Isospinul nucleonilor și nucleelor

Atât stările fundamentale, cât și cele excitate ale nucleelor - pe lângă energie, spin și paritate discutate în seminariile anterioare - sunt caracterizate de numere cuantice, care se numesc proiecție isospin și isospin (în literatură, aceste numere cuantice sunt de obicei notate fie prin simbolurile T și T z sau I și I z).
Introducerea acestor numere cuantice se datorează faptului că forțele nucleare sunt invariante sub substituție protoni în neutroni. Acest lucru este deosebit de pronunțat în spectrele așa-numitelor nuclee „oglindă”, adică. nuclee izobare în care numărul de protoni ai unuia este egal cu numărul de neutroni ai celuilalt. (Vezi, de exemplu, spectrele nucleelor 13 C și 13 N). Pentru toate perechile cunoscute de astfel de nuclee, spectrele celor mai joase stări excitate sunt similare: spinurile și paritățile celor mai joase stări sunt aceleași, iar energiile de excitare sunt apropiate.
Din punctul de vedere al teoriei isospinului, un neutron și un proton sunt aceeași particulă - un nucleon cu isospin I = 1/2 - în două stări diferite, care diferă în proiecția isospinului pe o axă selectată (I z = I 3) în spațiul isospin. Pot exista doar două astfel de proiecții pentru moment I = 1/2: I z = +1/2 (proton) și I z = -1/2 (neutron). (Teoria isospinului cuantic este construită prin analogie cu teoria spinului. Cu toate acestea, spațiul isospin nu coincide cu spațiul de coordonate obișnuit.)
Un sistem de protoni Z și N neutroni - nucleul - are o proiecție isospină

Interacțiunile nucleare (adică puternice) nu depind de proiecția izospinului sau, mai precis, interacțiunile puternice sunt invariante în raport cu rotațiile în spațiul isospin.
Cu toate acestea, forțele nucleare depind de mărimea isospinului! Cele mai scăzute stări de energie ale sistemului de nucleoni, adică Starea fundamentală a nucleului este starea cu cea mai mică valoare posibilă a isospinului, care este egală cu

Nucleul de 48 Ca are 20 de protoni și 28 de neutroni. În consecință, proiecția isospinului I z a acestui nucleu este egală cu
I z = (20 - 28) / 2 = - 4. Stare fundamentală izospin I = |I z | = 4.
Particulele sau sistemele de particule care au același isospin și proiecții diferite de isospin constituie multiplete de isospin (dublete, triplete etc.). Particularitatea membrilor unui astfel de multiplet este că ei participă la interacțiunea puternică în același mod. Cel mai simplu exemplu de dublet este un neutron și un proton. Stările nucleelor oglindă 13 C și 13 N sunt un alt exemplu (vezi Spectrele nucleelor.)

2.6. Momentele electromagnetice ale nucleonilor și nucleelor.

Momentele electromagnetice determină potențialul de interacțiune al unui nucleu sau particule cu câmpurile electrice și magnetice externe:

Aici Ze este sarcina nucleului, D este momentul dipolului electric al nucleului, Q este momentul cvadrupolar al nucleului și este momentul dipolului magnetic. Termenii de dimensiune tensorală mai mare a potențialului de interacțiune (2.18) au o contribuție neglijabil de mică la interacțiune.
Moment dipol electric de nuclee în starea fundamentală este egală cu zero (până la termeni mici asociați cu interacțiuni slabe în nuclee). Egalitatea cu zero a momentului D i este o consecință a parității pătratului funcției de undă a stării fundamentale a nucleului:

Pătratul funcției de undă a stării fundamentale a nucleului este o funcție pară a coordonatelor, z este o funcție impară. Integrala în spațiul tridimensional a produsului unei funcții par și impar este întotdeauna egală cu 0.
Pătratul unei funcții ψ are paritate pozitivă dacă funcția ψ în sine are o anumită paritate (+ sau -). Acest lucru este valabil pentru contribuțiile la funcția ψ din interacțiuni electromagnetice puternice și care păstrează paritatea. Adăugările mici la funcția ψ din interacțiuni slabe (paritate-neconservare) pot da o abatere de la zero pentru momentele dipol ale nucleelor și particulelor. Rolul acestor contribuții este de mare interes pentru fizica modernă, așa că încercările de măsurare a momentului dipol al neutronilor nu se opresc.
Moment electric cvadrupol nucleul din sistemul de coordonate asociat cu nucleul (momentul patrupol intern)

Deoarece valoarea medie a unei mărimi fizice în mecanica cuantică, prin definiție,

momentul cvadrupol intern, până la constante, este diferența dintre valoarea medie a lui 2z 2 și valoarea medie a sumei pătratelor x 2 și y 2. Prin urmare, pentru nucleele sferice Q = 0, pentru cele alungite în raport cu axa internă de rotație z Q > 0, iar pentru nucleele oblate Q< 0.

Moment dipol magnetic particulele este un operator în spațiul funcțiilor de undă ale particulelor și este legat de operatorii momentelor orbitale și de spin prin relația

În sistemul de coordonate asociat particulei, nu există mișcare orbitală. Valoarea momentului magnetic este definită ca elementul de matrice diagonală al operatorului (2.21) în starea cu valoarea maximă a proiecției momentului pe axa z. Acţiunea operatorului de proiecţie spin dă

Valoarea observată a momentului magnetic nuclear (în magnetoni nucleari) este proporțională cu valoarea spinului nuclear.Coeficientul de proporționalitate se numește raport giromagnetic nuclear:

Momentul total al sistemului înveliș de electroni-nucleu este format din momentul învelișului de electroni I și spinul nucleului J. Deoarece mărimea câmpului magnetic creat de electroni în regiunea nucleului este proporțională cu I, iar momentul magnetic al nucleului este asociat cu J (2.24), potențialul de interacțiune este o funcție a produsului scalar al acestor vectori:

Acest potențial de interacțiune, inclus în hamiltonianul complet al atomului, este responsabil pentru faptul experimental că stările cu valori diferite ale produsului scalar al vectorilor I și J au deplasări diferite ale energiilor nivelurilor atomice. Deoarece magnitudinea deplasării depinde de magnetonul nuclear, acesta este mic în comparație cu magnitudinea subţire divizarea nivelurilor atomice, care sunt cauzate de interacțiunea momentului magnetic al învelișului de electroni cu un câmp magnetic extern. Prin urmare, divizarea nivelurilor atomice care are loc datorită interacțiunii momentului magnetic al nucleului cu câmpul magnetic al atomului se numește ultra subțire. Numărul de stări de divizare hiperfine este egal cu numărul de valori diferite ale produsului scalar al vectorilor. Să definim această mărime prin pătratele vectorilor cuantici F, J, I:

Astfel, numărul de niveluri de divizare hiperfină este egal cu numărul de valori diferite ale vectorului F, care poate lua următoarele valori

F = |J - I| , |J - I + 1|, .... , J + I - 1 , J + I.

Numărul de valori diferite ale vectorului F este egal cu 2K + 1, unde K este cel mai mic dintre vectorii J, I. Deoarece pentru potasiu numărul de niveluri de divizare hiperfine este 4, această valoare nu corespunde cazului când momentul învelișului de electroni 5/2 este mai mic decât spinul nucleului (atunci numărul de niveluri ar fi egal cu 6). Prin urmare, numărul de niveluri de divizare hiperfine este 4 = 2J + 1, iar spinul nuclear este J = 3/2.

Capitolul 10

DIVISIONARE ULTRAFINĂ ÎN HIDROGEN

§ 1. Stări de bază pentru un sistem de două particule cu spin 1/2

§2. Hamiltonian al stării fundamentale a hidrogenului

§ 3. Niveluri energetice

§ 6. Matrice de proiecție pentru spin 1

§ 1. Stări de bază pentru un sistem de două particule cu spin 1 / 2

În acest capitol ne vom uita la „diviziunea hiperfină” a hidrogenului, un exemplu interesant a ceea ce putem face deja cu mecanica cuantică. Aici nu vom mai avea două state, ci mai multe. Instructivitatea acestui exemplu este că ne va introduce în metodele mecanicii cuantice aplicate la probleme mai complexe. Acest exemplu în sine este destul de complex și, odată ce înțelegi cum să-l gestionezi, îți va deveni imediat clar cum să-l generalizezi la alte posibile probleme.

După cum știți, un atom de hidrogen este format dintr-un electron și un proton; Electronul se află aproape de proton și poate exista într-una dintre multele stări de energie discrete, în fiecare dintre ele modelul său de mișcare este diferit. Astfel, prima stare excitată se află la 3/4 din Rydberg, sau 10 ev, deasupra stării fundamentale. Dar chiar și așa-numita stare de bază a hidrogenului nu este de fapt o stare separată cu o energie specifică, deoarece electronul și protonul au spini. Aceste rotiri sunt responsabile pentru „structura hiperfină” a nivelurilor de energie, care împarte toate nivelurile de energie în mai multe niveluri aproape identice.

Spinul unui electron poate fi direcționat în sus sau în jos; protonul de asemenea al lui rotirea poate fi orientată în sus sau în jos. Prin urmare, pentru fiecare stare dinamică a atomului există patru posibile stări de spin. Cu alte cuvinte, atunci când un fizician vorbește despre „starea fundamentală” a hidrogenului, el se referă de fapt la „patru stări fundamentale”, și nu doar la cea mai inferioară dintre ele. Cele patru stări de spin nu au exact aceeași energie; există mici deplasări în raport cu ceea ce s-ar observa în absența rotațiilor. Aceste schimbări, însă, sunt de multe ori mai mici decât cele 10 ev, care se află între starea fundamentală și starea următoare superioară.

