Ութերորդ դասարանում աշակերտներին ծանոթանում են քառակուսի հավասարումների և դրանց լուծման եղանակների հետ: Միևնույն ժամանակ, ինչպես ցույց է տալիս փորձը, ուսանողների մեծ մասը ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելիս օգտագործում է միայն մեկ մեթոդ՝ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը: Բանավոր հաշվելու լավ հմտություններ ունեցող ուսանողների համար այս մեթոդը ակնհայտորեն իռացիոնալ է: Աշակերտները հաճախ ստիպված են լինում լուծել քառակուսի հավասարումներ ավագ դպրոցում, և այնտեղ պարզապես ափսոս է ժամանակ ծախսել դիսկրիմինանտը հաշվարկելու վրա։ Իմ կարծիքով քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրելիս պետք է ավելի շատ ժամանակ և ուշադրություն հատկացնել Վիետայի թեորեմի կիրառմանը (ըստ Ա.Գ. Մորդկովիչի հանրահաշիվ-8 ծրագրի՝ նախատեսված է ընդամենը երկու ժամ «Վիետայի թեորեմ. քառակուսի եռանկյունը գծային գործակիցների մեջ»):

Հանրահաշվի դասագրքերի մեծ մասում այս թեորեմը ձևակերպված է կրճատված քառակուսի հավասարման համար և ասում է. եթե հավասարումը ունի արմատներ և , ապա դրանք բավարարում են հավասարությունները , .Այնուհետև ձևակերպվում է Վիետայի թեորեմին հակասող հայտարարություն, և առաջարկվում են մի շարք օրինակներ այս թեմայի շուրջ աշխատելու համար:

Վերցնենք կոնկրետ օրինակներ և Վիետայի թեորեմի միջոցով հետևենք դրանց լուծման տրամաբանությանը:

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը.

Ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի արմատներ, մասնավորապես և . Հետո Վիետայի թեորեմով՝ հավասարությունները

Նշենք, որ արմատների արտադրյալը դրական թիվ է։ Այսպիսով, հավասարման արմատներն ունեն նույն նշանը։ Եվ քանի որ արմատների գումարը նույնպես դրական թիվ է, եզրակացնում ենք, որ հավասարման երկու արմատներն էլ դրական են։ Եկեք վերադառնանք արմատների արտադրանքին: Ենթադրենք, որ հավասարման արմատները դրական ամբողջ թվեր են: Այնուհետև ճիշտ առաջին հավասարությունը կարելի է ձեռք բերել միայն երկու եղանակով (մինչև գործոնների կարգը). կամ . Առաջարկվող թվերի զույգերի համար ստուգենք Վիետայի թեորեմի երկրորդ պնդման իրագործելիությունը. . Այսպիսով, 2 և 3 թվերը բավարարում են երկու հավասարումներն էլ, հետևաբար հանդիսանում են տվյալ հավասարման արմատները։

Պատասխան՝ 2; 3.

Վիետայի թեորեմի միջոցով տրված քառակուսային հավասարումը լուծելիս առանձնացնում ենք պատճառաբանության հիմնական փուլերը.

գրի՛ր Վիետայի թեորեմի պնդումը

(*)

• որոշել հավասարման արմատների նշանները (եթե արտադրյալը և արմատների գումարը դրական են, ապա երկու արմատներն էլ դրական թվեր են։ Եթե արմատների արտադրյալը դրական թիվ է, իսկ արմատների գումարը բացասական է, ապա երկու արմատներն էլ բացասական թվեր են։ Եթե արմատների արտադրյալը բացասական թիվ է, ապա արմատներն ունեն տարբեր նշաններ։ Ավելին, եթե արմատների գումարը դրական է, ապա ավելի մեծ մոդուլով արմատը դրական թիվ է, և եթե Արմատների գումարը զրոյից փոքր է, ապա ավելի մեծ մոդուլով արմատը բացասական թիվ է).
• ընտրել ամբողջ թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը տալիս է ճիշտ առաջին հավասարությունը (*);
• Գտնված թվերի զույգերից ընտրեք այն զույգը, որը (*) նշումով երկրորդ հավասարության մեջ փոխարինելու դեպքում ճիշտ հավասարություն կտա.
• պատասխանում նշի՛ր հավասարման հայտնաբերված արմատները.

Բերենք ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2. Լուծել հավասարումը .

Լուծում.

Թող և լինեն տրված հավասարման արմատները: Այնուհետև Վիետայի թեորեմով Նկատենք, որ արտադրյալը դրական է, իսկ գումարը՝ բացասական: Այսպիսով, երկու արմատներն էլ բացասական թվեր են: Մենք ընտրում ենք գործակիցների զույգեր, որոնք տալիս են 10-ի արտադրյալը (-1 և -10; -2 և -5): Երկրորդ զույգ թվերը գումարվում են մինչև -7: Այսպիսով, -2 և -5 թվերը այս հավասարման արմատներն են:

Պատասխան. -2; -5.

Օրինակ 3. Լուծե՛ք հավասարումը .

Լուծում.

Թող և լինեն տրված հավասարման արմատները: Այնուհետև Վիետայի թեորեմով Նկատի ունեցեք, որ արտադրյալը բացասական է: Այսպիսով, արմատները տարբեր նշանների են: Արմատների գումարը նույնպես բացասական թիվ է։ Այսպիսով, ամենամեծ մոդուլով արմատը բացասական է: Մենք ընտրում ենք գործակիցների զույգեր, որոնք արտադրյալին տալիս են -10 (1 և -10; 2 և -5): Թվերի երկրորդ զույգը գումարում է -3: Այսպիսով, 2 և -5 թվերը այս հավասարման արմատներն են:

Պատասխան. 2; -5.

