Adesea sună ca o parte a unui plan care este delimitată de un cerc. Circumferința unui cerc este o curbă plată închisă. Toate punctele situate pe curbă sunt la aceeași distanță de centrul cercului. Într-un cerc, lungimea și perimetrul acestuia sunt aceleași. Raportul dintre lungimea oricărui cerc și diametrul acestuia este constant și este notat cu numărul π = 3,1415.

Determinarea perimetrului unui cerc

Perimetrul unui cerc cu raza r este egal cu dublul produsului dintre raza r și numărul π(~3,1415)

Formula perimetrului cercului

Perimetrul unui cerc cu raza \(r\) :

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – perimetrul (circumferința).

\(r\) – raza.

\(d\) – diametru.

Vom numi un cerc o figură geometrică care constă din toate astfel de puncte care sunt la aceeași distanță de orice punct dat.

Centrul cercului vom numi punctul care este specificat în Definiția 1.

Raza cercului vom numi distanța de la centrul acestui cerc până la oricare dintre punctele sale.

În sistemul de coordonate carteziene \(xOy\) putem introduce și ecuația oricărui cerc. Să notăm centrul cercului prin punctul \(X\) , care va avea coordonatele \((x_0,y_0)\) . Fie raza acestui cerc egală cu \(τ\) . Să luăm un punct arbitrar \(Y\) ale cărui coordonate le notăm cu \((x,y)\) (Fig. 2).

Folosind formula pentru distanța dintre două puncte din sistemul nostru de coordonate dat, obținem:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Pe de altă parte, \(|XY| \) este distanța de la orice punct al cercului până la centrul pe care l-am ales. Adică, prin definiția 3, obținem că \(|XY|=τ\) , prin urmare

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Astfel, obținem că ecuația (1) este ecuația unui cerc în sistemul de coordonate carteziene.

Circumferința (perimetrul unui cerc)

Vom deduce lungimea unui cerc arbitrar \(C\) folosind raza lui egală cu \(τ\) .

Vom lua în considerare două cercuri arbitrare. Să notăm lungimile lor cu \(C\) și \(C"\) , ale căror raze sunt egale cu \(τ\) și \(τ"\) . Vom înscrie \(n\)-gonuri regulate în aceste cercuri, ale căror perimetre sunt egale cu \(ρ\) și \(ρ"\), lungimile laturilor sunt egale cu \(α\) și \ (α"\), respectiv. După cum știm, latura unui pătrat obișnuit \(n\) înscris într-un cerc este egală cu

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Atunci, vom obține asta

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Înțelegem că relația \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) va fi adevărată indiferent de numărul de laturi ale poligoanelor regulate înscrise. Acesta este

\(\lim_(n\la\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Pe de altă parte, dacă creștem la infinit numărul de laturi ale poligoanelor regulate înscrise (adică \(n→∞\)), obținem egalitatea:

\(lim_(n\la\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Din ultimele două egalități obținem că

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Vedem că raportul dintre circumferința unui cerc și raza sa dublă este întotdeauna același număr, indiferent de alegerea cercului și a parametrilor acestuia, adică

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Această constantă ar trebui numită numărul „pi” și notată \(π\) . Aproximativ, acest număr va fi egal cu \(3,14\) (nu există o valoare exactă a acestui număr, deoarece este un număr irațional). Prin urmare

\(\frac(C)(2τ)=π \)

În cele din urmă, aflăm că circumferința (perimetrul unui cerc) este determinată de formula

\(C=2πτ\)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

Un cerc este format din mai multe puncte care se află la distanțe egale de centru. Aceasta este o figură geometrică plată, iar găsirea lungimii acesteia nu este dificilă. O persoană întâlnește un cerc și un cerc în fiecare zi, indiferent de domeniul în care lucrează. Multe legume și fructe, dispozitivele și mecanismele, vasele și mobilierul au formă rotundă. Un cerc este ansamblul de puncte care se află în limitele cercului. Prin urmare, lungimea figurii este egală cu perimetrul cercului.

In contact cu

Caracteristicile figurii

Pe lângă faptul că descrierea conceptului de cerc este destul de simplă, caracteristicile sale sunt, de asemenea, ușor de înțeles. Cu ajutorul lor, puteți calcula lungimea acestuia. Partea interioară a cercului este formată din multe puncte, dintre care două - A și B - pot fi văzute în unghi drept. Acest segment se numește diametru, este format din două raze.

În cerc există puncte X astfel, care nu se modifică și nu este egal cu unitatea, raportul AX/BX. Într-un cerc, această condiție trebuie îndeplinită; în caz contrar, această figură nu are forma unui cerc. Fiecare punct care alcătuiește o figură este supus următoarei reguli: suma distanțelor pătrate de la aceste puncte la celelalte două depășește întotdeauna jumătate din lungimea segmentului dintre ele.

