În această lecție ne vom uita la cum să folosim determinantul pentru a crea ecuația plană. Dacă nu știți ce este un determinant, mergeți la prima parte a lecției - „Matrici și determinanți”. Altfel, riști să nu înțelegi nimic din materialul de astăzi.

Ecuația unui plan folosind trei puncte

De ce avem nevoie de o ecuație plană? Este simplu: știind asta, putem calcula cu ușurință unghiuri, distanțe și alte prostii în problema C2. În general, nu te poți descurca fără această ecuație. Prin urmare, formulăm problema:

Sarcină. În spațiu sunt date trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Coordonatele lor:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Trebuie să creați o ecuație pentru avionul care trece prin aceste trei puncte. În plus, ecuația ar trebui să arate astfel:

Ax + By + Cz + D = 0

unde numerele A, B, C și D sunt coeficienții care, de fapt, trebuie găsiți.

Ei bine, cum să obțineți ecuația unui plan dacă sunt cunoscute doar coordonatele punctelor? Cel mai simplu mod este să înlocuiți coordonatele în ecuația Ax + By + Cz + D = 0. Obțineți un sistem de trei ecuații care pot fi rezolvate cu ușurință.

Mulți studenți consideră această soluție extrem de obositoare și nesigură. Examenul de stat unificat de matematică de anul trecut a arătat că probabilitatea de a face o eroare de calcul este foarte mare.

Prin urmare, cei mai avansați profesori au început să caute soluții mai simple și mai elegante. Și l-au găsit! Adevărat, tehnica obținută se referă mai degrabă la matematica superioară. Personal, a trebuit să răsfoiesc întreaga Listă Federală de Manuale pentru a mă asigura că avem dreptul de a folosi această tehnică fără nicio justificare sau dovezi.

Ecuația unui plan printr-un determinant

Destul de versuri, să trecem la treabă. Pentru început, o teoremă despre modul în care determinantul unei matrice și ecuația planului sunt legate.

Teorema. Fie date coordonatele a trei puncte prin care trebuie trasat planul: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Atunci ecuația acestui plan poate fi scrisă prin determinantul:

Ca exemplu, să încercăm să găsim o pereche de avioane care apar de fapt în problemele C2. Uite cât de repede se calculează totul:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compunem un determinant și îl echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

După cum puteți vedea, când am calculat numărul d, am „pieptănat” puțin ecuația, astfel încât variabilele x, y și z să fie în ordinea corectă. Asta e tot! Ecuația plană este gata!

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Inlocuim imediat coordonatele punctelor in determinant:

Extindem din nou determinantul:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Deci, se obține din nou ecuația planului! Din nou, la ultimul pas a trebuit să schimbăm semnele din el pentru a obține o formulă mai „frumoasă”. Nu este deloc necesar să faceți acest lucru în această soluție, dar este totuși recomandat - pentru a simplifica soluția ulterioară a problemei.

După cum puteți vedea, alcătuirea ecuației unui plan este acum mult mai ușoară. Înlocuim punctele în matrice, calculăm determinantul - și gata, ecuația este gata.

Acest lucru ar putea pune capăt lecției. Cu toate acestea, mulți studenți uită constant ce este în interiorul determinantului. De exemplu, care linie conține x 2 sau x 3 și care linie conține doar x. Pentru a elimina cu adevărat acest lucru, să vedem de unde provine fiecare număr.

De unde vine formula cu determinantul?

Deci, să ne dăm seama de unde vine o ecuație atât de dură cu un determinant. Acest lucru vă va ajuta să vă amintiți și să îl aplicați cu succes.

Toate planurile care apar în problema C2 sunt definite de trei puncte. Aceste puncte sunt întotdeauna marcate pe desen sau chiar indicate direct în textul problemei. În orice caz, pentru a crea o ecuație, va trebui să le notăm coordonatele:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Să luăm în considerare un alt punct din planul nostru cu coordonate arbitrare:

T = (x, y, z)

Luați orice punct din primele trei (de exemplu, punctul M) și trageți vectori din acesta către fiecare dintre cele trei puncte rămase. Obținem trei vectori:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Acum să compunem o matrice pătrată din acești vectori și să echivalăm determinantul acesteia cu zero. Coordonatele vectorilor vor deveni rânduri ale matricei - și vom obține chiar determinantul care este indicat în teoremă:

Această formulă înseamnă că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii MN, MK și MT este egal cu zero. Prin urmare, toți cei trei vectori se află în același plan. În special, un punct arbitrar T = (x, y, z) este exact ceea ce căutam.