Ca rezultat, energia fiecărei stări dinamice este împărțită într-un număr de niveluri foarte apropiate - acesta este așa-numitul despicare hiperfină.

Diferențele de energie dintre cele patru stări de spin sunt ceea ce dorim să calculăm în acest capitol. Diviziunea hiperfină este cauzată de interacțiunea momentelor magnetice ale electronului și protonului; rezultă energii magnetice ușor diferite pentru fiecare stare de spin. Aceste schimbări de energie sunt doar aproximativ o zece milione dintr-un electron volt, care este într-adevăr mult mai puțin de 10 ev!

Tocmai din cauza unui decalaj atât de mare avem dreptul să considerăm că starea fundamentală a hidrogenului este un „sistem cu patru niveluri”, fără a ne îngrijora de faptul că, de fapt, există mult mai multe stări la energii superioare. Intenționăm să ne limităm aici la studierea structurii hiperfină doar a stării fundamentale a atomului de hidrogen.

Pentru scopurile noastre, diverse detalii nu sunt importante pentru noi Locație electroni și protoni, deoarece toate, ca să spunem așa, au fost deja produse de atom, toate s-au dovedit de la sine atunci când atomul a intrat în starea fundamentală. Este suficient să știm doar că electronul și protonul nu sunt departe unul de celălalt, într-o relație spațială specifică. În plus, pot avea tot felul de orientări reciproce de rotire. Și vrem să luăm în considerare doar efectele de rotație.

Prima întrebare la care trebuie să răspundeți este: ce sunt stări de bază pentru acest sistem? Dar această întrebare este pusă incorect. Lucruri ca singurul baza nu există, iar orice sistem de state de bază pe care îl alegeți nu va fi singurul. Este întotdeauna posibil să se creeze sisteme noi din combinații liniare ale celor vechi. Pentru stările de bază există întotdeauna multe opțiuni și toate sunt la fel de valabile.

Aceasta înseamnă că trebuie să ne întrebăm: nu „care este baza?”, ci „ce este?” Poate sa alege?". Și aveți dreptul de a alege orice doriți, atâta timp cât este convenabil pentru dvs.

De obicei, cel mai bine este să începeți cu o bază care fizic cel mai evident. Nu trebuie neapărat să rezolve o problemă sau să fie direct important într-un fel, nu, în general ar trebui doar să faciliteze înțelegerea a ceea ce se întâmplă.

Alegem următoarele stări de bază:

Condiția 1. Atât electronul, cât și protonul au spatele în sus.

Starea 2. Spinul electronului este în sus, iar cel al protonului este în jos.

Starea 3. Spinul unui electron este în jos, în timp ce cel al unui proton este

Starea 4. Atât electronul, cât și protonul se uită cu spatele

Pentru a scrie pe scurt aceste patru stări, introducem următoarea notație:

Condiția 1:|+ +>; electronul are spin sus, protonul are un spin sus.

Starea 2:| + ->; electronul are spin sus,

protonul are un spin jos.

Starea 3:|- + >; electronul are spin jos, protonul are un spin sus.

Starea 4:|- - >; electronul are spin jos, protonul are un spin jos. (10.1)

sa nu uiti asta primul semnul plus sau minus se referă la electron, al doilea - la proton. Pentru a păstra aceste simboluri la îndemână, ele sunt rezumate în Fig. 10.1.

Smochin. 10.1. Set de stări de bază

pentru starea fundamentală a atomului de hidrogen.

Notăm aceste stări | + +>, | + ->> |- +>.

Uneori va fi mai convenabil să notăm aceste stări ca |1>, |2>, |3> și |4>.

Ai putea spune: „Dar particulele interacționează și poate că aceste stări nu sunt deloc stările de bază potrivite. Parcă te uiți la ambele particule în mod independent.” Da, întradevăr! Interacțiunea pune întrebarea: ce este Hamiltonian sisteme? Dar întrebarea este cum descrie sistem, nu se referă la interacțiune. Orice alegem ca bază nu are nimic de-a face cu ceea ce se întâmplă după. Se poate dovedi că atomul nu este capabil stauîntr-una dintre aceste stări de bază, chiar dacă de acolo a început totul. Dar asta e o altă întrebare. Aceasta este o întrebare despre cum se schimbă amplitudinile în timp într-o bază aleasă (fixă). Alegând stările de bază, pur și simplu alegem „vectori unitari” pentru descrierea noastră.

Deoarece am atins deja acest lucru, să aruncăm o privire la problema generală a găsirii unui set de stări de bază atunci când nu există o particulă, ci mai multe. Știți stările de bază pentru o particulă. Un electron, de exemplu, este complet descris în viața reală (nu în cazurile noastre simplificate, ci în viața reală) prin specificarea amplitudinilor de a fi în una dintre următoarele stări:

| Electronii se rotesc cu impuls p> sau

| Electronii se rotesc cu impuls p>.

În realitate, există două colecții infinite de stări, câte una pentru fiecare valoare a lui p. Aceasta înseamnă că puteți spune că starea electronică |y> este complet descrisă numai atunci când cunoașteți toate amplitudinile

unde + și - reprezintă componentele momentului unghiular de-a lungul unei axe, de obicei axa z, A p- vector de impuls. Prin urmare, pentru fiecare impuls imaginabil trebuie să existe două amplitudini (un set dublu infinit de stări de bază). Asta este tot ce este necesar pentru a descrie o singură particulă.

În același mod, stările de bază pot fi scrise atunci când nu există o particulă, ci mai multe. De exemplu, dacă ar fi necesar să luăm în considerare un electron și un proton într-un caz mai complex decât al nostru, atunci stările de bază ar putea fi următoarele: Electron cu impuls p 1 se deplasează în sus, iar protonul cu impuls R 2 se mișcă înapoi. Și așa mai departe pentru alte combinații de rotiri. Dacă există mai mult de două particule, ideea rămâne aceeași. Deci vezi ce să pictezi posibil stările de bază sunt de fapt foarte ușoare. Singura întrebare este ce este Hamiltonianul.

Pentru a studia starea fundamentală a hidrogenului, nu trebuie să folosim seturi complete de stări de bază pentru momente diferite. Specificăm și fixăm anumite stări de impuls ale protonului și electronului atunci când pronunțăm cuvintele „stare fundamentală”. Detaliile configurației - amplitudinile pentru toate stările de bază pulsate - pot fi calculate, dar aceasta este o altă sarcină. Și acum ne atingem doar de influența spinului, așa că ne vom limita la doar patru stări de bază (10.1). Următoarea întrebare este: care este hamiltonianul pentru acest set de stări?

§ 2. Hamiltonian al stării fundamentale a hidrogenului

Vei afla într-un minut. Dar mai întâi vreau să vă reamintesc un lucru: tot felul de lucruri o stare poate fi întotdeauna reprezentată ca o combinație liniară de stări de bază. Pentru orice stare |y|> putem scrie

Amintiți-vă că parantezele complete sunt doar numere complexe, deci pot fi notate în mod obișnuit prin CU i, Unde i=l, 2, 3 sau 4 și scrieți (10.2) sub forma

Setarea amplitudinii cvadruple CU i descrie complet starea de spin |y>. Dacă aceste patru se schimbă în timp (cum se va întâmpla de fapt), atunci rata de schimbare în timp este dată de operator N^. Sarcina este de a găsi acest operator H^.

Nu există o regulă generală pentru cum se scrie Hamiltonianul unui sistem atomic, iar găsirea formulei corecte necesită mai multă abilitate decât găsirea sistemului de stări de bază. Am putut să vă oferim o regulă generală despre cum să scrieți un sistem de stări de bază pentru orice problemă în care există un proton și un electron, dar este prea dificil să descriem Hamiltonianul general al unei astfel de combinații la acest nivel. În schimb, vă vom conduce la Hamiltonian cu niște raționamente euristice și va trebui să-l acceptați ca fiind corect, deoarece rezultatele vor fi de acord cu observațiile experimentale.

Amintiți-vă că în capitolul anterior am putut descrie Hamiltonianul unei singure particule de spin-1/2 folosind matrici sigma sau operatori sigma exact echivalenti. Proprietățile operatorilor sunt rezumate în tabel. 10.1. Acești operatori, care sunt pur și simplu un mod convenabil și concis de a-ți aminti elementele matricei de tip, au fost utili pentru descrierea comportamentului separa particule cu spin 1/2. Se pune întrebarea dacă este posibil să se găsească un mijloc similar pentru a descrie un sistem cu două rotiri. Da, și foarte simplu. Uite aici. Vom inventa un lucru pe care îl vom numi „electron-sigma” și pe care îl vom reprezenta prin operatorul vectorial s e cu trei componente s e x , s e y și s e z . Mai departe să fim de acord că atunci când unul dintre ei acţionează

Tabelul 10.1· PROPRIETATI ALE OPERATORILOR SIGMA

pe oricare dintre cele patru stări de bază ale atomului de hidrogen, atunci acesta acționează numai asupra spinului electronului și ca și cum ar fi un singur electron, de la sine. Exemplu: ce este s y e|-+>? Deoarece s y acționând asupra unui electron cu spin down dă - i, înmulțit cu starea cu un electron al cărui spin este sus, atunci

s e y |-+>=- i|++>.

