Քառակուսի հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, ուստի այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա: Դրանք լուծելու կարողությունը էական է:

Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a , b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0:

Նախքան լուծման կոնկրետ մեթոդները ուսումնասիրելը, մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.

1. Արմատներ չունենալ;
2. Նրանք ունեն ուղիղ մեկ արմատ;
3. Նրանք ունեն երկու տարբեր արմատներ:

Սա կարևոր տարբերություն է քառակուսի և գծային հավասարումների միջև, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: Ինչպե՞ս որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար մի հրաշալի բան կա. խտրական.

Խտրական

Թող տրվի ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումը, ապա տարբերակիչը պարզապես D = b 2 − 4ac թիվն է:

Այս բանաձեւը պետք է անգիր իմանալ։ Թե որտեղից է այն գալիս, այժմ կարևոր չէ։ Կարևոր է ևս մեկ բան. տարբերակիչի նշանով կարելի է որոշել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարումը։ Այսինքն:

1. Եթե ​​Դ< 0, корней нет;
2. Եթե ​​D = 0, կա ուղիղ մեկ արմատ;
3. Եթե ​​D > 0, կլինի երկու արմատ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դիսկրիմինատորը ցույց է տալիս արմատների քանակը, և ոչ բոլորովին նրանց նշանները, ինչպես չգիտես ինչու կարծում են շատերը: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.

Առաջադրանք. Քանի՞ արմատ ունեն քառակուսի հավասարումները.

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0:

Մենք գրում ենք առաջին հավասարման գործակիցները և գտնում ենք դիսկրիմինատորը.
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Այսպիսով, դիսկրիմինանտը դրական է, ուստի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ: Մենք վերլուծում ենք երկրորդ հավասարումը նույն կերպ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:

Խտրականը բացասական է, արմատներ չկան։ Վերջին հավասարումը մնում է.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0։

Տարբերիչը հավասար է զրոյի - արմատը կլինի մեկ:

Նշենք, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար դուրս են գրվել գործակիցներ: Այո, երկար է, այո, դա հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք խառնի հավանականությունները և մի թույլ չտաք հիմար սխալներ: Ընտրեք ինքներդ՝ արագություն կամ որակ:

Ի դեպ, եթե «ձեռքդ լցնես», որոշ ժամանակ անց այլևս կարիք չի լինի դուրս գրել բոլոր գործակիցները։ Ձեր գլխում նման վիրահատություններ կանեք։ Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել ինչ-որ տեղ 50-70 լուծված հավասարումներից հետո, ընդհանուր առմամբ, ոչ այնքան:

Քառակուսային հավասարման արմատները

Հիմա անցնենք լուծմանը։ Եթե ​​տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Քառակուսային հավասարման արմատների հիմնական բանաձևը

Երբ D = 0, կարող եք օգտագործել այս բանաձևերից որևէ մեկը, դուք ստանում եք նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Ի վերջո, եթե Դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0:

Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16։

D > 0 ⇒ հավասարումն ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք.

Երկրորդ հավասարումը.
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64։

D > 0 ⇒ հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ձախ (-1 \աջ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \աջ))=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ի վերջո, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0:

D = 0 ⇒ հավասարումն ունի մեկ արմատ: Ցանկացած բանաձև կարող է օգտագործվել. Օրինակ՝ առաջինը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե ​​իմանաք բանաձևերը և կարողանաք հաշվել, խնդիրներ չեն լինի։ Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում, երբ բացասական գործակիցները փոխարինվում են բանաձևով: Այստեղ, կրկին, կօգնի վերը նկարագրված տեխնիկան. բառացիորեն նայեք բանաձևին, նկարեք յուրաքանչյուր քայլը և շատ շուտով ազատվեք սխալներից:

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը որոշ չափով տարբերվում է սահմանման մեջ տրվածից։ Օրինակ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0:

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների մեջ բացակայում է տերմիններից մեկը: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել, քան ստանդարտները. նրանք նույնիսկ կարիք չունեն հաշվարկելու դիսկրիմինանտը: Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր հայեցակարգ.

ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում, եթե b = 0 կամ c = 0, այսինքն. x փոփոխականի կամ ազատ տարրի գործակիցը հավասար է զրոյի։

Իհարկե, հնարավոր է շատ դժվար դեպք, երբ այս երկու գործակիցներն էլ հավասար են զրոյի. արմատը՝ x \u003d 0.

Դիտարկենք այլ դեպքեր։ Թող b \u003d 0, ապա մենք ստանում ենք ax 2 + c \u003d 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարում: Եկեք մի փոքր փոխակերպենք այն.

Քանի որ թվաբանական քառակուսի արմատը գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ (−c / a ) ≥ 0: Եզրակացություն.

1. Եթե ​​ax 2 + c = 0 ձևի անավարտ քառակուսային հավասարումը բավարարում է (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը, կլինի երկու արմատ։ Բանաձևը տրված է վերևում.
2. Եթե ​​(−c/a)< 0, корней нет.

Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինատորը չի պահանջվել. ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարումների մեջ ընդհանրապես բարդ հաշվարկներ չկան: Իրականում նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը։ Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը և տեսնել, թե ինչ կա հավասարության նշանի մյուս կողմում։ Եթե ​​կա դրական թիվ, կլինի երկու արմատ: Եթե ​​բացասական լինի, արմատներ ընդհանրապես չեն լինի։

Այժմ անդրադառնանք ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումների, որոնցում ազատ տարրը հավասար է զրոյի։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ միշտ կլինի երկու արմատ։ Բավական է ֆակտորիզացնել բազմանդամը.

Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելը

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այստեղից են գալիս արմատները: Եզրափակելով, մենք կվերլուծենք այս հավասարումներից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Լուծեք քառակուսի հավասարումներ.

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0:

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7։

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6: Չկան արմատներ, քանի որ քառակուսին չի կարող հավասար լինել բացասական թվի։

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն
«Կոսինսկայայի հիմնական հանրակրթական դպրոց»

Դաս ՏՀՏ կիրառմամբ

Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.

Մշակողը:
Չերևինա Օքսանա Նիկոլաևնա
մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Թիրախ:
ուղղել քառակուսի հավասարումների լուծումը բանաձևով.
նպաստել ուսումնասիրվող փաստերն ընդհանրացնելու ուսանողների ցանկության և անհրաժեշտության զարգացմանը,
զարգացնել անկախությունը և ստեղծագործական ունակությունները.

Սարքավորումներ:
մաթեմատիկական թելադրություն (ներկայացում 1),
քարտեր՝ անկախ աշխատանքի համար բազմաստիճան առաջադրանքներով,
քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերի աղյուսակ («Օգնել դասին» անկյունում),
«Հին խնդրի» տպագիր (աշակերտների թիվը),
միավորների գնահատման աղյուսակը գրատախտակին:

Ընդհանուր պլան.
Տնային առաջադրանքների ստուգում
Մաթեմատիկական թելադրություն.
բանավոր վարժություններ.
Ամրապնդող վարժությունների լուծում.
Անկախ աշխատանք.
Պատմության տեղեկանք.

Դասերի ժամանակ.
Կազմակերպչական պահ.

Տնային առաջադրանքների ստուգում.
- Տղերք, ի՞նչ հավասարումների հանդիպեցինք վերջին դասերին։
Ինչպե՞ս կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումներ:
-Տանը պետք է 1 հավասարում լուծեիր երկու եղանակով.
(Հավասարումը տրված է 2 մակարդակով՝ նախատեսված թույլ և ուժեղ ուսանողների համար)
Եկեք ստուգենք ինձ հետ: Ինչպե՞ս կատարեցիք առաջադրանքը:
(Գրատախտակին ուսուցիչը դասից առաջ գրում է տնային առաջադրանքի լուծումը)
Աշակերտները ստուգում և եզրակացնում են. թերի քառակուսի հավասարումները ավելի հեշտ են լուծել ֆակտորինգով կամ սովորական ձևով, ամբողջականները՝ բանաձևով:
Ուսուցիչը շեշտում է՝ իզուր չէ, որ լուծելու ճանապարհը քառակուսի է. բանաձևի համաձայն հավասարումները կոչվում են համընդհանուր:

Կրկնություն.