Termenii de bază ale cercului

Pentru a putea găsi lungimea unei figuri, trebuie să cunoașteți termenii de bază referitori la aceasta. Parametrii principali ai figurii sunt diametrul, raza și coardă. Raza este segmentul care leagă centrul cercului cu orice punct de pe curba acestuia. Mărimea unei coarde este egală cu distanța dintre două puncte de pe curba figurii. Diametru - distanța dintre puncte, trecând prin centrul figurii.

Formule de bază pentru calcule

Parametrii sunt utilizați în formulele pentru calcularea dimensiunilor unui cerc:

Diametrul în formulele de calcul

În economie și matematică este adesea nevoie de a găsi circumferința unui cerc. Dar în viața de zi cu zi puteți întâlni această nevoie, de exemplu, atunci când construiți un gard în jurul unei piscine rotunde. Cum se calculează circumferința unui cerc după diametru? În acest caz, utilizați formula C = π*D, unde C este valoarea dorită, D este diametrul.

De exemplu, lățimea piscinei este de 30 de metri, iar stâlpii de gard sunt planificați să fie plasați la o distanță de zece metri de acesta. În acest caz, formula de calcul a diametrului este: 30+10*2 = 50 de metri. Valoarea necesară (în acest exemplu, lungimea gardului): 3,14*50 = 157 metri. Dacă stâlpii de gard stau la o distanță de trei metri unul de celălalt, atunci va fi necesar un total de 52 dintre ei.

Calcule de rază

Cum se calculează circumferința unui cerc dintr-o rază cunoscută? Pentru a face acest lucru, utilizați formula C = 2*π*r, unde C este lungimea, r este raza. Raza unui cerc este jumătate din diametru, iar această regulă poate fi utilă în viața de zi cu zi. De exemplu, în cazul pregătirii unei plăcinte în formă de alunecare.

Pentru a preveni murdărirea produsului culinar, este necesar să folosiți un ambalaj decorativ. Cum să tăiați un cerc de hârtie de dimensiunea potrivită?

Cei care sunt puțin familiarizați cu matematica înțeleg că în acest caz trebuie să înmulțiți numărul π cu de două ori raza formei utilizate. De exemplu, diametrul formei este de 20 de centimetri, respectiv, raza sa este de 10 centimetri. Folosind acești parametri, se găsește dimensiunea necesară a cercului: 2*10*3, 14 = 62,8 centimetri.

Metode de calcul la îndemână

Dacă nu este posibil să găsiți circumferința folosind formula, atunci ar trebui să utilizați metodele disponibile pentru calcularea acestei valori:

• Dacă un obiect rotund este mic, lungimea acestuia poate fi găsită folosind o frânghie înfășurată în jurul lui o dată.
• Mărimea unui obiect mare se măsoară după cum urmează: o frânghie este așezată pe o suprafață plană și un cerc este rulat de-a lungul ei o dată.
• Elevii și școlarii moderni folosesc calculatoare pentru calcule. Online, puteți afla cantități necunoscute folosind parametri cunoscuți.

Obiecte rotunde din istoria vieții umane

Primul produs de formă rotundă pe care l-a inventat omul a fost roata. Primele structuri erau mici bușteni rotunzi montați pe o osie. Apoi au venit roțile din spițe și jante de lemn. Treptat, piese metalice au fost adăugate produsului pentru a reduce uzura. Pentru a afla lungimea benzilor metalice pentru tapițeria roților, oamenii de știință din secolele trecute căutau o formulă pentru calcularea acestei valori.

Roata olarului are forma unei roate, majoritatea părților în mecanisme complexe, design de mori de apă și roți de filare. Obiectele rotunde se găsesc adesea în construcții - rame de ferestre rotunde în stil arhitectural romanic, hublouri în nave. Arhitecții, inginerii, oamenii de știință, mecanicii și designerii în fiecare zi în activitățile lor profesionale se confruntă cu nevoia de a calcula dimensiunile unui cerc.

Un cerc se găsește în viața de zi cu zi nu mai puțin decât un dreptunghi. Și pentru mulți oameni, problema modului de calcul al circumferinței este dificilă. Și totul pentru că nu are colțuri. Dacă ar fi disponibile, totul ar deveni mult mai ușor.

Ce este un cerc și unde apare?

Această figură plată reprezintă un număr de puncte care sunt situate la aceeași distanță de un altul, care este centrul. Această distanță se numește rază.