(Când s y e acționează asupra unei stări combinate, inversează electronul fără a-l afecta protonul și înmulțește rezultatul cu - i.) Acționând asupra altor state, s e la va da

Să ne amintim încă o dată că operatorul s e acţionează numai asupra primul simbol de rotire, adică per rotire electron.

Acum definim operatorul proton-sigma corespunzător pentru spinul protonului. Cele trei componente ale sale s p x , s p y, s p z, acționează în același mod ca s e, dar numai pe spin de proton. De exemplu, dacă s p x acționează asupra fiecăreia dintre cele patru stări de bază, atunci se va dovedi (din nou folosind Tabelul 10.1)

După cum puteți vedea, nimic dificil. În general, lucrurile pot fi mai complicate. De exemplu, produsul operatorilor s e y s p z . Când există un astfel de produs, atunci se face mai întâi ceea ce își dorește operatorul potrivit și apoi ceea ce cere cel din stânga. De exemplu,

Rețineți că acești operatori de număr nu fac nimic; am folosit asta când am scris s e x (-1)=(-1) s e x . Spunem că operatorii „fac naveta” cu numere sau că numerele „pot fi trase” printr-un operator. Practicați și arătați că produsul s e X s p z dă următorul rezultat pentru patru stări:

Dacă parcurgem toți operatorii validi, fiecare o dată, atunci pot exista un total de 16 posibilități. Da, şaisprezece, dacă includem și „operatorul unitar” 1. În primul rând, există un triplu s e X, s e y, s e z, apoi trei s p x , s p y , s p z , pentru un total de șase. În plus, există nouă produse de forma s e X sp y , total 15. Și încă un singur operator, lăsând toate stările neatinse. Sunt toate șaisprezece!

Observați acum că pentru un sistem cu patru stări, matricea Hamilton trebuie să fie o matrice de coeficienți 4x4 și vor fi 16 numere în ea. Este ușor de arătat că orice matrice 4X4, și în special matricea Hamilton, poate fi scrisă ca o combinație liniară a celor șaisprezece matrice de spin dublu corespunzătoare sistemului de operatori pe care tocmai l-am compus. Prin urmare, pentru o interacțiune între un proton și un electron care implică doar spinurile lor, ne putem aștepta ca operatorul Hamilton să poată fi scris ca o combinație liniară a acelorași 16 operatori. Singura întrebare este cum.

Dar, mai întâi, știm că interacțiunea nu depinde de alegerea noastră a axelor pentru sistemul de coordonate. Dacă nu există nicio perturbare externă - ceva de genul unui câmp magnetic, evidențiind o anumită direcție în spațiu - atunci Hamiltonianul nu poate depinde de alegerea noastră a direcțiilor axiale. X yȘi z. Aceasta înseamnă că Hamiltonianul nu poate avea termeni precum s e x în sine. Acest lucru ar părea ridicol, pentru că cineva dintr-un sistem de coordonate diferit ar ajunge la rezultate diferite.

Singurii termeni posibili sunt cei cu o matrice de identitate, să zicem o constantă A(înmulțit cu 1^), și o combinație de sigma care nu depinde de coordonate, o combinație „invariantă”. Singurul scalar o combinație invariantă de doi vectori este produsul lor scalar, care pentru sigma-urile noastre are forma

Acest operator este invariant în raport cu orice rotație a sistemului de coordonate. Deci, singura posibilitate pentru un hamiltonian cu simetrie adecvată în spațiu este o constantă înmulțită cu matricea de identitate plus o constantă înmulțită cu acel produs punctual, adică.

Acesta este Hamiltonianul nostru. Acesta este singurul lucru cu care, pe baza simetriei în spațiu, poate fi egal cu, nu există încă un câmp extern. Un membru permanent nu ne va spune prea multe; depinde pur și simplu de nivelul pe care l-am ales pentru a număra energiile. S-ar putea accepta la fel de bine E 0 = 0. Iar al doilea termen ne va spune tot ce este necesar pentru a găsi împărțirea nivelurilor în hidrogen.

Dacă doriți, puteți gândi diferit la Hamiltonian. Dacă există doi magneți cu momente magnetice m e și m p aproape unul de celălalt, atunci energia lor reciprocă depinde, printre altele, de m e · m R. Și noi, după cum vă amintiți, am aflat că lucrul pe care l-am numit în fizica clasică m e, în mecanica cuantică apare sub denumirea de m e s e . În același mod, ceea ce arată ca m p în fizica clasică se dovedește de obicei a fi egal cu m p s p în mecanica cuantică (unde m p este momentul magnetic al protonului, care este de aproape 1000 de ori mai mic decât m e și are semnul opus). Aceasta înseamnă că (10.5) afirmă că energia de interacțiune este similară cu interacțiunea a doi magneți, dar nu complet, deoarece interacțiunea a doi magneți depinde de distanța dintre ei. Dar (10.5) poate fi luat în considerare (și de fapt este) un fel de interacţiune medie. Electronul se mișcă cumva în interiorul atomului, iar Hamiltonianul nostru oferă doar energia medie de interacțiune. În general, toate acestea sugerează că pentru locația prescrisă a electronului și protonului în spațiu, există o energie proporțională cu cosinusul unghiului dintre cele două momente magnetice (clasic vorbind). Această imagine calitativă clasică vă poate ajuta să înțelegeți de unde vine totul, dar singurul lucru care contează este că (10.5) este formula mecanică cuantică corectă.

Ordinul de mărime al interacțiunii clasice dintre doi magneți ar fi dat de produsul celor două momente magnetice împărțit la cubul distanței dintre ei. Distanța dintre un electron și un proton dintr-un atom de hidrogen, aproximativ vorbind, este egală cu jumătate din raza atomică, adică 0,5 A. Prin urmare, putem estima aproximativ că constanta A ar trebui să fie egal cu produsul momentelor magnetice m e și m p împărțit la cubul de jumătate de angstrom. Această direcționare are ca rezultat numere care se încadrează exact în zona potrivită. Dar se dovedește că A Puteți calcula mai precis, trebuie doar să înțelegeți teoria completă a atomului de hidrogen, de care nu suntem încă capabili. De fapt A a fost calculat la cel mai apropiat 30 ppm. După cum puteți vedea, în contrast cu re-aruncarea constantă A moleculele de amoniac, care, conform teoriei, nu pot fi calculate bine, constanta noastră A pentru hidrogen Pot fi calculate dintr-o teorie mai detaliată. Dar nimic nu se poate face; pentru scopurile noastre actuale va trebui să socotim A un număr care poate fi determinat din experiență și analiza fizica materiei.

Luând Hamiltonianul (10.5), îl putem înlocui în ecuație

și vezi ce efectuează interacțiunea spin asupra nivelurilor de energie. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați șaisprezece elemente de matrice H ij = i| H|j> corespunzătoare oricăror două dintre cele patru stări de bază (10.1).

Să începem prin a calcula cu ce este egal Н^ |j> pentru fiecare dintre cele patru stări de bază. De exemplu,

Folosind metoda descrisă puțin mai devreme (rețineți Tabelul 10.1, va ușura lucrurile), vom afla ce face fiecare pereche de a cu |+ +>· Răspunsul este:

Aceasta înseamnă că (10.7) se transformă în

Tabelul 10.2· operatori de spin PENTRU ATOMUL DE HIDROGEN

Și din moment ce toate cele patru stări de bază ale noastre sunt ortogonale, acest lucru duce imediat la

Amintind că N| i>=<.i>|H|j>*, putem scrie imediat o ecuație diferențială pentru amplitudine CU 1:

Asta e tot! Un singur membru.

Pentru a obține acum ecuațiile Hamilton rămase, trebuie să trecem cu răbdare prin aceleași proceduri cu H^, acţionând în alte condiţii. În primul rând, exersați să verificați dacă toate produsele sigma din tabel. 10.2 sunt scrise corect. Apoi, cu ajutorul lor, vei primi

Și apoi, înmulțindu-i pe toți în ordine de la stânga cu toți ceilalți vectori de stare, obținem următoarea matrice hamiltoniană H ij :

Aceasta, desigur, înseamnă că ecuațiile diferențiale pentru cele patru amplitudini CU i arată ca

Dar înainte de a trece la soluția lor, este greu să rezisti să-ți spun despre o regulă inteligentă pe care a derivat-o Dirac. Te va ajuta să simți cât de multe știi deja, deși nu vom avea nevoie de ele în munca noastră. Din ecuațiile (10.9) și (10.12) avem

„Uite”, a spus Dirac, „pot să scriu și prima și ultima ecuație în formă

și atunci vor deveni toți la fel. Acum voi veni cu un nou operator, pe care îl voi desemna R a învârti. schimb şi care, conform definiție, va avea urmatoarele proprietati:

Acest operator, după cum vedeți, schimbă doar direcțiile de rotație a două particule. Apoi pot scrie întregul sistem de ecuații (10.15) ca o ecuație simplă a operatorului:

Aceasta este formula lui Dirac. Operatorul de schimb de rotație oferă o regulă convenabilă de reținut s e ·s p. (După cum poți vedea, acum știi cum să faci totul. Toate ușile sunt deschise pentru tine.)