Înlocuirea punctelor și dreptelor unui determinant

Determinanții au câteva proprietăți grozave care o fac și mai ușoară rezolvarea problemei C2. De exemplu, nu contează pentru noi din ce punct desenăm vectorii. Prin urmare, următorii determinanți dau aceeași ecuație plană ca cea de mai sus:

De asemenea, puteți schimba liniile determinantului. Ecuația va rămâne neschimbată. De exemplu, multor oameni le place să scrie o linie cu coordonatele punctului T = (x; y; z) în partea de sus. Vă rog, dacă vă este convenabil:

Unii oameni sunt confuzi de faptul că una dintre linii conține variabile x, y și z, care nu dispar la înlocuirea punctelor. Dar nu ar trebui să dispară! Înlocuind numerele în determinant, ar trebui să obțineți această construcție:

Apoi determinantul este extins conform diagramei date la începutul lecției și se obține ecuația standard a planului:

Ax + By + Cz + D = 0

Aruncă o privire la un exemplu. Este ultimul din lecția de astăzi. Voi schimba în mod deliberat liniile pentru a mă asigura că răspunsul va da aceeași ecuație a planului.

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Deci, luăm în considerare 4 puncte:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Mai întâi, să creăm un determinant standard și să-l echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Asta e, avem răspunsul: x + y + z − 2 = 0.

Acum să rearanjam câteva rânduri în determinant și să vedem ce se întâmplă. De exemplu, să scriem o linie cu variabilele x, y, z nu în partea de jos, ci în partea de sus:

Extindem din nou determinantul rezultat:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Avem exact aceeași ecuație plană: x + y + z − 2 = 0. Aceasta înseamnă că într-adevăr nu depinde de ordinea rândurilor. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Deci, suntem convinși că ecuația planului nu depinde de succesiunea de drepte. Putem efectua calcule similare și dovedim că ecuația planului nu depinde de punctul ale cărui coordonate le scadem din alte puncte.

În problema considerată mai sus, am folosit punctul B 1 = (1, 0, 1), dar a fost foarte posibil să luăm C = (1, 1, 0) sau D 1 = (0, 1, 1). În general, orice punct cu coordonate cunoscute se află pe planul dorit.

Pentru a obține ecuația generală a unui plan, să analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să existe trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, OiȘi Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lăsa P plan arbitrar în spațiu. Fiecare vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al avionului Pși un vector normal al acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet definit(printr-un punct dat puteți desena un singur plan perpendicular pe vectorul dat). Ecuația generală a planului va fi:

Deci, condițiile care definesc ecuația planului sunt. Pentru a te obține ecuația plană, având forma de mai sus, ia în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile X, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este specificat de condiție. Găsim coordonatele vectorului folosind formula :

.

Acum, folosind formula produsului scalar al vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru un punct N, neîntins într-un anumit plan, adică egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe vector.

Soluţie. Să folosim formula (1) și să ne uităm din nou:

În această formulă numerele A , BȘi C coordonate vectoriale și numere X0 , y0 Și z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care nu au litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată printr-o ecuație generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z punct arbitrar al planului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația planului general .

Exemplul 2. Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare un plan dat de ecuație .

Soluţie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerourile pentru X și Y în ecuația dată în enunțul problemei: X = y= 0 . Prin urmare primim z= 6. Astfel, planul dat intersectează axa Oz la punct A(0; 0; 6) .

În același mod găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La X = z= 0 obținem y= −3, adică punctul B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție al planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem X= 2, adică un punct C(2; 0; 0). Pe baza celor trei puncte obținute în soluția noastră A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construiți planul dat.

Să luăm în considerare acum cazuri speciale ale ecuaţiei planului general. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) devin zero.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele punctului 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou egal cu zero). La fel, când B= 0 avion paralel cu axa Oi, și atunci când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou, deoarece este paralelă cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu axele Bou (A= 0) și Oi (B= 0). În mod similar, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul este avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z = 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). La fel, Eq. y = 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x = 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3. Creați o ecuație a planului P, trecând prin axă Oiși punct.

Soluţie. Deci planul trece prin axă Oi. Prin urmare, în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții AȘi C să profităm de faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația plană pe care am derivat-o deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei X = 2 , z= 3 . Le substituim în ecuația generală și obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2A + 3C = 0 .

Lasă 2 Aîn partea stângă a ecuației, mutați 3 Cîn partea dreaptă și ajungem

A = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Aîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema ecuației plane, apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Definiți un plan (sau planuri, dacă sunt mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planurile de coordonate dacă planul (planele) este dat de ecuație.