În viața de zi cu zi, nu este adesea necesar să se calculeze circumferința unui cerc, cu excepția persoanelor care sunt ingineri și designeri. Ei creează modele pentru mecanisme care folosesc, de exemplu, angrenaje, hublouri și roți. Arhitecții creează case cu ferestre rotunde sau arcuite.

Fiecare dintre acestea și alte cazuri necesită propria sa acuratețe. Mai mult, se dovedește a fi imposibil să se calculeze circumferința absolut exact. Acest lucru se datorează infinitității numărului principal din formulă. „Pi” este încă în curs de rafinare. Și valoarea rotunjită este cel mai des folosită. Gradul de acuratețe este ales pentru a da răspunsul cel mai corect.

Denumiri de cantități și formule

Acum este ușor să răspundeți la întrebarea cum să calculați circumferința unui cerc după rază; pentru aceasta veți avea nevoie de următoarea formulă:

Deoarece raza și diametrul sunt legate între ele, există o altă formulă pentru calcule. Deoarece raza este de două ori mai mică, expresia se va schimba ușor. Și formula pentru calcularea circumferinței unui cerc, cunoscând diametrul, va fi următoarea:

l = π * d.

Ce se întâmplă dacă trebuie să calculați perimetrul unui cerc?

Nu uitați că un cerc include toate punctele din interiorul cercului. Aceasta înseamnă că perimetrul său coincide cu lungimea sa. Și după calcularea circumferinței, puneți un semn egal cu perimetrul cercului.

Apropo, denumirile lor sunt aceleași. Acest lucru se aplică razei și diametrului, iar perimetrul este litera latină P.

Exemple de sarcini

Sarcina unu

Condiție. Aflați lungimea unui cerc a cărui rază este de 5 cm.

Soluţie. Aici nu este greu de înțeles cum se calculează circumferința. Trebuie doar să folosești prima formulă. Deoarece raza este cunoscută, tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți valorile și să calculați. 2 înmulțit cu o rază de 5 cm dă 10. Tot ce rămâne este să-l înmulțim cu valoarea lui π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Răspuns: l = 31,4 cm.

Sarcina a doua

Condiție. Există o roată a cărei circumferință este cunoscută și egală cu 1256 mm. Este necesar să-i calculăm raza.

Soluţie.În această sarcină va trebui să utilizați aceeași formulă. Dar numai lungimea cunoscută va trebui împărțită în produsul dintre 2 și π. Rezultă că produsul va da rezultatul: 6,28. După împărțire, numărul rămas este: 200. Aceasta este valoarea dorită.

Răspuns: r = 200 mm.

Sarcina trei

Condiție. Calculați diametrul dacă se cunoaște circumferința cercului, care este de 56,52 cm.

Soluţie. Similar cu problema anterioară, va trebui să împărțiți lungimea cunoscută la valoarea lui π, rotunjită la cea mai apropiată sutime. În urma acestei acțiuni se obține numărul 18. Se obține rezultatul.

Răspuns: d = 18 cm.

Problema patru

Condiție. Acele ceasului au lungimea de 3 și 5 cm. Trebuie să calculați lungimile cercurilor care le descriu capetele.

Soluţie. Deoarece săgețile coincid cu razele cercurilor, este necesară prima formulă. Trebuie să-l folosești de două ori.

Pentru prima lungime, produsul va fi format din factori: 2; 3,14 și 3. Rezultatul va fi 18,84 cm.

Pentru al doilea răspuns, trebuie să înmulțiți 2, π și 5. Produsul va da numărul: 31,4 cm.

Răspuns: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Sarcina cinci

Condiție. O veveriță aleargă într-o roată cu diametrul de 2 m. Cât de departe merge într-o rotație completă a roții?

Soluţie. Această distanță este egală cu circumferința. Prin urmare, trebuie să utilizați o formulă adecvată. Și anume, înmulțiți valoarea lui π și 2 m. Calculele dau rezultatul: 6,28 m.

Răspuns: Veverița aleargă 6,28 m.

Foarte des, atunci când rezolvi sarcinile școlare în fizică sau știință, apare întrebarea - cum să găsești circumferința unui cerc, cunoscând diametrul? De fapt, nu există dificultăți în rezolvarea acestei probleme; trebuie doar să vă imaginați clar ce formule,conceptele și definițiile sunt necesare pentru aceasta.

In contact cu

Concepte de bază și definiții

1. Raza este linia de legătură centrul cercului și punctul său arbitrar. Este notat cu litera latină r.
2. Un acord este o linie care leagă două arbitrare puncte situate pe un cerc.
3. Diametrul este linia de legătură două puncte ale unui cerc și trecând prin centrul acestuia. Este notat cu litera latină d.
4. este o linie formată din toate punctele situate la distanțe egale față de un punct selectat, numit centru. Vom nota lungimea sa cu litera latină l.