§ 3. Niveluri energetice

Acum suntem gata să calculăm nivelurile de energie ale stării fundamentale a hidrogenului prin rezolvarea ecuațiilor hamiltoniene (10.14). Vrem să găsim energiile stărilor staționare. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim acele stări speciale |y> pentru care fiecare dintre amplitudinile aparținând lui |y> C i=i|y> are aceeași dependență de timp și anume e - w t . Atunci statul va avea energie E=hw. Aceasta înseamnă că căutăm un set de amplitudini pentru care

unde sunt cei patru coeficienți A i nu depinde de timp. Pentru a vedea dacă putem obține aceste amplitudini, să conectăm (10.17) la (10.14) și să vedem ce se întâmplă. Fiecare ihdC i /dtîn (10.14) va intra în E.C. i . Și după reducerea cu un factor exponențial comun, fiecare CU i se va transforma in A i; primim

Acesta este ceea ce trebuie rezolvat pentru a găsi A 1 , A 2 , A 3 și A 4 . Într-adevăr, este foarte frumos din partea primei ecuații că nu depinde de celelalte, ceea ce înseamnă că o soluție este imediat vizibilă. Dacă selectați E=A, Acea

A 1=1, A 2 =A 3 =A 4 =0

va da o solutie. (Desigur, dacă acceptăm totul A egal cu zero, atunci și aceasta va fi o soluție, dar nu va da o stare!) Vom considera prima noastră soluție ca fiind o stare | eu>:

Energia lui

E eu =A.

Toate acestea dau imediat cheia celei de-a doua soluții, obținută din ultima ecuație din (10.18):

A 1 =A 2 =A 3 =0, A 4 =1, E=A.

Vom numi această soluție stat | II>:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

E(a) 2 + a 3 ) = A(a 2 + a 3 ). (10.21)

Scăzând, vom avea

Aruncând o privire la asta și amintindu-ne de amoniacul pe care îl cunoaștem deja, vedem că există două soluții aici:

Acestea sunt amestecuri de stări | 2 > și | 3 >. Desemnarea lor | III> și | IV> și inserând factorul 1/Ts2 pentru normalizarea corectă, avem

E III =A(10.24)

Am găsit patru stări staționare și energiile lor. Rețineți, apropo, că cele patru stări ale noastre sunt ortogonale între ele, deci pot fi considerate și stări de bază dacă se dorește. Problema noastră este complet rezolvată.

Cele trei stări au energie egală A, Și ultimul - IN SPATE. Media este zero, ceea ce înseamnă că atunci când în (10.5) am ales E 0 = 0, Astfel, am decis să numărăm toate energiile din valoarea lor medie. Diagrama nivelului de energie a stării fundamentale a hidrogenului va arăta ca în Fig. 10.2.

Smochin. 10.2. Diagrama nivelului de energie a stării fundamentale a hidrogenului atomic.

Diferența de energii între stat | IV> și oricare dintre celelalte este egal cu 4 A. Un atom care se întâmplă să fie în stările | eu>, poate cădea de acolo la stat | IV>și emit lumină: nu lumină optică, pentru că energia este foarte mică, ci un cuantum de microunde. Sau, dacă luminăm hidrogen gazos cu microunde, vom observa absorbția de energie deoarece atomii sunt într-o stare | IV> o vor intercepta si vor merge in una din starile superioare, dar toate acestea doar la frecventa w=4 A/h. Această frecvență a fost măsurată experimental; cel mai bun rezultat, obținut relativ recent, este acesta:

Eroarea este de doar trei sute de miliarde! Probabil că nicio mărime fizică fundamentală nu este mai bine măsurată decât aceasta; Aceasta este una dintre cele mai remarcabile măsurători din fizică în ceea ce privește precizia. Teoreticienii au fost foarte fericiți când au reușit să calculeze energia cu o precizie de 3·10 -5; dar până în acest moment a fost măsurat cu o precizie de 2·10 -11, adică. de un milion de ori mai precis decât în teorie. Deci, experimentatorii sunt cu mult înaintea teoreticienilor. În teoria stării fundamentale a atomului de hidrogen și Tu, si suntem in aceeasi pozitie. Puteți lua, de asemenea, sensul A din experiență – și toată lumea, până la urmă, trebuie să facă la fel.

Probabil ați mai auzit despre „linia de 21 cm” a hidrogenului. Aceasta este lungimea de undă a liniei spectrale la 1420 MHzîntre stările hiperfine. Radiația la această lungime de undă este emisă sau absorbită de hidrogenul gazos atomic în galaxii. Aceasta înseamnă că, cu ajutorul radiotelescoapelor reglate pe undele 21 cm(sau aproximativ 1420 MHz), se poate observa viteza şi localizarea condensărilor hidrogenului atomic. Măsurând intensitatea, puteți estima cantitatea acesteia. Măsurând deplasarea frecvenței cauzată de efectul Doppler, se poate determina mișcarea gazului într-o galaxie. Acesta este unul dintre marile programe de radioastronomie. Deci acum vorbim despre ceva foarte real, acesta nu este un fel de sarcină artificială.

§ 4. Despicarea Zeeman

Deși am finalizat sarcina de a găsi nivelurile de energie ale stării fundamentale a hidrogenului, vom continua totuși să studiem acest sistem interesant. Pentru a spune altceva despre asta, de exemplu pentru a calcula viteza cu care un atom de hidrogen absoarbe sau emite unde radio de lungime 21 cm, trebuie să știi ce se întâmplă cu el când este revoltat. Trebuie să facem ceea ce am făcut cu molecula de amoniac - după ce am găsit nivelurile de energie, am mers mai departe și am aflat ce se întâmplă când molecula se află într-un câmp electric. Și după aceasta nu a fost greu de imaginat influența câmpului electric al unei unde radio. În cazul atomului de hidrogen, câmpul electric nu face nimic cu nivelurile, cu excepția faptului că le deplasează pe toate cu o valoare constantă proporțională cu pătratul câmpului, iar acest lucru nu ne interesează, deoarece nu se modifică. diferențe energii. De data asta e important magnetic camp. Aceasta înseamnă că următorul pas este să scrieți Hamiltonianul pentru cazul mai complex când atomul se află într-un câmp magnetic extern.

Ce este acest hamiltonian? Vă vom spune pur și simplu răspunsul, pentru că nu putem da nicio „dovadă”, decât să spunem că exact așa este structurat atomul.

Hamiltonianul are forma

Acum este format din trei părți. Primul membru A(s e ·s p) reprezintă interacțiunea magnetică dintre un electron și un proton; este la fel ca și când nu ar exista câmp magnetic. Influența câmpului magnetic extern se manifestă în cei doi termeni rămași. Al doilea termen (-m e s e · ÎN) este energia pe care un electron ar avea-o într-un câmp magnetic dacă ar fi singur acolo. În același mod, ultimul termen (-m р s R · ÎN) ar fi energia unui singur proton. Conform fizicii clasice, energia ambilor împreună ar fi suma energiilor lor; Potrivit mecanicii cuantice, acest lucru este, de asemenea, corect. Energia de interacțiune care rezultă din prezența unui câmp magnetic este pur și simplu suma energiilor de interacțiune a unui electron cu un câmp magnetic și a unui proton cu același câmp, exprimată prin operatori sigma. În mecanica cuantică, acești termeni nu sunt de fapt energii, dar referirea la formulele clasice pentru energie ajută să ne amintim regulile de scriere a hamiltonianului. De parca. fie oricum, (10.27) este Hamiltonianul corect.

Acum trebuie să vă întoarceți la început și să rezolvați din nou întreaga problemă. Dar cea mai mare parte a muncii a fost deja făcută; trebuie doar să adăugăm efectele cauzate de noii membri. Să presupunem că câmpul magnetic B este constant și direcționat de-a lungul z. Apoi la vechiul nostru operator hamiltonian N^ trebuie să adăugați două piese noi; să-i desemnăm N^":

Folosind masa. 10.1, primim imediat

Uite ce comod este! Operator N", acționând asupra fiecărei stări, dă pur și simplu un număr înmulțit cu aceeași stare. În matricea i|H"|j> există deci numai diagonală elemente și se pot adăuga pur și simplu coeficienții de la (10.28) la termenii diagonali corespunzători din (10.13), astfel încât ecuațiile hamiltoniene (10.14) devin

Forma ecuațiilor nu s-a schimbat, s-au schimbat doar coeficienții. Și la revedere ÎN nu se schimbă în timp, puteți face totul la fel ca înainte.

Înlocuind

, primim

Din fericire, prima și a patra ecuație sunt încă independente de celelalte, așa că aceeași tehnică va fi folosită din nou. O soluție este starea | eu>, pentru care

O alta solutie

Celelalte două ecuații necesită mai multă muncă deoarece coeficienții A 2 și a 3 nu mai sunt egale între ele. Dar sunt foarte asemănătoare cu perechea de ecuații pe care am scris-o pentru molecula de amoniac. Privind înapoi la ecuațiile (7.20) și (7.21), putem trage următoarea analogie (rețineți că indicele 1 și 2 de acolo corespund indicele 2 și 3 de aici):

Anterior, energiile erau date prin formula (7.25), care avea forma

Înlocuind (10.33) aici, obținem energia

În cap. 7 suntem obișnuiți să numim aceste energii E euȘi E II , acum le vom eticheta E IIIȘi E IV :

Deci, am găsit energiile a patru stări staționare ale atomului de hidrogen într-un câmp magnetic constant. Să ne verificăm calculele, pentru care ne vom direcționa ÎN la zero și vedem dacă obținem aceleași energii ca în paragraful anterior. Vezi ca greutatea e ok. La B= 0energie E eu , E IIȘi E III contact + A, A E IV - V - IN SPATE. Chiar și numerotarea noastră a statelor este în concordanță cu cea anterioară. Dar când pornim câmpul magnetic, fiecare energie va începe să se schimbe în felul ei. Să vedem cum se întâmplă asta.

