Calcolatrice online.
Soluzione di triangoli.
La soluzione di un triangolo è la ricerca di tutti i suoi sei elementi (cioè tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.
Questo programma matematico trova il lato \(c \), gli angoli \(\alpha \) e \(\beta \) dati i lati specificati dall'utente \(a, b \) e l'angolo tra loro \(\gamma \)
Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.
Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuole di educazione generale in preparazione per lavoro di controllo ed esami, durante la verifica delle conoscenze prima dell'esame, i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il prima possibile? compiti a casa matematica o algebra? In questo caso, puoi anche utilizzare i nostri programmi con una soluzione dettagliata.
In questo modo, puoi condurre la tua formazione e/o la formazione dei tuoi fratelli o sorelle minori, mentre viene aumentato il livello di istruzione nel campo dei compiti da risolvere.
Se non conosci le regole per l'inserimento dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.
Regole per l'inserimento dei numeri
I numeri possono essere impostati non solo interi, ma anche frazionari.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi entrare decimali quindi 2.5 o giù di lì 2.5
È stato riscontrato che alcuni script necessari per risolvere questo compito non sono stati caricati e il programma potrebbe non funzionare.
Potresti avere AdBlock abilitato.
In questo caso, disabilitalo e aggiorna la pagina.
JavaScript deve essere abilitato per visualizzare la soluzione.
Ecco le istruzioni su come abilitare JavaScript nel tuo browser.
Perché Ci sono molte persone che vogliono risolvere il problema, la tua richiesta è in coda.
Dopo alcuni secondi, la soluzione apparirà di seguito.
Aspetta per favore sec...
Se tu notato un errore nella soluzione, quindi puoi scriverne nel modulo di feedback.
Non dimenticare indicare quale compito tu decidi cosa entra nei campi.
I nostri giochi, puzzle, emulatori:
Un po' di teoria
Teorema seno
Teorema
I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Teorema del coseno
Teorema
Sia nel triangolo ABC AB = c, BC = a, CA = b. Quindi
Triangolo quadrato laterale è uguale alla somma quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di quei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo tra di loro.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Risolvere i triangoli
La soluzione di un triangolo è la ricerca di tutti i suoi sei elementi (cioè, tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.
Considera tre problemi per risolvere un triangolo. In questo caso useremo la seguente notazione per i lati del triangolo ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Soluzione di un triangolo dati due lati e un angolo tra di loro
Dato: \(a, b, \angolo C \). Trova \(c, \angolo A, \angolo B \)
Soluzione
1. Per la legge dei coseni troviamo \(c\):
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$
3. \(\angolo B = 180^\circ -\angolo A -\angolo C \)
Soluzione di un triangolo dati un lato e angoli adiacenti
Dato: \(a, \angolo B, \angolo C \). Trova \(\angolo A, b, c \)
Soluzione
1. \(\angolo A = 180^\circ -\angolo B -\angolo C \)
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Risolvere un triangolo con tre lati
Dato: \(a, b, c\). Trova \(\angolo A, \angolo B, \angolo C \)
Soluzione
1. Secondo il teorema del coseno, otteniamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Allo stesso modo, troviamo l'angolo B.
3. \(\angolo C = 180^\circ -\angolo A -\angolo B \)
Risolvere un triangolo dati due lati e un angolo opposto a un lato noto
Dato: \(a, b, \angolo A\). Trova \(c, \angolo B, \angolo C \)
Soluzione
1. Per il teorema del seno troviamo \(\sin B \) otteniamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Freccia destra \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Introduciamo la notazione: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). A seconda del numero D, sono possibili i seguenti casi:
Se D > 1, un tale triangolo non esiste, perché \(\sin B \) non può essere maggiore di 1
Se D = 1, c'è un unico \(\angolo B: \quad \sin B = 1 \Freccia destra \angolo B = 90^\circ \)
Se D Se D 2. \(\angolo C = 180^\circ -\angolo A -\angolo B \)
3. Usando il teorema del seno, calcoliamo il lato c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Un triangolo rettangolo si trova in realtà su quasi ogni angolo. La conoscenza delle proprietà di questa figura, così come la capacità di calcolarne l'area, ti sarà sicuramente utile non solo per risolvere problemi di geometria, ma anche in situazioni di vita.
geometria triangolare
Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati che formano tre angoli (due acuti e uno dritto). Un triangolo rettangolo è una figura originale, caratterizzata da una serie di importanti proprietà che costituiscono la base della trigonometria. A differenza di un triangolo ordinario, i lati di una figura rettangolare hanno i loro nomi:
- L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo opposto angolo retto.