Նշենք, որ Վիետայի թեորեմը սկզբունքորեն կարող է ձևակերպվել ամբողջական քառակուսային հավասարման համար. եթե քառակուսի հավասարումը ունի արմատներ և, ապա դրանք բավարարում են հավասարությունները, .Այնուամենայնիվ, այս թեորեմի կիրառումը բավականին խնդրահարույց է, քանի որ ամբողջական քառակուսային հավասարման մեջ արմատներից առնվազն մեկը (եթե իհարկե այդպիսիք կան) կոտորակային թիվ է: Իսկ կոտորակների ընտրության հետ աշխատելը երկար է ու դժվար։ Բայց դեռ ելք կա.

Դիտարկենք ամբողջական քառակուսի հավասարումը . Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք առաջին գործակցով աև ձևով գրի՛ր հավասարումը . Մենք ներկայացնում ենք նոր փոփոխական և ստանում կրճատված քառակուսի հավասարումը, որի արմատները և (եթե այդպիսիք կան) կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով: Այնուհետև սկզբնական հավասարման արմատները կլինեն . Նկատի ունեցեք, որ օժանդակ կրճատված հավասարումը գրելը շատ հեշտ է. երկրորդ գործակիցը պահպանվում է, իսկ երրորդ գործակիցը հավասար է արտադրյալին. ace. Որոշակի հմտությամբ սովորողները անմիջապես կազմում են օժանդակ հավասարում, Վիետայի թեորեմի օգնությամբ գտնում են դրա արմատները և նշում տրված ամբողջական հավասարման արմատները։ Բերենք օրինակներ.

Օրինակ 4. Լուծե՛ք հավասարումը .

Կազմենք օժանդակ հավասարում իսկ Վիետայի թեորեմով մենք գտնում ենք դրա արմատները։ Այսպիսով, սկզբնական հավասարման արմատները .

Պատասխան. .

Օրինակ 5. Լուծե՛ք հավասարումը .

Օժանդակ հավասարումն ունի ձև. Վիետայի թեորեմի համաձայն, դրա արմատներն են. Մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման արմատները .

Պատասխան. .

Եվ ևս մեկ դեպք, երբ Վիետայի թեորեմի կիրառումը թույլ է տալիս բանավոր կերպով գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները։ Դա ապացուցելը հեշտ է 1 թիվը հավասարման արմատն է , եթե և միայն եթե. Հավասարման երկրորդ արմատը գտնում ենք Վիետայի թեորեմով և հավասար է . Եվս մեկ հայտարարություն. այնպես որ -1 թիվը հավասարման արմատն է անհրաժեշտ և բավարար է. Այնուհետև Վիետայի թեորեմի համաձայն հավասարման երկրորդ արմատը հավասար է . Նմանատիպ հայտարարություններ կարող են ձևակերպվել կրճատված քառակուսի հավասարման համար:

Օրինակ 6. Լուծե՛ք հավասարումը.

Նշենք, որ հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, հավասարման արմատները .

Պատասխան. .

Օրինակ 7. Լուծե՛ք հավասարումը.

Այս հավասարման գործակիցները բավարարում են հատկությունը (իրոք, 1-(-999)+(-1000)=0): Այսպիսով, հավասարման արմատները .

Պատասխան. ..

Վիետայի թեորեմի կիրառման օրինակներ

Առաջադրանք 1. Տրված քառակուսի հավասարումը լուծե՛ք Վիետայի թեորեմի միջոցով։

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Առաջադրանք 2. Լուծե՛ք ամբողջական քառակուսային հավասարումը` օգտագործելով անցումը օժանդակ կրճատված քառակուսային հավասարմանը:

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Առաջադրանք 3. Լուծե՛ք քառակուսի հավասարում` օգտագործելով հատկությունը:

Քառակուսային հավասարումների մեջ կան մի շարք հարաբերություններ. Հիմնականները արմատների և գործակիցների հարաբերություններն են։ Նաև մի շարք հարաբերություններ գործում են քառակուսի հավասարումների մեջ, որոնք տրված են Վիետայի թեորեմով։

Այս թեմայում ներկայացնում ենք հենց Վիետայի թեորեմը և դրա ապացույցը քառակուսի հավասարման համար, Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմ և վերլուծում ենք խնդիրների լուծման մի շարք օրինակներ։ Նյութում հատուկ ուշադրություն կդարձնենք Վիետայի բանաձևերի դիտարկմանը, որոնք սահմանում են աստիճանի հանրահաշվական հավասարման իրական արմատների միջև կապը. nև դրա գործակիցները։

Վիետայի թեորեմի հայտարարություն և ապացույց

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը a x 2 + b x + c = 0 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a ձևի, որտեղ D = b 2 − 4 a գ, սահմանում է հարաբերակցությունը x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = գ ա. Սա հաստատում է Վիետայի թեորեմը.

Թեորեմ 1

Քառակուսային հավասարման մեջ a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x 1և x2- արմատներ, արմատների գումարը հավասար կլինի գործակիցների հարաբերակցությանը բև ա, որը վերցվել է հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը հավասար կլինի գործակիցների հարաբերակցությանը. գև ա, այսինքն. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = գ ա.