Այսօր դասի ընթացքում մենք ձեզ հետ կշարունակենք լուծել քառակուսի հավասարումներ: Մեր դասը կլինի անսովոր, քանի որ այսօր ոչ միայն ես կգնահատեմ քեզ, այլև դու ինքդ: Լավ գնահատական ​​ստանալու և ինքնուրույն ուսուցման մեջ հաջողակ լինելու համար դուք պետք է հնարավորինս շատ միավորներ վաստակեք: Մեկական միավոր, կարծում եմ, դուք արդեն վաստակել եք՝ կատարելով ձեր տնային աշխատանքը։
-Եվ հիմա ուզում եմ, որ հիշեք և ևս մեկ անգամ կրկնեք այն սահմանումները և բանաձևերը, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք այս թեմայի շուրջ (Ուսանողների պատասխանները ճիշտ պատասխանի համար գնահատվում են 1 միավոր, իսկ սխալի համար՝ 0 միավոր)
-Իսկ հիմա, տղերք, մենք մաթեմատիկական թելադրություն կկատարենք, ուշադիր և արագ կկարդանք առաջադրանքը համակարգչի մոնիտորի վրա: (Ներկայացում 1)
Ուսանողները կատարում են աշխատանքը և օգտագործում են բանալին՝ գնահատելու իրենց աշխատանքը:

Մաթեմատիկական թելադրություն.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է ...
Քառակուսային հավասարման մեջ 1-ին գործակիցը ... է, 2-րդ գործակիցը ..., ազատ անդամը ...
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե...
Գրի՛ր քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը հաշվարկելու բանաձև
Գրե՛ք քառակուսի հավասարման արմատը հաշվարկելու բանաձևը, եթե հավասարման մեջ կա միայն մեկ արմատ:
Ի՞նչ պայմանով քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի:

(ինքնափորձարկում՝ համակարգչի միջոցով, յուրաքանչյուր ճիշտ պատասխանի համար՝ 1 միավոր):

բանավոր վարժություններ. (տախտակի հետևի մասում)
Քանի՞ արմատ ունի յուրաքանչյուր հավասարում: (առաջադրանքը նույնպես գնահատվում է 1 միավոր)
1. (x - 1) (x + 11) = 0;
2. (x - 2)² + 4 \u003d 0;
3. (2x - 1) (4 + x) \u003d 0;
4. (x – 0.1)x = 0;
5. x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 \u003d 0;
7. x² - 3x \u003d 0;
8. x + 2 = 0;
9. 16x² + 4 = 0;
10. 16x² - 4 \u003d 0;
11. 0,07x² \u003d 0.

Նյութը համախմբելու վարժությունների լուծում.

PC մոնիտորի վրա առաջարկվող հավասարումներից դրանք կատարվում են ինքնուրույն (CD-7), ստուգելիս հաշվարկները ճիշտ ավարտած ուսանողները բարձրացնում են ձեռքերը (1 միավոր); Այս պահին ավելի թույլ աշակերտները լուծում են մեկ հավասարում գրատախտակին, իսկ նրանք, ովքեր ինքնուրույն են հաղթահարել առաջադրանքը, ստանում են 1-ական միավոր:

Անկախ աշխատանք 2 տարբերակով.
5 կամ ավելի միավոր հավաքածներն ինքնուրույն աշխատանք են սկսում թիվ 5-ից։
Ով վաստակեց 3 կամ պակաս՝ թիվ 1-ից։

Տարբերակ 1.

ա) 3x² + 6x - 6 = 0, բ) x² - 4x + 4 = 0, գ) x² - x + 1 = 0:

Թիվ 2. Շարունակեք հաշվարկել ax² + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման D դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով D = b² - 4ac բանաձևը:

ա) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D \u003d (-7²) - 4 5 2 \u003d 49 - 40 \u003d ...;
բ) x² - x - 2 = 0,
D = b² - 4ac
D \u003d (-1) ² - 4 1 (-2) \u003d ...;

Թիվ 3. Ավարտի՛ր հավասարումը
3x² - 5x - 2 = 0:
D = b² - 4ac
D \u003d (-5) ² - 4 3 (-2) \u003d 49:
x = ...

Թիվ 4. Լուծե՛ք հավասարումը.