- Gambe: segmenti che formano un angolo retto. A seconda dell'angolo preso in considerazione, la gamba può essere adiacente ad essa (formando questo angolo con l'ipotenusa) o opposta (sdraiata di fronte all'angolo). Non ci sono gambe per triangoli non rettangolari.
È il rapporto tra le gambe e l'ipotenusa che costituisce la base della trigonometria: seni, tangenti e secanti sono definiti come il rapporto dei lati triangolo rettangolo.
Triangolo rettangolo in realtà
Questa cifra è ampiamente utilizzata nella realtà. I triangoli sono utilizzati nel design e nella tecnologia, quindi il calcolo dell'area della figura deve essere eseguito da ingegneri, architetti e designer. Le basi dei tetraedri o prismi hanno la forma di un triangolo: figure tridimensionali facili da incontrare nella vita di tutti i giorni. Inoltre, un quadrato è la rappresentazione più semplice di un triangolo rettangolo "piatto" nella realtà. Un quadrato è uno strumento di fabbro, disegno, costruzione e falegnameria che viene utilizzato per costruire angoli sia dagli scolari che dagli ingegneri.
Area di un triangolo
Piazza figura geometrica- questo è quantificazione quanto del piano è delimitato dai lati del triangolo. L'area di un triangolo ordinario può essere trovata in cinque modi, usando la formula di Heron o operando in calcoli con variabili come base, lato, angolo e raggio del cerchio inscritto o circoscritto. Più formula semplice l'area è espressa come:
dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.
La formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo è ancora più semplice:
dove aeb sono gambe.
Lavorando con il nostro calcolatore online, puoi calcolare l'area di un triangolo utilizzando tre coppie di parametri:
- due gambe;
- gamba e angolo adiacente;
- gamba e angolo opposto.
Nelle attività o nelle situazioni quotidiane, ti verranno fornite diverse combinazioni di variabili, quindi questa forma di calcolatrice ti consente di calcolare l'area di un triangolo in diversi modi. Diamo un'occhiata a un paio di esempi.
Esempi di vita reale
Piastrelle di ceramica
Diciamo che vuoi rivestire le pareti della cucina con piastrelle di ceramica, che hanno la forma di un triangolo rettangolo. Per determinare il consumo di piastrelle, è necessario conoscere l'area di un elemento del rivestimento e l'area totale della superficie da trattare. Lascia che tu debba elaborare 7 metri quadrati. La lunghezza delle gambe di un elemento è di 19 cm ciascuna, quindi l'area della piastrella sarà uguale a:
Ciò significa che l'area di un elemento è di 24,5 centimetri quadrati o 0,01805 metri quadrati. Conoscendo questi parametri si può calcolare che per rifinire 7 mq di parete occorrono 7 / 0,01805 = 387 piastrelle di rivestimento.
compito scolastico
Far entrare compito scolastico in geometria, è necessario trovare l'area di un triangolo rettangolo, sapendo solo che il lato di una gamba è 5 cm e il valore dell'angolo opposto è 30 gradi. Il nostro calcolatore online è accompagnato da un'illustrazione che mostra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Se lato a = 5 cm, allora il suo angolo opposto è l'angolo alfa, pari a 30 gradi. Inserisci questi dati nel modulo del calcolatore e ottieni il risultato:
Pertanto, la calcolatrice non solo calcola l'area di un dato triangolo, ma determina anche la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa adiacenti, nonché il valore del secondo angolo.
Conclusione
I triangoli rettangolari si trovano nelle nostre vite letteralmente ad ogni angolo. Determinare l'area di tali figure ti sarà utile non solo quando risolvi i compiti scolastici in geometria, ma anche nelle attività quotidiane e professionali.
Un triangolo si dice triangolo rettangolo se uno dei suoi angoli è 90º. Il lato opposto all'angolo retto è chiamato ipotenusa e gli altri due sono le gambe.
Per trovare l'angolo in un triangolo rettangolo, vengono utilizzate alcune proprietà dei triangoli rettangoli, vale a dire: il fatto che la somma degli angoli acuti è 90º, e anche il fatto che di fronte alla gamba, la cui lunghezza è metà dell'ipotenusa, si trova un angolo pari a 30º.
Navigazione rapida degli articoli
Triangolo isoscele
Una delle proprietà di un triangolo isoscele è che due dei suoi angoli sono uguali. Per calcolare i valori degli angoli di un triangolo isoscele rettangolo, devi sapere che:
- Un angolo retto è 90º.