Ապացույց 1

Ապացուցումն իրականացնելու համար առաջարկում ենք ձեզ հետևյալ սխեման. վերցնում ենք արմատների բանաձևը, կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև փոխակերպում ենք ստացված արտահայտությունները՝ համոզվելու համար, որ դրանք հավասար են։ -բ աև գ ահամապատասխանաբար.

Կազմեք արմատների գումարը x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a: Կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի՝ b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Բացենք ստացված կոտորակի համարիչի փակագծերը և բերենք նմանատիպ տերմիններ՝ - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a : Կոտորակը փոքրացրու՝ 2 - b a \u003d - b a.

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք Վիետայի թեորեմի առաջին կապը, որը վերաբերում է քառակուսի հավասարման արմատների գումարին:

Այժմ անցնենք երկրորդ հարաբերակցությանը։

Դա անելու համար մենք պետք է կազմենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը՝ x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a:

Հիշեք կոտորակների բազմապատկման կանոնը և գրեք վերջին արտադրյալը հետևյալ կերպ. - b + D · - b - D 4 · a 2:

Մենք կիրականացնենք փակագծի բազմապատկումը փակագծով կոտորակի համարիչում, կամ կօգտագործենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը՝ այս արտադրյալն ավելի արագ փոխակերպելու համար՝ - b + D · - b - D 4 · a. 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2:

Եկեք օգտագործենք քառակուսի արմատի սահմանումը հետևյալ անցումը կատարելու համար. - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2: Բանաձև D = b 2 − 4 a գհամապատասխանում է քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտին, հետևաբար՝ կոտորակի փոխարեն Դկարող է փոխարինվել b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Բացենք փակագծերը, տանք նման տերմիններ և ստացենք՝ 4 · a · c 4 · a 2: Եթե ​​կրճատենք այն մինչև 4 ա, ապա մնում է գ ա. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար:

Վիետայի թեորեմի ապացուցման արձանագրությունը կարող է շատ հակիրճ ձև ունենալ, եթե բաց թողնենք բացատրությունները.

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Երբ քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը զրո է, ապա հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ: Որպեսզի կարողանանք կիրառել Վիետայի թեորեմը նման հավասարման վրա, կարող ենք ենթադրել, որ զրոյի հավասար դիսկրիմինանտ ունեցող հավասարումն ունի երկու նույնական արմատներ։ Իսկապես, ժամը D=0քառակուսային հավասարման արմատն է. - b 2 a, ապա x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a և x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, և քանի որ D \u003d 0, այսինքն, b 2 - 4 a c = 0, որտեղից b 2 = 4 a c, ապա b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Ամենից հաճախ գործնականում Վիետայի թեորեմը կիրառվում է ձևի կրճատված քառակուսի հավասարման հետ կապված. x 2 + p x + q = 0, որտեղ առաջատար a գործակիցը հավասար է 1-ի։ Այս առումով Վիետայի թեորեմը ձևակերպված է հենց այս տեսակի հավասարումների համար։ Սա չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ: Դրա համար անհրաժեշտ է նրա երկու մասերը բաժանել a թվով, որը տարբերվում է զրոյից։

Տանք Վիետայի թեորեմի ևս մեկ ձևակերպում։

Թեորեմ 2

Արմատների գումարը տրված քառակուսային հավասարման մեջ x 2 + p x + q = 0հավասար կլինի x գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, արմատների արտադրյալը հավասար կլինի ազատ անդամին, այսինքն. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ

Եթե ​​ուշադիր նայեք Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպմանը, կարող եք դա տեսնել արմատների համար x 1և x2կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + p x + q = 0 x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q հարաբերությունները վավեր կլինեն: Այս հարաբերություններից x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, հետևում է, որ x 1և x2քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 + p x + q = 0. Այսպիսով, մենք հասնում ենք մի հայտարարության, որը Վիետայի թեորեմի հակադարձն է:

Այժմ մենք առաջարկում ենք այս հայտարարությունը պաշտոնականացնել որպես թեորեմ և իրականացնել դրա ապացույցը:

Թեորեմ 3

Եթե ​​թվեր x 1և x2այնպիսին են, որ x 1 + x 2 = − pև x 1 x 2 = q, ապա x 1և x2կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 + p x + q = 0.

Ապացույց 2

Գործակիցների փոփոխություն էջև քնրանց արտահայտման միջոցով x 1և x2թույլ է տալիս վերափոխել հավասարումը x 2 + p x + q = 0համարժեքի մեջ .

Եթե ​​թիվը փոխարինենք ստացված հավասարման մեջ x 1փոխարեն x, ապա ստանում ենք հավասարությունը x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Այս հավասարությունը ցանկացածի համար x 1և x2վերածվում է իրական թվային հավասարության 0 = 0 , որովհետեւ x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Դա նշանակում է որ x 1- հավասարման արմատը x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, եւ ինչ x 1նաև համարժեք հավասարման արմատն է x 2 + p x + q = 0.

Հավասարումների փոխարինում x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0թվեր x2 x-ի փոխարեն թույլ է տալիս ստանալ հավասարություն x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Այս հավասարությունը կարելի է ճշմարիտ համարել, քանի որ x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Պարզվում է, որ x2հավասարման արմատն է x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, և հետևաբար հավասարումները x 2 + p x + q = 0.

