Formule skraćenog množenja.

Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrata zbroja i kvadrata razlike dvaju izraza; razlika kvadrata dvaju izraza; kub zbroja i kub razlike dvaju izraza; zbrojevi i razlike kubova dvaju izraza.

Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.

Za pojednostavljenje izraza, rastavljanje polinoma na faktore i dovođenje polinoma u standardni oblik koriste se skraćene formule množenja. Formule skraćenog množenja morate znati napamet.

Neka su a, b R. Tada:

1. Kvadrat zbroja dvaju izraza je kvadrat prvog izraza plus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kvadrat razlike dvaju izraza je kvadrat prvog izraza minus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Razlika kvadrata dva izraza jednaka je umnošku razlike tih izraza i njihovog zbroja.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. kocka zbroja dva izraza jednako je kubu prvog izraza plus tri puta kvadrat prvog izraza puta drugi plus tri puta umnožak prvog izraza puta kvadrat drugog plus kub drugog izraza.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. kocka razlike dvaju izraza jednako je kubu prvog izraza minus tri puta umnožak prvog izraza i drugog plus tri puta umnožak prvog izraza i kvadrata drugog minus kub drugog izraza.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Zbroj kocki dva izraza jednak je umnošku zbroja prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom razlike tih izraza.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Razlika kocki dvaju izraza jednak je umnošku razlike prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.

Primjer 1

Izračunati

a) Koristeći se formulom za kvadrat zbroja dvaju izraza, imamo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Koristeći se formulom za kvadrat razlike dvaju izraza dobivamo

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Primjer 2

Izračunati

Koristeći se formulom za razliku kvadrata dvaju izraza, dobivamo

Primjer 3

Pojednostavite izraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Koristimo formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Skraćene formule množenja u jednoj tablici:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formule ili pravila reduciranog množenja koriste se u aritmetici, točnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz postojećih pravila u algebri za množenje više polinoma.

Korištenje ovih formula daje prilično brzo rješenje za razne matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarskih transformacija omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, nakon čega možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti, koja je na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijeva strana iza znaka jednakosti).

Zgodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje napamet jer se one često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Glavne formule uključene u ovaj popis i njihovi nazivi navedeni su u nastavku.

kvadrat zbroja

Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog i drugog člana i kvadrata drugog člana. U obliku izraza ovo se pravilo piše na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadrat razlike

Da biste izračunali kvadrat razlike, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja s drugim (uzetim sa suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Razlika kvadrata

Formula za razliku dvaju brojeva na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

kocka zbroja

Da biste izračunali kub zbroja dva člana, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kuba prvog člana, trostrukog umnoška kvadrata prvog člana i drugog, trostrukog umnoška prvog člana i drugog kvadrat, a kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Zbroj kocki

Prema formuli, jednak je umnošku zbroja ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja nastaje zbrajanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.

Ako su vrijednosti strana male, tada je lako izvršiti izračune.

Ako su duljine stranica izražene nezgrapnim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.

kocka razlike

Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbroj treće potencije prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog člana , i negativni kub drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Razlika kocki

Formula za razliku kubova razlikuje se od zbroja kubova samo za jedan predznak. Dakle, razlika kubova je formula jednaka umnošku razlike tih brojeva i njihovog nepotpunog kvadrata zbroja. U obliku razlika kocki izgleda ovako: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen lika koji će ostati nakon što se od volumena plave kocke oduzme žuta volumetrijska figura koja je ujedno i kocka. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.

Ako su vrijednosti strana male, tada su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno koristiti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.

Razlika kvadrata

Izvodimo formulu za razliku kvadrata $a^2-b^2$.

Da biste to učinili, zapamtite sljedeće pravilo:

Ako se bilo koji monom doda izrazu i isti monom oduzme, tada dobivamo točan identitet.

Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monom $ab$:

Ukupno dobijemo:

To jest, razlika kvadrata dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike i zbroja.

