Funkcijske nule
Nula funkcije je vrijednost x, pri čemu funkcija postaje 0, odnosno f(x)=0.

Nule su točke presjeka grafa funkcije s osi Oh.

Paritet funkcije
Funkcija se poziva čak i ako za bilo koji x iz domene definicije, jednakost f(-x) = f(x)

Parna funkcija je simetrična u odnosu na os OU

Čudna funkcija
Funkcija se naziva neparnom ako za bilo koju x iz domene definicije zadovoljena je jednakost f(-x) = -f(x).

Neparna funkcija je simetrična u odnosu na ishodište.
Funkcija koja nije ni parna ni neparna naziva se opća funkcija.

Povećanje funkcije
Funkcija f(x) se zove rastuća ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, tj. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Opadajuća funkcija
Funkcija f(x) se naziva padajućom ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta, tj. x 2 >x 1 → f(x 2)
Nazivaju se intervali na kojima funkcija samo pada ili samo raste intervalima monotonije. Funkcija f(x) ima 3 intervala monotonosti:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞)

Nađi intervale monotonosti koristeći uslugu Intervali rastuće i opadajuće funkcije

Lokalni maksimum
Točka x 0 naziva se lokalna maksimalna točka ako za bilo koji x iz susjedstva točke x 0 vrijedi nejednakost: f(x 0) > f(x)

Lokalni minimum
Točka x 0 naziva se lokalnom minimalnom točkom ako za bilo koji x iz susjedstva točke x 0 vrijedi nejednakost: f(x 0)< f(x).

Lokalne maksimalne točke i lokalne minimalne točke nazivaju se lokalnim ekstremnim točkama.

x 1 , x 2 - lokalne točke ekstrema.

Funkcija Periodičnost
Funkcija f(x) naziva se periodična, s periodom T, ako postoji x f(x+T) = f(x) .

Intervali postojanosti
Intervali na kojima je funkcija samo pozitivna ili samo negativna nazivaju se intervalima konstantnog predznaka.

f(x)>0 za x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuitet funkcije
Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u točki x 0 ako je granica funkcije pri x → x 0 jednaka vrijednosti funkcije u toj točki, tj. .

točke prekida
Točke u kojima je narušen uvjet kontinuiteta nazivaju se točkama diskontinuiteta funkcije.

x0- prijelomna točka.

Opća shema za crtanje funkcija

1. Odredi domenu funkcije D(y).
2. Odredite sjecišne točke grafa funkcija s koordinatnim osima.
3. Istražite funkciju za par ili nepar.
4. Istražite funkciju za periodičnost.
5. Naći intervale monotonosti i točke ekstrema funkcije.
6. Naći intervale konveksnosti i točke infleksije funkcije.
7. Odredite asimptote funkcije.
8. Na temelju rezultata istraživanja izgradite grafikon.

Primjer: Istražite funkciju i izgradite njezin graf: y = x 3 - 3x
8) Na temelju rezultata istraživanja konstruirat ćemo graf funkcije:

U srpnju 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letjelica će na Mars dostaviti elektronički nosač s imenima svih registriranih članova ekspedicije.

Ako je ovaj post riješio vaš problem ili vam se samo svidio, podijelite link do njega sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, tada će se stranice učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML, LaTeX i ASCIIMathML i spremni ste ugraditi matematičke formule u svoje web stranice.

Još jedan doček Nove godine... mraz i snježne pahulje na prozorskom staklu... Sve me to ponukalo da ponovno pišem o... fraktalima i onome što Wolfram Alpha zna o njima. Tim povodom je zanimljiv članak u kojem se nalaze primjeri dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo razmotriti složenije primjere trodimenzionalnih fraktala.

Fraktal se može vizualno prikazati (opisati) kao geometrijski lik ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup točaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sam originalni lik. Odnosno, radi se o samosličnoj strukturi, s obzirom na čije ćemo detalje, kada se poveća, vidjeti isti oblik kao i bez povećanja. Dok u slučaju pravilnog geometrijskog lika (ne fraktala), kada ga povećamo, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od samog izvornog lika. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao isječak ravne linije. To se ne događa s fraktalima: s bilo kakvim povećanjem u njima, ponovno ćemo vidjeti isti složeni oblik, koji će se sa svakim povećanjem ponavljati iznova i iznova.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, u svom je članku Fraktali i umjetnost za znanost napisao: "Fraktali su geometrijski oblici koji su jednako složeni u svojim detaljima kao što su u svom ukupnom obliku. To jest, ako će dio fraktala ako se poveća na veličinu cjeline, izgledat će kao cijela, ili točno, ili možda s malom deformacijom.

- (Math.) Funkcija y \u003d f (x) se poziva čak i ako se ne mijenja kada nezavisna varijabla samo promijeni predznak, odnosno ako je f (x) \u003d f (x). Ako je f (x) = f (x), tada se funkcija f (x) naziva neparnom. Na primjer, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcija koja zadovoljava jednakost f (x) = f (x). Pogledajte parne i neparne funkcije... Velika sovjetska enciklopedija

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Posebne funkcije koje je uveo francuski matematičar E. Mathieu 1868. pri rješavanju problema o titranju eliptične membrane. M. f. također se koriste u proučavanju širenja elektromagnetskih valova u eliptičnom cilindru ... Velika sovjetska enciklopedija

Zahtjev "grijeh" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Parnost i neparnost funkcije jedno su od njenih glavnih svojstava, a parnost zauzima impresivan dio školskog tečaja matematike. Ona uvelike određuje prirodu ponašanja funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa.