Ապացուցված է Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը։

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Այժմ անցնենք թեմայի առավել բնորոշ օրինակների վերլուծությանը։ Սկսենք այն խնդիրների վերլուծությունից, որոնք պահանջում են թեորեմի կիրառում, Վիետայի թեորեմի հակառակը։ Այն կարող է օգտագործվել հաշվարկների ընթացքում ստացված թվերը ստուգելու համար՝ արդյոք դրանք տվյալ քառակուսային հավասարման արմատներն են։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դրանց գումարը և տարբերությունը, այնուհետև ստուգել x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c գործակիցների վավերականությունը:

Երկու հարաբերությունների կատարումը ցույց է տալիս, որ հաշվարկների ընթացքում ստացված թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​տեսնենք, որ պայմաններից գոնե մեկը չի կատարվում, ապա այս թվերը չեն կարող լինել խնդրի պայմանում տրված քառակուսի հավասարման արմատները։

Օրինակ 1

1) x 1 = - 5, x 2 = 3, կամ 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, կամ 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2-ը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ է 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

Լուծում

Գտե՛ք քառակուսի հավասարման գործակիցները 4 x 2 - 16 x + 9 = 0:Սա a = 4, b = − 16, c = 9 է: Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի. -բ ա, այն է, 16 4 = 4 , իսկ արմատների արտադրյալը պետք է հավասար լինի գ ա, այն է, 9 4 .

Ստուգենք ստացված թվերը՝ հաշվելով տրված երեք զույգերից թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատելով դրանք ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Այս արժեքը տարբերվում է 4-ից, ուստի պետք չէ շարունակել ստուգումը: Համաձայն թեորեմի՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձի, անմիջապես կարող ենք եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը այս քառակուսի հավասարման արմատները չեն։

Երկրորդ դեպքում x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4: Մենք տեսնում ենք, որ առաջին պայմանը կատարվում է. Բայց երկրորդ պայմանը չէ՝ x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3: Մեր ստացած արժեքը տարբերվում է 9 4 . Սա նշանակում է, որ թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։

Անցնենք երրորդ զույգին։ Այստեղ x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 և x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է x 1և x2տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։

Պատասխան. x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Մենք կարող ենք նաև օգտագործել Վիետայի թեորեմի հակադարձ տարբերակը՝ քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար։ Ամենահեշտ ձևը տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ընտրելն է ամբողջ թվային գործակիցներով։ Կարելի է դիտարկել նաև այլ տարբերակներ: Բայց դա կարող է զգալիորեն բարդացնել հաշվարկները։

Արմատներն ընտրելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները:

Օրինակ 2

Որպես օրինակ, մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը x 2 − 5 x + 6 = 0. Թվեր x 1և x2կարող են լինել այս հավասարման արմատները, եթե երկու հավասարությունները բավարարված են x1 + x2 = 5և x 1 x 2 = 6. Եկեք ընտրենք այդ թվերը: Սրանք 2 և 3 թվերն են, քանի որ 2 + 3 = 5 և 2 3 = 6. Ստացվում է, որ 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմի հակադարձ տարբերակը կարող է օգտագործվել երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ առաջինը հայտնի է կամ ակնհայտ: Դրա համար մենք կարող ենք օգտագործել x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a հարաբերակցությունները:

Օրինակ 3

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Մենք պետք է գտնենք այս հավասարման արմատները:

Լուծում

Հավասարման առաջին արմատը 1 է, քանի որ այս քառակուսային հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Պարզվում է, որ x 1 = 1.

Հիմա եկեք գտնենք երկրորդ արմատը։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել հարաբերակցությունը x 1 x 2 = գ ա. Պարզվում է, որ 1 x 2 = − 3 512, որտեղ x 2 \u003d - 3 512.

Պատասխան.խնդրի պայմանում նշված քառակուսի հավասարման արմատները 1 և - 3 512 .

Հնարավոր է ընտրել արմատներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը միայն պարզ դեպքերում: Այլ դեպքերում ավելի լավ է որոնել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը՝ դիսկրիմինանտի միջոցով։

Վիետայի հակադարձ թեորեմի շնորհիվ մենք կարող ենք նաև ձևավորել քառակուսի հավասարումներ՝ հաշվի առնելով արմատները. x 1և x2. Դա անելու համար մենք պետք է հաշվարկենք արմատների գումարը, որը տալիս է գործակիցը ժամը xկրճատված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով և արմատների արտադրյալով, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ 4

Գրի՛ր քառակուսի հավասարում, որի արմատները թվեր են − 11 և 23 .

Լուծում

Եկեք ընդունենք դա x 1 = − 11և x2 = 23. Այս թվերի գումարը և արտադրյալը հավասար կլինեն. x1 + x2 = 12և x 1 x 2 = − 253. Սա նշանակում է, որ երկրորդ գործակիցը 12 է՝ ազատ անդամը − 253.

Մենք կազմում ենք հավասարում. x 2 - 12 x - 253 = 0.

Պատասխանել: x 2 - 12 x − 253 = 0:

Մենք կարող ենք օգտագործել Վիետայի թեորեմը լուծելու խնդիրներ, որոնք կապված են քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ։ Վիետայի թեորեմի կապը կապված է կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ. x 2 + p x + q = 0հետևյալ կերպ.

