Moguće je prikazati različite geometrijske objekte pomoću crteža i računalne grafike koristeći principe izometrije i aksonometrije. Koja je specifičnost svakog od njih?

Što je aksonometrija?

Pod, ispod aksonometrijski ili aksonometrijska projekcija shvaća se kao način grafičkog prikaza određenih geometrijskih objekata pomoću paralelnih projekcija.

Aksonometrija

Pri tome se geometrijski objekt najčešće crta pomoću određenog koordinatnog sustava – tako da ravnina na koju se projicira ne odgovara položaju ravnine drugih koordinata odgovarajućeg sustava. Ispada da se objekt prikazuje u prostoru kroz 2 projekcije i izgleda trodimenzionalno.

U tom slučaju, iz razloga što ravnina prikaza objekta nije postavljena striktno paralelno s bilo kojom od osi koordinatnog sustava, pojedinačni elementi odgovarajućeg prikaza mogu biti iskrivljeni - prema jednom od sljedeća 3 principa.

Prvo, distorzija elemenata prikaza objekata može se promatrati u sve 3 osi koje se koriste u sustavu, u jednakom iznosu. U ovom slučaju, izometrijska projekcija objekta, odnosno izometrija, je fiksna.

Drugo, izobličenje elemenata može se promatrati samo duž 2 osi u jednakom iznosu. U ovom slučaju promatra se dimetrična projekcija.

Treće, distorzija elemenata može se fiksirati kao različita u sve 3 osi. U ovom slučaju promatra se trimetrijska projekcija.

Dakle, razmotrimo specifičnosti prve vrste distorzija formiranih u okviru aksonometrije.

Što je izometrija?

Tako, izometrija- ovo je vrsta aksonometrije, koja se promatra prilikom crtanja objekta ako je izobličenje njegovih elemenata duž sve 3 koordinatne osi isto.

izometrija

Razmatrani tip aksonometrijske projekcije aktivno se koristi u industrijskom dizajnu. Omogućuje vam da dobro vidite određene detalje unutar crteža. Korištenje izometrije također je široko rasprostranjeno u razvoju računalnih igara: uz pomoć odgovarajuće vrste projekcije postaje moguće učinkovito prikazati trodimenzionalne slike.

Može se primijetiti da u području suvremenog industrijskog razvoja izometrija općenito znači pravokutnu projekciju. Ali ponekad se također može predstaviti u kosoj varijanti.

Usporedba

Glavna razlika između izometrije i aksonometrije je u tome što prvi izraz odgovara projekciji, koja je samo jedna od varijanti one na koju ukazuje drugi izraz. Stoga se izometrijska projekcija značajno razlikuje od drugih vrsta aksonometrije - dimetrije i trimetrije.

Pokažimo jasnije koja je razlika između izometrije i aksonometrije u malom stolu.

Pravokutni izometrijski prikaz.

Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na slici. svi tri osovine oblik među sobom jednaki kutovi u

120 0 . Os oz smještena okomito.

Faktor izobličenja jednaka sve tri osi 0,82 . U praksi, pravokutna izometrijska projekcija

Obično se gradi bez smanjenja dimenzija duž osi - sve veličine, paralelne s osi, uzimaju se s koeficijentom

Izobličenje jednako jedinica.

Rezultat je slika slična točnoj projekciji, ali uvećan 1,22 puta. Slika prikazuje

Smjerovi osi elipsa koje prikazuju krugove smještene u ravninama paralelnim s koordinatnom

Zrakoplovi.

velika osi AB su okomite na odgovarajuću aksonometriju sjekire. Mali sjekire CD

okomito na AB i su paralelni odgovarajući aksonometrijski sjekire. Sve tri elipse su jednake.

Dimenzije osi elipse u odnosu na promjer d krugovi :

Prilikom gradnje točna projekcija s koef iskrivljenje 0,82 AB = d; CD = 0,58d.

Prilikom gradnje bez smanjenja dimenzija duž svih osi AB = 1,22d; CD = 0,71d.

Primjeri konstrukcijeizometrijski i dimetrični vidjeti

Na slici je prikazana izometrija lopte. Vanjska kontura lopte je krug. Pri konstruiranju egzaktnog

projekcije R = d/2. Kada se konstruira s faktorom distorzije smanjenim na jedinicu,R = 1,22d/2.

d- promjer lopte.