- I valori degli angoli acuti sono determinati dalla formula: (180º-90º)/2=45º, i.е. gli angoli α e β sono 45º.
Se si conosce il valore di uno degli angoli acuti, il secondo può essere trovato con la formula: β=180º-90º-α, oppure α=180º-90º-β. Molto spesso, questo rapporto viene utilizzato se uno degli angoli è 60º o 30º.
Concetti chiave
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180º. Poiché un angolo è giusto, gli altri due saranno nitidi. Per trovarli, devi sapere che:
altri metodi
I valori degli angoli acuti di un triangolo rettangolo possono essere calcolati conoscendo il valore della mediana - una linea tracciata dal vertice al lato opposto del triangolo e l'altezza - una linea retta, che è una perpendicolare caduta dall'angolo retto all'ipotenusa. Sia s la mediana tracciata dall'angolo retto al punto medio dell'ipotenusa, h l'altezza. In questo caso risulta che: 
- sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
- cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
- sinα=h/b; sinβ=h/a.
Due lati
Se in un triangolo rettangolo sono note le lunghezze dell'ipotenusa e di una delle gambe, o di due lati, per trovare i valori degli angoli acuti si utilizzano le identità trigonometriche:
- α=arcoseno(a/c), β=arcoseno(b/c).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α=arcog(a/b), β=arcog(b/a).
I primi sono segmenti adiacenti all'angolo retto e l'ipotenusa è la parte più lunga della figura ed è opposta all'angolo di 90 gradi. Un triangolo pitagorico è quello i cui lati sono uguali numeri naturali; le loro lunghezze in questo caso sono chiamate "triple pitagoriche".
triangolo egiziano
Affinché l'attuale generazione impari la geometria nella forma in cui viene insegnata ora a scuola, è stata sviluppata per diversi secoli. Il punto fondamentale è il teorema di Pitagora. I lati di un rettangolo sono conosciuti in tutto il mondo) sono 3, 4, 5.
Poche persone non hanno familiarità con la frase " Pantaloni pitagorici uguale in tutte le direzioni". Tuttavia, in effetti, il teorema suona così: c 2 (il quadrato dell'ipotenusa) \u003d a 2 + b 2 (la somma dei quadrati delle gambe).
Tra i matematici, un triangolo di lati 3, 4, 5 (cm, m, ecc.) è chiamato "egiziano". È interessante notare che ciò che è inscritto nella figura è uguale a uno. Il nome sorse intorno al V secolo a.C., quando i filosofi greci si recarono in Egitto.
Durante la costruzione delle piramidi, architetti e geometri hanno utilizzato il rapporto 3:4:5. Tali strutture si sono rivelate proporzionali, piacevoli da vedere e spaziose, e anche raramente sono crollate.
Per costruire un angolo retto, i costruttori hanno utilizzato una corda su cui erano legati 12 nodi. In questo caso, la probabilità di costruire un triangolo rettangolo è aumentata al 95%.
Segni di uguaglianza delle figure
- Un angolo acuto in un triangolo rettangolo e un lato grande, che sono uguali agli stessi elementi nel secondo triangolo, sono un segno indiscutibile dell'uguaglianza delle figure. Tenendo conto della somma degli angoli, è facile dimostrare che anche i secondi angoli acuti sono uguali. Pertanto, i triangoli sono identici nel secondo criterio.
- Quando due figure sono sovrapposte l'una all'altra, le ruotiamo in modo tale che, una volta unite, diventino un triangolo isoscele. Secondo la sua proprietà, i lati, o meglio, le ipotenuse, sono uguali, così come gli angoli alla base, il che significa che queste figure sono uguali.
Con il primo segno, è molto facile dimostrare che i triangoli sono davvero uguali, la cosa principale è che i due lati più piccoli (cioè le gambe) sono uguali tra loro.
I triangoli saranno gli stessi secondo il II segno, la cui essenza è l'uguaglianza della gamba e l'angolo acuto.
Proprietà del triangolo ad angolo retto
L'altezza, che è stata abbassata da un angolo retto, divide la figura in due parti uguali.
I lati di un triangolo rettangolo e la sua mediana sono facilmente riconoscibili dalla regola: la mediana, che è abbassata all'ipotenusa, è uguale alla metà di esso. può essere trovato sia dalla formula di Heron che dall'affermazione che è uguale alla metà del prodotto delle gambe.
In un triangolo rettangolo si applicano le proprietà degli angoli di 30°, 45° e 60°.
- Ad un angolo di 30°, va ricordato che la gamba opposta sarà uguale a 1/2 del lato più grande.