• եթե քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե ազատ անդամը քդրական թիվ է, ապա այս արմատները կունենան նույն նշանը «+» կամ «-»;
• եթե քառակուսի հավասարումը ունի արմատներ, և եթե ազատ անդամը քբացասական թիվ է, ապա մի արմատը կլինի «+», իսկ երկրորդը «-»:

Այս երկու պնդումներն էլ բանաձեւի հետեւանք են x 1 x 2 = qդրական և բացասական թվերի, ինչպես նաև տարբեր նշաններով թվերի բազմապատկման կանոններ։

Օրինակ 5

Արդյո՞ք քառակուսի հավասարման արմատները x 2 - 64 x - 21 = 0դրական?

Լուծում

Վիետայի թեորեմի համաձայն, այս հավասարման արմատները երկուսն էլ չեն կարող դրական լինել, քանի որ դրանք պետք է բավարարեն հավասարությունը. x 1 x 2 = − 21. Դրականի դեպքում դա հնարավոր չէ x 1և x2.

Պատասխան.Ոչ

Օրինակ 6

Պարամետրի ինչ արժեքներով rքառակուսային հավասարում x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0կունենա երկու իրական արմատ՝ տարբեր նշաններով։

Լուծում

Եկեք սկսենք գտնել ինչի արժեքները r, որի համար հավասարումն ունի երկու արմատ։ Եկեք գտնենք խտրականին և տեսնենք, թե ինչի համար rդա դրական արժեքներ կպահանջի: D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Արտահայտման արժեքը r2 + 8դրական ցանկացած իրականի համար r, հետևաբար, ցանկացած իրականի համար դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ կլինի r. Սա նշանակում է, որ սկզբնական քառակուսի հավասարումը կունենա երկու արմատ պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար r.

Հիմա տեսնենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ կունենան։ Դա հնարավոր է, եթե նրանց արտադրանքը բացասական է: Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Այսպիսով, ճիշտ լուծումը այդ արժեքներն են r, որի համար r − 1 ազատ անդամը բացասական է։ Մենք լուծում ենք r − 1 գծային անհավասարությունը< 0 , получаем r < 1 .

Պատասխան.ժ< 1 .

Վիետա բանաձեւեր

Կան մի շարք բանաձևեր, որոնք կիրառելի են ոչ միայն քառակուսի, այլև խորանարդ և այլ տեսակի հավասարումների արմատներով և գործակիցներով գործողություններ կատարելու համար։ Դրանք կոչվում են Վիետա բանաձեւեր։

Աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար n a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + ձևի: . . + a n - 1 x + a n = 0 հավասարումը համարվում է, որ ունի nիրական արմատներ x 1, x 2, …, x n, որը կարող է ներառել հետևյալը.
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +: . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +: . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0, . . . x 1 x 2 x 3. . . x n = (- 1) n a n a 0

Սահմանում 1

Ստացեք Վիետայի բանաձևերը, որոնք օգնում են մեզ.

• թեորեմ բազմանդամի գծային գործակիցների տարրալուծման մասին.
• հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով:

Այսպիսով, a 0 x n + a 1 x n - 1 + բազմանդամը: . . + a n - 1 · x + a n և դրա ընդլայնումը a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · ձևի գծային գործոնների: . . · (x - x n) հավասար են:

Եթե ​​վերջին արտադրյալում բացենք փակագծերը և հավասարեցնենք համապատասխան գործակիցները, ապա ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։ Հաշվի առնելով n \u003d 2, մենք կարող ենք ստանալ Վիետայի բանաձևը քառակուսի հավասարման համար. x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0:

Սահմանում 2

Վիետայի բանաձևը խորանարդ հավասարման համար.
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմը պարունակում է այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ֆրանսուա Վիետա (1540-1603) - մաթեմատիկոս, հայտնի Վիետայի բանաձևերի ստեղծող

Վիետայի թեորեմաանհրաժեշտ է արագ լուծել քառակուսի հավասարումները (պարզ բառերով):

Ավելի մանրամասն՝ տ Վիետայի թեորեմ - սա այս քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցի, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Այս հատկությունն ունի ցանկացած տրված քառակուսի հավասարում, որն ունի արմատներ:

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դուք հեշտությամբ կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումներ ընտրությամբ, ուստի եկեք «շնորհակալություն» ասենք սուրը ձեռքին այս մաթեմատիկոսին մեր երջանիկ 7-րդ դասարանի համար:

Վիետայի թեորեմի ապացույց

Թեորեմն ապացուցելու համար կարող եք օգտագործել արմատային հայտնի բանաձևերը, որոնց շնորհիվ կկազմենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը։ Միայն դրանից հետո կարող ենք համոզվել, որ դրանք հավասար են և, համապատասխանաբար, .

Ենթադրենք, մենք ունենք հավասարում. Այս հավասարումն ունի հետևյալ արմատները՝ և . Եկեք ապացուցենք, որ.

Ըստ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերի.

1. Գտի՛ր արմատների գումարը.

Եկեք վերլուծենք այս հավասարումը, քանի որ այն ստացել ենք հենց այսպես.

= .

Քայլ 1. Կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, ստացվում է.

= = .

Քայլ 2. Մենք ստացել ենք մի մասնաբաժին, որտեղ դուք պետք է բացեք փակագծերը.

Կոտորակը փոքրացնում ենք 2-ով և ստանում.

Մենք ապացուցել ենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարի կապը՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը:

2. Գտե՛ք արմատների արտադրյալը.

= = = = = .

Եկեք ապացուցենք այս հավասարումը.

