi scrisă astfel:

Exemplul nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac() 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Prin urmare obținem:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\la \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

În total, adunând totul într-o singură expresie, putem scrie:

Exemplul nr. 3

Pentru început, observăm că am calculat deja $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\la \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\la \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Să rescriem:

Sper să nu surprind pe nimeni dacă spun că ceea ce tocmai am studiat sunt doar cele mai simple calcule de antiderivate, cele mai elementare construcții. Să ne uităm acum la exemple ceva mai complexe, în care, pe lângă antiderivatele tabelare, va trebui să vă amintiți și programa școlară, și anume, formulele de înmulțire prescurtate.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina nr. 1

Să ne amintim formula pentru diferența pătratului:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Să rescriem funcția noastră:

Acum trebuie să găsim prototipul unei astfel de funcții:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\la \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\la \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Să punem totul împreună într-un design comun:

Problema nr. 2

În acest caz, trebuie să extindem cubul diferențelor. Să ne amintim:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ținând cont de acest fapt, îl putem scrie astfel:

Să ne transformăm puțin funcția:

Numărăm ca întotdeauna - pentru fiecare termen separat:

\[((x)^(-3))\la \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\la \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\la \ln x\]

Să scriem construcția rezultată:

Problema nr. 3

În partea de sus avem pătratul sumei, să-l extindem:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x))\right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\la \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Să scriem soluția finală:

Acum atentie! Un lucru foarte important, care este asociat cu cea mai mare parte de greșeli și neînțelegeri. Cert este că până acum, numărând antiderivate folosind derivate și aducând transformări, nu ne-am gândit cu ce este egală derivata unei constante. Dar derivata unei constante este egală cu „zero”. Aceasta înseamnă că puteți scrie următoarele opțiuni:

1. $((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Acest lucru este foarte important de înțeles: dacă derivata unei funcții este întotdeauna aceeași, atunci aceeași funcție are un număr infinit de antiderivate. Putem adăuga pur și simplu orice numere constante la antiderivatele noastre și obținem altele noi.

Nu întâmplător, în explicația problemelor pe care tocmai le-am rezolvat, era scris „Scrieți forma generală a antiderivatelor”. Acestea. Deja se presupune dinainte că nu există unul dintre ei, ci o întreagă multitudine. Dar, de fapt, ele diferă doar prin constanta $C$ la sfârșit. Prin urmare, în sarcinile noastre vom corecta ceea ce nu am finalizat.

Încă o dată ne rescriem construcțiile:

În astfel de cazuri, ar trebui să adăugați că $C$ este o constantă - $C=const$.

În cea de-a doua funcție, obținem următoarea construcție:

Și ultimul:

Și acum am obținut cu adevărat ceea ce ni s-a cerut în starea inițială a problemei.

Rezolvarea problemelor de găsire a antiderivatelor cu un punct dat

Acum că știm despre constante și despre particularitățile scrierii antiderivatelor, este destul de logic că următorul tip de problemă apare atunci când, din mulțimea tuturor antiderivatelor, se cere să se găsească singurul și singurul care ar trece printr-un punct dat. . Care este sarcina asta?

Faptul este că toate antiderivatele unei anumite funcții diferă doar prin aceea că sunt deplasate vertical cu un anumit număr. Și asta înseamnă că indiferent de punctul de pe planul de coordonate pe care îl luăm, o singură antiderivată va trece cu siguranță și, în plus, doar una.

Deci, problemele pe care le vom rezolva acum sunt formulate astfel: nu doar găsiți antiderivată, cunoscând formula funcției inițiale, ci alegeți exact pe cea care trece prin punctul dat, ale cărui coordonate vor fi date în problemă. afirmație.

Exemplul #1

Mai întâi, să numărăm pur și simplu fiecare termen:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\la \frac(((x)^(4)))(4)\]

Acum înlocuim aceste expresii în construcția noastră:

Această funcție trebuie să treacă prin punctul $M\left(-1;4 \right)$. Ce înseamnă că trece printr-un punct? Aceasta înseamnă că dacă în loc de $x$ punem $-1$ peste tot și în loc de $F\left(x \right)$ - $-4$, atunci ar trebui să obținem egalitatea numerică corectă. Să o facem:

Vedem că avem o ecuație pentru $C$, așa că hai să încercăm să o rezolvăm:

Să scriem tocmai soluția pe care o căutam:

Exemplul nr. 2

În primul rând, este necesar să se dezvăluie pătratul diferenței folosind formula de înmulțire abreviată:

\[((x)^(2))\la \frac(((x)^(3)))(3)\]

Construcția originală va fi scrisă după cum urmează:

Acum să găsim $C$: înlocuiți coordonatele punctului $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Exprimăm $C$:

Rămâne de afișat expresia finală:

Rezolvarea problemelor trigonometrice

Ca o atingere finală a ceea ce tocmai am discutat, îmi propun să luăm în considerare două probleme mai complexe care implică trigonometrie. În ele, în același mod, va trebui să găsiți antiderivate pentru toate funcțiile, apoi selectați din acest set singurul care trece prin punctul $M$ din planul de coordonate.

Privind în viitor, aș dori să observ că tehnica pe care o vom folosi acum pentru a găsi antiderivate ale funcțiilor trigonometrice este, de fapt, o tehnică universală de autotestare.

Sarcina nr. 1

Să ne amintim următoarea formulă:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Pe baza acestui fapt, putem scrie:

Să substituim coordonatele punctului $M$ în expresia noastră:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Să rescriem expresia ținând cont de acest fapt:

Problema nr. 2

Acest lucru va fi puțin mai dificil. Acum vei vedea de ce.

Să ne amintim această formulă:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Pentru a scăpa de „minus”, trebuie să faceți următoarele:

\[((\left(-\text(ctg)x \right)))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Iată designul nostru

Să înlocuim coordonatele punctului $M$:

În total, notăm construcția finală:

Despre asta voiam să vă spun astăzi. Am studiat chiar termenul de antiderivate, cum să le calculăm din funcții elementare și, de asemenea, cum să găsim o antiderivată care trece printr-un anumit punct de pe planul de coordonate.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți măcar puțin acest subiect complex. În orice caz, pe antiderivate se construiesc integralele nedefinite și nedefinite, deci este absolut necesar să le calculăm. Asta e tot pentru mine. Ne mai vedem!

Integrarea este una dintre operațiile principale în analiza matematică. Tabelele cu antiderivate cunoscute pot fi utile, dar acum, după apariția sistemelor de algebră computerizată, își pierd semnificația. Mai jos este o listă cu cele mai comune primitive.

Tabelul integralelor de bază

O altă opțiune, compactă

Tabelul integralelor funcțiilor trigonometrice

Din funcții raționale

Din funcții iraționale

Integrale ale funcțiilor transcendentale

„C” este o constantă de integrare arbitrară, care este determinată dacă valoarea integralei în orice punct este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Majoritatea elevilor și elevilor au probleme în calcularea integralelor. Aceasta pagina contine tabele integrale din funcții trigonometrice, raționale, iraționale și transcendentale care vor ajuta la rezolvare. Un tabel cu derivate vă va ajuta și el.

Video - cum să găsiți integralele

Dacă nu înțelegi prea bine acest subiect, urmărește videoclipul, care explică totul în detaliu.