Primjer 1

Izrazite kao umnožak $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\lijevo(2x-y\desno)(2x+y)\]

Zbroj kocki

Izvodimo formulu za zbroj kubova $a^3+b^3$.

Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:

Uzmimo $\left(a+b\right)$ iz zagrada:

Ukupno dobijemo:

Odnosno, zbroj kubova dvaju monoma jednak je umnošku njihovog zbroja s nepotpunim kvadratom njihove razlike.

Primjer 2

Izrazite kao proizvod $(8x)^3+y^3$

Ovaj izraz se može prepisati u sljedećem obliku:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:

\[((2x))^3+y^3=\lijevo(2x+y\desno)(4x^2-2xy+y^2)\]

Razlika kocki

Izvodimo formulu za razliku kocki $a^3-b^3$.

Da bismo to učinili, upotrijebit ćemo isto pravilo kao gore.

Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monome $a^2b\ i\ (ab)^2$:

Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:

Uzmimo $\left(a-b\right)$ iz zagrada:

Ukupno dobijemo:

Odnosno, razlika kubova dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike s nepotpunim kvadratom njihova zbroja.

Primjer 3

Izrazite kao umnožak $(8x)^3-y^3$

Ovaj izraz se može prepisati u sljedećem obliku:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:

\[((2x))^3-y^3=\lijevo(2x-y\desno)(4x^2+2xy+y^2)\]

Primjer zadataka za korištenje formula razlike kvadrata i zbroja i razlike kubova

Primjer 4

Pomnožiti.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Riješenje:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Primjenom formule razlike kvadrata dobivamo:

\[((a+5))^2-3^2=\lijevo(a+5-3\desno)\lijevo(a+5+3\desno)=\lijevo(a+2\desno)(a +8)\]

Zapišimo ovaj izraz u obliku:

Primijenimo formulu kocke kocke:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Zapišimo ovaj izraz u obliku:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\lijevo(\frac(1)(3)\desno))^3-x^3\]

Primijenimo formulu kocke kocke:

\[(\lijevo(\frac(1)(3)\desno))^3-x^3=\lijevo(\frac(1)(3)-x\desno)\lijevo(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\desno)\]

U prethodnim lekcijama smo pogledali dva načina faktorizacije polinoma: izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada i metodu grupiranja.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još jedan način faktorizacije polinoma pomoću formula za skraćeno množenje.

Preporučujemo da svaku formulu napišete najmanje 12 puta. Za bolje pamćenje zapišite sve skraćene formule množenja za sebe na mali list za varanje.

Prisjetite se kako izgleda formula za razliku kocki.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Formulu za razliku kocki nije lako zapamtiti, stoga preporučujemo korištenje posebnog načina za pamćenje.

Važno je razumjeti da svaka skraćena formula množenja također funkcionira obrnuta strana.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Razmotrite primjer. Potrebno je faktorizirati razliku kubova.

Imajte na umu da je "27a 3" "(3a) 3", što znači da za formulu za razliku kubova, umjesto "a", koristimo "3a".

Koristimo formulu za razliku kubova. Umjesto "a 3" imamo "27a 3", a umjesto "b 3", kao u formuli, stoji "b 3".

Primjena kubne razlike obrnuto

Razmotrimo još jedan primjer. Potrebno je umnožak polinoma pretvoriti u razliku kubova koristeći skraćenu formulu množenja.

Imajte na umu da umnožak polinoma "(x − 1) (x 2 + x + 1)" sliči desnoj strani formule za razliku kocki "", samo je umjesto "a" " x", A u mjesto "b" je "1".

Za “(x − 1)(x 2 + x + 1)” koristimo formulu za razliku kocki u suprotnom smjeru.

Razmotrimo teži primjer. Potrebno je pojednostaviti umnožak polinoma.

Usporedimo li "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" s desnom stranom formule za razliku kubova
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, onda možete razumjeti da je umjesto “a” iz prve zagrade “y 2”, a umjesto “b” je “1”.