Քայլ 1. Կոտորակները բազմապատկելու կանոն կա, ըստ որի մենք բազմապատկում ենք այս հավասարումը.

Այժմ մենք հիշում ենք քառակուսի արմատի սահմանումը և համարում.

= .

Քայլ 3. Մենք հիշում ենք քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը. Հետևաբար, D-ի փոխարեն (տարբերիչ) մենք փոխարինում ենք վերջին կոտորակի մեջ, այնուհետև ստանում ենք.

= .

Քայլ 4. Բացեք փակագծերը և կոտորակներին ավելացրեք նման տերմիններ.

Քայլ 5. Մենք կրճատում ենք «4ա»-ն և ստանում.

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք արմատների արտադրյալի կապը Վիետայի թեորեմի համաձայն:

ԿԱՐԵՎՈՐ!Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա քառակուսի հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ:

Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ

Համաձայն թեորեմի՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձի, մենք կարող ենք ստուգել՝ արդյոք մեր հավասարումը ճիշտ է լուծված։ Թեորեմն ինքնին հասկանալու համար մենք պետք է այն ավելի մանրամասն քննարկենք:

Եթե ​​թվերն են.

Եվ հետո դրանք քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի հակադարձ թեորեմի ապացույց

Քայլ 1.Նրա գործակիցների արտահայտությունները փոխարինենք հավասարման մեջ.

Քայլ 2Փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը.

Քայլ 3. Եկեք գտնենք հավասարման արմատները, և դրա համար օգտագործում ենք այն հատկությունը, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի.

Կամ . Որտեղի՞ց է այն գալիս. կամ.

Վիետայի թեորեմով լուծումներով օրինակներ

Օրինակ 1

Զորավարժություններ

Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը, արտադրյալը և գումարը՝ առանց հավասարման արմատները գտնելու:

Լուծում

Քայլ 1. Հիշեք տարբերակիչ բանաձևը. Մենք փոխարինում ենք մեր թվերը տառերի տակ: Այսինքն, , փոխարինում է , և . Սա ենթադրում է.

Պարզվում է:

Title="(!LANG:Մատուցված է QuickLaTeX.com-ի կողմից" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Արմատների քառակուսիների գումարն արտահայտում ենք դրանց գումարի և արտադրյալի միջոցով.

Պատասխանել

7; 12; 25.

Օրինակ 2

Զորավարժություններ

Լուծե՛ք հավասարումը. Այս դեպքում մի օգտագործեք քառակուսի հավասարման բանաձևերը:

Լուծում

Այս հավասարումն ունի արմատներ, որոնք զրոյից մեծ են դիսկրիմինանտով (D): Ըստ Վիետայի թեորեմի՝ այս հավասարման արմատների գումարը 4 է, իսկ արտադրյալը՝ 5։ Նախ որոշում ենք թվի բաժանարարները, որոնց գումարը 4 է։ Սրանք «5» և թվերն են։ «-1». Նրանց արտադրյալը հավասար է - 5-ի, իսկ գումարը - 4-ի: Այսպիսով, ըստ թեորեմի, Վիետայի թեորեմի հակառակը, նրանք այս հավասարման արմատներն են:

Պատասխանել

Եվ Օրինակ 4

Զորավարժություններ

Գրի՛ր հավասարում, որտեղ յուրաքանչյուր արմատ հավասարության համապատասխան արմատից երկու անգամ մեծ է.

Լուծում

Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ այս հավասարման արմատների գումարը 12 է, իսկ արտադրյալը՝ 7։ Այսպիսով, երկու արմատները դրական են։

Նոր հավասարման արմատների գումարը հավասար կլինի.

Եվ աշխատանքը.

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմով նոր հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Պատասխանել

Արդյունքում ստացվեց հավասարում, որի յուրաքանչյուր արմատը երկու անգամ ավելի մեծ է.

Այսպիսով, մենք նայեցինք, թե ինչպես լուծել հավասարումը Վիետայի թեորեմի միջոցով: Շատ հարմար է օգտագործել այս թեորեմը, եթե լուծված են առաջադրանքներ, որոնք կապված են քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ։ Այսինքն, եթե բանաձևի ազատ անդամը դրական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարման մեջ կան իրական արմատներ, ապա դրանք երկուսն էլ կարող են լինել կամ բացասական կամ դրական:

Իսկ եթե ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարման մեջ կան իրական արմատներ, ապա երկու նշաններն էլ տարբեր կլինեն։ Այսինքն, եթե մի արմատը դրական է, ապա մյուս արմատը կլինի միայն բացասական:

Օգտակար աղբյուրներ.

1. Դորոֆև Գ.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - դասագիրք Հանրահաշիվ 8 դասարան. Մոսկվա «Բալաս», 2015 - 237 p.
3. Նիկոլսկի Ս. Մ., Պոտոպավ Մ. Կ., Ռեշետնիկով Ն. Ն., Շևկին Ա. Վ. – Հանրահաշիվ Դասարան 8. Մոսկվայի «Լուսավորություն», 2014 – 300 թ.