ա) (x - 5) (x + 3) = 0; բ) x² + 5x + 6 = 0

ա) (x-3)^2=3x-5; բ) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)

Թիվ 6. Լուծե՛ք x2+2√2 x+1=0 հավասարումը
Թիվ 7. Ա-ի ո՞ր արժեքով է x² - 2ax + 3 = 0 հավասարումը մեկ արմատ:

Տարբերակ 2.

Թիվ 1. ax² + bx + c = 0 ձևի յուրաքանչյուր հավասարման համար գրեք a, b, c արժեքները:

ա) 4x² - 8x + 6 = 0, բ) x² + 2x - 4 = 0, գ) x² - x + 2 = 0:

Թիվ 2. Շարունակեք հաշվարկել ax² + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման D դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով D = b² - 4ac բանաձևը:

ա) 5x² + 8x - 4 \u003d 0,
D = b² - 4ac
D \u003d 8² - 4 5 (- 4) \u003d 64 - 60 \u003d ...;

բ) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d ...;

3 ոչ. Ավարտի՛ր հավասարումը
x² - 6x + 5 = 0:
D = b² - 4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d 16.
x = ...

Թիվ 4. Լուծե՛ք հավասարումը.

ա) (x + 4) (x - 6) = 0; բ) 4x² - 5x + 1 = 0

Թիվ 5. Հավասարումը դարձրեք քառակուսայինի և լուծեք այն.

ա) (x-2)^2=3x-8; բ) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)

Թիվ 6. Լուծե՛ք x2+4√3 x+12=0 հավասարումը

Թիվ 7. Ա-ի ո՞ր արժեքով է x² + 3ax + a = 0 հավասարումը մեկ արմատ:

Դասի ամփոփում.
Ամփոփելով միավորների վարկանիշային աղյուսակի արդյունքները.

Պատմական անդրադարձ և առաջադրանք.
Քառակուսային հավասարումների վերաբերյալ խնդիրներ հանդիպում են արդեն 499 թ. Հին Հնդկաստանում դժվար խնդիրների լուծման հասարակական մրցույթները սովորական էին: Հին հնդկական գրքերից մեկում ասվում է. «Ինչպես արևն իր փայլով գերազանցում է աստղերին, այնպես էլ գիտուն մարդը հանրային հանդիպումների ժամանակ կգերազանցի ուրիշի փառքը՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»։ Հաճախ դրանք բանաստեղծական տեսքով էին։ Ահա 12-րդ դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոս Բհասկարայի խնդիրներից մեկը.
Կապիկների թրթռուն երամ
Սրտանց ուտելուց հետո ես զվարճացա
Նրանք քառակուսի դարձրին ութերորդ մասը
Զվարճանալ մարգագետնում:
Եվ 12-ը խաղողի վազով ...
Նրանք սկսեցին ցատկել՝ կախված։
Քանի կապիկ կար
Դուք ինձ ասում եք, այս հոտի մեջ:

VII. Տնային աշխատանք.
Առաջարկվում է լուծել պատմական այս խնդիրը և դասավորել առանձին թերթիկների վրա՝ նկարով։

ՀԱՎԵԼՎԱԾ

No F.I.
ուսանողի գործունեությունը ԸՆԴԱՄԵՆԸ
Տնային աշխատանք թելադրանք Բանավոր վարժություններ Նյութի համախմբում
Համակարգչային աշխատանք Գրատախտակի աշխատանք
1 Իվանով Ի.
2 Ֆեդորով Գ.
3 Յակովլևա Յա.
…

Առավելագույն թիվը 22-23 միավոր է։
Նվազագույնը՝ 3-5 միավոր

3-10 միավոր - միավոր «3»,
11-20 միավոր - միավոր «4»,
21-23 միավոր՝ «5» միավոր

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի բարդ է (միայն մի փոքր), քան տրվածները:

Հիշիր, ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

Նույնիսկ թերի:

Մնացած մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը շատ պարզ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։

Եթե, ապա հավասարումն ունի 2 արմատ։ Հատուկ ուշադրություն դարձրեք 2-րդ քայլին.