Primjeri konstrukcijeizometrijski i dimetrični vidjeti

Šrafiranje rezova u aksonometriji.

Crte šrafure sekcija primjenjuju se paralelno s jednom od dijagonala kvadrata (uvjetno prikazanih) koji leže

u odgovarajućim koordinatnim ravninama. Strane uvjetnog kvadrata paralelne su s aksonometrijskim osi.

Različiti dijelovi istog dijela šrafirani su s nagibom u različitim smjerovima.

Produžne linije u aksonometrijskim crtežima crtaju se paralelno s aksonometrijskim osima. Kotne linije

Provodi se paralelno s mjerenim segmentom.

Primjeri konstrukcijeizometrijski i dimetrični vidjeti

aksonometrijski (Aksonometrija u prijevodu s grčkog ("ahop" - os; "metreo" - mjerim) znači sedmodimenzionalna slika.) projekcije su slike dobivene projiciranjem paralelnih zraka lika (predmeta) uz koordinatne osi na proizvoljno postavljenu ravninu, tzv. "aksonometrijski"(ili slika). Obično se ravnina (ili objekt) postavlja tako da su na aksonometrijskoj projekciji objekta vidljive tri strane: gornja (ili donja), prednja i lijeva (ili desna).
Glavna prednost aksonometrijskih projekcija je vidljivost i ideja o veličini prikazanog objekta, stoga se koriste kao ilustracija crteža kako bi se olakšalo razumijevanje konstruktivnog oblika objekta. Na (sl. 270) prikazano je primanje aksonometrijske projekcije dijela.

Na aksonometrijskim projekcijama prihvaćaju se sljedeće oznake: aksonometrijska ravnina označena je P "; aksonometrijske koordinatne osi - x", y", z"; aksonometrijske projekcije točaka A, B itd. označeni su A, B itd. Ishodište koordinata označeno je O".
2. Vrste aksonometrijskih projekcija.
Ovisno o smjeru projiciranih zraka, aksonometrijske projekcije se dijele na: pravokutne ili ortogonalne (projicirajuće zrake su okomite na aksonometrijsku ravninu P ") i kose (projicirajuće zrake su nagnute na aksonometrijsku ravninu).
Ovisno o nagibu koordinatnih osi prema aksonometrijskoj ravnini i, posljedično, o stupnju smanjenja veličine aksonometrijskih projekcija segmenata koji imaju smjer koordinatnih osi (Poznato je da se pravac nagnut na ravninu projicira na nju smanjeno; što je veći kut nagiba, to je manja projekcija segmenta.), - sve aksonometrijske projekcije podijeljene su u tri glavne vrste:
1) izometrijski, tj. iste dimenzije (osi z, x i y jednako su nagnute; stoga je smanjenje veličine u smjeru sve tri osi jednako);
2) dimetrični, tj. dvostruku dimenziju (dvije koordinatne osi imaju isti nagib, a treća različit; stoga će smanjenje veličine po te dvije osi biti isto, a po trećoj osi različito);
3) trimetrijski, tj. trostruka dimenzija (sve osi imaju različit nagib, stoga je smanjenje dimenzija u smjeru sve tri osi različito).
U inženjerskom crtanju od pravokutnih aksonometrijskih projekcija najčešće se koriste izometrijske i dimetrijske projekcije, a od kosih kutova - dimetrijske, koje se inače nazivaju frontalna dimetrijska projekcija.
U izometrijskoj projekciji, kutovi između aksonometrijskih osi x", y" i z" su isti (po 120 °); os z" nalazi se okomito; stoga su osi x" i y" nagnute prema vodoravnoj liniji pod kutom od 30 ° (slika 271, a).