Soluțiile la problemele tipice care apar în timpul testelor sunt în manualul „Probleme pe un plan: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct”.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum sa menționat deja, o condiție necesară și suficientă pentru construirea unui plan, pe lângă un punct și vectorul normal, sunt și trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie. Deoarece cele trei puncte indicate nu se află pe aceeași dreaptă, vectorii nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct din plan se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii , și coplanare, adică atunci și numai când produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produsului mixt în coordonate, obținem ecuația planului

(3)

După dezvăluirea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă:

și determinați un caz special al ecuației generale a unei drepte, dacă apare unul.

Soluţie. Conform formulei (3) avem:

Ecuația plană normală. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe aceeași linie dreaptă.

Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) din sistemul general de coordonate carteziene.

Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1, M 2, M 3, este necesar ca vectorii să fie coplanari.

(
) = 0

Prin urmare,

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Ecuația unui plan dat două puncte și un vector coliniar cu planul.

Să fie date punctele M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) și vectorul
.

Să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul .

Vectori
și vector
trebuie să fie coplanare, adică

(
) = 0

Ecuația plană:

Ecuația unui plan folosind un punct și doi vectori,

coliniar cu planul.

Să fie dați doi vectori
Și
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii
trebuie să fie coplanare.

Ecuația plană:

Ecuația unui plan cu punct și vector normal .

Teorema. Dacă un punct M este dat în spațiu 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal (A, B, C) are forma:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dovada. Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector. Deoarece vector este vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector
. Apoi produsul scalar

= 0

Astfel, obținem ecuația planului

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală Ax + Bi + Cz + D = 0 împărțim ambele părți la (-D)

,

înlocuind
, obținem ecuația planului în segmente:

Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului cu axele x, y, respectiv z.

Ecuația unui plan în formă vectorială.

Unde

- vector raza punctului curent M(x, y, z),

Un vector unitar având direcția unei perpendiculare aruncată pe un plan de la origine.

,  și  sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.

p este lungimea acestei perpendiculare.

În coordonate, această ecuație arată astfel:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax+By+Cz+D=0 este:

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, folosim formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și

Q(1; -1; 3) perpendicular pe planul 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal cu planul 3x + 2y – z + 5 = 0
paralel cu planul dorit.

Primim:

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și

B(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.

Ecuația necesară a planului are forma: A X+B y+C z+ D = 0, vector normal la acest plan (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). Deoarece punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

Deci vectorul normal (11, -7, -2). Deoarece punctul A aparține planului dorit, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuația acestui plan, adică. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

În total, obținem ecuația planului: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Aflarea coordonatelor vectorului normal
= (4, -3, 12). Ecuația necesară a planului are forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului P în ecuația:

16 + 9 + 144 + D = 0

În total, obținem ecuația necesară: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplu. Sunt date coordonatele vârfurilor piramidei A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Aflați lungimea muchiei A 1 A 2.

Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.

Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3.

Mai întâi găsim vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 ca produs încrucișat al vectorilor
Și
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Să găsim unghiul dintre vectorul normal și vector
.

-4 – 4 = -8.

Unghiul dorit  între vector și plan va fi egal cu  = 90 0 - .

Aflați aria feței A 1 A 2 A 3.

Aflați volumul piramidei.

Aflați ecuația planului A 1 A 2 A 3.

Să folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Când utilizați versiunea pentru computer „ Curs superior de matematică” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.

Pentru a porni programul, faceți dublu clic pe pictogramă:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. În acest fel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.

Notă: Pentru a rula programul, programul Maple ( Waterloo Maple Inc.) al oricărei versiuni, începând cu MapleV Release 4, trebuie să fie instalat pe computer.

Pentru a determina paralelismul și perpendicularitatea planurilor, precum și pentru a calcula distanța dintre aceste obiecte geometrice, este convenabil să folosiți unul sau altul tip de funcții numerice. Pentru ce probleme este convenabil să folosiți ecuația plană în segmente? În acest articol ne vom uita la ce este și cum să-l folosim în sarcini practice.

Ce este o ecuație de linie?

Un plan poate fi definit în spațiul tridimensional în mai multe moduri. În acest articol, unele dintre ele vor fi prezentate în timp ce se rezolvă probleme de diferite tipuri. Aici vom oferi o descriere detaliată a ecuației în segmente ale planului. În general, are următoarea formă:

Unde simbolurile p, q, r indică anumite numere. Această ecuație poate fi tradusă cu ușurință într-o expresie generală și alte forme de funcții numerice pentru plan.