În primul rând, amintiți-vă că pentru un electron, m e este negativ și de aproape 1000 de ori mai mare decât m p, care este pozitiv. Aceasta înseamnă că m e +m p și m e -m p sunt ambele negative și aproape egale între ele. Să le notăm -m și -m":

(Atât mi, cât și m" sunt pozitive și aproape coincid ca mărime cu m e, care este aproximativ egal cu un magneton Bohr.) Cvartetul nostru de energii se va transforma apoi în

Energie E eu initial egal cu Ași crește liniar odată cu creșterea ÎN la viteza m. Energie E II este de asemenea egal la început A, dar cu creștere ÎN liniar scade panta curbei sale este -m . Schimbarea acestor niveluri de la ÎN prezentat în Fig. 10.3. Figura prezintă, de asemenea, grafice de energie E IIIȘi E IV . Dependenţa lor de ÎN diferit. La mic ÎN ele depind de ÎN pătratică; La început panta lor este zero, apoi încep să se îndoaie și când mare B se apropie de linii drepte cu panta ±m”, aproape de panta e iȘi E II

Smochin. 10.3. Nivelurile de energie ale stării fundamentale

hidrogen într-un câmp magneticÎN .

Curbele E III și E IV apropiindu-se de linii punctate

A±m"B.

Când nu există câmp magnetic, pur și simplu obținem o linie spectrală din structura hiperfină a hidrogenului. Tranziții de stat | IV> și oricare dintre celelalte trei apar cu absorbția sau emisia unui foton a cărui frecvență este 1420 MHz:1/h,înmulțit cu diferența de energie 44. Dar când atomul se află într-un câmp magnetic B, atunci se obțin mult mai multe linii. Tranzițiile pot avea loc între oricare două dintre cele patru stări. Aceasta înseamnă că dacă avem atomi în toate cele patru stări, atunci energia poate fi absorbită (sau emisă) în oricare dintre cele șase tranziții prezentate în Fig. 10.4 cu săgeți verticale.

Smochin. 10.4. Tranziții între nivelurile de energie ale stării fundamentale a hidrogenului într-un anumit câmp magneticÎN.

Multe dintre aceste tranziții pot fi observate folosind tehnica fasciculului molecular Rabi, pe care am descris-o în cap. 35, § 3 (numărul 7).

Ce cauzează tranzițiile? Ele apar dacă, împreună cu un câmp constant puternic B aplicați un mic câmp magnetic perturbator care variază în timp. Am observat același lucru sub acțiunea unui câmp electric alternativ asupra unei molecule de amoniac. Doar aici vinovatul tranzițiilor este câmpul magnetic care acționează asupra momentelor magnetice. Dar calculele teoretice sunt aceleași ca și în cazul amoniacului. Cel mai simplu mod de a le obține este de a lua un câmp magnetic perturbator care se rotește în plan hu, deși același lucru se va întâmpla din orice câmp orizontal oscilant. Dacă introduceți acest câmp perturbator ca termen suplimentar în Hamiltonian, obțineți soluții în care amplitudinile se modifică în timp, așa cum a fost cazul moleculei de amoniac. Aceasta înseamnă că puteți calcula cu ușurință și exact probabilitatea de trecere de la o stare la alta. Și vei descoperi că toate acestea sunt în concordanță cu experiența.

§ 5. Stări într-un câmp magnetic

Acum să ne uităm la forma curbelor din Fig. 10.3. În primul rând, dacă vorbim despre câmpuri mari, dependența energiei de câmp este destul de interesantă și ușor de explicat. Pentru suficient de mare ÎN(și anume când mB/A>>1) în formulele (10.37) putem neglija unitatea. Cele patru energii iau forma

Acestea sunt ecuațiile celor patru linii din fig. 10.3. Aceste formule pot fi înțelese fizic după cum urmează. Natura stărilor staționare în zero câmpul este complet determinat de interacțiunea a două momente magnetice. Amestecarea stărilor de bază | + -> și | - +> în stări staţionare |III>şi | IV> cauzate de această interacțiune. Cu toate acestea, cu greu ne putem aștepta ca fiecare dintre particulele noastre (atât protoni, cât și electroni) puternic extern câmpurile vor fi influențate de câmpul altei particule; fiecare va acţiona ca şi cum ar fi singur în câmpul exterior. Apoi (după cum am văzut deja de multe ori) spinul electronului va fi direcționat de-a lungul câmpului magnetic extern (de-a lungul sau împotriva lui).

Lăsați spinul electronului să fie îndreptat în sus, adică de-a lungul câmpului; energia sa va fi -m e B. Protonul poate sta în diferite moduri. Dacă spinul său este și îndreptat în sus, atunci energia sa este -m p B. Suma lor este egală cu -(m e +m p) B=mB.Și asta este exact ceea ce este E eu , și acest lucru este foarte frumos, pentru că descriem starea |+ +>=| eu>. Mai e un pic în plus A(acum (m B>>A), reprezentând energia de interacțiune dintre un proton și un electron atunci când spinii lor sunt paraleli. (De la bun început am crezut A pozitiv, pentru că așa ar fi trebuit să fie conform teoriei în cauză; același lucru se întâmplă experimental.) Dar spin-ul protonului poate fi și direcționat în jos. Apoi energia sa în câmpul extern se va transforma în +m P B, iar împreună cu electronul energia lor va fi -(m e -m p) B= m ÎN. Iar energia interacțiunii se transformă în... A. Suma lor va da energie E III , în (10.38). Deci statul | III>în câmpuri puternice devine statul |+ ->.

Lăsați rotația electronului să fie acum îndreptată în jos. Energia sa în câmpul exterior este egală cu m e ÎN. Dacă și protonul privește în jos, atunci energia lor totală este egală cu (m e +m p) B = - m La care se adauga energie de interacțiune A(spatele sunt acum paralele). Acest lucru duce doar la energie E IIîn (10.38) şi corespunde stării |- ->=| II>, ceea ce este foarte frumos. Și, în sfârșit, dacă electronul are un spin în jos și protonul are un spin în sus, atunci obținem energia (m e -m p )B-A (minus A deoarece spatele sunt opuse), i.e. E IV . Iar statul raspunde |- +>.

„Stai puțin”, vei spune probabil. „State | Bolnav> și | IV>- nu este state | + - > și | - + >; sunt ai lor amestecuri.” Adevărat, dar amestecul de aici abia se observă. Într-adevăr, la 5 = 0 sunt amestecuri, dar nu am aflat încă ce se întâmplă în general ÎN. Când am folosit analogia dintre (10.33) şi formulele Cap.pentru a obţine energia stărilor staţionare. 7, apoi în același timp a fost posibil să se ia amplitudinile de acolo. Acestea vor fi obținute de la (7.23):

Atitudine A 2 /A 3 - asta desigur de data asta C 2 /C 3 Introducând cantități similare din (10.33), obținem

unde în loc de E trebuie să luați energia adecvată (sau E III , sau E IV ). De exemplu, pentru statul | III> avem

Aceasta înseamnă că pentru mari ÎN la stat | ///> CU 2 >>C 3 ;starea devine aproape complet stare | 2>= |+ ->. În același mod, dacă în (10.39) înlocuim e iv , atunci rezultă că (C 2 /C 3) IV >se transformă pur și simplu în starea |3> = |- +>. Vedeți că coeficienții din combinațiile liniare ale stărilor noastre de bază care alcătuiesc stările staționare în sine depind de ÎN.

Statul pe care îl numim | III>, în câmpurile foarte slabe este un amestec de |+ -> și |- +> într-un raport 1:1, dar în câmpurile puternice se deplasează în întregime la |+ ->. La fel, statul | IV>, care în câmpurile slabe este și un amestec de |+ -> și |- +> în proporție 1:1 (cu semnul opus), intră în starea | - +), când învârtirile nu mai sunt conectate între ele din cauza unui câmp extern puternic.