Definirajmo parnost funkcije. Općenito govoreći, proučavana funkcija se smatra čak i ako su za suprotne vrijednosti nezavisne varijable (x) koja se nalazi u njezinoj domeni, odgovarajuće vrijednosti y (funkcije) jednake.

Dajmo strožu definiciju. Promotrimo neku funkciju f (x), koja je definirana u domeni D. Bit će parna ako za bilo koju točku x koja se nalazi u domeni definicije:

• -x (točka nasuprot) također leži u danom opsegu,

• f(-x) = f(x).

Iz gornje definicije slijedi uvjet nužan za područje definiranja takve funkcije, naime simetričnost u odnosu na točku O, koja je ishodište koordinata, jer ako je neka točka b sadržana u području definiranja funkcije parna funkcija, tada odgovarajuća točka - b također leži u ovoj domeni. Iz navedenog, dakle, slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik koji je simetričan u odnosu na ordinatnu os (Oy).

Kako u praksi odrediti parnost funkcije?

Neka je dana pomoću formule h(x)=11^x+11^(-x). Slijedeći algoritam koji slijedi izravno iz definicije, prije svega proučavamo njezinu domenu definiranja. Očito je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno prvi uvjet je zadovoljen.

Sljedeći korak je zamjena argumenta (x) njegovom suprotnom vrijednošću (-x).
Dobivamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Budući da zbrajanje zadovoljava komutativni (pomakni) zakon, očito je da je h(-x) = h(x) i zadana funkcionalna ovisnost je parna.

Provjerimo parnost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Slijedeći isti algoritam, dobivamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Vađenje minusa, kao rezultat, imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stoga je h(x) neparan.

Usput, treba podsjetiti da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema ovim kriterijima, nazivaju se niti parnim niti neparnim.

Čak funkcije imaju niz zanimljivih svojstava:

• kao rezultat zbrajanja sličnih funkcija dobiva se parna;
• kao rezultat oduzimanja takvih funkcija dobiva se parna;
• čak, također čak;
• kao rezultat množenja dviju takvih funkcija dobiva se parna;
• kao rezultat množenja neparnih i parnih funkcija dobiva se neparna;
• kao rezultat dijeljenja neparnih i parnih funkcija dobiva se neparna;
• derivacija takve funkcije je neparna;
• Ako kvadriramo neparnu funkciju, dobit ćemo parnu.

Parnost funkcije može se koristiti u rješavanju jednadžbi.

Za rješavanje jednadžbe poput g(x) = 0, gdje je lijeva strana jednadžbe parna funkcija, bit će sasvim dovoljno pronaći njezino rješenje za nenegativne vrijednosti varijable. Dobivene korijene jednadžbe potrebno je spojiti sa suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe provjeri.

Isti se uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom.

Na primjer, postoji li vrijednost za parametar a koja bi jednadžbu 2x^6-x^4-ax^2=1 učinila trima korijenima?

Ako uzmemo u obzir da varijabla ulazi u jednadžbu u parnim potencijama, onda je jasno da zamjena x sa -x neće promijeniti zadanu jednadžbu. Slijedi da ako je određeni broj njegov korijen, onda je i suprotni broj. Zaključak je očit: korijeni jednadžbe, osim nule, uključeni su u skup njezinih rješenja u "parovima".

Jasno je da sam broj 0 nije, odnosno broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, naravno, za bilo koju vrijednost parametra ne može imati tri korijena.

Ali broj korijena jednadžbe 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 može biti neparan, i za bilo koju vrijednost parametra. Doista, lako je provjeriti da skup korijena dane jednadžbe sadrži rješenja u "parovima". Provjerimo je li 0 korijen. Kada ga zamijenimo u jednadžbu, dobivamo 2=2. Dakle, osim "uparene" 0 je i korijen, što dokazuje njihov neparan broj.

Koji su vam u određenoj ili onoj mjeri bili poznati. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. U ovom odjeljku bit će riječi o dva nova svojstva.

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x), x ê X, poziva se čak i ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f (-x) \u003d f (x) istinita.

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x), x ê X, naziva se neparnom ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f (-x) \u003d -f (x) istinita.

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Riješenje. Imamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4 . Dakle, za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = f (x), tj. funkcija je parna.

Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 neparna funkcija.

Riješenje. Imamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3 . Dakle, za bilo koji x vrijedi jednakost f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično se može dokazati da su funkcije y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 neparne.

Vi i ja smo se više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se na neki način objasniti. Ovo je slučaj i za parne i za neparne funkcije. Pogledajte: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y \u003d x "(u nastavku ćemo posebno proučiti ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, tada funkcija y \u003d x " je neparan; ako je n paran broj, onda je funkcija y = xn parna.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y \u003d 2x + 3. Doista, f (1) \u003d 5 i f (-1) \u003d 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f (-x ) \u003d f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje pitanja je li određena funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanje funkcije za paritet.

Definicije 1 i 2 bave se vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana iu točki x iu točki -x. To znači da točka -x pripada domeni funkcije u isto vrijeme kao i točka x. Ako numerički skup X zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo da su (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrični skupovi, dok )