D տարբերակիչն ասում է մեզ հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9

Լուծիր հավասարումը

Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ:

Քայլ 3

Պատասխան.

Օրինակ 10

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Այսպիսով, հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Պատասխան.

Օրինակ 11

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը ստանդարտ ձևով է, ուստի Քայլ 1բաց թողնել.

Քայլ 2

Գտնել տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա արմատը հանել խտրականից: Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Քառակուսային հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով

Եթե ​​հիշում եք, ապա կա այնպիսի տիպի հավասարումներ, որոնք կոչվում են կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրվածքառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Պարզապես պետք է ընտրել զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ վերցված հակառակ նշանով։

Օրինակ 12

Լուծիր հավասարումը

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Եկեք ստեղծենք և լուծենք համակարգը.

• և. Գումարն է;
• և. Գումարն է;
• և. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13

Լուծիր հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14

Լուծիր հավասարումը

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտ, - որոշ թվեր, ընդ որում:

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, ա - ազատ անդամ.

Որովհետև եթե, ապա հավասարումը անմիջապես կդառնա գծային, քանի որ կվերանա:

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս ամբիոնի հավասարումը կոչվում է թերի.

Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն՝ հավասարումը. ամբողջական.

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ

Սկզբից մենք կվերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդները. դրանք ավելի պարզ են:

Կարելի է առանձնացնել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Այժմ դիտարկենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսում գտնվող թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ։ Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չունեն։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Օրինակ 15

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Օրինակ 16

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ set պատկերակը:

Պատասխան.

Օրինակ 17

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Մենք գործոնացնում ենք հավասարման ձախ կողմը և գտնում ենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Նույնիսկ թերի:

Նկատե՞լ եք արմատային բանաձևում դիսկրիմինանտի արմատը:

Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել:

Ինչ անել?

Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլ 2-ին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումը ունի արմատ.
• Եթե, ապա հավասարումն ունի նույն արմատը, բայց իրականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու՞ են արմատների թիվը տարբերվում:

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Կոնկրետ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, .

Իսկ դա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները x առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են։

Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը կամ հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթը ընկած է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Քառակուսային հավասարումների լուծման 4 օրինակ

Օրինակ 18

Պատասխան.

Օրինակ 19

Պատասխան.

Օրինակ 20

Պատասխան.

Օրինակ 21

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է։

Ձեզ անհրաժեշտ է միայն վերցնելայնպիսի թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն տրված քառակուսային հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ 22

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը հարմար է Վիետայի թեորեմը լուծելու համար, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հետևյալն է.

Ընտրենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և ստուգենք՝ արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• և. Գումարն է;
• և. Գումարն է;
• և. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ 23

Լուծում:

Մենք ընտրում ենք թվերի այնպիսի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, այնուհետև ստուգում ենք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալ ընդհանուր.

և՝ տալ ընդհանուր. Այն ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները և, ի վերջո, արտադրանքը:

Պատասխան.

Օրինակ 24

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական թիվ է: Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Այսպիսով, արմատների գումարը կազմում է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. դրանց տարբերությունը - հարմար չէ.

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է: Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ուրեմն բացարձակ արժեքով ավելի փոքր արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 25

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Իսկ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, և այնուհետև որոշում ենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ 26

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Հավասարումը կրճատվում է, ինչը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատները մինուս են:

Մենք ընտրում ենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է՝ արմատներ հորինել բանավոր՝ այս գարշելի խտրականությունը հաշվելու փոխարեն։

Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատների որոնումը հեշտացնելու և արագացնելու համար։

Այն օգտագործելը ձեզ համար շահավետ դարձնելու համար պետք է գործողությունները հասցնել ավտոմատիզմի։ Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։

Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել խտրականությունը: Միայն Վիետայի թեորեմա։

Վիետայի թեորեմի 5 օրինակ ինքնուրույն ուսումնասիրության համար

Օրինակ 27

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես միշտ, մենք ընտրությունը սկսում ենք ապրանքից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

: գումարն այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ 28

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին, մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը. գումարը պետք է ստացվի, բայց արտադրյալը հավասար է:

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր):

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ 29

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է այն:

Անհրաժեշտ է բոլոր պայմանները տեղափոխել մեկ մասի.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Այո՛, կանգ առե՛ք։ Հավասարումը տրված չէ։

Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումների մեջ։

Այսպիսով, նախ պետք է բերել հավասարումը.