S ovim položajem osi, pokazatelji izobličenja za sve osi su isti i jednaki su 0,82.
Indikator izobličenja je omjer veličine aksonometrijske projekcije segmenta koji ima smjer bilo koje koordinatne osi i njegove stvarne veličine. Na primjer, uz stvarnu veličinu od 100 mm i faktor izobličenja od 0,82, veličina aksonometrijske projekcije je 100 × 0,82 = 82 mm.
U dimetričnoj projekciji, kut između aksonometrijskih osi z "i x" je 97 ° 10 ", a kutovi između aksonometrijskih osi x" i y ", kao i z" i y "su isti, tj. 131 ° 25" svaki. Aksonometrijska os z" ima okomiti položaj, stoga je os x" nagnuta prema vodoravnoj liniji pod kutom od 7 ° 10 ", a os y pod kutom od 41 ° 25" (Sl.271,b).
Pri takvom nagibu aksonometrijskih osi indeks izobličenja za osi z" i x" iznosi 0,94, a za os y" 0,47.
U frontalnoj dimetrijskoj projekciji kut između aksonometrijskih osi z "i x" jednak je 90 °, a kutovi između aksonometrijskih osi x "i y", kao i između aksonometrijskih osi z "i y" su isto, tj. 135 ° svaki. Os z" ima okomiti položaj, stoga će os x" imati vodoravni položaj, a os y" je nagnuta prema vodoravnoj liniji pod kutom od 45 ° (Sl. 271, c).
Indikatori izobličenja duž aksonometrijskih x" i z" osi su 1,0, a duž y" osi - 0,5.
Takva frontalna dimetrijska projekcija naziva se kabinet; preporuča se koristiti kada se žele prikazati bez promjene obrisa likova koji se nalaze u ravninama paralelnim s ravninom frontalne projekcije.
Za usporedbu slika napravljenih u aksonometrijskim projekcijama, (slika 272) prikazuje različite aksonometrijske projekcije iste kocke.

Kako bi se pojednostavio izračun pokazatelja izobličenja, GOST 3453-59 preporučuje izgradnju izometrijske projekcije bez redukcije duž aksonometrijskih osi x ", y" i z", i dimetrijske projekcije bez redukcije duž aksonometrijskih osi x" i y", i s smanjenje od 0,5 duž aksonometrijske osi y" . U ovom slučaju, slika je malo povećana, ali njena jasnoća se ne pogoršava.

Aksonometrijske projekcije koriste se za vizualizaciju različitih objekata. Predmet je ovdje prikazan onako kako se vidi (iz određenog kuta gledanja). Takva slika odražava sve tri prostorne dimenzije, pa čitanje aksonometrijskog crteža obično nije teško.

Aksonometrijski crtež može se dobiti pomoću pravokutne i kose projekcije. Predmet se postavlja tako da se tri glavna pravca njegovih mjerenja (visina, širina, duljina) poklapaju s koordinatnim osima i zajedno s njima projiciraju na ravninu. Smjer projiciranja ne smije se poklapati sa smjerom koordinatnih osi, tj. nijedna od osi neće biti projicirana u točku. Samo u tom slučaju dobit će se vizualni prikaz sve tri osi.

Da bi se dobile pravokutne aksonometrijske projekcije, koordinatne osi su nagnute u odnosu na ravninu projekcije RA tako da se njihov smjer ne poklapa sa smjerom projiciranih zraka. S kosom projekcijom možete mijenjati i smjer projekcije i nagib koordinatnih osi u odnosu na ravninu projekcije. U tom će slučaju koordinatne osi, ovisno o kutu nagiba prema ravnini aksonometrijske projekcije i smjeru projekcije, biti projicirane s različitim koeficijentima izobličenja. Ovisno o tome, dobit će se različite aksonometrijske projekcije koje se razlikuju u položaju koordinatnih osi. GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) predviđa sljedeće aksonometrijske projekcije: pravokutna izometrijska projekcija; pravokutna dimetrijska projekcija; kosa frontalna izometrijska projekcija; kosa horizontalna izometrijska projekcija; kosa frontalna dimetrijska projekcija.

§ 26. PRAVOKUTNE AKSONOMETRIJSKE PROJEKCIJE

Izometrijska projekcija vrlo je jasna i široko se koristi u praksi. Pri dobivanju izometrijske projekcije koordinatne osi su nagnute u odnosu na ravninu aksonometrijske projekcije tako da imaju isti kut nagiba (sl. 236). U ovom slučaju, oni se projiciraju s istim faktorom izobličenja (0,82) i pod istim kutom jedni prema drugima (120°).

U praksi se koeficijent izobličenja duž osi obično uzima jednak jedan, tj. stvarna vrijednost veličine se izdvaja. Slika je povećana 1,22 puta, ali to ne dovodi do izobličenja oblika i ne utječe na vidljivost, ali pojednostavljuje konstrukciju.