Aria unui cerc este întregul teritoriu închis într-un cerc. Se măsoară în unități pătrateși este notat cu litera latină s.

Folosind definițiile noastre, ajungem la concluzia că diametrul unui cerc este egal cu cea mai mare coardă a acestuia.

Atenţie! Din definiția a ceea ce este raza unui cerc, puteți afla care este diametrul unui cerc. Acestea sunt două raze dispuse în direcții opuse!

Diametrul unui cerc.

Găsirea circumferinței și a ariei unui cerc

Dacă ni se dă raza unui cerc, atunci diametrul cercului este descris prin formula d = 2*r. Astfel, pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți diametrul unui cerc, cunoscând raza acestuia, ultimul este suficient inmultiti cu doi.

Formula pentru circumferința unui cerc, exprimată în termeni de rază, are forma l = 2*P*r.

Atenţie! Litera latină P (Pi) indică raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia, iar aceasta este o fracție zecimală neperiodică. În matematica școlară, este considerată o valoare tabelară cunoscută anterior egală cu 3,14!

Acum să rescriem formula anterioară pentru a găsi circumferința unui cerc prin diametrul său, amintindu-ne care este diferența lui în raport cu raza. Se va dovedi: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Din cursul de matematică știm că formula care descrie aria unui cerc are forma: s = П*r^2.

Acum să rescriem formula anterioară pentru a găsi aria unui cerc prin diametrul său. Primim,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Una dintre cele mai dificile sarcini din acest subiect este determinarea ariei unui cerc prin circumferință și invers. Să profităm de faptul că s = П*r^2 și l = 2*П*r. De aici obținem r = l/(2*П). Să înlocuim expresia rezultată pentru rază în formula pentru zonă, obținem: s = l^2/(4П). Într-un mod complet similar, circumferința este determinată prin zona cercului.

Determinarea lungimii și diametrului razei

Important!În primul rând, să învățăm cum să măsuram diametrul. Este foarte simplu - desenați orice rază, extindeți-o în direcția opusă până când se intersectează cu arcul. Măsurăm distanța rezultată cu o busolă și folosim orice instrument metric pentru a afla ce căutăm!

Să răspundem la întrebarea cum să aflăm diametrul unui cerc, știind lungimea acestuia. Pentru a face acest lucru, o exprimăm din formula l = П*d. Se obține d = l/P.

Știm deja cum să-i găsim diametrul din circumferința unui cerc și, de asemenea, îi putem găsi raza în același mod.

l = 2*P*r, deci r = l/2*P. În general, pentru a afla raza, aceasta trebuie exprimată în termeni de diametru și invers.

Să presupunem că acum trebuie să determinați diametrul, cunoscând aria cercului. Folosim faptul că s = П*d^2/4. Să exprimăm d de aici. Se va rezolva d^2 = 4*s/P. Pentru a determina diametrul în sine, va trebui să extrageți rădăcina pătrată a laturii drepte. Se dovedește că d = 2*sqrt(s/P).

Rezolvarea sarcinilor tipice

1. Să aflăm cum să găsim diametrul dacă este dată circumferința. Să fie egal cu 778,72 kilometri. Necesar pentru a găsi d. d = 778,72/3,14 = 248 de kilometri. Să ne amintim ce este un diametru și să determinăm imediat raza; pentru a face acest lucru, împărțim valoarea d determinată mai sus la jumătate. Se va rezolva r = 248/2 = 124 kilometru
2. Să luăm în considerare cum să găsim lungimea unui cerc dat, cunoscând raza acestuia. Fie r o valoare de 8 dm 7 cm. Să transformăm toate acestea în centimetri, atunci r va fi egal cu 87 de centimetri. Să folosim formula pentru a găsi lungimea necunoscută a unui cerc. Atunci valoarea noastră dorită va fi egală cu l = 2*3,14*87 = 546,36 cm. Să transformăm valoarea obținută în numere întregi de mărimi metrice l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Să determinăm aria unui cerc dat folosind formula prin diametrul său cunoscut. Fie d = 815 metri. Să ne amintim formula pentru găsirea ariei unui cerc. Să înlocuim valorile care ni s-au dat aici, obținem s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 sq. m.
4. Acum vom învăța cum să găsim aria unui cerc, știind lungimea razei acestuia. Fie raza de 38 cm Folosim formula cunoscută nouă. Să înlocuim aici valoarea dată nouă de condiție. Obțineți următoarele: s = 3,14*38^2 = 4534,16 sq. cm.
5. Ultima sarcină este de a determina aria unui cerc pe baza circumferinței cunoscute. Fie l = 47 de metri. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 sq. m.

Circumferinţă