Եթե ​​դուք չեք կարող այն առաջ քաշել, թողեք այս գաղափարը և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով):

Հիշեցնեմ, որ բերել քառակուսի հավասարում նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Այնուհետեւ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արտադրյալը.

Այստեղ ավելի հեշտ է վերցնել. ի վերջո՝ պարզ թիվ (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ 30

Առաջադրանք 4.

Ազատ տերմինը բացասական է:

Ինչո՞վ է դա առանձնահատուկ:

Եվ այն, որ արմատները կլինեն տարբեր նշանների:

Եվ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալը։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուսով է։

Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն.

Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ 31

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ է պետք առաջին հերթին անել:

Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործոնները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը։ Նրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսի դեպքում ավելի մեծ արմատ կլինի:

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփել

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումների մեջ։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դուք կարող եք գտնել արմատները ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ ազատ անդամի ոչ մի հարմար զույգ գործակից չի գտնվել, ապա ամբողջ թվային արմատներ չկան, և դուք պետք է այն լուծեք այլ կերպ (օրինակ՝ դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր անդամները ներկայացված են որպես տերմիններ կրճատ բազմապատկման բանաձևերից՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականների փոփոխությունից հետո կարելի է հավասարումը ներկայացնել տիպի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարման տեսքով։ .

Օրինակ:

Օրինակ 32

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 33

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։

Դա խտրականն է։ Հենց այդպես էլ ստացվել է դիսկրիմինանտ բանաձեւը.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարումձևի հավասարումն է, որտեղ անհայտն է, քառակուսի հավասարման գործակիցներն են, ազատ անդամն է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը ունի ձև.
• եթե ազատ անդամ է, ապա հավասարումն ունի հետևյալ ձևը՝
• եթե և, ապա հավասարումն ունի ձև՝ .

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Արտահայտեք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում՝ օգտագործելով տարբերակիչ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվե՛ք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը (ձևի հավասարում, որտեղ) հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , ա.

2.3. Ամբողջական քառակուսի լուծում

Այս վիդեո ձեռնարկը ցույց է տալիս, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումը: Քառակուսային հավասարումների լուծումը սովորաբար սկսում է ուսումնասիրվել հանրակրթական դպրոցում՝ 8-րդ դասարանում։ Քառակուսային հավասարման արմատները հայտնաբերվում են հատուկ բանաձևով. Տրվի ax2+bx+c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը, որտեղ x-ը անհայտ է, a, b և c գործակիցներն են, որոնք իրական թվեր են։ Նախ, դուք պետք է որոշեք դիսկրիմինատորը՝ օգտագործելով D=b2-4ac բանաձևը: Դրանից հետո մնում է հաշվարկել քառակուսի հավասարման արմատները՝ օգտագործելով հայտնի բանաձեւը. Այժմ փորձենք լուծել կոնկրետ օրինակ։ Որպես սկզբնական հավասարում ընդունենք x2+x-12=0, այսինքն. գործակից a=1, b=1, c=-12. Հայտնի բանաձևով կարելի է որոշել դիսկրիմինանտը. Այնուհետև, օգտագործելով հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը, հաշվում ենք դրանք։ Մեր դեպքում դիսկրիմինանտը հավասար կլինի 49-ի: Այն փաստը, որ դիսկրիմինանտի արժեքը դրական թիվ է, մեզ հուշում է, որ այս քառակուսի հավասարումը կունենա երկու արմատ: Պարզ հաշվարկներից հետո ստանում ենք, որ x1=-4, x2=3։ Այսպիսով, քառակուսի հավասարումը լուծեցինք՝ հաշվարկելով դրա արմատները Տեսադաս «Քառակուսային հավասարումների լուծում (8-րդ դասարան). Մենք արմատները գտնում ենք «Դուք կարող եք առցանց դիտել ցանկացած պահի անվճար» բանաձևով: Հաջողություն քեզ!