Comoditatea scrierii unei ecuații în segmente este că aceasta conține coordonatele explicite ale intersecției planului cu axele de coordonate perpendiculare. Pe axa x față de originea coordonatelor, planul decupează un segment de lungime p, pe axa y - egal cu q, pe z - cu lungimea r.

Dacă vreuna dintre cele trei variabile nu este conținută în ecuație, atunci aceasta înseamnă că planul nu trece prin axa corespunzătoare (matematicienii spun că se intersectează la infinit).

Relația dintre generalul și segmentele ecuațiilor

Se știe că planul este dat de următoarea egalitate:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Este necesar să scrieți această ecuație generală a planului în segmente.

Când apare o problemă similară, trebuie să urmați această tehnică: mutați termenul liber în partea dreaptă a egalității. Apoi împărțim întreaga ecuație la acest termen, încercând să o exprimăm în forma dată în paragraful anterior. Avem:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Am obținut pe segmente ecuația planului, dată inițial în formă generală. Este de observat că planul decupează segmente cu lungimi de 3, 2 și 6 pentru axele x, y și respectiv z. Axa y intersectează planul în regiunea de coordonate negative.

Când compuneți o ecuație în segmente, este important ca toate variabilele să fie precedate de semnul „+”. Numai în acest caz, numărul cu care această variabilă este împărțită va afișa coordonatele tăiate pe axă.

Vector normal și punct pe plan

Se știe că un plan are (3; 0; -1). Se mai știe că trece prin punctul (1; 1; 1). Ar trebui să scrieți o ecuație în segmente pentru acest plan.

Pentru a rezolva această problemă, trebuie mai întâi să utilizați o formă generală pentru acest obiect geometric bidimensional. Forma generală se scrie astfel:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Primii trei coeficienți sunt aici coordonatele vectorului ghid, care este specificat în enunțul problemei, adică:

Rămâne de găsit termenul liber D. Acesta poate fi determinat folosind următoarea formulă:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).

Unde valorile coordonatelor cu indicele 1 corespund coordonatelor unui punct aparținând planului. Înlocuim valorile lor din condițiile problemei, obținem:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Acum putem scrie ecuația în întregime:

Tehnica de conversie a acestei expresii într-o ecuație în segmente plane a fost deja demonstrată mai sus. Să-l aplicăm:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Răspunsul la problemă a fost primit. Rețineți că acest plan intersectează numai axele x și z. Pentru y este paralel.

Două drepte care definesc un plan

Dintr-un curs de geometrie spațială, fiecare școlar știe că două linii drepte arbitrare definesc unic un plan în spațiul tridimensional. Să rezolvăm o problemă similară.

Există două ecuații de linie cunoscute:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + a*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + p*(-1; 0; 1).

Este necesar să se noteze pe segmente ecuația planului care trece prin aceste drepte.

Deoarece ambele linii trebuie să se afle în plan, aceasta înseamnă că vectorii lor (directorii) trebuie să fie perpendiculari pe vectorul (directorul) pentru plan. În același timp, se știe că produsul vectorial al două segmente direcționate arbitrare dă rezultatul sub forma coordonatelor celei de-a treia, perpendiculare pe cele două inițiale. Ținând cont de această proprietate, obținem coordonatele vectorului normal la planul dorit:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Deoarece poate fi înmulțit cu un număr arbitrar, în acest caz se formează un nou segment direcționat, paralel cu cel inițial, atunci semnul coordonatelor obținute poate fi înlocuit cu cel opus (înmulțit cu -1), obținem:

Cunoaștem vectorul direcție. Rămâne să luăm un punct arbitrar pe una dintre drepte și să compunem o ecuație generală a planului:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Traducând această egalitate într-o expresie în segmente, obținem:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Astfel, planul intersectează toate cele trei axe în regiunea pozitivă a sistemului de coordonate.

La fel ca două linii drepte, trei puncte definesc un plan unic în spațiul tridimensional. Să scriem ecuația corespunzătoare în segmente dacă sunt cunoscute următoarele coordonate ale punctelor aflate în plan:

Să procedăm după cum urmează: să calculăm coordonatele a doi vectori arbitrari care leagă aceste puncte, apoi să găsim vectorul n¯ normal cu planul calculând produsul segmentelor direcționate găsite. Primim:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Să luăm punctul P ca exemplu și să creăm o ecuație pentru plan:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 sau z = 0.

Avem o expresie simplă care corespunde planului xy într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Nu poate fi scris în segmente, deoarece axele x și y aparțin planului, iar lungimea segmentului tăiat pe axa z este zero (punctul (0; 0; 0) aparține planului).