- Se l'angolo è 45°, allora il secondo angolo acuto anche 45°. Ciò suggerisce che il triangolo è isoscele e le sue gambe sono le stesse.
- La proprietà di un angolo di 60 gradi è che il terzo angolo ha una misura di 30 gradi.
L'area è facile da trovare con una delle tre formule:
- per l'altezza e il lato su cui discende;
- secondo la formula di Erone;
- lungo i lati e l'angolo tra di loro.
I lati di un triangolo rettangolo, o meglio le gambe, convergono con due altezze. Per trovare il terzo, è necessario considerare il triangolo risultante e quindi, usando il teorema di Pitagora, calcolare la lunghezza richiesta. Oltre a questa formula, c'è anche il rapporto del doppio dell'area e della lunghezza dell'ipotenusa. L'espressione più comune tra gli studenti è la prima, in quanto richiede meno calcoli.
Teoremi che si applicano a un triangolo rettangolo
La geometria di un triangolo rettangolo include l'uso di teoremi come:
In matematica, quando si considera un triangolo, si presta necessariamente molta attenzione ai suoi lati. Poiché questi elementi formano questa figura geometrica. I lati di un triangolo sono usati per risolvere molti problemi di geometria.
Definizione del concetto
I segmenti di linea che collegano tre punti che non giacciono sulla stessa retta sono chiamati lati del triangolo. Gli elementi in esame delimitano una parte del piano, che è chiamata l'interno di una data figura geometrica.
I matematici nei loro calcoli consentono generalizzazioni riguardanti i lati delle figure geometriche. Quindi, in un triangolo degenere, tre dei suoi segmenti giacciono su una retta.
Caratteristiche del concetto
Il calcolo dei lati di un triangolo comporta la determinazione di tutti gli altri parametri della figura. Conoscendo la lunghezza di ciascuno di questi segmenti, puoi facilmente calcolare il perimetro, l'area e persino gli angoli del triangolo.
Riso. 1. Triangolo arbitrario.
Sommando i lati di questa figura, puoi determinare il perimetro.
P=a+b+c, dove a, b, c sono i lati del triangolo
E per trovare l'area di un triangolo, dovresti usare la formula Heron.
$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$
Dove p è il semiperimetro.
Gli angoli di una data figura geometrica sono calcolati attraverso il teorema del coseno.
$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\oltre(2bc))$$
Significato
Attraverso il rapporto tra i lati del triangolo si esprimono alcune proprietà di questa figura geometrica:
- Di fronte al lato più piccolo del triangolo c'è il suo angolo più piccolo.
- L'angolo esterno della figura geometrica considerata si ottiene estendendo uno dei lati.
- Gli angoli uguali opposti di un triangolo sono lati uguali.
- In ogni triangolo, uno dei lati è sempre maggiore della differenza degli altri due segmenti. E la somma di due lati qualsiasi di questa figura è maggiore del terzo.
Uno dei segni dell'uguaglianza di due triangoli è il rapporto tra la somma di tutti i lati di una figura geometrica. Se questi valori sono gli stessi, i triangoli saranno uguali.
Alcune proprietà di un triangolo dipendono dal suo tipo. Pertanto, dovresti prima considerare la dimensione dei lati o degli angoli di questa figura.
Formazione di triangoli
Se i due lati della figura geometrica considerata sono gli stessi, allora questo triangolo è chiamato isoscele.
Riso. 2. Triangolo isoscele.
Quando tutti i segmenti di un triangolo sono uguali, ottieni un triangolo equilatero.
Riso. 3. Triangolo equilatero.
Qualsiasi calcolo è più conveniente da eseguire nei casi in cui un triangolo arbitrario può essere attribuito a un determinato tipo. Da allora trovare il parametro richiesto di questa figura geometrica sarà notevolmente semplificato.
Sebbene un'equazione trigonometrica scelta correttamente ti consenta di risolvere molti problemi in cui viene considerato un triangolo arbitrario.
Cosa abbiamo imparato?
Tre segmenti che sono collegati da punti e non appartengono alla stessa retta formano un triangolo. Questi lati formano un piano geometrico, che viene utilizzato per determinare l'area. Con l'aiuto di questi segmenti, puoi trovare molte caratteristiche importanti di una figura, come il perimetro e gli angoli. Le proporzioni di un triangolo aiutano a trovare il suo tipo. Alcune proprietà di una data figura geometrica possono essere utilizzate solo se si conoscono le dimensioni di ciascuno dei suoi lati.
Quiz sull'argomento
Valutazione dell'articolo
Voto medio: 4.3. Voti totali ricevute: 142.