Դասարան: 8

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծման ստանդարտ (ուսումնասիրված մաթեմատիկայի դասընթացում) և ոչ ստանդարտ մեթոդները:

1. Քառակուսային հավասարման ձախ կողմի տարրալուծումը գծային գործակիցների:

Դիտարկենք օրինակներ.

3) x 2 + 10x - 24 = 0:

6(x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - \u003d 0;

x(x - ) + (x - ) = 0;

x(x -) (x + ) = 0;

= ; – .

Պատասխան՝ ; – .

Անկախ աշխատանքի համար.

Լուծեք քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով քառակուսային հավասարման ձախ կողմը գծային գործակիցների ֆակտորավորման մեթոդը:

ա) x 2 - x \u003d 0; դ) x 2 - 81 = 0; է) x 2 + 6x + 9 = 0;

բ) x 2 + 2x \u003d 0; ե) 4x 2 - = 0; ը) x 2 + 4x + 3 = 0;

գ) 3x 2 - 3x = 0; զ) x 2 - 4x + 4 = 0; թ) x 2 + 2x - 3 = 0:

ա) 0; մեկ

բ) -2; 0

գ) 0; մեկ

2. Լրիվ քառակուսու ընտրության մեթոդը.

Դիտարկենք օրինակներ.

Անկախ աշխատանքի համար.

Լուծեք քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով լրիվ քառակուսի մեթոդը:

3. Քառակուսային հավասարումների լուծում բանաձևով.

ax 2 + in + c \u003d 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2v + 2-ում - 2-ում + 4ac \u003d 0;

2 \u003d 2 - 4ac; =±;

Նկատի առ օրինակներ։

Անկախ աշխատանքի համար.

Լուծեք քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով x 1,2 = բանաձևը:

4. Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծում (ուղիղ և հակադարձ)

x 2 + px + q = 0 - կրճատված քառակուսի հավասարում

Վիետայի թեորեմով։

Եթե, ապա հավասարումը նշանով ունի երկու նույնական արմատ, և դա կախված է գործակիցից:

Եթե ​​p, ապա .

Եթե ​​p, ապա .

Օրինակ:

Եթե, ապա հավասարումը ունի տարբեր նշանի երկու արմատ, իսկ ավելի մեծ արմատը կլինի, եթե p և կլինի, եթե p:

Օրինակ:

Անկախ աշխատանքի համար.

Առանց քառակուսի հավասարումը լուծելու, օգտագործեք հակադարձ Վիետայի թեորեմը՝ դրա արմատների նշանները որոշելու համար.

a, b, j, l - տարբեր արմատներ;

c, e, h – բացասական;

d, f, g, i, m – դրական;

5. Քառակուսային հավասարումների լուծում «փոխանցում» մեթոդով:

Անկախ աշխատանքի համար.

Լուծեք քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով «շրջել» մեթոդը:

6. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դրա գործակիցների հատկությունները:

I. ax 2 + bx + c = 0, որտեղ a 0

1) Եթե a + b + c \u003d 0, ապա x 1 \u003d 1; x 2 =

Ապացույց:

կացին 2 + bx + c = 0 |՝ ա

x 2 + x + = 0:

Վիետայի թեորեմի համաձայն

A + b + c = 0 պայմանով, ապա b = -a - c: Հաջորդը, մենք ստանում ենք

Այստեղից հետևում է, որ x 1 =1; x 2 =. Ք.Ե.Դ.

2) Եթե a - b + c \u003d 0 (կամ b \u003d a + c), ապա x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

Ապացույց:

Վիետայի թեորեմի համաձայն

Պայմանով a - b + c \u003d 0, այսինքն. b = a + c. Հաջորդը մենք ստանում ենք.

Հետևաբար, x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Նկատի առ օրինակներ։

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0:

a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 = 1; x 2 ==

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0:

a + b + c = 132 -247 -115 = 0:

x 1 = 1; x 2 ==

Պատասխանել: 1;

Անկախ աշխատանքի համար.

Օգտագործելով քառակուսի հավասարման գործակիցների հատկությունները՝ լուծիր հավասարումները

II. ax 2 + bx + c = 0, որտեղ a 0

x 1.2 =. Թող b = 2k, այսինքն. նույնիսկ. Հետո մենք ստանում ենք

x 1.2 = = = =

Դիտարկենք մի օրինակ.