Aksonometrijske osi u izometriji izvode se tako da se prvo konstruiraju kutovi između osi. x, y i z(120°) ili kutovi nagiba x i na na vodoravnu liniju (30°). Konstrukcija osi u izometriji sa korištenje kompasa prikazano je na sl. 237 gdje je radijus R uzeti proizvoljno. Na sl. 238 pokazuje kako se grade sjekire x i na pomoću tangensa kuta od 30°. od točke O- točke sjecišta aksonometrijskih osi polažu pet identičnih segmenata proizvoljne duljine lijevo ili desno duž vodoravne ravne crte i, povlačeći okomitu crtu kroz posljednju podjelu, polažu tri ista segmenta gore i dolje na nju. Konstruirane točke povezuju se s točkom O i dobiti sjekire Oh i OU.

Moguće je odgoditi (izgraditi) dimenzije i mjeriti u aksonometriji samo duž osi oh, oh i Oz ili na ravnima paralelnim s tim osima.

Na sl. 239 prikazana je konstrukcija točke ALI u izometriji prema ortogonalnom crtežu (slika 239, a). Točka ALI koji se nalazi u ravnini v. Za konstrukciju je dovoljno konstruirati sekundarnu projekciju a" bodova ALI(Sl. 239, b) na površini xOz po koordinatama X A i Z A . Slika točke ALI poklapa sa svojom sekundarnom projekcijom. Sekundarne projekcije točke su slike njezinih ortogonalnih projekcija u aksonometriji.

Na sl. 240 prikazuje konstrukciju točke B u izometriji. Najprije se na ravninu gradi sekundarna projekcija točke B Ho. Da biste to učinili, od ishodišta duž osi Oh odgoditi koordinatu X in(Sl. 240, b), dobiti sekundarnu projekciju točke b x. Od ove točke, paralelno s osi OU nacrtati liniju i na nju ucrtati koordinatu Y B .

Konstruirana točka b na aksonometrijsku ravninu bit će sekundarna projekcija točke NA. Prevlačenje s točke b ravna linija paralelna s osi Oz, postavite koordinatu Z B i dobiti točku B, tj. aksonometrijsku sliku točke B. Aksonometrija točke B također se može konstruirati iz sekundarnih projekcija na ravninu zOh ili zOy.

Pravokutni dimetrični projekcija. Koordinatne osi raspoređene su tako da dvije osi Oh i Oz imale su isti kut nagiba i bile su projicirane s istim koeficijentom distorzije (0,94), a treća os OU bio bi nagnut tako da bi faktor izobličenja projekcije bio upola manji (0,47). Tipično, faktor izobličenja duž osi Oh i Oz uzeto jednako jedan, i duž osi OU- 0,5. Slika je uvećana 1,06 puta, ali to, kao i kod izometrije, ne utječe na jasnoću slike, već pojednostavljuje konstrukciju. Položaj osi u pravokutnoj dimetriji prikazan je na sl. 241. Grade se odlaganjem kutova od 7° 10" i 41°25" od horizontalne crte duž kutomjera ili odlaganjem istovjetnih segmenata proizvoljne duljine, kao što je prikazano na si. 241. Dobivene točke spoji točkom O. Prilikom konstruiranja pravokutne dimetrije, treba imati na umu da su stvarne dimenzije položene samo na osi Oh i Oz ili paralelne linije. Dimenzije osi OU a paralelno s njim položena je s faktorom izobličenja 0,5.

§ 27. KOSE AKSONOMETRIJSKE PROJEKCIJE

Frontalni izometrijski prikaz. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl. 242. Kut nagiba OU u odnosu na horizontalu je obično 45°, ali može biti 30 ili 60°.

Horizontalni izometrijski prikaz. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na sl. 243. Kut nagiba OU u odnosu na horizontalu je obično 30°, ali može biti 45 ili 60°. U ovom slučaju, kut od 90 ° između osi Oh i OU mora se sačuvati.

Frontalne i horizontalne kose izometrijske projekcije izgrađene su bez iskrivljenja duž osi oh, oh i Oz.

Frontalna dimetrijska projekcija. Položaj osi prikazan je na sl. 244. Fig. 245 ilustrira projekciju koordinatnih osi na ravninu aksonometrijske projekcije. Avion xOz paralelno s ravninom R. Os dopuštena OU nacrtati pod kutom od 30 ili 60° u odnosu na horizontalu, koeficijent distorzije duž osi Oh i Oz uzeto jednako 1, i duž osi OU- 0,5.