Վիետայի թեորեմը, հակադարձ Վիետայի բանաձևը և կեղծիքների լուծման օրինակներԹարմացվել է՝ 22 նոյեմբերի, 2019 կողմից՝ Գիտական ​​հոդվածներ.Ru

Վիետայի թեորեմը (ավելի ճիշտ՝ Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմը) թույլ է տալիս կրճատել քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակը։ Դուք պարզապես պետք է իմանաք, թե ինչպես օգտագործել այն: Ինչպե՞ս սովորել լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Հեշտ է, եթե մի փոքր մտածես։

Այժմ մենք կխոսենք միայն կրճատված քառակուսի հավասարման լուծման մասին՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, Կրճատված քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ a-ն, այսինքն՝ x²-ի դիմացի գործակիցը հավասար է մեկի: Չտրված քառակուսի հավասարումները նույնպես կարող են լուծվել Վիետայի թեորեմի միջոցով, բայց արդեն արմատներից գոնե մեկը ամբողջ թիվ չէ: Դրանք ավելի դժվար է կռահել։

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմն ասում է. Եթե x1 և x2 թվերն այնպիսին են, որ

ապա x1 և x2 քառակուսի հավասարման արմատներն են

Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը 4 տարբերակ. Եթե ​​հիշում եք տրամաբանության ընթացքը, կարող եք սովորել շատ արագ գտնել ամբողջական արմատներ:

I. Եթե q-ն դրական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են (քանի որ միայն նույն նշաններով թվերը բազմապատկելիս է ստացվում դրական թիվ):

Ի.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (համապատասխանաբար, էջ<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

Ի.բ. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (համապատասխանաբար՝ p>0), ապա երկու արմատներն էլ բացասական թվեր են (նույն նշանի թվեր են ավելացրել, ստացել բացասական թիվ)։

II. Եթե ​​q-ն բացասական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատներն ունեն տարբեր նշաններ (թվերը բազմապատկելիս բացասական թիվ է ստացվում միայն այն դեպքում, երբ գործոնների նշանները տարբեր են): Այս դեպքում x1 + x2-ն այլևս գումար չէ, այլ տարբերություն (ի վերջո, տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս մենք փոքրը հանում ենք մեծ մոդուլից): Հետևաբար, x1 + x2 ցույց է տալիս, թե որքանով են տարբերվում x1 և x2 արմատները, այսինքն՝ որքանով է մի արմատը մյուսից ավելի (մոդուլ):

II.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (այսինքն՝ p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (p>0), ապա ավելի մեծ (մոդուլային) արմատը բացասական թիվ է:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծումը Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ օգտագործելով օրինակներ։

Տրված քառակուսի հավասարումը լուծե՛ք Վիետայի թեորեմով.

Այստեղ q=12>0, ուրեմն x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են։ Դրանց գումարը -p=7>0 է, ուստի երկու արմատներն էլ դրական թվեր են։ Մենք ընտրում ենք այն ամբողջ թվերը, որոնց արտադրյալը 12 է: Սրանք 1 և 12, 2 և 6, 3 և 4 են: Գումարը 7 է 3 և 4 զույգի համար: Այսպիսով, 3-ը և 4-ը հավասարման արմատներն են:

Այս օրինակում q=16>0, ինչը նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են։ Նրանց գումարը -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Այստեղ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, ապա ավելի մեծ թիվը դրական է: Այսպիսով, արմատները 5 և -3 են:

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք տրված են. Վիետայի թեորեմա. Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումը և ապացույցը քառակուսի հավասարման համար: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք Վիետայի թեորեմի հակառակ թեորեմը: Դրանից հետո կվերլուծենք ամենաբնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւերից , որտեղ D=b 2 −4 a c , հարաբերությունները x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 =. գ/ա . Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը, վերցված հակառակ նշանով և արտադրյալի. արմատները հավասար են c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ .

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմը կապացուցենք հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ հայտնի արմատային բանաձևերով կկազմենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև ստացված արտահայտությունները կվերափոխենք և համոզվենք, որ դրանք հավասար են -b-ի: /a և c/a, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից, կազմենք։ Հիմա կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, ունենք։ Ստացված կոտորակի համարիչում , որից հետո . Վերջապես, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Մենք կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը. Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն՝ վերջին արտադրյալը կարելի է գրել այսպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի փակագծով, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել. քառակուսիների տարբերության բանաձևը, Ուրեմն . Այնուհետև, հիշելով, մենք կատարում ենք հաջորդ անցումը: Եվ քանի որ D=b 2 −4 a·c բանաձևը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին, ապա b 2 −4·a·c կարելի է փոխարինել վերջին կոտորակի մեջ D-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և նման անդամները կրճատելուց հետո հասնում ենք կոտորակի վրա, և դրա կրճատումը 4·a-ով տալիս է. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե ​​բաց թողնենք բացատրությունները, ապա Վիետայի թեորեմի ապացույցը հակիրճ ձև կստանա.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են: Իսկապես, D=0-ի համար քառակուսի հավասարման արմատը , ապա և , և քանի որ D=0 , այսինքն՝ b 2 −4·a·c=0 , որտեղից b 2 =4·a·c , ապա .

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 +p·x+q=0 ձևի կրճատված քառակուսի հավասարման (ամենաբարձր գործակիցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ։ Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս տիպի քառակուսի հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական թվով a: Ահա Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը x 2 + p x + q \u003d 0 հավասար է x գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը ազատ անդամն է, այսինքն, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, տրված նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0, ապա x 1 +x 2 = − հարաբերությունները։ p , x 1 x 2 = q. Մյուս կողմից, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 +p x+q=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այլ կերպ ասած, Վիետայի թեորեմի հակառակ պնդումը ճիշտ է։ Մենք այն ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով և ապացուցում։

Թեորեմ.

Եթե ​​x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 +x 2 =−p և x 1 x 2 =q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0: .