Aș dori să vă atrag atenția, în special, asupra a ceea ce se întâmplă în foarte slab campuri magnetice. Există o singură energie ( -3A), care nu se schimba când este pornit un câmp magnetic slab. Și există o altă energie ( +A), care, atunci când un câmp magnetic slab este pornit, se împarte în trei niveluri diferite de energie. În câmpurile energetice slabe cu creștere ÎN modificarea așa cum se arată în fig. 10.5. Să presupunem că am selectat cumva un set de atomi de hidrogen, toți având aceeași energie - 3A. Dacă le trecem prin dispozitivul Stern-Gerlach (cu câmpuri nu foarte puternice), vom constata că pur și simplu trec în întregime. (Deoarece energia lor nu depinde de ÎN, apoi, conform principiului muncii virtuale, gradientul câmpului magnetic nu creează nicio forță care ar fi resimțită de ei.) Să presupunem, pe de altă parte, că am selectat un grup de atomi cu energie + Ași le-a trecut prin dispozitivul Stern-Gerlach, să zicem prin dispozitiv S.(Din nou, câmpurile din instrument nu ar trebui să fie atât de puternice încât să distrugă interiorul atomului; se presupune că câmpurile sunt atât de mici încât energiile pot fi considerate dependente liniar de ÎN.) Am primi trei ciorchini. Pe state | eu> și | II>acţionează forţe opuse, energiile lor se schimbă în funcţie de ÎN liniar cu panta ±m, deci putere sunt similare cu forțele care acționează asupra unui dipol al cărui m z = ±m , si stat | III> trece direct prin. Revenim din nou la Cap. 3. Un atom de hidrogen cu energie +A este o particulă cu spin 1. Această stare de energie este o „particulă” pentru care j=1 și poate fi descris (cu privire la un anumit sistem de axe din spațiu) în termeni de stări de bază |+ S>, | 0S> și |- S>, pe care le-am folosit în Cap. 3. Pe de altă parte, când un atom de hidrogen are o energie de -3 A, este o particulă cu spin zero. (Vă reamintim că tot ceea ce s-a spus, strict vorbind, este adevărat numai pentru câmpurile magnetice infinitezimale.) Așadar, stările hidrogenului într-un câmp magnetic zero pot fi grupate astfel:

În cap. 35 (numărul 7) am spus că pentru orice particulă componentele momentului unghiular de-a lungul oricărei axe pot lua doar anumite valori, diferând întotdeauna prin h. Astfel, componenta z a momentului unghiular J z poate fi egal jh,(j-1) h, (j- 2)h,..., (-j)h, Unde j- spin particulei (care poate fi întreg sau semiîntreg). De obicei ei scriu

J z =mh,(10.43)

Unde T stă în locul oricăruia dintre numere j, j-1, j- 2, . . .,-j(nu am spus asta la momentul respectiv). Prin urmare, veți găsi adesea în cărți numerotarea celor patru stări principale folosind așa-numitele numere cuantice jȘi m[denumit adesea „numărul cuantic al momentului unghiular total” ( j) și „număr cuantic magnetic” (m)].În locul simbolurilor noastre de stat | eu>, |II> etc.mulţi oameni scriu adesea stări sub forma | j, m>. Ele ar descrie tabelul nostru de stări pentru câmpul zero din (10.41) și (10.42) sub forma unui tabel. 10.3. Nu există o nouă fizică aici, este doar o chestiune de notație.

Tabelul 10.3· STĂRI ALE ATOMULUI DE HIDROGEN ÎN CÂMP ZERO

§ 6. Matrice de proiecție pentru spin 1

Acum am dori să aplicăm cunoștințele noastre despre atomul de hidrogen la o problemă specială. În cap. 3 am vorbit despre faptul că particula cu spin 1, situat într-una dintre stările de bază (+, 0, -) în raport cu dispozitivul Stern-Gerlach cu o anumită orientare (de exemplu, în raport cu dispozitivul S), va avea o anumită amplitudine de a fi într-una din cele trei stări în raport cu dispozitivul T, orientate în spațiu diferit. Există nouă astfel de amplitudini jT|iS> , care împreună formează o matrice de proiecţie. În cap. 3, § 7, am notat elementele acestei matrice pentru diverse orientări fără dovezi T către S. Acum vrem să vă arătăm una dintre modalitățile de a le afișa.

În atomul de hidrogen, am găsit un sistem cu spin 1, compus din două particule cu spin 1/2. În cap. 4 am învățat deja cum să convertim amplitudinile pentru spin 1/2. Aceste cunoștințe pot fi aplicate pentru a obține o transformare pentru spin 1. Iată cum se face: aveți un sistem (un atom de hidrogen cu energie + A) cu spin 1. Să-l trecem printr-un filtru S Stern-Gerlach, astfel încât să știm acum că se află într-una dintre stările de bază în ceea ce privește S, să spunem în |+ S). Care este amplitudinea acesteia care ajunge într-una dintre stările de bază, să spunem |+ T), în raport cu dispozitivul T? Dacă apelați sistemul de coordonate al instrumentului S sistem x, y, z, acea stare |+ S> - aceasta este ceea ce a fost numit recent starea |+ +>. Dar imaginează-ți că un prieten de-al tău i-a desenat osia z de-a lungul axei T. El își va raporta stările de un anumit sistem X y", z". Stările sale în sus și în jos pentru electron și proton ar fi diferite de ale tale. A lui stare „plus - plus”, care poate fi scris | +"+">, observând „hașurarea” sistemului, există o stare |+ T> particule cu spin 1. Sunteți interesat de T|+ S> că există pur și simplu un mod diferit de înregistrare a amplitudinii.

Amplitudinea poate fi găsită după cum urmează. ÎN a ta sistem de centrifugare electron din stat | + +> puncte în sus. Aceasta înseamnă că el are o amplitudine e pentru a fi în sistemul prietenului tău spin up și o oarecare amplitudine e pentru a fi în acest sistem spin down. De asemenea, proton capabil + + U are rotire în sus în sistemul dvs. și amplitudinile p și p se dovedesc a fi spin în sus sau în jos în sistemul "amorsat". Deoarece vorbim despre două particule diferite, amplitudinea de că ambele particule împreună V a lui sistemul se va dovedi a fi cu spatele în sus, egal cu produsul amplitudinilor

Am pus pictogramele e și p sub amplitudini pentru a ne clarifica ce facem. Dar ambele sunt pur și simplu amplitudini de transformare pentru o particulă cu spin 1/2, deci de fapt sunt aceleași numere. De fapt, acestea sunt aceleași amplitudini pe care le-am descris în cap. 4 s-au numit T|+ S>> si pe care le-am enumerat in tabel. 4.1 și 4.2.

Dar acum, totuși, suntem amenințați cu confuzie în notație. Trebuie să puteți distinge amplitudinea T|+ S) pentru o particulă cu spin 1/2 din ceea ce suntem De asemenea numit T|+ S>, dar pentru înapoi 1-nu există nimic în comun între ei! Sper că nu vei fi prea confuz dacă noi pentru o vreme Să introducem și alte notații pentru amplitudini pentru spin 1/2. Acestea sunt date în tabel. 10.4. Pentru stările particulelor de spin 1 vom continua să folosim notația | + S, | 0S> și |- S>.

Tabelul 10.4· AMPLITUDINI pentru SPIN 1 / 2

În noua noastră notație (10.44) devine pur și simplu

Aceasta este exact amplitudinea T|+ S> pentru rotirea 1. Acum să presupunem, de exemplu, că prietenul tău are un sistem de coordonate, adică un dispozitiv „hașurat” T, rotit în jur a ta topoare z prin unghiul j; apoi de la masă 4.2 se dovedește

Aceasta înseamnă că de la (10.44) amplitudinea pentru spin 1 va fi egală cu

Acum înțelegeți cum vom proceda în continuare.

Dar ar fi bine să se efectueze calcule în cazul general pentru toate statele. Dacă un proton și un electron sunt în al nostru sistem (sistem S) ambele caută în sus, apoi amplitudinile a ceea ce este în celălalt sistem (sistem T)se vor afla într-una din cele patru stări posibile,

Apoi putem scrie starea |+ +> ca următoarea combinație liniară:

În același mod, este ușor să arăți asta

C |0 S> situatia este putin mai complicata, pentru ca

Dar fiecare dintre statele | + - > și | - +> poate fi exprimat prin stările „hașurate” și înlocuit în suma:

Înmulțind suma (10,50) și (10,51) cu 1/T2, obținem

asta implică

Acum avem toate amplitudinile necesare. Coeficienții din (10.48), (10.49) și (10.52) sunt elemente de matrice

jT| este>. Să le punem într-o singură matrice:

Am exprimat transformarea spin 1 în termeni de amplitudini a, b, cu şi d rotește 1/2 transformări.

Dacă, de exemplu, sistemul T rotit în raport cu S la unghiul a în jurul axei la(vezi Fig. 3.6, p. 64), apoi amplitudinile din tabel. 10.4 este doar elemente de matrice R y(a) în tabel. 4.2:

Înlocuindu-le în (10.53), obținem formulele (3.38), care sunt date la pagina 80 fără dovezi.

Dar ce s-a întâmplat cu statul | IV)?! Acesta este un sistem spin-zero; asta înseamnă că ea are o singură stare - aceasta în toate sistemele de coordonate la fel. Poți verifica dacă totul decurge astfel dacă iei diferența (10.50) și (10.51); primim

Dar (ad-bc) - acesta este determinantul matricei pentru spin 1/2, este pur și simplu egal cu unu. Se dovedește

|IV">=|IV> pentru orice orientare relativă a celor două sisteme de coordonate.

* Pentru cei care au sărit peste cap. 4, va trebui să săriți și acest paragraf.

*Rețineți că, în mod clasic, U= -m·B, deci energia este cea mai mică atunci când cuplul este direcționat de-a lungul câmpului. Pentru particulele încărcate pozitiv, momentul magnetic este paralel cu spinul, pentru cele negative - invers. Aceasta înseamnă că în (10.27) m R este un număr pozitiv și (m e - negativ.

*Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

*În realitate starea este

dar, ca de obicei, vom identifica stări cu vectori constanți, care la t=0 coincid cu vectori reali.

* Acest operator este acum numit operator de schimb de spin.

* Pentru acești operatori, însă, se dovedește că nimic nu depinde de comanda lor.

, molecule și ioni și, în consecință, linii spectrale, datorită interacțiunii momentului magnetic al nucleului cu câmpul magnetic al electronilor. Energia acestei interacțiuni depinde de posibilele orientări reciproce ale spinului nuclear și al spinurilor electronilor.

Respectiv, despicare hiperfină- împărțirea nivelurilor de energie (și liniilor spectrale) în mai multe subniveluri cauzate de o astfel de interacțiune.

Conform conceptelor clasice, un electron care orbitează în jurul unui nucleu, ca orice particulă încărcată care se mișcă pe o orbită circulară, are un moment dipol magnetic. În mod similar, în mecanica cuantică, momentul unghiular orbital al unui electron creează un anumit moment magnetic. Interacțiunea acestui moment magnetic cu momentul magnetic al nucleului (datorită spinului nuclear) duce la divizare hiperfină (adică creează o structură hiperfină). Cu toate acestea, electronul are și spin, care contribuie la momentul său magnetic. Prin urmare, divizarea hiperfină există chiar și pentru termeni cu impuls orbital zero.

Distanța dintre subnivelurile structurii hiperfine este cu un ordin de mărime mai mică decât cea dintre nivelurile structurii fine (acest ordin de mărime este determinat în esență de raportul dintre masa electronilor și masa nucleului).

Structură ultrafină anormală este cauzată de interacțiunea electronilor cu momentul electric patrupolar al nucleului.

Poveste

Diviziunea hiperfină a fost observată de A. A. Michelson în 1881, dar a fost explicată abia după ce W. Pauli a sugerat prezența unui moment magnetic în nucleele atomice în 1924.

Scrieți o recenzie despre articolul „Structură ultrafină”

Literatură

Landau L.D., Lifshits E.M. Fizica teoretica . Volumul 3. Mecanica cuantică (teoria non-relativista).
Shpolsky E.V. Fizica atomică. - M.: Nauka, 1974.

Extras care caracterizează structura hiperfină

„Nu are rost să ne distrăm”, a răspuns Bolkonsky.
În timp ce prințul Andrei s-a întâlnit cu Nesvitski și Jherkov, de cealaltă parte a coridorului, Strauch, un general austriac care se afla la sediul lui Kutuzov pentru a monitoriza aprovizionarea cu alimente a armatei ruse, și un membru al Gofkriegsrat-ului, care sosise cu o zi înainte. , a mers spre ei. Era suficient spațiu de-a lungul coridorului larg pentru ca generalii să se împrăștie liber cu trei ofițeri; dar Jherkov, împingându-l pe Nesvitski cu mâna, spuse cu o voce fără suflare:
- Vin!... vin!... deoparte! te rog drumul!
Generalii treceau cu un aer de dorință de a scăpa de onorurile deranjante. Chipul glumetului Jherkov și-a exprimat brusc un zâmbet stupid de bucurie, pe care părea incapabil să-l stăpânească.
„Excelența voastră”, spuse el în germană, mergând înainte și adresându-se generalului austriac. – Am onoarea să te felicit.
Și-a plecat capul și stânjenit, ca niște copii care învață să danseze, a început să se amestece mai întâi cu un picior și apoi cu celălalt.
Generalul, membru al Gofkriegsrat-ului, îl privi cu severitate; fără să observe seriozitatea zâmbetului stupid, nu putea refuza o clipă atenția. Miji ochii pentru a arăta că asculta.
„Am onoarea să vă felicit, generalul Mack a sosit, este complet sănătos, doar a fost puțin rănit aici”, a adăugat el, zâmbind cu un zâmbet și arătându-și capul.
Generalul s-a încruntat, s-a întors și a mers mai departe.
– Înțeleg, naiv! [Doamne, ce simplu este!] – spuse el furios, îndepărtându-se câțiva pași.
Nesvitski l-a îmbrățișat râzând pe prințul Andrei, dar Bolkonski, devenind și mai palid, cu o expresie furioasă pe față, l-a împins și s-a întors către Jherkov. Iritarea nervoasă în care l-au dus vederea lui Mack, vestea înfrângerii sale și gândul la ceea ce aștepta armata rusă, și-a găsit rezultatul în furie față de gluma nepotrivită a lui Jherkov.
„Dacă dumneavoastră, dragă domnule”, spuse el strident, cu un ușor tremur al maxilarului inferior, „dacă doriți să fiți un bufon, atunci nu vă pot împiedica să faceți acest lucru; dar îți declar că dacă îndrăznești să-mi faci de râs în prezența mea altă dată, atunci te voi învăța cum să te comporți.
Nesvitski și Jherkov au fost atât de surprinși de această explozie, încât s-au uitat în tăcere la Bolkonsky cu ochii deschiși.
„Ei bine, doar am felicitat”, a spus Jherkov.
– Nu glumesc cu tine, te rog să taci! - strigă Bolkonski și, luând-o pe Nesvitski de mână, s-a îndepărtat de Jherkov, care nu a găsit ce să răspundă.
— Ei bine, despre ce vorbești, frate, spuse Nesvitsky calm.

Deși am finalizat sarcina de a găsi nivelurile de energie ale stării fundamentale a hidrogenului, vom continua totuși să studiem acest sistem interesant. Pentru a spune altceva despre asta, de exemplu pentru a calcula viteza cu care un atom de hidrogen absoarbe sau emite unde radio de lungime 21 cm, trebuie să știi ce se întâmplă cu el când este revoltat. Trebuie să facem ceea ce am făcut cu molecula de amoniac - după ce am găsit nivelurile de energie, am mers mai departe și am aflat ce se întâmplă când molecula se află într-un câmp electric. Și după aceasta nu a fost greu de imaginat influența câmpului electric al unei unde radio. În cazul atomului de hidrogen, câmpul electric nu face nimic cu nivelurile, cu excepția faptului că le deplasează pe toate cu o valoare constantă proporțională cu pătratul câmpului, iar acest lucru nu ne interesează, deoarece nu se modifică. diferențe energii. De data asta e important magnetnou camp. Aceasta înseamnă că următorul pas este să scrieți Hamiltonianul pentru cazul mai complex când atomul se află într-un câmp magnetic extern.

Ce este acest hamiltonian? Vă vom spune pur și simplu răspunsul, pentru că nu putem da nicio „dovadă”, decât să spunem că exact așa este structurat atomul.

Hamiltonianul are forma

Acum este format din trei părți. Primul membru A(σ e ·σ p) reprezintă interacțiunea magnetică dintre electron și proton; este la fel ca și când nu ar exista câmp magnetic. Influența câmpului magnetic extern se manifestă în cei doi termeni rămași. Al doilea mandat (- μ e σ e· B) este energia pe care un electron ar avea-o într-un câmp magnetic dacă ar fi singur acolo. În același mod, ultimul termen (- μ р σ р ·В) ar fi energia unui singur proton. Conform fizicii clasice, energia ambilor împreună ar fi suma energiilor lor; Potrivit mecanicii cuantice, acest lucru este, de asemenea, corect. Energia de interacțiune care rezultă din prezența unui câmp magnetic este pur și simplu suma energiilor de interacțiune a unui electron cu un câmp magnetic și a unui proton cu același câmp, exprimată prin operatori sigma. În mecanica cuantică, acești termeni nu sunt de fapt energii, dar referirea la formulele clasice pentru energie ajută să ne amintim regulile de scriere a hamiltonianului. Oricum ar fi, (10.27) este Hamiltonianul corect.

Acum trebuie să vă întoarceți la început și să rezolvați din nou întreaga problemă. Dar cea mai mare parte a muncii a fost deja făcută; trebuie doar să adăugăm efectele cauzate de noii membri. Să presupunem că câmpul magnetic B este constant și direcționat de-a lungul z. Apoi la vechiul nostru operator hamiltonian N trebuie să adăugați două piese noi; să-i desemnăm N′:

Uite ce comod este! Operatorul H′, care acționează asupra fiecărei stări, dă pur și simplu un număr înmulțit cu aceeași stare. În matrice<¡|H′| j>există deci numai diagonală elemente și se pot adăuga pur și simplu coeficienții de la (10.28) la termenii diagonali corespunzători din (10.13), astfel încât ecuațiile hamiltoniene (10.14) devin

Forma ecuațiilor nu s-a schimbat, s-au schimbat doar coeficienții. Și la revedere ÎN nu se schimbă în timp, puteți face totul la fel ca înainte.
Înlocuind CU= a l e-(¡/h)Et, primim

Din fericire, prima și a patra ecuație sunt încă independente de celelalte, așa că aceeași tehnică va fi folosită din nou. O soluție este starea |/>, pentru care

Celelalte două ecuații necesită mai multă muncă deoarece coeficienții a 2 și a 3 nu mai sunt egali unul cu altul. Dar sunt foarte asemănătoare cu perechea de ecuații pe care am scris-o pentru molecula de amoniac. Privind înapoi la ecuațiile (7.20) și (7.21), putem trage următoarea analogie (rețineți că indicele 1 și 2 de acolo corespund indicele 2 și 3 de aici):

Anterior, energiile erau date prin formula (7.25), care avea forma

În capitolul 7 obișnuiam să numim aceste energii E Iși E II, acum le vom desemna E IIIȘi E IV

Deci, am găsit energiile a patru stări staționare ale atomului de hidrogen într-un câmp magnetic constant. Să ne verificăm calculele, pentru care ne vom direcționa ÎN la zero și vedem dacă obținem aceleași energii ca în paragraful anterior. Vezi ca totul este bine. La B=0 energie E I, E IIȘi E III a lua legatura +A, A E IV - V - 3A. Chiar și numerotarea noastră a statelor este în concordanță cu cea anterioară. Dar când pornim câmpul magnetic, fiecare energie va începe să se schimbe în felul ei. Să vedem cum se întâmplă asta.