KONSTRUKCIJA RAVNIH GEOMETRIJSKIH LIKOVA U AKSONOMETRIJI

Osnova niza geometrijskih tijela je ravna geometrijska figura: mnogokut ili krug. Da bi se u aksonometriji izgradilo geometrijsko tijelo, prije svega mora se znati izgraditi njegova baza, odnosno ravna geometrijska figura. Na primjer, razmotrite konstrukciju ravnih figura u pravokutnoj izometrijskoj i dimetričnoj projekciji. Konstrukcija poligona u aksonometriji može se izvesti koordinatnom metodom, kada se svaki vrh poligona u aksonometriji gradi kao zasebna točka (konstrukcija točke koordinatnom metodom obrađena je u § 26), tada se konstruirane točke povezani segmentima ravnih linija i dobije se izlomljena zatvorena linija u obliku poligona. Ovaj problem se može riješiti drugačije. Kod pravilnog poligona konstrukcija počinje od osi simetrije, a kod nepravilnog mnogokuta povlači se dodatna linija koja se naziva osnovom, paralelna s jednom od koordinatnih osi na ortogonalnom crtežu.

Uputa

Projiciranjem na ravninske aksonometrijske projekcije P’ prirodnog koordinatnog sustava Oxyz dobiva se aksonometrijski koordinatni sustav O’x’y’z’, a projekcija bilo koje točke je aksonometrijska projekcija ili aksonometrija A’ ( 1). Prenesemo li horizontalnu projekciju točke A₁ iz dijagrama u novi sustav, to će biti tzv. sekundarna projekcija i imat će aksonometrijske koordinate.

Omjer aksonometrijskih koordinata i prirodnih pokazatelja izobličenja duž osi. Oni su u, v, w, a kutovi između aksonometrijskih osi su redom α, β i γ.
Postoje različite vrste aksonometrije. U strojarstvu se češće koristi pravokutna aksonometrija. Ovisno o veličini indikatora izobličenja u, v, w, pravokutna aksonometrija podijeljena je na vrste:

Izometrija - indikatori distorzije na sve tri osi su međusobno jednaki u=v=w.
- dimetrija – pokazatelji izobličenja su jednaki na dvije osi u=w≠v.

Tipično, pokazatelji izobličenja u, v, w imaju frakcijske vrijednosti, ali za pojednostavljenje konstrukcija koriste se njihove smanjene vrijednosti. Na primjer, u izometriji su zadane koordinate jednake prirodnim.

Primjer. Konstruirajte pravokutnu izometrijsku projekciju prizme (slika 2).
Složeni crtež prizme dan je u sustavu osi xyz, ishodište je točka O.

Konstruirajte aksonometrijske osi O'x'y'z'. Kutovi između osi α, β, γ iznose 120⁰ (slika 3).

U aksonometrijskim osima izgradite sekundarnu projekciju prizme. Neka ishodište O' i os z' prolaze kroz glavnu os prizme z. Prenesite sve dimenzije sa složenog crteža na x’O’y’ osi bez promjena, jer koeficijenti distorzije po osi su jednaki 1.
Od točke O’ odvojite segment O₁1₁ i O₁4₁ duž osi x’. Označite točke 1 'i O', a na y'-osi odvojite segment O₁A₁. Dobijte bodove O', A'.

Na dijagramu je segment 6₁5₁ paralelan s osi x₁, što znači da segment 6’5’ također treba nacrtati paralelno s osi x’. Ostavite udaljenost A₁6₁ i A₁5₁ na njemu. Označite dobivene točke 6', 5' i na sličan način konstruirajte točke 2', 3' simetrične njima.

Odredite položaj točaka 7' i 8', ostavljajući po strani dimenzije 7₁A₁. Tako se u aksonometrijskoj projekciji gradi sekundarna projekcija baze prizme - 1', 2', ... 8'. Iz svake točke nacrtajte ravne linije paralelne s osi Z'. Na tim ravnim crtama nacrtajte visinu svake točke iz prednje projekcije prizme na dijagramu.
Od točke 1' odvojite segment od 1₂9₂, a od točaka 2' i 6' - segment od 2₂10₂. Od ostalih točaka 3', 4' itd. odložite označenu visinu h. Spajanjem svih konstruiranih točaka dobije se aksonometrija ove prizme.