Ապացույց.

x 2 +p x+q=0 դրանց արտահայտության x 1 և x 2-ի միջոցով p և q գործակիցները փոխարինելուց հետո այն վերածվում է համարժեք հավասարման։

Ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 1 թիվը, ունենք հավասարություն x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար ճիշտ թվային հավասարություն է 0=0, քանի որ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Հետևաբար, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 +p x+q=0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե ​​հավասարման մեջ x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x-ի փոխարեն փոխարինում ենք x 2 թիվը, ապա ստանում ենք հավասարություն x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Սա ճիշտ հավասարումն է, քանի որ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Հետևաբար, x 2-ը նաև հավասարման արմատն է x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, և, հետևաբար, x 2 +p x+q=0 հավասարումները:

Սա ավարտում է Վիետայի թեորեմին հակադրվող թեորեմի ապացույցը:

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառման մասին։ Այս ենթաբաժնում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Մենք սկսում ենք Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ կիրառելով: Հարմար է այն օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է հարաբերությունների վավերականությունը։ Եթե ​​այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ գտնված արմատները ստուգելու համար։

Օրինակ.

1) x 1 =−5, x 2 =3 կամ 2), թե 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x+9=0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x+9=0 գործակիցներն են a=4 , b=−16 , c=9 ։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a, այսինքն՝ 16/4=4, իսկ արմատների արտադրյալը՝ c/a, այսինքն՝ 9. /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում ունենք x 1 +x 2 =−5+3=−2: Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, հետևաբար, հետագա ստուգումը չի կարող իրականացվել, բայց թեորեմով, Վիետայի թեորեմի հակադարձմամբ, կարող ենք անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տրված քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։ .

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը բավարարված է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը. , ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից: Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնում է վերջին դեպքը. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Թեորեմը՝ Վիետայի թեորեմի հակառակը, կարող է գործնականում օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները ընտրելու համար։ Սովորաբար ընտրվում են տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ամբողջ թվային գործակիցներով, քանի որ այլ դեպքերում դա բավականին դժվար է անել։ Միևնույն ժամանակ նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սրան անդրադառնանք օրինակով։

Վերցնենք x 2 −5 x+6=0 քառակուսային հավասարումը: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է բավարարվեն երկու հավասարումներ x 1 +x 2 \u003d 5 և x 1 x 2 \u003d 6: Մնում է ընտրել այդպիսի թվեր։ Այս դեպքում դա անելը բավականին պարզ է. այդպիսի թվերն են 2-ը և 3-ը, քանի որ 2+3=5 և 2 3=6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակառակ թեորեմը հատկապես հարմար է կրճատված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ։ Այս դեպքում երկրորդ արմատը հայտնաբերվում է հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 −509 x−3=0 ։ Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ միավորը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը զրո է։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 x 2 =c/a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 =−3/512, որտեղից x 2 =−3/512: Այսպիսով, մենք սահմանել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Մյուս դեպքերում, արմատները գտնելու համար կարելի է տարբերակիչի միջոցով կիրառել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը։

Թեորեմի մեկ այլ գործնական կիրառություն՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձը, տրված x 1 և x 2 արմատների համար քառակուսի հավասարումների կազմումն է։ Դրա համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը տրված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսային հավասարում, որի արմատները −11 և 23 թվերն են։

Լուծում.

Նշեք x 1 =−11 և x 2 =23: Մենք հաշվարկում ենք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 + x 2 \u003d 12 և x 1 x 2 \u003d −253: Հետևաբար, այս թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են երկրորդ գործակցով -12 և ազատ անդամով -253: Այսինքն՝ x 2 −12·x−253=0 ցանկալի հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12 x−253=0 .

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված առաջադրանքներ լուծելիս։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված x 2 +p x+q=0 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

• Եթե ​​q ազատ անդամը դրական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական են։
• Եթե ​​q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 x 2 =q բանաձեւից, ինչպես նաեւ տարբեր նշաններով դրական, բացասական թվերը եւ թվերը բազմապատկելու կանոններից։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R-ն դրական է: Համաձայն տարբերակիչ բանաձևի՝ գտնում ենք D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 արտահայտության արժեքը. +8-ը դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D>0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ r պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար:

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ արմատները տարբեր նշաններ ունեն: Եթե ​​արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմով տվյալ քառակուսային հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r−1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մենք պետք է լուծել գծային անհավասարություն r−1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժ<1 .

Վիետա բանաձեւեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք նրա հաստատած հարաբերությունները: Բայց կան բանաձևեր, որոնք կապում են ոչ միայն քառակուսի հավասարումների իրական արմատներն ու գործակիցները, այլև խորանարդ հավասարումների, քառակի հավասարումների և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետա բանաձեւեր.

Մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար, մինչդեռ ենթադրում ենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց մեջ կարող է լինել նույնը).

Ստացեք Վիետայի բանաձևերը թույլ է տալիս բազմանդամների գործակցման թեորեմ, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա ընդլայնումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Բացելով փակագծերը վերջին արտադրյալում և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n=2-ի համար մենք արդեն ծանոթ Վիետայի բանաձևեր ունենք քառակուսի հավասարման համար:

Խորանարդային հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն ունեն ձև

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձեւերի ձախ կողմում կան այսպես կոչված տարրական սիմետրիկ բազմանդամներ.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: Դասարան 10: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։