3x 2 - 14x + 16 = 0:

D 1 \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 = = 2; x 2 =

Պատասխանել: 2;

Անկախ աշխատանքի համար.

ա) 4x 2 - 36x + 77 = 0

բ) 15x 2 - 22x - 37 = 0

գ) 4x 2 + 20x + 25 = 0

դ) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Պատասխանները:

III. x 2 + px + q = 0

x 1.2 = - ± 2 - q

Դիտարկենք մի օրինակ.

x 2 - 14x - 15 = 0

x 1.2 = 7 = 7

x 1 \u003d -1; x 2 = 15.

Պատասխանել: -1; 15.

Անկախ աշխատանքի համար.

ա) x 2 - 8x - 9 \u003d 0

բ) x 2 + 6x - 40 = 0

գ) x 2 + 18x + 81 = 0

դ) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Քառակուսային հավասարման լուծում գրաֆիկների միջոցով:

ա) x 2 - 3x - 4 \u003d 0

Պատասխան՝ -1; չորս

բ) x 2 - 2x + 1 = 0

գ) x 2 - 2x + 5 = 0

Պատասխան՝ լուծում չկա

Անկախ աշխատանքի համար.

Գրաֆիկորեն լուծել քառակուսի հավասարումներ.

8. Քառակուսային հավասարումների լուծումը կողմնացույցով և ուղղանկյունով:

ax2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0:

x 1 և x 2 արմատներ են:

Թող A(0; 1), C(0;

Համաձայն սեկանտային թեորեմի.

OV · OD = OA · OS.

Ուստի մենք ունենք.

x 1 x 2 = 1 OS;

ՕՀ = x 1 x 2

K (; 0), որտեղ = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Կառուցեք S(-; ) կետը՝ շրջանագծի կենտրոնը և A(0;1) կետը:

2) Գծե՛ք R = SA/ շառավղով շրջան

3) Այս շրջանի x առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսները սկզբնական քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Հնարավոր է 3 դեպք.

1) R > SK (կամ R > ).

Շրջանակը հատում է x առանցքը B(x 1; 0) և D(x 2; 0) կետում, որտեղ x 1 և x 2 քառակուսի հավասարման ax 2 + bx + c = 0 արմատներն են:

2) R = SK (կամ R = ).

Շրջանակը շոշափում է x առանցքը B 1 (x 1; 0), որտեղ x 1-ը քառակուսի հավասարման արմատն է

ax2 + bx + c = 0:

3) Ռ< SK (или R < ).

Շրջանակը չունի ընդհանուր կետեր x առանցքի հետ, այսինքն. լուծումներ չկան.

1) x 2 - 2x - 3 = 0:

Կենտրոն S(-; ), այսինքն.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) շրջանագծի կենտրոնն է:

Եկեք գծենք շրջան (S; AS), որտեղ A(0; 1):

9. Քառակուսային հավասարումների լուծում նոմոգրամի միջոցով

Լուծման համար քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ Վ.Մ. Bradys (Plate XXII, p. 83):

Նոմոգրամը թույլ է տալիս, առանց x 2 + px + q = 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու, իր գործակիցներով որոշել հավասարման արմատները։ Օրինակ:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Երկու արմատներն էլ բացասական են: Հետեւաբար, մենք կկատարենք փոխարինում `z 1 = - t: Մենք ստանում ենք նոր հավասարում.

t 2 - 4t + 3 = 0:

t 1 \u003d 1; t2 = 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d - 3.

Պատասխան՝ - 3; - մեկ

6) Եթե p և q գործակիցները մասշտաբից դուրս են, ապա կատարեք z \u003d k t փոխարինումը և լուծեք հավասարումը նոմոգրամի միջոցով. z 2 + pz + q \u003d 0:

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k-ն վերցված է անհավասարությունների ակնկալիքով.

Անկախ աշխատանքի համար.

y 2 + 6y - 16 = 0:

y 2 + 6y = 16, |+ 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8:

Պատասխան՝ -8; 2

Անկախ աշխատանքի համար.

Երկրաչափորեն լուծե՛ք y 2 - 6y - 16 = 0 հավասարումը։