În primul rând, amintiți-vă că electronul μ e negativ și de aproape 1000 de ori mai mare μ p, ceea ce este pozitiv. Aceasta înseamnă că μ e +μ р și μ e -μ р sunt ambele negative și aproape egale între ele. Să le notăm -μ și -μ′:

(ȘI μ , și μ′ sunt pozitive și aproape coincid ca valoare cu μ e, care este aproximativ egal cu un magneton Bohr.) Cvartetul nostru de energii se va transforma apoi în

Energie E eu initial egal cu Ași crește liniar odată cu creșterea ÎN cu viteza μ. Energie E II este de asemenea egal la început A, dar cu creștere ÎN liniar scade panta curbei sale este - μ . Schimbarea acestor niveluri de la ÎN prezentat în Fig. 10.3. Figura prezintă, de asemenea, grafice de energie E IIIȘi E IV. Dependenţa lor de ÎN diferit. La mic ÎN ele depind de ÎN pătratică; La început panta lor este zero, apoi încep să se îndoaie și când mare B se apropie de linii drepte cu panta ± μ ′ aproape de pârtie E IȘi E II.

Se numește schimbarea nivelurilor de energie atomică cauzată de acțiunea unui câmp magnetic Efectul Zeeman. Spunem că curbele din FIG. 10.3 arată Zeeman se desparte starea fundamentală a hidrogenului. Când nu există câmp magnetic, pur și simplu obținem o linie spectrală din structura hiperfină a hidrogenului. Tranziții de stat | IV> și oricare dintre celelalte trei apar cu absorbția sau emisia unui foton a cărui frecvență este 1420 MHz:1/h, înmulțit cu diferența de energie 4A. Dar când atomul se află într-un câmp magnetic B, atunci există mult mai multe linii. Tranzițiile pot avea loc între oricare două dintre cele patru stări. Aceasta înseamnă că dacă avem atomi în toate cele patru stări, atunci energia poate fi absorbită (sau emisă) în oricare dintre cele șase tranziții prezentate în Fig. 10.4 cu săgeți verticale. Multe dintre aceste tranziții pot fi observate folosind tehnica fasciculului molecular Rabi, pe care am descris-o în cap. 35, § 3 (numărul 7).

Ce cauzează tranzițiile? Ele apar dacă, împreună cu un câmp constant puternic ÎN aplicați un mic câmp magnetic perturbator care variază în timp. Am observat același lucru sub acțiunea unui câmp electric alternativ asupra unei molecule de amoniac. Doar aici vinovatul tranzițiilor este câmpul magnetic care acționează asupra momentelor magnetice. Dar calculele teoretice sunt aceleași ca și în cazul amoniacului. Cel mai simplu mod de a le obține este de a lua un câmp magnetic perturbator care se rotește într-un plan hu, deși același lucru se va întâmpla din orice câmp orizontal oscilant. Dacă introduceți acest câmp perturbator ca termen suplimentar în Hamiltonian, obțineți soluții în care amplitudinile se modifică în timp, așa cum a fost cazul moleculei de amoniac. Aceasta înseamnă că puteți calcula cu ușurință și exact probabilitatea de trecere de la o stare la alta. Și vei descoperi că toate acestea sunt în concordanță cu experiența.

9. Comparați valoarea obținută cu cea teoretică, calculată prin constante universale.

Raportul trebuie să conțină:

1. Proiectarea optică a spectrometrului cu o prismă și o prismă rotativă;

2. Tabel de măsurători ale unghiurilor de abatere ale liniilor - puncte de referință de mercur și valorile medii ale acestora;

3. Tabel de măsurători ale unghiurilor de abatere ale liniilor de hidrogen și valorile medii ale acestora;

4. Valorile frecvențelor găsite ale liniilor de hidrogen și formulele de interpolare utilizate pentru calcule;

5. Sisteme de ecuații utilizate pentru determinarea constantei Rydberg folosind metoda celor mai mici pătrate;

6. Valoarea obținută a constantei Rydberg și valoarea ei calculată din constantele universale.

3.5.2. Determinarea spectroscopică a momentelor nucleare

3.5.2.1. Determinarea experimentală a parametrilor de divizare hiperfină a liniilor spectrale.

Pentru a măsura structura ultrafină a liniilor spectrale este necesar să folosim instrumente spectrale cu putere de rezoluție mare, de aceea în această lucrare folosim un instrument spectral cu dispersie încrucișată, în care un interferometru Fabry-Perot este plasat în interiorul unui spectrograf cu prismă (vezi Fig. 3.5.1 și secțiunea 2.4.3.2,

orez. 2.4.11).

Dispersia unui spectrograf cu prismă este suficientă pentru a separa liniile spectrale de emisie cauzate de tranzițiile electronului de valență într-un atom de metal alcalin, dar este complet insuficientă pentru a rezolva structura hiperfină a fiecăreia dintre aceste linii. Prin urmare, dacă am folosi doar un spectrograf cu prismă, am obține un spectru de emisie obișnuit pe o placă fotografică, în care componentele structurii hiperfine s-ar fuziona într-o singură linie, a cărei lățime spectrală este determinată doar de rezoluția ICP51. .

Interferometrul Fabry-Perot face posibilă obținerea unui model de interferență în cadrul fiecărei linii spectrale, care este o secvență de inele de interferență. Diametrul unghiular al acestor inele θ, așa cum este cunoscut din teoria interferometrului Fabry-Perot, este determinat de raportul dintre grosimea stratului de aer standard t și lungimea de undă λ:

		θ k = k

unde k este ordinea de interferență pentru un inel dat.

Astfel, fiecare linie spectrală nu este doar o imagine geometrică a fantei de intrare, construită de sistemul optic al spectrografului în planul plăcii fotografice, fiecare dintre aceste imagini se dovedește acum a fi intersectată de segmente de inele de interferență. Dacă nu există o divizare hiperfină, atunci în cadrul unei linii spectrale date va fi observat un sistem de inele care corespunde diferitelor ordine de interferență.

Dacă într-o linie spectrală dată există două componente cu lungimi de undă diferite (divizare hiperfină), atunci modelul de interferență va fi două sisteme de inele pentru lungimile de undă λ și λ”, prezentate în Fig. 3.5.2 cu linii continue și, respectiv, punctate.

Orez. 3.5.2. Structura de interferență a unei linii spectrale constând din două componente apropiate.

Diametrul liniar al inelelor de interferență d în aproximarea unghiului mic este legat de diametrul unghiular θ prin relația:

d = θ×F 2,

unde F 2 este distanța focală a lentilei camerei spectrograf.

Să obținem expresii care raportează diametrele unghiulare și liniare ale inelelor de interferență cu lungimea de undă a radiației care formează modelul de interferență în interferometrul Fabry-Perot.

În aproximarea unghiului mic cos θ 2 k ≈ 1− θ 8 k și pentru două lungimi

undele λ și λ „condițiile pentru maximul de interferență de ordinul k se vor scrie în consecință:

				4λ"
θk = 8	−k	θ" k = 8	−k

De aici, pentru diferența dintre lungimile de undă ale celor două componente, obținem:

d λ = λ" −λ =		(θ k 2	− θ" k 2 )
d λ = λ" −λ =		(θ k 2	− θ" k 2 )

Diametrul unghiular (k +1) de ordinul I al lungimii de undă este determinat de
raport:
	8 − (k +1)
	8 − (k +1)
k+ 1

Din (3.5.9) și (3.5.11) obținem:

	= θ2			− θ2

				k+ 1

Excluzând t					din (3.5.10)-(3.5.12) se obtine:
d λ =			θk 2 − θ" k 2

		k θ2 − θ2
					k+ 1

La unghiuri mici, ordinea interferenței este dată de relație

k = 2 λ t (vezi (3.5.8)), deci egalitatea (3.5.13) ia forma:

d λ =			θk 2 − θ" k 2
d λ =
	2 t θ 2			− θ2
				k+ 1

Trecând la numerele de undă ν =					Primim:
Trecând la numerele de undă ν =					Primim:
		1 d k 2 − d "k 2
d ν =
d ν =			− d 2
			k+ 1

Acum, pentru a determina d ~ ν, trebuie să măsurăm diametrele liniare a două sisteme de inele de interferență pentru două componente ale structurii hiperfine din interiorul liniei spectrale studiate. Pentru a crește acuratețea determinării d ~ ν, este logic să măsurați diametrele inelelor, începând cu al doilea și terminând cu al cincilea. Alte inele sunt situate aproape unele de altele, iar eroarea în determinarea diferenței în pătratele diametrelor inelelor crește foarte repede. Puteți face media întregii părți din dreapta (3.5.16) sau separat numărătorul și numitorul.